S húa bi Trung tõm Hc liu đại học tháI nguyên
Tr-ờng đại học Khoa học

Nguyễn thị kim thủy Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp
giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu
Luận văn thạc sĩ toán học

Pgs.ts đỗ văn l-u TháI nguyên - 2014
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 6
1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach 8
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . 13
1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . 14
2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán
tử đơn điệu 21
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Một phương pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử 27
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i
∈ F
của các dữ kiện f
i
thỏa mãn
f
i
− f
δ
i
 ≤ δ, δ → 0. (2)
Tập hữu hạn các dữ kiện f
δ
i
nhận được do đo đạc trực tiếp trên các
tham số. Bài toán này được mô tả dưới dạng hệ phương trình toán
tử (1) với A
i
: D(A
i
) ⊂ E → F, ở đây D(A
i
) định nghĩa là miền xác
định của toán tử A
i
, i = 1, 2, . . . , N.
Hệ phương trình toán tử (1), nói chung, là một bài toán đặt không
chỉnh, theo nghĩa tập nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục
vào dữ kiện ban đầu. Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm của hệ
phương trình toán tử đặt không chỉnh phải kể đến phương pháp kiểu

Năm 2006, để giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1),
Nguyễn Bường [5] đưa ra một phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder-
Tikhonov khi các toán tử A
i
là hemi-liên tục, đơn điệu và có tính
chất thế năng. Phương pháp của Nguyễn Bường và một số biến thể
của phương pháp có thể dùng cho việc tính toán song song (xem [3]).
Mục đích đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số kết
quả trong [6], [10] và [11] về phương pháp hiệu chỉnh lặp và phương
pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử đơn điệu (1).
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu một số khái niệm và kết quả của không gian Hilbert, không gian
Banach, toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu và toán tử chiếu. Phần
cuối của chương giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không
chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh bài
toán này trong không gian Banach.
Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp và phương pháp
lặp hiện trong không gian Hilbert hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đơn điệu đặt không chỉnh. Phần cuối của chương trình bày một ví dụ
số minh họa sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương
trình toán tử trong không gian Hilbert.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng
dẫn luận văn cao học của mình, PGS. TS Đỗ Văn Lưu - Viện Toán
học và TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng viên trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để
hướng dẫn và giải quyết những thắc mắc cho tôi trong suốt quá trình
tôi làm luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các
3
thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, các thầy cô giảng dạy
lớp cao học toán K6C, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo những

x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
5
Chương 1
Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử đơn điệu, hệ phương
trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Browder-Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu. Các
kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],
[10] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.
1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính E
trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ E ta có một số x gọi là chuẩn
của x, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) x > 0 với mọi x = 0, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(2) x +y ≤ x +y với mọi x, y ∈ E; (bất đẳng thức tam giác)
(3) αx = |α|.x với mọi x ∈ E và α ∈ R.
Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
Ví dụ 1.1. Không gian L
p
[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach
6
với chuẩn
ϕ =


∈ E,
ký hiệu là x
n
 x
0
, nếu với mọi f ∈ E
∗
-không gian liên hợp của E,
ta có f(x
n
) → f(x
0
), khi n → ∞.
Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau:
(i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {x
n
} suy ra sự hội tụ yếu của
dãy đó.
(ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.
(iii) Nếu x
n
 x thì sup
1≤n<∞
x
n
 < ∞ và x ≤ lim inf
n→∞
x
n
.

(ii) nửa liên tục dưới trên E nếu
lim
y→x
ϕ(y) ≥ ϕ(x), ∀x ∈ E;
(iii) chính thường nếu với mọi x ∈ E, ϕ(x) ≥ −∞ và dom ϕ = ∅,
trong đó dom ϕ := {x ∈ E : ϕ(x) < +∞}.
1.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.5. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một
tích vô hướng trong H là một ánh xạ ., . : H × H → R thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) x, x > 0 với mọi x = 0; x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(2) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
(3) αx, y = αx, y với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;
(4) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . được gọi là
không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là
không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2. Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với
tích vô hướng được xác định tương ứng là
x, y =
n

i=1
ξ
i
η

+ (1 − λ)x
2
∈ C.
1.1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là không gian
8
(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ S
E
:= {x ∈ E : x = 1}, x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho





x + y
2





≤ 1 − δ.
Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ và lồi chặt.
Ví dụ 1.3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều.
Định nghĩa 1.8. Không gian Banach phản xạ E được gọi là không
gian có tính chất E nếu E lồi chặt và với bất kỳ dãy {x

Chú ý rằng, nếu A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương
đương với tính không âm của toán tử.
9
Ví dụ 1.5. Hàm số f : R → R là đơn điệu nếu nó là hàm số đồng
biến.
Ví dụ 1.6. Toán tử tuyến tính A : R
M
→ R
M
được xác định bởi
A = B
T
B,
với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.10. Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại
một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
A(x) − A(y), x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì toán tử A được gọi
là đơn điệu mạnh.
Nhận xét 1.1. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì A đơn
điệu mạnh nếu
A(x), x ≥ m
A
x

10
Định nghĩa 1.13. Toán tử A được gọi là toán tử có tính chất bức
nếu
lim
||x||→+∞
Ax, x
||x||
= +∞, ∀x ∈ D(A).
1.2.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.14. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → 2
E
∗
được định
nghĩa bởi
J(x) = {x
∗
∈ E
∗
: x, x
∗
 = x
2
và x
∗
 = x} ∀x ∈ E.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J tồn tại trong mọi không gian Banach
và nói chung là một ánh xạ đa trị. Trong trường hợp đơn trị, không
làm mất tính tổng quát, ta ký hiệu là J. Nếu E := H là một không
gian Hilbert thực thì J = I, với I là ánh xạ đơn vị trong không gian
tương ứng.

(x) ≤ x − y ∀y ∈ C.
Bổ đề 1.1. Giả sử C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert
thực H, phần tử x ∈ H và z ∈ C. Khi đó z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu
x − z, y − z ≤ 0 với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.2. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Với mỗi x ∈ H, tồn tại phần tử z ∈ C sao cho
z − x ≤ y − x với mọi y ∈ C và z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu
z − x, y − z ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những
điều sau thỏa mãn:
(a) P
C
(P
C
(x)) = P
C
(x) với mọi x ∈ H;
(b) P
C
(x) − P
C
(y) , x − y ≥ P
C

0
.
Chứng minh. (a) Giả sử P
C
(x) ∈ C với mọi x ∈ H và P
C
(z) = z với
mọi z ∈ C, khi đó P
C
(P
C
(x)) = P
C
(x) với mọi x ∈ H.
(b) Với mọi x, y ∈ H ta có
x − P
C
(x) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0
và
y − P
C
(y) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0.

0
và P
C
(x
n
) → y
0
nên từ bất đẳng thức trên suy ra
x
0
− y
0
, y
0
− z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Trong mục này chúng tôi giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn
điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach thực và phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh bài toán này.
1.3.1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Ta xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử
A
i
(x) = f
i
, i = 1, . . . , N, (1.4)
ở đây N ≥ 1 là một số tự nhiên cho trước, A
i
là các toán tử đơn
điệu, hemi-liên tục với miền xác định D(A

i
= ∅. Chúng ta nghiên cứu hệ phương trình
toán tử (1.4) trong trường hợp các toán tử A
i
được cho chính xác còn
các vế phải f
i
được cho xấp xỉ bởi f
δ
i
∈ E
∗
thỏa mãn
f
i
− f
δ
i
 ≤ δ, δ → 0, (1.6)
với i = 1, . . . , N.
Bài toán ngược (đã nêu ở phần Mở đầu) là bài toán tìm một đại
lượng vật lý chưa biết x ∈ E từ bộ dữ kiện (f
1
, . . . , f
N
) ∈ (E
∗
)
N
, với E

δ
i
thỏa mãn điều kiện (1.6).
14
Ta xét phương trình hiệu chỉnh phụ thuộc tham số
N

i=1
α
λ
i
(A
i
(x
δ
α
) − f
δ
j
) + αJ(x
δ
α
− x
∗
) = 0,
λ
1
= 0 < λ
i
< λ

δ
α
với mọi α > 0.
Chứng minh. Vì A
i
là toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục, do đó
nó là toán tử đơn điệu cực đại. Do E
∗
là lồi chặt nên J là ánh xạ
hemi-liên tục. Do đó,
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ là toán tử đơn điệu cực đại. Với
mỗi α > 0 toán tử
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ là toán tử bức. Thật vậy
(

i=1
α
λ
i
A
i
(θ) −
N

i=1
α
λ
i
A
i
(θ) + αJ(x), x − θ
= 
N

i=1
α
λ
i
A
i
(x) −
N

i=1
α

i=1
α
λ
i
A
i
(θ), x − θ ≥ 0, ∀x ∈ E.
Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ta có
αJ(x), x − θ = αJ(x), x = α||x||
2
.
15
Do đó
(
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x), x ≥ α||x||
2
−
N

i=1
α
λ

.
Hay
lim
||x||→+∞
(
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x), x
||x||
= +∞.
Do đó, phương trình (1.7) có nghiệm. Gọi x
δ
α
là nghiệm của (1.7).
Bây giờ ta sẽ chỉ ra
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ là toán tử đơn điệu mạnh. Thật

i
(x) −
N

i=1
α
λ
i
A
i
(y), x − y + αJ(x) − J(y), x − y
≥ αm
J
||x − y||
2
.
Vậy phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm.
Nghiệm x
δ
α
thỏa mãn (1.7) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài
toán (2.1).
Định lý 1.2. Cho E là không gian Banach phản xạ cùng với không
gian đối ngẫu E
∗
là lồi chặt, A
i
: E → E
∗
là các toán tử ngược đơn

)−f
δ
i
− A
i
(x) + f
i
, x
δ
α
− x
+ αJ(x
δ
α
− x
∗
) − J(x − x
∗
), x
δ
α
− x
= αJ(x − x
∗
), x − x
δ
α
.
Sử dụng (1.8) ta nhận được
αm

∗
), x − x
δ
α
.
(1.10)
Từ (1.6), tính đơn điệu của A
i
và (1.10) suy ra
m
J
||x
δ
α
− x||
2
≤
1
α
Nδ||x − x
δ
α
||
+ J(x − x
∗
), x − x
δ
α
.
(1.11)

ν
β
≥ A
1
(x
ν
β
) − f
δ

1
, x − x
ν
β

=
N

i=2
β
λ
i
A
i
(x
ν
β
) − f
δ


ν
β
− x
+ βJ(x − x
∗
), x
ν
β
− x.
Cho α → 0, β → 0 và ν → 0, từ bất đẳng thức cuối và (1.6), ta được
A
1
(x) − f
1
, x − ˆx ≥ 0, ∀x ∈ E.
17
Suy ra ˆx ∈ S
1
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng ˆx ∈ S
i
, i = 2, . . . , N. Thật vậy, từ
(1.7) và sử dụng tính đơn điệu của A
i
, ta suy ra
A
2
(x
ν
β

1−λ
2
J(x
ν
β
− x
∗
), x
ν
β
− x
=
1
β
λ
2
A
1
(x
ν
β
) − A
1
(x)
+ f
1
− f
δ

1

i=3
β
λ
i
−λ
2
A
i
(x) − f
δ

i
, x
ν
β
− x
+ β
1−λ
2
J(x − x
∗
), x
ν
β
− x
≤
β
1−λ
2
β

2
(˜x) − f
2
, ˜x − ˆx ≥ A
2
(ˆx) − f
2
, ˜x − ˆx ≥ 0.
Suy ra
A
2
(ˆx) − f
2
, ˜x − ˆx = 0 = A
2
(˜x) − f
2
, ˜x − ˆx.
Nghĩa là, A
2
(˜x) − A
2
(ˆx), ˜x − ˆx = 0. Sử dụng tính ngược đơn điệu
mạnh của A
2
, ta có
0 = A
2
(˜x) − A
2

S
k
. Ta có
˜
S
j
là một tập lồi đóng, và
˜
S
j
= ∅. Bây giờ,
giả sử rằng ˆx ∈
˜
S
j
, ta cần chỉ ra rằng ˆx cũng thuộc S
j+1
. Từ (1.7), với
x ∈
˜
S
j
, ta có thể viết
A
j+1
(x
ν
β
) − f
δ

J(x
ν
β
− x
∗
), x
ν
β
− x
=
j

k=1
β
λ
k
−λ
j+1
A
k
(x
ν
β
) − f
δ

k
, x − x
ν
β


||x − x
ν
β
||.
Cho α → 0 ta được
A
j+1
(ˆx) − f
j+1
, ˆx − x ≤ 0, ∀x ∈
˜
S
j
.
Chứng minh tương tự như trên, ta được ˆx ∈ S
j+1
, điều đó có nghĩa
ˆx ∈ S.
Mặt khác, từ (1.11) ta suy ra
J(x − x
∗
), x − ˆx ≥ 0, ∀x ∈ S.
Vì S
j
là tập lồi đóng trong X, suy ra S cũng là tập lồi đóng trong X.
Thay x bởi tˆx + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) trong bất đẳng thức cuối, chia cả
hai vế cho (1 − t) và cho t → 1 ta được
J(ˆx − x
∗

hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh đã được đề cập ở
Chương 1:
A
i
(x) = f
i
, i = 1, . . . , N,
với A
i
: D(A
i
) ≡ E → E
∗
là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục trên
E, f
i
∈ E
∗
, i = 1, . . . , N. Đặt S
i
= {¯x ∈ E : A
i
(¯x) = f
i
}. Ta có S
i
là
tập con lồi, đóng trong E. Giả sử rằng S =
N


n
} được định nghĩa bởi
z
n+1
= z
n
− β
n


N

i=1
α
λ
i
n
(A
i
(z
n
) − f
i
) + α
n
(z
n
− x
∗
)

tục và ngược đơn điệu mạnh. Khi đó
(i) Với mỗi α
n
> 0, bài toán (2.3) có duy nhất nghiệm x
n
;
(ii) Nếu 0 < α
n
≤ 1, α
n
→ 0 khi n → +∞ thì lim
n→+∞
x
n
= x
0
∈ S
có x
∗
-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là
x
0
− x
∗
 = min
u∈S
u − x
∗

và

α
λ
i
n
A
i
+ α
n
I là toán tử đơn điệu cực đại và có tính chất bức.
22