UBND
TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG BÁO CÁO TỔNG HỢP
KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN
TRONG VÀNH
[ ]
K X
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Hà Ngọc Phú
Cộng tác viên: ThS. Nguyễn Thị Thanh Tâm

ức 5
1.1.1. Vành đa th
ức một ẩn 5
1.1.2. Vành đa th
ức nhiều ẩn 7
1.2. T
ập đại số 9
1.2.1. Đ
ịnh nghĩa 10
1.2.2. Tính ch
ất của tập đại số 11
1.2.3. Tham s
ố hóa các tập đại số 12
1.3. Tô pô Zariski, t
ập bất khả qui 13
1.3.1. Tô pô Zariski 13
1.3.2. T
ập bất khả qui 15
Ch
ương 2 18
IĐÊAN TRONG VÀNH ĐA TH
ỨC 18
2.1. Đ
ịnh nghĩa và một số tính chất 18
2.2. Iđêan c
ủa tập điểm 21
2.3. Iđêan căn và iđêan nguyên t
ố 23
2.3.1. Iđêan căn 23
2.3.2. Iđêan nguyên t

ng
ứ
ng gi
ữ
a t
ậ
p
đạ
i s
ố
và i
đ
êan 36
3.4. M
ộ
t s
ố
ví d
ụ
39
K
Ế
T LU
Ậ
N 42
TÀI LI
Ệ
U THAM KH
Ả
O 43

nghiên c
ứ
u các hình hình h
ọ
c có xu
ấ
t x
ứ
t
ừ
h
ệ
ph
ươ
ng trình các
đ
a th
ứ
c. Vì
v
ậ
y hai chuyên ngành này có m
ố
i liên quan m
ậ
t thi
ế
t.
Hình h
ọ

ọ
c và quy các
v
ấ
n
đề
hình h
ọ
c v
ề
nghiên c
ứ
u t
ậ
p nghi
ệ
m các h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
a th
ứ
c. T
ậ
p
đạ
i s
ố

u là t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a m
ộ
t i
đ
êan.
Đ
i
ề
u này cho phép thay h
ệ
ph
ươ
ng
trình
đ
a th
ứ
c b
ằ
ng i
đ
êan và th
ự
c hi

ẻ

đố
i l
ậ
p nhau,
nh
ư
ng s
ự
phát tri
ể
n c
ủ
a hình h
ọ
c
đạ
i s
ố
trong th
ế
k
ỷ
20
đ
ã ch
ứ
ng minh
đ

t cách r
ấ
t chính xác và
đạ
i s
ố
giao hoán tr
ở
thành công c
ụ
chính trong hình
h
ọ
c
đạ
i s
ố
.
Các k
ế
t qu
ả
chính v
ề
Hình h
ọ
c
đạ
i s
ố

a t
ạ
p afin) trong không gian afin
n
K
, v
ớ
i
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
. Nó là t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a m
ộ
t h
ệ
ph

đ
a th
ứ
c, hàm
ẩ
n, …
Đ
ó c
ũ
ng chính là khái ni
ệ
m dùng
để
mô
t
ả
nhi
ề
u
đố
i t
ượ
ng hình h
ọ
c khác. Các t
ậ
p
đạ
i s
ố

đạ
i s
ố
V v
ớ
i t
ư
cách là m
ộ
t t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
a
th
ứ
c thì rõ ràng là có nhi
ề
u h
ệ
ph
ươ

ậ
n V làm t
ậ
p nghi
ệ
m,
đ
ó chính là
i
đ
êan
V
I
, i
đ
êan xác
đị
nh t
ậ
p
đạ
i s
ố
V. Và nh
ư
v
ậ
y ta có th
ể
s

là t
ậ
p các
đ
a th
ứ
c
V
I
có h
ữ
u h
ạ
n sinh và có nghi
ệ
m hay không,
đ
i
ề
u này
đượ
c
đả
m b
ả
o khi tr
ườ
ng
K
là

thì có th
ể
thi
ế
t l
ậ
p t
ươ
ng
ứ
ng 1 – 1 gi
ữ
a hai
nhóm
đố
i t
ượ
ng này.
Xét m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a l
ớ
p các t
ậ
p
đạ

c
ủ
a chúng t
ừ

đ
ó giúp t
ă
ng tính tr
ự
c quan cho m
ộ
t s
ố
khái ni
ệ
m
đạ
i s
ố
c
ũ
ng
nh
ư
hình h
ọ
c. T
ừ


ng
K
không là
đ
óng
đạ
i s
ố
.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên c
ứ
u các tính ch
ấ
t c
ủ
a t
ậ
p
đạ
i s
ố
; các tính ch
ấ
t c
ủ
a i
đ
êan.
- Làm rõ m

và các i
đ
êan trong
1 2
[ , , , ]
n
K x x x
,
v
ớ
i
K
là tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
ki
ể
m tra s
ự
t
ồ
n t
ạ
i tính ch
ấ

ậ
p
đạ
i s
ố
.
- Nghiên c
ứ
u i
đ
êan trong vành
đ
a th
ứ
c và m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ
t c
ủ
a chúng.
- Nghiên c
ứ
u m
ố
i quan h
ệ
gi


Đố
i t
ượ
ng nghiên c
ứ
u bao g
ồ
m: t
ậ
p
đạ
i s
ố
, i
đ
êan trong vành
1 2
[ , , , ]
n
K x x x
, i
đ
êan c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p

nh t
ậ
p
đạ
i s
ố
.
5. Phương pháp nghiên cứu
- T
ậ
p h
ợ
p, nghiên c
ứ
u tài li
ệ
u, phân tích các tính ch
ấ
t c
ủ
a các t
ậ
p
đạ
i
4

s
ố
, các tính ch

ủ
a các t
ậ
p
đạ
i s
ố
v
ớ
i các
i
đ
êan
để
làm rõ m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a chúng thông qua xem xét các th
ể
hi
ệ
n trong
các phép toán t
ậ
p h
ợ
p, trong vi

ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a
đề
tài thu
đượ
c giúp làm rõ h
ơ
n nh
ữ
ng tính ch
ấ
t c
ủ
a
t
ậ

a m
ộ
t s
ố
khái ni
ệ
m c
ủ
a
đạ
i s
ố
giao hoán và hình
h
ọ
c
đạ
i s
ố
.
7. Bố cục của đề tài
Báo cáo
đề
tài g
ồ
m 3 ch
ươ
ng:
Ch
ươ

ấ
t c
ủ
a t
ậ
p
đạ
i s
ố
trong không gian affin
n
K
.
Ch
ươ
ng 2 trình bày m
ộ
t s
ố
ki
ế
n th
ứ
c v
ề
i
đ
êan, làm rõ m
ộ
t s

ữ
a các t
ậ
p
đạ
i s
ố
và t
ậ
p các i
đ
êan
trong vành
đ
a th
ứ
c trên tr
ườ
ng
K
,
đư
a ra m
ộ
t s
ố
ví d
ụ
minh h
ọ

t s
ố
ki
ế
n th
ứ
c v
ề
vành
đ
a th
ứ
c, t
ậ
p nghi
ệ
m
c
ủ
a m
ộ
t h
ệ

đ
a th
ứ
c – t
ậ
p

đạ
i s
ố
; tôpô Zariski.
1.1. Vành đa thức
1.1.1. Vành đa th
ức một ẩn
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t vành giao hoán, có
đơ
n v
ị
1. G
ọ
i P là t
ậ
p h
ợ
p các dãy
0 1
( , , , , )
n
a a a
trong
đ

ư
v
ậ
y P là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a
Đề
các
A
ℕ
.
Ta
đị
nh ngh
ĩ
a phép c
ộ
ng và phép nhân trong P nh
ư
sau:

v
ớ
i
, 0,1,2,
k i j
i j k
c a b k
+ =
= =
∑

+ (1) và (2) cho ta hai phép toán c
ộ
ng và nhân trong P.
+ P là m
ộ
t vành giao hoán có
đơ
n v
ị

+ Xét dãy
(0,1,0, ,0., )
x
=
, ta có theo qui t
ắ
c nhân (2) :
2
(0,0,1,0, ,0., )

→
֏
, là m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u vành. Ta
đồ
ng
nh
ấ
t ph
ầ
n t
ử

a A
∈
v
ớ
i dãy
( ,0, ,0, )
a P
∈
. Vì v
ậ
y A là m
ộ

m
ọ
i
i
∈
ℕ
và b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n, cho nên m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ

v
ớ
i dãy
( ,0, ,0, )
a P
∈
và vi
ệ
c
đư
a vào dãy x cho
phép ta vi
ế
t
0 1
( , , , ,0, )
n
a a a
=
0 2 2
0 1 2 0 1 2

n n
n n
a x a x a x a x a a x a x a x
+ + + + = + + + +

+ Ng
ườ
i ta kí hi

i là vành
đ
a th
ứ
c
ẩ
n x l
ấ
y h
ệ
t
ử
trong A, hay v
ắ
n
t
ắ
t vành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a
ẩ
n x trên A, và kí hi
ệ
u A[
x
]. Các ph

ứ
c
2
0 1 2
( )
n
n
f x a a x a x a x
= + + + +
các
, 0,1, ,
i
a i n
=

g
ọ
i là các h
ệ
t
ử
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c. Các
i
i

do.
Ví dụ 1.1
. Các vành
[ ], [ ], [ ]
x x x
ℚ ℝ ℂ
là các vành
đ
a th
ứ
c m
ộ
t
ẩ
n
x
.
Định lý 1.1
.
Nếu A là một miền nguyên,
( ) 0, ( ) 0
f x g x
≠ ≠
của vành A[x] thì
( ). ( ) 0
f x g x
≠
và
deg ( ( ). ( )) deg ( ) deg ( )
f x g x f x g x

đ
a th
ứ
c ta có
0 0 0 1 1 0
( ) ( ) ( )
k n m
k k k m n
f x g x a b a b a b a b x a b x
+
−
= + + + + + + +

Do
a
m
và
b
n
khác 0 nên
a
m
b
n
khác 0 (do A là mi
ề
n nguyên), do
đ
ó
( ). ( ) 0

ử
A là m
ộ
t tr
ườ
ng,
( ) 0, ( ) 0
f x g x
≠ ≠
, th
ế
thì bao gi
ờ
c
ũ
ng
t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t hai
đ
a th
ứ
c
( ), ( ) [ ]
q x r x A x
∈


( )
r x

đượ
c th
ự
c hi
ệ
n b
ằ
ng thu
ậ
t
toán sau:
Input
:
( ), ( )
g x f x

Output
:
( ), ( )
q x r x( ) : 0; ( ): ( );
q x r x f x
= =


n
in f x a x
=
v
ớ
i
1
1 1 0
( )
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
.
Nhận xét 1.1
. N
ế
u A không là m
ộ
t tr
ườ
ng mà A ch
ỉ
là m
ộ
t vành giao hoán có
đơ
n v

đ
a th
ứ
c
( )
g x
có h
ệ
t
ử
cao nh
ấ
t b
ằ
ng
đơ
n v
ị
.
1.1.2. Vành đa thức nhiều ẩn
Vành
đ
a th
ứ
c nhi
ề
u
ẩ
n l
ấ

Khi n = 1, ta
đị
nh ngh
ĩ
a vành
đ
a th
ứ
c A[x
1
] c
ủ
a
ẩ
n x
1
trên A.

Đặ
t A
1
= A[x
1
], A
1
là vành giao hoán, có
đơ
n v
ị
. Vì th

1
, x
2
] và g
ọ
i là
vành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a hai
ẩ
n x
1
, x
2
trên A, c
ứ
ti
ế
p t
ụ
c nh
ư
v
ậ
y: A
3

ẩ
n
x
1
, x
2
, …, x
n-1
trên A.
8Đặ
t A
n-1
= A[x
1
, …, x
n-1
]. Khi
đ
ó A
n-1
là vành giao hoán, có
đơ
n v
ị
.
Do
đ

, x
2
,…x
n
l
ấ
y h
ệ
t
ử
trên vành A.
Khi vành A là m
ộ
t tr
ườ
ng
K
, vành
đ
a th
ứ
c n
ẩ
n
1 2
[ , , , ]
n
K x x x
còn
đượ

1
, x
2
,…x
n
l
ấ
y h
ệ
t
ử

trong vành A, kí hi
ệ
u là
1 2
( , , )
n
f x x x
ho
ặ
c
f
.
M
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

ó các
1 2
, , , , ,
i i i in
c A N
α α α
∈ ∈

1 2 1 2
( , , , ) ( , , , ): , 1,
i i in j j jn
i j j m
α α α α α α
≠ ≠ =
.
Các c
i

đượ
c g
ọ
i là các h
ệ
t
ử
, các
i1 i2 in
α α α
i 1 2 n
c x x x , 1,

ộ
t
đ
a th
ứ
c khác 0 trong vành
đ
a th
ứ
c nhi
ề
u
ẩ
n
đượ
c xem xét d
ướ
i nhi
ề
u góc
độ
.
B
ậ
c c
ủ
a
đ
a th
ứ

đ
a th
ứ
c. Ho
ặ
c:
B
ậ
c c
ủ
a h
ạ
ng t
ử

1 2
1 2

i i in
i n
c x x x
α α α
là t
ổ
ng các s
ố
m
ũ

1 2

n
nh
ấ
t trong các b
ậ
c c
ủ
a các h
ạ
ng t
ử
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c
đ
ó.
Ngoài ra ta còn có th
ế
dùng các quan h
ệ
th
ứ
t
ự
khác trong s
ắ

f
là m
ộ
t
đ
a th
ứ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
1 2 1 211 12 21 22
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( , , , )
n n m m mn
n n n m n
f x x x c x x x c x x x c x x x
α α α α αα α α α
= + + +

v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong m

n n m n
f a c a a a c a a a c a a a
α α α α αα α α α
= + + +

Có th
ể
coi
f
là hàm s
ố
t
ừ

n
K
vào
K
.
Đ
i
ể
m a g
ọ
i là nghi
ệ
m c
ủ
a
f

a th
ứ
c khác nhau
s
ẽ
cho hai hàm khác nhau.
Để
th
ấ
y
đ
i
ề
u này, ta dùng b
ổ

đề
sau.
Bổ đề 1.2.

Cho
K
là trường vô hạn. Nếu
( ) 0
f a
=
với mọi
∈
n
a K

ộ
t bi
ế
n khác 0
ch
ỉ
có h
ữ
u h
ạ
n nghi
ệ
m.
N
ế
u
1
n
>
, ph
ả
n ch
ứ
ng gi
ả
s
ử

0
f

m
n m n
f f f x f x
= + + +
v
ớ
i
0 1 1 1
, , , [ , , ]
−
∈
m n
f f f K x x
,
0
m
f
≠
.
Dùng qui n
ạ
p, gi
ả
thi
ế
t t
ồ
n t
ạ
i


(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , ,
m
n n n n n m n n
f x f f x f x
α α α α α α α α
− − − −
= + + +
là
m
ộ
t
đ
a th
ứ
c khác 0 m
ộ
t bi
ế
n
n

i
∈
n
a K
.
Hệ quả 1.2
.
Cho
K
là trường vô hạn. Nếu
, [X]
∈
f g K
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
f a g a
=
với mọi
∈
n
a K
thì
f g
=
.

N
ế
u
K

1 2
, , ,
α α α
=
n
K
thì
đ
a th
ứ
c
1 2
( )( ) ( )
n
f x x x
α α α
= − − −
là
đ
a th
ứ
c khác 0 nh
ư
ng
f
l
ạ
i tri
ệ
t tiêu trên

n nh
ư
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng
đượ
c mô t
ả
b
ở
i
đ
a th
ứ
c
10

f ax by c
= + +
,
đườ
ng tròn xác
đị
nh b

ủ
a các h
ệ

ph
ươ
ng trình
đ
a th
ứ
c.
1.2.1. Định nghĩa
Đ
ịnh nghĩa

1.3
. Cho
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng. Ta g
ọ
i không gian
Đề
các
n
K
là

ng trình
đ
a th
ứ
c n
ẩ
n v
ớ
i các h
ệ
s
ố
trong
K

đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố

trong
n
K

p nghi
ệ
m c
ủ
a S là
Z( )
f
.
N
ế
u deg
f
= 0 (
f c
=
là h
ằ
ng s
ố
) thì
Z( ) =
n
f K
khi c = 0 ho
ặ
c
Z( )
f
= ∅
khi

ẳ
ng.
Ví dụ 1.2
- T
ậ
p
∅
là t
ậ
p
đạ
i s
ố
vì là t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
0
f
=
v
ớ
i m
ọ
i

ươ
ng
trình
0, 1, ,
i i
x i n
α
− = =
.
- Không gian
n
K
là t
ậ
p
đạ
i s
ố
.
- Xét trong vành
đ
a th
ứ
c
[ , ]
K x y
v
ớ
i
2

1
x y
+ −
là
đườ
ng tròn
tâm t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
độ
, bán kính b
ằ
ng 1.
- T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a m
ộ
t h
ệ
các ph
ươ
ng trình tuy

t t
ậ
p
đạ
i s
ố
, còn g
ọ
i là
đ
a t
ạ
p tuy
ế
n tính.
Nhận xét 1.3
. Cho S là m
ộ
t h
ệ

đ
a th
ứ
c trong
[ ]
K X
. Kí hi
ệ
u

đề
u là giao c
ủ
a các siêu m
ặ
t.
Các t
ậ
p d
ạ
ng
Z( )
f
trong
K
ch
ỉ
có th
ể
là t
ậ
p r
ỗ
ng, t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n hay

ạ
n hay
K
.
1.2.2. Tính chất của tập đại số
T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a 1.3 ta có ngay tính ch
ấ
t:
Định lý 1.3
.
Cho
1
S
và
2
S
là hai hệ đa thức trong
[ ]
K X
. Nếu
1 2
S S
⊂
thì

Ch
ứng minh
Do m
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a
1
S
,
2
S
c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a S nên
1 2
( ) ( ) ( )
Z S Z S Z S
∪ ⊂
.
Đả
o l
ạ
i, gi

( ) 0
f a
≠
.
V
ớ
i m
ọ
i
2
g S
∈
, ta có
fg S
∈
. Vì th
ế

( ) ( ) 0
f a g a
=
. Suy ra
( ) 0
g a
=
, t
ứ
c là
2
( )

h
ữ
u h
ạ
n các t
ậ
p
đạ
i s
ố
là m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố
.
12

Ví dụ 1.3
. Ta có
(
)
(
)
(
)
, ,

a m
ọ
i t
ậ
p
i
S
khi và ch
ỉ
khi a là nghi
ệ
m c
ủ
a t
ậ
p
i
i I
S
∈
∪
.
T
ừ

đ
ó suy ra
( ) ( )
i i
i I i I

đ
a th
ứ
c
1 2 1 2
[ , ] [ , , , , , , , ]
=
n m
K X Y K x x x y y y

để
mô t
ả
các
hàm
đ
a th
ứ
c trên
+
n m
K
.
V
ậ
n d
ụ
ng B
ổ


n nhiên khác r
ỗ
ng) c
ũ
ng là m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố
.
Đ
ây là t
ậ
p
đạ
i s
ố
nh
ỏ
nh
ấ
t có tính ch
ấ
t này, kí hi
ệ
u
V

T K Y
là hai hệ đa thức. Nếu coi
S T
∪
là
m
ột hệ đa thức trong
[ , ]
K X Y
thì
( ) ( ) ( )
Z S Z T Z S T
× = ∪
.
Chứng minh.
Do
( , )∈ ×
n m
a b K K
là nghi
ệ
m c
ủ
a
S T
∪
khi và ch
ỉ
khi a là nghi
ệ

x y z
x y z
+ + =


+ − =


T
ậ
p
đạ
i s
ố
xác
đị
nh b
ở
i h
ệ
trên nh
ư
ta bi
ế
t là m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ

. Ng
ườ
i ta g
ọ
i bi
ể
u di
ễ
n này là phép tham s
ố
hóa c
ủ
a t
ậ
p
nghi
ệ
m ban
đầ
u. Nhi
ề
u t
ậ
p nghi
ệ
m ta quen thu
ộ
c (t
ậ
p nghi

1 2
, , ,= ⊂
n
s
V Z f f f K
. Gi
ả
s
ử
có
(
)
1 2 1
, , , , ,
∈
n m
r r r K t t
, tr
ườ
ng các phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỷ
, sao cho các
đ
i
ể
m


=




=


thu
ộ
c V, ta nói
1 2
, , ,
n
r r r
là m
ộ
t bi
ể
u di
ễ
n tham s
ố
hóa h
ữ
u t
ỷ
c
ủ

ứ
c c
ủ
a V.
Ví dụ 1.4
.
Đườ
ng tròn
đơ
n v
ị

2 2
1 0
x y
+ − =
có bi
ể
u di
ễ
n tham s
ố

2
2
2
1
1
2
1

ỷ
m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố
ng
ườ
i ta
đ
ã ch
ỉ
ra
đượ
c h
ầ
u h
ế
t
các t
ậ
p
đạ
i s
ố

đề

ậ
p
đạ
i s
ố

là m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố
, giao c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
nh
ữ
ng t
ậ
p
đạ
i s
ố
là m
ộ

i ý
14

cho vi
ệ
c xây d
ự
ng m
ộ
t c
ấ
u trúc tôpô trên
n
A
b
ằ
ng vi
ệ
c coi các t
ậ
p
đạ
i s
ố
là
các t
ậ
p
đ
óng.

là ph
ầ
n bù c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố
)
đượ
c g
ọ
i là tôpô Zariski
.
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a thì t
ậ
p m
ở
là ph
ầ
n bù c
ủ

ậ
p m
ở
trong
n
A
là
h
ợ
p c
ủ
a nh
ữ
ng t
ậ
p m
ở
d
ạ
ng
{
}
D( ) : ( ) | ( ) 0
n n
f k Z f a k f a
= − = ∈ ≠
.
Vì th
ế
các t

.
V
ớ
i
1
n
=
, trong không gian afine 1- chi
ề
u
1
A
các t
ậ
p
đạ
i s
ố
ch
ỉ
có th
ể

là
1
A
, các t
ậ
p con h
ữ

m c
ủ
a m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
f
m
ộ
t bi
ế
n ch
ỉ
có th
ể
là
1
A
(n
ế
u
f

là
đ
a th
ứ

là m
ộ
t s
ố
khác không trong
k
).
Tôpô Zariski có
đặ
c tính sau:
Bổ đề 1.6
.
Giao của hai tập mở không rỗng của
n
A
luôn luôn là một tập mở
không r
ỗng.
Ch
ứng minh.
Ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
( ) ( )
D f D g
∩ ≠ ∅

n
Z f Z g K
.
Suy ra
, 0 0
f g fg
≠ ⇒ ≠
nên
( ) ≠
n
Z fg K
.
Vì v
ậ
y
\ ( )
≠ ∅
n
K Z fg
.
Nhận xét 1.4.
H
ợ
p tùy ý các t
ậ
p
đạ
i s
ố
không ph


15

1.3.2. Tập bất khả qui
Trong hình h
ọ
c ng
ườ
i ta th
ườ
ng tìm cách phân tích m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố
thành
h
ợ
p các t
ậ
p
đạ
i s
ố
nh
ỏ
h

nh
ỏ
h
ơ
n thì ta g
ọ
i t
ậ
p
đạ
i s
ố

đ
ó là t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
qui.
Định nghĩa 1.5
. Cho
V
là t
ậ
p
đạ
i s
ố

p
đạ
i s
ố
nh
ỏ
h
ơ
n,
ngh
ĩ
a là n
ế
u
V = V
1
∪
V
2
v
ớ
i
V
1
, V
2
là nh
ữ
ng t
ậ

c g
ọ
i là m
ộ
t
đ
a t
ạ
p afine.
Ví dụ 1.5.
T
ậ
p ch
ỉ
g
ồ
m 1
đ
i
ể
m là t
ậ
p
đạ
i s
ố
b
ấ
t kh
ả

a
đ
a th
ứ
c
2 2
f x y
= −
trong
[ , ]
x y
ℝ
không
là t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
qui vì nó có th
ể
phân tích
1 2
( ) ( ) ( )
Z f Z f Z f
= ∪
trong
đ
ó
1

ậ
p
đạ
i s
ố
nh
ỏ
h
ơ
n
thì giao c
ủ
a hai ph
ầ
n bù này là t
ậ
p r
ỗ
ng, mâu thu
ẫ
n v
ớ
i B
ổ

đề
1.6.
T
ậ
p h

ĩ
a 1.5 và b
ổ

đề
1.3 ta rút ra k
ế
t qu
ả
: Khi
K
là
tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
, m
ộ
t siêu m
ặ
t là b
ấ
t kh
ả
qui khi và ch
ỉ

M
là t
ậ
p h
ợ
p các t
ậ
p
đạ
i s
ố
trong
n
A
không th
ể
phân tích thành h
ợ
p
c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n các t

n
A
là không gian tôpô Noether).
16

Vì
V M
∈
nên V không là t
ậ
p
đạ
i s
ố
b
ấ
t kh
ả
qui, vì n
ế
u
V
b
ấ
t kh
ả
quy thì
V = V
là m
ộ

và
V
2
là nh
ữ
ng t
ậ
p
đạ
i s
ố
con th
ậ
t
s
ự
c
ủ
a
V
. T
ừ
tính ch
ấ
t nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ

t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n các t
ậ
p b
ấ
t kh
ả

quy. Nh
ư
v
ậ
y
V
c
ũ
ng là h
ợ
p c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h

M
ph
ả
i r
ỗ
ng.
Đ
i
ề
u này
là vô lý.
Suy ra m
ọ
i t
ậ
p
đạ
i s
ố

đề
u có th
ể
phân tích thành h
ợ
p m
ộ
t s
ố
h


∪

∪

W
s

là hai s
ự
phân tích m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố

V
thành h
ợ
p các t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy không bao
nhau. V

(
)
i s
V W
∩
.
Do
V
i
là t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy nên ta ph
ả
i có
V
i
=
V
i

∩
W
j
v
ớ
i m

⊆

V
t
v
ớ
i m
ỗ
i ch
ỉ
s
ố

t
nào
đ
ó.
Vì v
ậ
y
V
i
=
V
t
d
ẫ
n
đế
n

ệ
n trong
W
1
, ,
W
s
. T
ươ
ng t
ự
, m
ọ
i t
ậ
p
đạ
i s
ố

W
j
c
ũ
ng xu
ấ
t hi
ệ
n trong
V

đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Ví dụ 1.6
. Cho
đ
a th
ứ
c
2 2
f x y
= −
trong
[ , ]
K x y
, ta có phân tích
1 2
( ) ( ) ( )
Z f Z f Z f
= ∪
trong
đ
ó
1
f x y

c
2 2
f x y
= −
g
ồ
m hai
đườ
ng phân giác c
ủ
a góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ
nh
ấ
t và th
ứ
hai.
Nhận xét 1.6. Đị
nh lý trên cho th
ấ
y tính ch
ấ
t t
ươ
ng t
ự

ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy xu
ấ
t hi
ệ
n trong s
ự
phân tích m
ộ
t t
ậ
p
đạ
i s
ố

V
thành
h
ợ
p các t
ậ
p b
ấ
t kh
ả

ầ
n b
ấ
t kh
ả
quy là chính nó.
Có th
ể

đặ
c tr
ư
ng các thành ph
ầ
n b
ấ
t kh
ả
quy nh
ư
sau.
Hệ quả 1.3. Các thành phần bất khả quy của một tập đại số V chính là các
t
ập bất khả quy lớn nhất trong V
.

Ch
ứng minh.
Gi
ả

ố
h
ữ
u h
ạ
n các t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy không bao nhau. V
ớ
i m
ọ
i t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy
không r
ỗ
ng tu
ỳ
ý W trong V ta có
V
=
V

ợ
p c
ủ
a m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n các
t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy không bao nhau thì
W
ph
ả
i n
ằ
m trong m
ộ
t t
ậ
p
V

n nh
ấ
t trong
V.

N
ế
u
W
là m
ộ
t t
ậ
p b
ấ
t kh
ả
quy l
ớ
n nh
ấ
t trong
V
thì t
ừ

đ
i
ề
u ki

i s
ố
b
ấ
t kh
ả
quy l
ớ
n nh
ấ
t
trong
V
.

18

Chương 2

ộ
t t
ậ
p
đ
i
ể
m; i
đ
êan c
ă
n và
i
đ
êan nguyên t
ố
. T
ừ
c
ơ
s
ở

đ
ó rút ra m
ộ
t s
ố
nh
ậ

ậ
p I trong A
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t i
đ
êan trong A n
ế
u
0
I
∈
và I
th
ỏ
a mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
(i)
f g I
+ ∈
v
ớ

đ
êan c
ủ
a
A
, g
ọ
i là i
đ
êan không, kí hi
ệ
u là 0.
Vành A c
ũ
ng là i
đ
êan c
ủ
a A. Các i
đ
êan khác c
ủ
a A g
ọ
i là các i
đ
êan th
ự
c s
ự

c g
ọ
i là i
đ
êan t
ổ
ng c
ủ
a I và J, kí hi
ệ
u là
I J
+
. I
đ
êan sinh b
ở
i
các tích
fg
v
ớ
i
f I
∈
và
g J
∈

đượ

I f f
=
và
(
)
1
, ,
s
J g g
=
, thì
(i)
(
)
1 1
, , , , ,
r s
I J f f g g
+ =

Nói riêng
(
)
(
)
(
)
1 1
, ,
r r

ọ
nh
ữ
ng i
đ
êan
ch
ứ
a t
ậ
p U là m
ộ
t i
đ
êan c
ủ
a vành A ch
ứ
a t
ậ
p U.
Đ
ó là i
đ
êan nh
ỏ
nh
ấ
t có tính
ch

êan sinh b
ở
i U g
ọ
i là i
đ
êan chính
sinh b
ở
i
f
, kí hi
ệ
u
( )
f
và
{
}
( ) |
f hf h A
= ∈
.
Khi t
ậ
p
{
}
1 2
, , ,

y h
ợ
p c
ủ
a m
ộ
t h
ọ
nh
ữ
ng i
đ
êan không là m
ộ
t i
đ
êan c
ủ
a A. H
ợ
p
c
ủ
a h
ọ
nh
ữ
ng i
đ
êan l

úng.
I J IJ
∩ =
n
ế
u có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
I J A
+ =
.

Ví d
ụ 2.1
. Trong vành
đ
a th
ứ
c
[ , ]
K x y
,
(
)
2
,
(
)
,
I J x y
+ =
,
(
)
3
,
IJ xy y
=
,
(
)
2
,
I J xy y
∩ =

Chú ý: M
ọ
i i
đ
êan trong vành
đ
a th
ứ

ể
th
ự
c hi
ệ
n d
ự
a vào
k
ế
t qu
ả
sau [7].
Bổ đề 2.1
.
(i)
Nếu
I
là iđêan trong
[ ]
K X
sinh bởi các đa thức
1
( ), , ( )
r
p x p x
thì
( )
f t I
là iđêan trong

∈
.

Chứng minh
(i) Nh
ậ
n xét r
ằ
ng m
ọ
i
đ
a th
ứ
c b
ấ
t k
ỳ

( , ) ( )
g x t f t I
∈

đề
u có th
ể
vi
ế
t
thành t

1
( ), , ( )
r
p x p x
nên có
20

1
( ) ( ) ( )
r
i i
i
p x q x p x
=
=
∑

Do v
ậ
y
( , ). ( ). ( )
h x t f t p x
1
( , ) ( ). ( ) ( )
r
i i
i
h x t q x f t p x
=
=

ứ
c
( , )
g x t
là t
ổ
ng c
ủ
a các
đ
a th
ứ
c d
ạ
ng
( , ). ( ). ( )
h x t f t p x
v
ớ
i
( , ) [ , ],
∈ ∈
h x t K X t p I
nên
( , )
g x t
(
)
1
( ) ( ), , ( ) ( )

tùy ý trong
[ ]
K X
. Khi đó
(
)
(
)
1 [ ]
∩ = + − ∩
I J tI t J K X
.
Chứng minh
Ta có ngay
(
)
(
)
1
tI t J
+ − là i
đ
êan c
ủ
a
[ , ]
K X t
.
Gi
ả

(
)
1 1
f tf t f tI t J
= + − ∈ + −
. Do
đ
ó
(
)
(
)
1 [ ]
∈ + − ∩
f tI t J K X
, t
ứ
c là
ta có bao hàm th
ứ
c
(
)
(
)
1 [ ]
∩ ⊂ + − ∩
I J tI t J K X
.
Ng

g x t tI
∈
,
(
)
( , ) 1
h x t t J
∈ −
.
Cho
0
t
=
, vì m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
tI
là b
ộ
i c
ủ
a
t
nên suy ra

ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
(1 )
t J
−

đề
u là b
ộ
i c
ủ
a
1
t
−
nên ta rút ra
( ,1) 0
h x
=
.
Do v
ậ
y
( ) ( ,1)

1 [ ]
∩ ⊃ + − ∩
I J tI t J K X
.
21

Tóm l
ạ
i có
(
)
(
)
1 [ ]
∩ = + − ∩
I J tI t J K X
.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t khi các i
đ
êan
,
I J

a th
ứ
c
[ ]
K X
là m
ộ
t
i
đ
êan chính.
(ii) N
ế
u
(
)
(
)
,
I f J g
= =
thì
(
)
I J h
∩ =
trong
đ
ó
( , )

c
ủ
a vành A ta có
(
)
I J K IK JK
+ = +
.
Nh
ư
v
ậ
y t
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a 2.2 ta có 3 phép toán (c
ộ
ng, giao, nhân) và
chúng có tính ch
ấ
t giao hoán, k
ế
t h
ợ
p.
Đị
nh lý 2.2 cho ta bi

⊇
.
2.2. Iđêan của tập điểm

Theo
đị
nh ngh
ĩ
a 1.3, t
ậ
p
đạ
i s
ố
là m
ộ
t t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
a th
ứ

đ
ó ta quan tâm
đế
n i
đ
êan sinh b
ở
i
các
đ
a th
ứ
c c
ủ
a h
ệ
. T
ừ

đ
ó có:

Đ
ịnh lý 2.5
. Cho V là m
ộ
t t
ậ
p
đ

Chứng minh
: suy ra ngay t
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a 2.1.

Đị
nh lý 2.3 cho ta bi
ế
t
V
I
là i
đ
êan l
ớ
n nh
ấ
t có t
ậ
p nghi
ệ
m ch
ứ
a V. T
ừ


êan c
ủ
a t
ậ
p
đ
i
ể
m V trong
[ ]
K X
.
N
ế
u V ch
ỉ
bao g
ồ
m 1
đ
i
ể
m
a
thì ta dùng kí hi
ệ
u
a
I
thay cho

i m
ọ
i
đ
i
ể
m
(
)
1 2
, , ,
n
n
a a a a A
= ∈
.
Th
ậ
t v
ậ
y, b
ằ
ng phép bi
ế
n
đổ
i to
ạ

độ

a n
I y y y
=
.
Ta có m
ọ
i
đ
a th
ứ
c
[ ]
∈
f K Y

đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng

1 1 2 2

n n
f h y h y h y
α
= + + + +

.
V
ậ
y
(
)
1 1 2 2
, , ,
a n n
I x a x a x a
= − − −
.
(iii) N
ế
u V là m
ộ
t t
ậ
p vô h
ạ
n
đ
i
ể
m trên
đườ
ng parabol
2
0
x y

V
I x y
⊂ −
.
Xét
[ , ]
∈
f K x y
, xem
f
nh
ư
là
đ
a th
ứ
c bi
ế
n y h
ệ
s
ố
trong
[ ]
K x
. Dùng phép
chia Euclide ta vi
ế
t
đượ

V
f I
∈
thì
2
( , ) ( ) 0
f v
α α α
= =
v
ớ
i
m
ọ
i
α
thu
ộ
c vào m
ộ
t t
ậ
p vô h
ạ
n trong
K
.
Suy ra
0
v

đ
ó
(
)
1 2
, , ,
s V
f f f I
⊂
.
Bao hàm th
ứ
c
ở
b
ổ

đề
có th
ể
là th
ự
c s
ự
, ch
ẳ
ng h
ạ
n :
(

ứ
c
(
)
2 2
,
V
x y I
⊂
là th
ự
c s
ự
. Có
đ
i
ề
u này là do i
đ
êan
(
)
2 2
,
x y
không là m
ộ
t
i
đ

Bổ đề 2.3.

I
là i
đ
êan c
ủ
a vành A và
đượ
c g
ọ
i là c
ă
n c
ủ
a I.
Chứng minh.
Cho
,
f g I
∈
tùy ý. Gi
ả
s
ử
,g
r s
f I
∈
. Khi

ế
t cho
r
f
hay
g
s
v
ớ
i
m
ọ
i
1, ,
i r s
= +
…
. T
ừ

đ
ây suy ra
( )
r s
f g I
+
+ ∈
và do
đ
ó


I
là i
đ
êan.
T
ừ
b
ổ

đề
ta có ngay
I I
⊆ .
Định nghĩa 2.4.
I
đượ
c g
ọ
i là i
đ
êan c
ă
n n
ế
u
I I
= .
T
ừ

)
(
)
1 1
I I
= ⇔ =

(iv)
I J I J
+ = +
.
Ví dụ 2.3.

(i) N
ế
u i
đ
êan I
đượ
c sinh ra b
ở
i m
ộ
t
đ
a th
ứ
c f, có ngh
ĩ
a là I =

ớ
i
1 2
, , ,
r
g g g
là nh
ữ
ng
đ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy.
Đặ
t
1 2
.
r
h g g g
=
ta có
I
=
( )
f
=

đế
n
(
)
h

⊆

( )
f
.
Đả
o l
ạ
i, n
ế
u g
m

∈

(
)
f
thì g
m
=
1 2
1 2


êan 0 là t
ậ
p h
ợ
p các ph
ầ
n t
ử
l
ũ
y linh, t
ứ
c là các ph
ầ
n t
ử

f A
∈
có m
ộ
t l
ũ
y th
ừ
a
0
r
f
=

ọ
i mi
ề
n nguyên
đề
u
không có ph
ầ
n t
ử
l
ũ
y linh và do
đ
ó là vành rút g
ọ
n.
Bổ đề 2.4.
V
I
là i
đ
êan c
ă
n.
Chứng minh.
N
ế
u
r

∈
và do
đ
ó
V
f I
∈
.
T
ừ
b
ổ

đề
2.4 ta rút ra nh
ậ
n xét:
Nhận xét 2.3
Không ph
ả
i i
đ
êan c
ă
n nào trong
[ ]
K X
c
ũ
ng là i

đ
êan
[ ]
≠
I K X
vô nghi
ệ
m.
Khi
đ
ó
I
c
ũ
ng ph
ả
i vô nghi
ệ
m. N
ế
u
V
I I
=
là i
đ
êan c
ủ
a m
ộ

1
I
∈
là m
ộ
t mâu thu
ẫ
n v
ớ
i cách ch
ọ
n
[ ]
≠
I K X
.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n m
ọ
i i
đ
êan c
ă
n ch
ứ
a
2

ố
nào trong
n
ℝ
.
Nh
ư
v
ậ
y, khi
K
không là tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
thì m
ộ
t i
đ
êan trong
[ ]
K X
có th
ể

không có nghi