PHO
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT
=====***=====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI
TỪ BÀI TOÁN GỐC

Nàm hoüc 2007
Nàm hoüc 2007 Nàm hoüc 2007
Nàm hoüc 2007
-

-
2008
2008 2008
2008

xuyên trong dạy học của các thầy cô giáo thì chắc chắn đề tài sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc đào
tạo và bồi dưỡng đội ngũ học sinh khá giỏi toán. Vì trong thực tế dạy học toán rất nhiều bài toán mà
trong khi giải ta có thể tìm được nhiều ý tưởng hay độc đáo để từ đó có thể sáng tạo nên chuỗi bài
tập liên quan với nhau, có thể tổng quát hoá bài toán
nhưng trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ xin phép đưa ra 2 bài toán mẫu để minh hoạ cho 1 ý
tưởng dạy học toán ""Dạy toán là dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán""
3.Đối tượng và phạm vi áp dung:
Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học của tôi tại trường THCS Tôn Quang Phiệt là 1 trường
trọng điểm của huyện nên có nhiều học sinh có khả năng tiếp thu học tập môn toán, học sinh rất
ham học và tìm tòi cái mới. Việc thể hiện đề tài khá thuận lợi.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1.Lý do chọn đề tài
Ở trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu
của hoạt động toán học của HS. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS ngoài việc trang bò tốt kiến thức cơ
bản cho HS giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để
HS suy nghó tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán .
Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên. Phần lớn GV chúng
ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, trong giải toán chúng ta chỉ
dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán. Điều đó làm cho HS khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức
đã học. Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới HS không biết phải bắt đầu từ đâu? cần vận dụng kiến
thức nào? bài toán có liên quan đến những bài toán nào đã gặp?
Hình học không đơn thuần ""Chỉ vẽ hình là ra"".Nó cũng đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng
cái đức tính cần có của người làm toán. Các bạn đã bao giờ tự hỏi, tại sao nhiều người tự mình sáng tạo ra
được rất nhiều bài toán trong các lónh vực như đại số, giải tích, số học, nhưng trong hình học lại quá ít
như vậy hay chưa? Nếu xem xét một cách nghiêm túc thì trong hình học không phải khó tìm ra sự sáng tạo
mà vấn đề là chúng ta đã dành cho hình học sự quan tâm ở mức nào.
Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng HS giỏi toán tôi thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen
thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho 1 bài toán để từ đó khác sâu kiến thức cho
HS là một phương pháp khoa học và hiệu quả.Qúa trình này bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến bài tập
khó là là bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS.

.(hình 2)
Kẻ OH vuông góc AD ; OI vuông góc BC
Từ sự đồng dạng của 2 tam giác:
DAN và CBN
Lại có các tứ giác ONHE ; ONFI nội tiếp ta suy ra:
gócNHO = gócNEO = gócNIO = gócNFO =>
EOF cân tại O
=> NE = NF
Nhận xét:
Sau khi giải bài toán tôi thấy rằng bài toán có thể được xây
dựng thành các bài toán khác ở mức độ khó hơn.
Sau đây tôi xin nêu 1 số suy nghó đó:
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT
(
sáng tạo ra các bài
toán mới với giả thiết rộng hơn
)
1.TÌNH HUỐNG1:Trước khi đưa ra bài toán mới GV cần đưa ra
câu hỏi gợi mở để HS suy nghó và phát hiện vấn đề, ví dụ như:
?. Hãy xác đònh xem GT nào của bài toán là giả thiết HẸP, có
thể thay bằng một GT RỘNG hơn như thế nào?
? với GT mới kết quả bài toán sẽ như thế nào?
Bài 1.1:
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Các dây cung AC,BD cắt
nhau tại N. Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO, đường
úthẳng này cắt các đường thẳng AD,BC lần lượt tại E, F.
Chứng minh NE = NF
Lời giải: (Hình 3)
BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 1:( đề thi HSG lớp 9 tỉnh nghệ an năm 2008)
Cho đường tròn O đường kính AB và dây cung CD( C,D không trùng với A,B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến

C
A
D
C
A
C
D
Lời giải: (hình 6)
Kẻ OP vuông góc AC ; OQ vuông góc BD khi đó các tứ giác OQNE;
OPNF
nội tiếp nên ta có: gócNOF = gócNPF (1)
gócNOE = gócNQE (2)
NCA đồng dạng NDB (g.g) lại có P; Q là trung điểm của AC;
BD nên =>
NPC đồng dạng NQD => gócNQD = gócNPC hay
là
gócNQE = gócNPF (3). từ (1);(2);(3) => gócNOE = gócNOF
kết hợp với NO vuông góc EF ta suy ra
EOF cân tại O => NE = NF

Hình 6
Bài 1.4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Các đường thẳng
AD, BC cắt nhau tại N ở ngoài (O). Đường thẳng qua N vuông
góc NO cắt các đường thẳng AC, BD tại E,F.
Chứng minh: NE = NF
Hình 5
Hình 4
Lời giải:(Hình 4)
Lấy B' đối xứng với B qua N. Khi đó B'A // NO => B'A ⊥ NF

Bây giờ ta hãy để ý đến vò trí của điểm N là giao điểm 2 dây cung AC ; BD
Để sáng tạo ra bài toán mới, ta thay GT N là giao điểm của AC; BD thành GT N là giao điểm của
AD vàØ BC. Với GT mới này ta sẽ có bài toán sau:
Bài1.2:
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. 2 dây cung AD , BC cắt nhau tại điểm N ở ngoài (O)
Qua N kẻ đường vuông góc với NO, đường thẳng này cắt các đường thẳng BD, AC lần lượt tại E, F
Chứng minh rằng : NE = NF
QP
F
E
N
R
Q
F
E
N
B'
F
E
C
D
A
O
B
N
O
O
A
D
C

ILM đồng dạng IKQ
=> gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2)
Từ (1) và (2) => gócOEI gócOFI =>
EOF cân tai O (3)
I là trung điểm AB nên OI vuông góc EF (4)
Từ (3) và (4) => IE = IF
NHẬN XÉT:
Bằng những thay đổi trong GT của bài toán gốc ta đã sáng tạo
thêm những bài toán mới ở 1 cung bậc cao hơn, tổng quát hơn.
Đưa ra nhận xét này tôi muốn nêu lên 1 khẳng đònh rằng mọi bài
toán đều bắt nguồn từ những bài cơ bản, cũng như biển cả phải
bắt nguồn từ những dòng sông.
Lời giải:
(Hình 7)
Kẻ OP vuông góc AB; OQ vuông góc CD khi đó ta có:
các tứ giác OPEN; OQNF nội tiếp
cho nên: gócNOF = gócNQF (1)
gócNOE = gócNPE (2)
Tứ giác ABCD nội tiếp nên:

NCD đồng dạng NBA ( Góc N chung; gócNBA =
gócNDC)
Do P; Q là trung điểm của AB, CD nên:

NQC đồng dạng NPA ( c.g.c)
=> gócNQC = gócNPA hay là gócNQF = gócNPE (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE
=>
EOF cân tai O, kết hợp với ON vuông góc EF
=> NE = NF

O
O
A
D
C
B
A
B
P
N
A
B
N
P
x
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 3 (Sáng tạo ra các bài toán mới khó hơn ,
trong cách giải cần sử dung kết quả của bài toán gốc
)
Lời giải: (Hinh 10)
Vẽ OT vuông góc BD và OK vuông góc BC => TK
// CD => gócBKT = gócBCD (1)
Ta có gócOTN = gócOEN ( vì tứ giác OTEN nội
tiếp) (2)
gócN'Kx = gócOF'N' (vì tứ giác OF'N'K nội
tiếp) (3)
Vì gócBCD = gócNN'D (2) (Do tứ giác NCN'D
nội tiếp)
Từ (1) và (2) => gócBKT = gócNN'D = gócNN'T
=> Tứ giác KNN'T nội tiếp
=>gócNKN' = gócNTN' (4)

AB
=
MC
AC
=
MA + MB
AB + AC
=
BC
AB + AC
=
1
2
(1)
BI là tia phân giác của
ABM =>
IM
IA
=
MB
AB
(2)
Từ (1) và (2) => IM =
AI
2
(3)
Chú ý rằng
AB'I cân tại B' và B'N là phân giác gócAB'I
nên => NI = NA =
AI

C
D
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo ra các bài toán về chứng minh các đường thẳng
đồng qui, chứng minh các đường thẳng song song nhờ vận dung kết quả bài toán
gốc
Hình 11
Lời giải:
cách 1: Gọi K là giao điểm của EE' và FF'
Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng
Từ kết quả của bài toán 1.9:
OEE' = OFF'
=> gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp
chú ý rằng N là trực tâm
N'AB nên NN' vuông góc AB
=> gócON'N + gócN'OB = 90
0
(1)
Trong tứ giác OKF'N' có:
gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 360
0

=> gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=270
0
(vì gócON'F'= 90
0
)
=> gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 270
0

=>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =270

F'
E'
F
E
N
N'
A
O
B
D
C
CÁCH 2 (Tương tự cách giải 2 bài toán 10)
a. Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui
gọi K là giao điểm của FF' và AB
Theo đònh lý Menelauyt cho
ABC và 3 điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có :
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
= 1 (22)
Tiếp tục sử dụng đònh lý Menelauyt cho các tam giác:
*
CAN' và 3 điểm F; N; E ta có:
FC
FN'

N'C
N'B
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
= 1 (26)
nhân từng vế của (22);(23);(24);(25);(26) ta có:

FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
.
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
.
ED

NB
ND
.
N'D
N'A
.
N'C
N'B
).(
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
) = 1 (27)
*Với
AND và 3 điểm N'; B; C ta có:
BN
BD
.
N'D
N'A
.
AC
NC
= 1 (28)
*Với

ND
.
N'D
N'A
.
NA
NC
.
N'C
N'B
= 1 (30)
TừØ (27) và (30) ta có:
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
= 1 (31)
Hệ thức (31) cùng với đònh lý đảo Menelauyt => 3 điểm E'; E; K thẳng hàng từ đó suy ra 3 đường thẳng EE';FF'
AB đồng qui tại K
b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui:
Chứng minh tương tự như cách 1

Gọi giao điểm của CD và EF' là I
Sử dụng đònh lý Menelauyt cho
ADC và 3
điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có:

E'B
E'D
= 1 (21)
Hệ thức 21 cùng với đònh lý đảo Menelauyt ta suy
ra E'; I; F thẳng hàng từ đó suy ra E'F; EF', CD
đồng qui tại I
Hinh 16
b. Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui

K
I
F
E
F'
E'
N
N'
O
A
D
C
B
*Với BNC và 3 điểm F'; N'; E' ta có:
N'B
N'C
.
F'N
F'C
.
E'B

.
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
.
N'B
N'C
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
= 1
=> (
NA
NC
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
N'C

DN
= 1 (8)
Nhân từng vế của (7) và (8) ta có:
BN
BD
.
N'D
N'A
.
CA
CN
.
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
= 1
=>
NB
ND
.
N'D
N'A
.
NA
NC

KA
KB
= 1 (1)
*Với CAN' và 3 điểm F; N; E ta có:
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
= 1 (2)
* Với
DBN' và 3 điểm F; N; E ta có:
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
= 1 (3)
* Với
ADN và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'D
N'A
.
E'N

gọi P; Q là trung điểm của E'F và EF' khi đó ta có:
NP // EE' và NP =
1
2
EE'; N'Q // EE' và N'Q =
1
2
EE'
NQ // FF' và NQ =
1
2
FF'; N'P // FF' và N'P =
1
2
FF'
từ đó suy ra : Tứ giác NQN'P là hình thoi => NN' là phân giác gócPNQ
Do gócPNQ = gócE'KF' (góc có canh tương ứng song song) => NN' // Kj là tia phân
giác gócE'KF'
Q
P
K
F'
E'
F
E
N
N'
A
O
B

=1 (1)
Theo đònh lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với 3
điểm F'; F; K thẳng hàng ta có:
KA
KB
.
FB
FC
.
F'C
F'A
=1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
E'B
E'D
.
ED
EA
=
FB
FC
.
F'C
F'A
(3)
=>
E'B.FC
E'D.FB
=
F'C.EA

: Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường
thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'.
Chứng minh rằng CD, EF', E'F đồng qui
S
R
Q
P
F
E
F'
E'
N
N'
A
I
K
F
E
F'
E'
N
N'
A
O
B
O
B
D

Từ (6) vàØ (7) => gócFOF' = gócNTN' = gócFTF' (8)
từ (8) và chú ý rằng O, T cùng phía so với FF' nên tứ giác OTF'F nội tiếp
Bài 1.14
:
Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường thẳng qua
N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'. Gọi T là giao điểm của các đường thẳng EF và E'F'
Chứng minh rằng các tứ giác OKEF; OTF'F là các tứ giác nội tiếp
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo ra các bài toán về tứ giác nội tiếp
K
I
F
E
F'
E'
N
N'
K
T
F'
E'
F
E
N
N'
A
O
B
O

.
CN
CF'
=1 (2)
Sử dụng kết quả bài toán 5 thì: N'E' = N'F' nên từ (2) =>
BE'
BN
.
CN
CF'
= 1 =>
BN
CN
.
CF'
BE'
= 1 (3)
*Với
EN'F và 3 điểm B; N; D thẳng hàng ta có:
DE
DN'
.
NF
NE
.
BN'
BF
= 1 (4)
Sử dụng kết quả bài toán 1 thì: NE = NF nên từ
(4) =>

NA
=1 (7)
Từ (7) =>
AD
BC
.
NB
NA
.
NC
NC
= 1 (8)
Từ (6) và (8) =>
N'B
N'D
=
NB
NC
(9)
Từ (3);(5) và (9) suy ra:
DE
BF
=
CF'
BE'
(10)
TỪ (10) => (
BF
DE
)

=
E'B
F'C
.
F'A
E'D
(16)
Từ (16) =>
EA
ED
E'D
E'B
=
F'A
F'C
FC
FB
(17)
Nhân 2 vế của (17) với
KB
KA
và từ (1) ta có:

KB
KA
EA
ED
E'D
E'B
=

x'
d
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 3:
Lật ngược vấn đề của bài toán gốc ta sẽ có bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố đònh sau:
Bài 2.3:
Cho góc xOy. Đường thẳng d thay đổi cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Biết rằng giá trò biểu thức
1
OM
+
1
ON
có giá trò
không đổi khi d thay đổi. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố đònh.
Hình 19
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 2
: Thay đổi vò trí của I bằng cách lấy
I là 1 điểm bất kỳ nằm ngoài góc xOy
Bài 2.2
: Cho 2 đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O
điểm I cố đònh nằm ngoài góc xOy. Đường thẳng d thay đổi
luôn qua I cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Qua I vẽ các đường
thẳng song song với xx' và yy' chúng cắt xx', yy' tại D, E
Chứng minh rằng biểu thức:
OD
OM
-
OE
ON
có giá trò không
đổi

HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 1:
Thay đổi vò trí của điểm I bằng cách lấy
I là 1 điểm bất kỳ nằm trong góc xOy ta sẽ có bài toán sau:
Bài toán 2.1
:
Cho góc xOy và điểm I cố đònh nằm ở miền trong góc xOy. Đường
thẳng d thay đổi luôn qua I cắt Ox , Oy tại M, N.
Qua I vẽ các đường thẳng song song với Ox , Oy, chúng cắt Ox, Oy
tại D, E.
Chứng minh rằng biểu thức:
OD
OM
+
OE
ON
có giá trò không đổi
LỜI GIẢI: (Hình 18)
Bạn đọc hãy giải bài toán như cách giải bài toán 2.
Kết quả là:
OD
OM
+
OE
ON
= 1 => (đpcm)
Hình 17
Lời giải: ( Hình 17)
Qua I vẽ các đường thẳng song song với Ox , Oy
các đường thẳng này cắt Ox, Oy tại D, E. Khi đó
các điểm D, E cố đònh và OEID là hình thoi. Ta

1
a
= const
BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 2: Cho góc xOy và 1 điểm I cố đònh trên tia phân giác Ot . Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I, cắt các
tia Ox, Oy tại M, N. Chứng minh rằng giá trò của biểu thức :
1
OM
+
1
ON
có giá trò không thay đổi khi d thay đổi nhưng luôn qua I
D E
M
N
O
D
E
M
E
D
M
O
O
I
y'
x
I
I
N
N

+
1
AN
=
1
a
;
1
CN
+
1
CP
=
1
b
;
1
BM
-
1
BP
=
1
c
Cộng từng vế các đẳng thức này ta có:
1
AM
+
1
AN

+
1
CN
)+(
1
CP
-
1
BP
) =
1
a
+
1
b
+
1
c
=>
AB
AM.BM
+
AC
AN.CN
-
BC
BP.CP
=
1
a

+
OE
OD.ON
=
1
OD
=
1
a
(2)
Từ (1) và (2) =>
1
OM
+
k
ON
=
1
OM
+
OE
OD.ON
=> k =
OE
OD
=> OE = K.OD (3)
Hệ thức (3) chứng tỏ E cố đònh. Hình bình hanh OEID có E, O, D cố đònh nên I cũng là
điểm cố đònh
Sâu hơn 1 chút từ bài 2.3 ta có thể đưa ra bài toán tông quát hơn
như sau:

ON
= 1 =>
1
OM
+
OE
OD.ON
=
1
OD
=
1
a
(2)
Từ (1) và (2) =>
1
OM
+
1
ON
=
1
OM
+
OE
OD.ON
=>
OE
OD
= 1 => OE = OD (3)

AN
=
AC
AP

HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 5: Đặc biệt hoá bài 2.5 bằng cách cho tam giác ABC là tam giác đều có cạnh bằng a ta sẽ có
bài toán mới sau đây
Bài 2.6

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3. I là giao điểm 3 đường phân giác, đường thẳng d thay đổi luôn qua I cắt AB,
AC, và tia CB tại M, N, P
a.Chứng minh:
1
AM.BM
+
1
AN.CN
-
1
BP.CP
= 1
b.Chứng minh:
1
IM
2
+
1
IN
2
+

trong học tập và sáng tạo
*Chuyên đề""Rèn luyện năng lực tư duy và khả năng sáng tạo thông qua việc khai thác kết quả bài
toán gốc để sáng tạo ra các bài toán mới"" là một ví dụ nhỏ minh hoạ cho 1 ý tương không nhỏ
theo một nghóa nào đó.Qua chuyên đề này tôi mong muốn gửi đến đồng nghiệp 1 chút kinh nghiệm

nhỏ mà tôi đã thực hiện cùng với những HS khá giỏi toán của trường THCS Tôn Quang Phiệt
trong năm học 2007 -2008
*Cuối cùng xin tóm lại điều quan trọnh nhất: ""Trong cuộc sống cũng như trong dạy học toán không
có cái tầm thường và cũng không có bài toán nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời
gian nắm bắt các yếu tố vàø đònh hướng trong suy nghó, chứ đừng cảm nhận quá nhiều""
Thiết nghó đó là 1 kinh nghiệm dạy học môn toán./.
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC RÚT RA
B. ĐỀ NGHỊ:
Thay mặt hội đồng xét SKKN

A. ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP TRƯỜNG
PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP HUYỆN
A. ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
B. ĐỀ NGHỊ:
Thay mặt hội đồng xét SKKN