Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 1
I. HỆ THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

OP
OQ
AT
BT
cos
sin
tan
'cot
a
a
a
a
=
=
=
=

Nhận xét:
·


+ – – +
tan
a

+ – + –
cot
a

+ – + –

3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a
+ cos
2
a
= 1; tana.cota = 1
22
22
11
1tan;1cot
cossin
aa
aa
+=+=
4. Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

-=
ç÷
èø

tan()tan
aa
-=-

tan()tan
paa
-=-

tancot
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø

cot()cot
aa
-=-

cot()cot
paa
-=-

cottan


a

T

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II. CÔNG THỨC CỘNG

Công thức cộng:
Cung hơn kém
p

Cung hơn kém
2
p

sin()sin
paa
+=-

aa
æö
+=-
ç÷
èø

cot()cot
paa
+=

cottan
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø 0
6
p

4
p

3
p


120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

0 –1 0
cos 1
3

0
cot

3

1
3
3

0
3
3
-
–1

0 sin()sin.cossin.cos
ababba
+=+

sin()sin.cossin.cos
ababba
-=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
+=-


papa
aa
aa
æöæö
+-
+=-=
ç÷ç÷
-+
èøèøTrần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 3

III. CÔNG THỨC NHÂN

1. Công thức nhân đôi:

sin22sin.cos
aaa
=2222
cos2cossin2cos112sin
aaaaa
=-=-=-

2
2

1
a
=
+
;
t
t
2
2
1
cos
1
a
-
=
+
;
t
t
2
2
tan
1
a
=
-IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:

+-
+=
coscos2sin.sin
22
abab
ab
+-
-=-
sinsin2sin.cos
22
abab
ab
+-
+=
sinsin2cos.sin
22
abab
ab
+-
-=

sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
+
+=


æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø
sincos2sin2cos
44
pp
aaaa
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèøCông thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1cos2
sin
2
1cos2
cos
2
1cos2
tan
1cos2
a
a
a

-i s 11 Trn S Tựng
Trang 4 Vn 1: TP XC NH, TP GI TR, TNH CHN L, CHU K

sin
yx
=
: Tp xỏc nh D = R; tp giỏ tr
1,1
T
ộự
=-
ởỷ
; hm l, chu k
0
2
T =
p
.

0
2
T
a
=
p

* y = cos(f(x)) xỏc nh
()
fx

xỏc nh.

tan
yx
=
: Tp xỏc nh
\,
2
DRkkZ
ỡỹ
=+ẻ
ớý
ợỵ
p
p
; tp giỏ tr T = R, hm l, chu k
0
T
=

=ẻ
p
; tp giỏ tr T = R, hm l, chu k
0
T
=
p
.
* y = cot(ax + b) cú chu k
0
T
a
=
p

* y = cot(f(x)) xỏc nh
()()
fxkkZ
ạẻ
p
.

* y = f
1
(x) cú chu k T
1
; y = f
2
(x) cú chu k T
2

ổử
=
ỗữ
-
ốứ
b)
sin
yx
= c)
2sin
yx
=-
d)
2
1cos
yx
=- e)
1
sin1
y
x
=
+
f)
tan
6
yx
ổử
=-
ỗữ

4
x
ổử
++
ỗữ
ốứ
p
b)
2cos13
yx
=+-
c)
sin
yx
=
d)
2
4sin4sin3
yxx
=-+
e)
2
cos2sin2
yxx
=++
f)
42
sin2cos1
yxx
=-+

i) y =
tan
x

Baứi 4. Tỡm chu k ca hm s:
a)
sin2
yx
=
b)
cos
3
x
y = c)
2
sin
yx
=
d)
sin2cos
2
x
yx=+ e)
tancot3
yxx
=+
f)
32
cossin
57

p
i)
3
p
Vn 2: TH CA HM S LNG GIC

1) V th hm s lng giỏc:
Tỡm tp xỏc nh D.
Tỡm chu k T
0
ca hm s.
Xỏc nh tớnh chn l (nu cn).
Lp bng bin thiờn trờn mt on cú di bng chu k T
0
cú th chn:

0
0,
xT
ộự
ẻ
ởỷ
hoc
00
,
22
TT

yfx
fxneỏufx
(),()0
()
(),()0
ỡ

==
ớ
-<
ợ
c suy t th y = f(x) bng cỏch gi
nguyờn phn th y = f(x) phớa trờn trc honh v ly i xng phn th y = f(x)
nm phớa di trc honh qua trc honh.

Vớ d 1: V th hm s y = f(x) = sinx.
Tp xỏc nh: D = R.
Tp giỏ tr:
1,1.
ộự
-
ởỷ

Chu k: T = 2 .
Bng bin thiờn trờn on
0,2
ộự
ởỷ
p



Vớ d 2: V th hm s y = f(x) = cosx.
Tp xỏc nh: D = R.
Tp giỏ tr:
1,1.
ộự
-
ởỷ

Chu k: T = 2 .
Bng bin thiờn trờn on
0,2:
ộự
ởỷ
p

Tnh tin theo vộct
2.
vki
=
rr
p
ta c th y = cosx.
Nhn xột:

x

1

3
2
p
-
-p
2
p
-
0

2
p
3
2
p

p

2p

5
2
p
y = cosx

1

0

0
x 0
2
p

p

3
2
p

2
p

y
0 1

0


2
kkZ
ỡỹ
+ẻ
ớý
ợỵ
p
p

Tp giỏ tr: R.
Gii hn:
2
lim
x
y
đ
=Ơ
p:
2
xị=
p
l tim cn ng.
Chu k: T = .
Bng bin thiờn trờn
,
22
ổử


0
lim,lim
xxx
yy
đđ
=+Ơ=-Ơ

tim cn ng: x = 0, x = .
Chu k: T = .
Bng bin thiờn trờn on
0,
ộự
ởỷ
p
:
Tnh tin theo vộct
.
vki
=
rr
p
ta c th y = cotx.
Nhn xột:


x 0
2
p

p

y
0

+
Ơ


Ơ

x


p

y = tanx

x
y

2
-p

3
2
p
-

O

2
p
-
2

sin
-sin x,neáusin x < 0.
x
yx
ì
³
==
í
î
Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thị y = cosx.
– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị
1cos
yx
=+
bằng cách tịnh tiến đồ thị
cos
yx
=
lên
trục hoành 1 đơn vị.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,2
éù

2
p
-

3
2
p
2
p
2
p
p

O

-p

2
p
-
y = –sinx

1

–1
p

2
p
-

2
p

y = cosx
1
0 –1

0
1
y = 1 + cosx

2

1
0 1
2
2
p
-
O


p

– Bảng biến thiên trên đoạn
0,2
éù
ëû
p
: Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T =
p

– Bảng biến thiên trên đoạn


2
p
4
p
y = cos2x

–1

3
4
p
2
p
-
O

y

x

p

4
p
-
4
p
1



2x
-p

2
p
-

0
2
p

p

y = sin2x

0 –1

0
1
0

x
2
p
-


0 –1

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 10

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị
sin
4
yx
æö
=+
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
.

x –
p

3
4
-
p

2
p
-

4
p
-

0
4

4
p

2
p

3
2
p

0
5
4
p

ysinx
4
p
æö
=+
ç÷
èø 2
2
-


0

2
2
-x –
p

3
4
p
-

2
p
-

4
p
-

0
4
p


4
p
-

0
4
p

2
p

3
4
p

ycosx
4
p
æö
=-
ç÷
èø 2
2
0

2
2
-3
2
p

O

y

x

-p

3
4
p
-

2

ç÷
èø

1

2/2
2/2
-

–1

Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 11

Ví dụ 12: Vẽ đồ thị
sincos2sin
4
yxxx
æö
=+=+
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
.

=-=+
ç÷
èø
p
có chu kỳ T =
2
p
. x –
p

3
4
p
-

2
p
-

-

4
p
-

0
4
p

2
p

3
4
p

p

5
4
p

p
æö
+
ç÷
èø
sinx
4

–1

2
-

–1 0

1
21 0


y

x

-p

3
4
p
-

2
p
-
4
p
-
4
p

2
p

3
4
p

p


y

x

3
4
p
-

2
p
-
-p

5
4
p

3
2
p

p

y =
sinxcosx
+

4
p

p

2
p

3
4
p

p

cosx –1
2
2
-
0
2
2

1
2
2

0
2
2
-

–1
sinx 0


0

1
21 0

1
21

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 12

y

x

3
4
p
-

2
p
-
4
p
-


x

3
4
p
-

2
p
-

4
p
-

-p

o

4
p

2
p

3
4
p
p


p

4
p

3
p

2
p

tanx
||
3
-

–1
3
3

0
3
3

1
3

||
cotx 0
3


2
43
3
-
–¥

+¥43
3

2

43
3



4
p

3
p

2
p

O

Trn S Tựng i s 11
Trang 13

I. PHNG TRèNH LNG GIC C BN 1. Phng trỡnh sinx = sina
a)
2
sinsin()
2
xk
xkZ
xk
ộ

uvuv
=-=-

d) sincossinsin
2
uvuv
ổử
==-
ỗữ
ốứ
p

e) sincossinsin
2
uvuv
ổử
=-=-
ỗữ
ốứ
pCỏc trng hp c bit:

sin0()
xxkkZ
==ẻ
p

b)
cos.:11.
cosarccos2()
xaẹieukieọna
xaxakkZ
=-ÊÊ
==+ẻ
p

c)
coscoscoscos()
uvuv
=-=-
p

d) cossincoscos
2
uvuv
ổử
==-
ỗữ
ốứ
p

e) cossincoscos
2
uvuv
ổử
=-=+

pII. PHNG TRèNH LNG GIC
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 14

3. Phương trình tanx = tana
a)
tantan()
xxkkZ
=Û=+Î
aap

b)
tanarctan()
xaxakkZ
=Û=+Î
p

c)
tantantantan()
uvuv
=-Û=-

d) tancottantan
2
uvuv
æö
=Û=-

cotcot()
xxkkZ
=Û=+Î
aapcotarccot()
xaxakkZ
=Û=+Î
p

Các trường hợp đặc biệt:

cot0()
2
xxkkZ
=Û=+Î
p
p

cot1()
4
xxkkZ
=±Û=±+Î
p
p5. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc

cos0()
2
xxkkZ
¹Û¹+Î
p
p

·
tan0()
2
xxkkZ
¹Û¹Î
p

·
cot0()
2
xxkkZ
¹Û¹Î
p

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.
Trn S Tựng i s 11


4)
sin30
3
x
ổử
+=
ỗữ
ốứ
p
5)
sin1
24
x
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p
6)
sin21
6
x
ổử
+=-
ỗữ
ốứ
p

7)

ỗữ
ốứ
p
11)
(
)
tan213
x -= 12)
( )
0
3
cot310
3
x +=
13)
tan31
6
x
ổử
+=-
ỗữ
ốứ
p
14)
cot21
3
x
ổử
-=
ỗữ

-+=

5)
cos2cos0
33
xx
ổửổử
++-=
ỗữỗữ
ốứốứ
pp
6)
sin3sin0
42
x
x
ổử
+-=
ỗữ
ốứ
p

7)
tan3tan
46
xx
ổửổử
-=+
ỗữỗữ
ốứốứ

cot1
x
=
14)
2
1
sin
2
x
=

15)
1
cos
2
x
=
16)
22
sincos
4
xx
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p

coscos0
axbxc
++=

t = cosx
11
t
-ÊÊ

2
tantan0
axbxc
++=

t = tanx
()
2
xkkZ
ạ+ẻ
p
p

2
cotcot0
axbxc
++=

t = cotx
()
xkkZ

2
4sin231sin30
xx
-++=
6)
3
4cos32sin28cos
xxx
+=

7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x 4cot2x + 3 = 0
Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 4sin
2
3x +
(
)
231cos33
x+- = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 6x) + 16cos
2
(1 3x) = 13 4)

cos
x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x 3cosx =
2
4cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5

Baứi 3. Cho phng trỡnh
sin3cos33cos2
sin
12sin25
xxx
x
x
ổử
++
+=
ỗữ
+
ốứ
. Tỡm cỏc nghim ca phng
trỡnh thuc
(

22
ab
+ ta c:
(1)
222222
sincos
abc
xx
ababab
+=
+++

ã t:
( )
2222
sin,cos0,2
ab
abab
ộự
==ẻ
ởỷ
++
aaap

phng trỡnh tr thnh:
22
sin.sincos.cos
c
xx
ab

Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 17

Cách 2:
a) Xét 2
22
x
xkk
=+Û=+
p
ppp
có là nghiệm hay không?
b) Xét
2cos0.
2
x
xk
¹+Û¹
pp

Đặt:
2
22
21
tan,sin,cos,
2
11
xtt
tthayxx
tt

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
222
.
abc
+³
3) Bất đẳng thức B.C.S:

222222
.sin.cos.sincos
yaxbxabxxab
=+£++=+

2222
sincos
minmaxtan
xxa
yabvaøyabx
abb
Û=-+=+Û=Û=Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos3sin2
xx+=
2)
6
sincos
2
xx+= 3)

xx
+=
2)
( )
sin8cos63sin6cos8
xxxx
-=+
3)
31
8cos
sincos
x
xx
=+ 4) cosx – 3sin2cos
3
xx
æö
=-
ç÷
èø
p

5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3

ç÷
èø
p

Baøi 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Baøi 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 18

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)

Cách 1:
· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin1sin1.
2
xkxx
Û=+Û=Û=±
p
p

· Khi
cos0
x

bxcaxdac
Û+-=
(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
22
2sin13sin.cos13cos1
xxxx
+-+-=

2)
(
)
22
3sin8sin.cos839cos0
xxxx
++-=

3)
22
4sin33sin.cos2cos4
xxxx
+-=


8)
(
)
(
)
22
21sinsin221cos2
xxx-+++=
9)
(
)
(
)
22
31sin23sin.cos31cos0
xxxx
+-+-=

10)
4224
3cos4sincossin0
xxxx
-+=

11) cos
2
x + 3sin
2
x +
23

mxxx
sin–sincos
++=
có nghiệm.
Baøi 4. Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin
2
x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos
2
x = 0 vô
nghiệm .
Trn S Tựng i s 11
Trang 19

V. PHNG TRèNH I XNG

Dng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
ã t:
cossin2.cos;2.
4
txxxt
ổử
==Ê
ỗữ
ốứ
m
p22
1

ã t:
cossin2.cos;:02.
4
txxxẹkt
ổử
==ÊÊ
ỗữ
ốứ
m
p2
1
sin.cos(1).
2
xxt
ị=-

ã Tng t dng trờn. Khi tỡm x cn lu ý phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i.

Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh:
1)
( )
2sin233sincos80
xxx
-++=
2)
(
)

2) 5sin2x 12(sinx cosx) + 12 = 0
3)
(
)
( )
121sincossin2
xxx
-+-= 4) cosx sinx + 3sin2x 1 = 0
5) sin2x +
2sin1
4
x
ổử
-=
ỗữ
ốứ
p

6)
( )
(
)
2
sincos21(sincos)20
xxxx
+-+=

Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh:
1) sin
3

2
3x =
3
2

3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8

cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Baøi 5. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
Baøi 6. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + cos
3