Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
1
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Kí hiệu
Tên gọi
Diễn giải
P
n

Số các hoán vò của n phần tử
Permutation
k
n
A

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

k
n
C

Số các tổ hợp chập k của n phần tử
Combinatory
P(A)
Xác suất của biến cố A
Probability
n
ulim


Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x
0)(lim
0
xf
xx



Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x
0y' hoặc f'(x)
Đạo hàm của hàm số y = f(x)

y'' hoặc f''(x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x)

y
(n)
hoặc f
(n)
(x)
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)

dy hoặc df(x)
Vi phân của hàm số y = f(x)
Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
2
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trò lượng giác của cung (góc) :
 sin luôn xác đònh  R và sin( + k2) = sin
cos luôn xác đònh  R và cos( + k2) = cos
 - 1  sin  1 (sin 1).
- 1  cos  1 (cos  1).
 tan xác đònh khi  


k
2
và tan(k) = tan;
cot xác đònh khi   k và cot( + k) = cot.
 Dấu của các giá trò lượng giác của góc 

2. Bảng các giá trò lượng giác đặc biệt:

2

2
3

1
cos
1
2
3

2
2

2
1

0
tan
0
3
1

1
3

kxđ
cot
kxđ
3

sin
1
cot1 
(  k, k  Z).  tan.cot = 1 (
2


k
, k  Z).
4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
Cung đối:(-) và 
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan(-) = -tan
cot(-) = -cot

Cung bù:( - ) và 
sin( - ) = sin
cos( - ) = -cos
tan( - ) = -tan
cot( - ) = -cot

Cung phụ:(
2

- ) và 
sin(
2

- ) = cos

+
-
-
+
tan
+
-
+
-
cot
+
-
+
-

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
5. Các công thức lượn giác thường sử dụng:
Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb

ba
ba
ba
tantan1
tantan

atan1
2tana
2tan
2

a

Công thức hạ bậc:

2
2cos1
cos
2
a
a

2
2cos1
sin
2
a
a

a

vu 

cosu - cosv = -2sin
2
vu 
sin
2
vu 

sinu + sinv = 2sin
2
vu 
cos
2
vu 

sinu - sinu = 2cos
2
vu 
sin
2
vu 

 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina - 4sin
3
a cos3a = 4cos
3
a - 3cosa
 Công thức sina + cosa:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
4
§1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC
I- ĐỊNH NGHĨA:
1. Hàm số sin và hàm số côsin:
a) Hàm số sin:
x
y
x
sinx
B'
A'
B
O
A
M

x
y
x
sinx

cos: R  R
x

y = cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx
 Tập xác đònh của hàm số côsin là: D = R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang:
a) Hàm số tang:
 Hàm số tang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =
x
x
cos
sin
(cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.
 Tập xác đònh của hàm số y = tanx là: D = R\{
2

+ k, k  Z}.
b) Hàm số côtang:
 Hàm số côtang là hàm số được xác đònh bởi công thức y =
x
x
sin
cos
(sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.
 Tập xác đònh của hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z}.
 Nhắc lại đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
5

x
2
sin
x
1

y
x
x
y

2
x
4
x
3
x
2
x
1
A'
B'
A
B
O
O

Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;
2


-1
1
O
x
y

b) Đồ thò hàm số y = sinx trên R:
2

2

5

2
3

2
-
3

2
-
5

2
-2


2
-

2

5

2
3

2
-
3

2
-
5

2
-2


2
-

2

-

-1
1
O
x

B
B'
A'
M
2
M
1
T
2
T
1
y
x
O
O

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;
2

).
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Bảng biến thiên:
x
-
4


2

x
y

 Đồ thò hàm số y = tanx trên D:
-3

2
3

2
-



2
-

2
O
x
y

 Tập giá trò của hàm số y = tanx là T = (-; +).
4. Hàm số y = cotx:
 Tập xác đònh: D = R\{k, k  Z};
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì ;
a) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx trên khoảng (0; ):
Hàm số y = cotx nghòch biến trên khoảng (0; ).
x

-



2
-

2
O
x
y

 Tập giá trò của hàm số y = cotx là T = (-; +).

 Ghi chú: Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11


; c) y =
)
3
tan(

x
; d) y =
)
6
cot(

x
.
Bài 3: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các giá trò của x để cosx =
2
1
.
Bài 4: Dựa vào đồ thò hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trò của x để hàm số đó nhận giá trò dương.
Bài 5: Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trò của x để hàm số đó nhận giá trò âm.
Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất của các hàm số:
a) y = 2
xcos
+ 1; b) y = 3 - 2sinx.
Bài 7: Dựa vào đồ thò của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thò của hàm số y = sinx.
Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thò hàm số y = sin2x.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:
a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos
2

sinx = sin 
)(
2
2
Zk
kx
kx









sinx = a
sinx = a 






)(
2arcsin
2arcsin
Zk
kax
kax


)(
]360180[2)(
]360[2)(
000
00
Zk
kkxu
kkxu









 sinu(x) = a
(-1  a  1)

))((sin
)(sin
axu
axu



)(
]360arcsin180[2arcsin)(



 Đặc biệt: sin[f(x)] = 1  f(x) =
2

+ k2, k  Z
sin[f(x)] = -1  f(x) = -
2

+ k2, k  Z
sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) sinx =
2
1
; b) sinx =
5
1
; c) sin2x = 1; d) sin(x + 45
0
) = -
2
2
.
Giải:








cosx = a
cosx = a 






)(
2arccos
2arccos
Zk
kax
kax



côsin
sin
a
-1
-1

kkxu









 cosu(x) = a
(-1  a  1)

])([cos
)(cos
axu
axu



)(
]360arccos[2arccos)(
]360[arccos2arccos)(
0
0
Zk
kakaxu
kakaxu



Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) cosx = cos
6

; b) cos3x = -
2
2
; c) cosx =
3
1
; d) cos(x + 60
0
) =
2
2
.
Giải:


Z]
* Chú ý:
tan[u(x)] = tan  u(x) =  + k, k  Z [u

x) =

0
+ k180
0
, k

Z]
 tan[u(x)] = a
tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [u

x) = arctana + k180
0
, k

Z]

 Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.
 Đặc biệt: tan[u(x)] = 0  u(x) = k, k  Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) tanx = tan
5

; b) tan2x = -
3
1


0
+ k180
0
, k

Z]
cotx = a
cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k180
0
, k

Z]
* Chú ý:
cot[u(x)] = cot  u(x) =  + k, k  Z [u

x) =

0
+ k180
0
, k

Z]
 cot[u(x)] = a
cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [u

x) = acrcota + k180
0
, k

 Ghi chú:
) = -
2
3
.
Bài 2: Với những giá trò nào của x thì giá trò của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) cos(x - 1) =
3
2
; b) cos3x = cos12
0
;
c) cos(
42
3


x
) = -
2
1
; d) cos
2
2x =
4
1
.
Bài 4: Giải phương trình
0
2sin1

với - < x < ;
c) tan(2x - 15
0
) = 1 với -180
0
< x< 90
0
; d) cot3x =
3
1
với
2


< x < 0.
Bài 2: Tìm tập xác đònh của mỗi hàm số sau:
a) y =
2sin2
cos1


x
x
; b) y =
xx
x
cos2cos
)2sin(



3
tanx + 1 = 0; d)
3
cotx - 3 = 0.
Giải:
II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:
asinx + bcosx =
22

3
cosx = 1.
Giải:

Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin3x - 4cos3x = 5.
Giải:  Ghi chú:

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x +
2
sin4x = 0; b)
02
2
cos2
2
sin
2

xx
; c) tanx - 2cotx + 1 = 0.
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin
2
x + sinxcosx - 3cos
2
x = 0; b) 3sin
2
x - 4sinxcosx + 5cos
2
x = 2;
c) sin
2
x + sin2x - 2cos
2
x =
2
1

4x + sin
2
3x = sin
2
2x + sin
2
x; d) (sinx – cosx)
2
– (
2
+ 1)(sinx – cosx) +
2
= 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sinx +
3
cosx = 2sin(2x +
6

); b) 2sinx(cosx - 1) =
3
cos2x;
b) cos3x - sinx =
3
(cosx - sin3x); c)
3
cosx - sinx =
2
(sin3x - cos3x).
Bài 3: Giải các phương trình sau:


a) sin(x + 1) =
3
2
; b) sin
2
2x =
2
1
; c) cot
2
2
x
=
3
1
;

d) tan(
12

+ 12x) = -
3
.
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; b) 2sinx + cosx = 1.
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất của các hàm số sau:
a) y =
)cos1(2 x
+ 1; b) y = 3sin(x -

x
) + 3; b) y =
)sin(1
2
x
- 1; c) y = 4sin
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
CHƯƠNG II. TỔ HP - XÁC SUẤT
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
 Tập rỗng:  là tập hợp không chứa phần tử nào.
 Tập con:
A
B


*
là các tập hợp số
không có phần tử 0.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao
B
A

 A

B ={xx

A và x

B}







Bx
Ax
BAx

Hợp
B
A






Bx
Ax
BAx \

Phần bù
B
A

Khi B

A thì A\B
gọi là phần bù của B
trong A, kí hiệu
B
A
C
.
3. Dấu hiệu chia hết:
 Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
 Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
 Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
 Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
4. Số và chữ số: 128

* Chú ý:  Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
 Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau.
Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì n(A

B) = n(A) + n(B).
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động
thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công
việc.
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau:
(Số giữa hai đòa điểm chỉ số con đường đi giữa hai đòa điểm đó)
Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D?
Giải: Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:
a) 3 chữ số; b) 3 chữ số khác nhau.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?
Giải:

 Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số.
 Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm:
a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau?
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Bài 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ).
3
2
3
D
C

n
là số các hoán vò của n phần tử. Ta có:
P
n
= n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n!
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, các chữ số được lấy từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Giải:
II- CHỈNH HP:
 Có bao nhiêu cách chọn hai bạn giữ chức vụ bí thư và phó bí thư chi đoàn trong số 3 bạn đắc cử ban chấp hành.
1. Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần
tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
2. Số các chỉnh hợp: Kí hiệu
k
n
A
là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n). Ta có:
k
n
A
= n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1)
* Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1, ta có:
k

thành từ các điểm đó?
1. Đònh nghóa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho.
* Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0  k  n.
2. Số các tổ hợp: Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:
)!(!
!
knk
n
C
k
n


(0  k  n) (n, k  N)

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
24
Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ.
Giải:

4
7
3
7
CC 

b) Tính chất 2:
k
n
k
n
k
n
CCC 


 1
1
1
(1 k < n) - công thức Pascal
Ví dụ:
4
8
4
7
3
7
CCC 

Ví dụ: Chứng minh rằng, với 2  k  n - 2, ta có:
 Ghi chú: Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Tài liệu lưu hành nội bộ
25
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000?
Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy.
Bài 3: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông
hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Bài 4: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể
lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Bài 5: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Bài 6: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu: