Cao Minh Quang
THPT chuyờn Nguyn Bnh Khiờm, Vnh Long CHUYEN ẹE:
CHUYEN ẹE:CHUYEN ẹE:
CHUYEN ẹE: SO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽNG
NGNG
NG


CHUYEN
CHUYEN CHUYEN
CHUYEN ẹE:
ẹE:ẹE:
ẹE:

SO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽSO PHệC & ệNG DUẽ
SO PHệC & ệNG DUẽN
NN
NG
GG
G
bước ñột phá khi ñịnh nghĩa số
1
−
, ñược kí hiệu là
i
, còn gọi là ñơn vị ảo. ðiều này ñã giúp
vi
ệc giải phương trình ñại số trở nên dễ dàng hơn. Ví dụ phương trình ñã xét
2
1 0
x
+ =
có
nghi
ệm là
i
và
i
−
.
V
ới sự xuất hiện của số
i
, một trong những kí hiệu thông dụng nhất trong toán học, ñã dẫn
ñến việc ñịnh nghĩa số phức dạng
z a bi
= +
, trong ñó
,
a b

Xin chân thành cám
ơn! Vĩnh Long, Xuân 2009
Cao Minh Quang

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

4Mục lục
*****

Trang

Lời nói ñầu 3
M
ục lục 4

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

5Chương 1. ðịnh Nghĩa Và Các Phép Toán

1.1 ðịnh nghĩa.
Xét tập hợp
(
)
{
}
2
, ,x y x y= × = ∈
ℝ ℝ ℝ ℝ
. Hai phần tử
(
)
(
)
1 1 2 2
, , ,
x y x y
thuộ
c
2
ℝ
b

i
(
)
(
)
2
1 1 1 2 2 2
, , ,z x y z x y
= = ∈
ℝ
, ta có
•
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
, , ,z z x y x y x x y y
+ = + = + + ∈
ℝ

•
(
)
(
)
(

ầ
n t
ử

2
1 2
z z
∈
ℝ

ñượ
c g
ọ
i là tích c
ủ
a
1 2
,
z z
.
Chú ý. N
ế
u
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2
,0 , ,0

= −
.
Ví d
ụ
. N
ế
u
(
)
(
)
1 2
5,6 , 1, 2
z z
= − = −
thì
(
)
(
)
(
)
1 2
5,6 1, 2 4,4
z z
+ = − + − = −
và
(
)
(

=
ℂ ℂ
.
1.2 Một số tính chất cơ bản
1.2.1. Tính chất ñối với phép toán cộng
(a) Tính giao hoán.
1 2 2 1
z z z z
+ = +
, với mọi
1 2
,z z
∈
ℂ
.
(b) Tính kết hợp.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
+ + = + +
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
(c) Phần tử ñơn vị. Tồn tại duy nhất số phức

(
)
0
z z z z
+ − = − + =
.
Khi
ñ
ó ta nói
z
−
là s
ố

ñố
i (ph
ầ
n t
ử

ñố
i) c
ủ
a
z
.
T
ừ

ñ

(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
, , ,z z x y x y x x y y
− = − = − − ∈
ℂ

1.2.2. Tính chất ñối với phép toán nhân
(a) Tính giao hoán.
1 2 2 1
z z z z
=
, với mọi
1 2
,z z
∈
ℂ

(b) Tính kết hợp.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
=
, với mọi
1 2 3
, ,z z z
∈

)
1 *
', '
z x y
−
= ∈
ℂ
sao cho
1 1
. 1
z z z z
− −
= =
. Khi ñó ta nói
1
z
−
là số ñối (phần tử ñối) của
z
.
Dựa vào mối quan hệ của
1
,
z z
−
như trên, ta có thể xác ñịnh ñược
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

6

, , ,z x y z x y
= ∈ = ∈
ℂ ℂ
.
Khi
ñó
( )
1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
. , , ,
z x y x x y y x y y x
z z x y
z x y x y x y x y
−
   
+ − +
 
 
= = = ∈
 
 
 
 
 
+ + + +
   
ℂ
.

)
(
)
1 2
1,2 , 3,4
z z
= =
thì
1
2
3 8 4 6 11 2
, ,
9 16 9 16 25 25
z
z
   
+ − +
 
 
= =
 
 
 
 
   
+ +
.
* Lũy thừa nguyên của số phức.
L
ũ

−
+ − −
= = = = ∈ = ∈
ℤ ℤ
.
Tr
ườ
ng h
ợ
p
0
z
=
, ta
ñị
nh ngh
ĩ
a
0 0,
n
n
+
= ∈
ℤ
.
Các tính ch
ấ
t c
ủ
a l

1 2 3
, ,z z z
∈
ℂ
.
1.3 Biểu diễn số phức dưới dạng ñại số
Theo ñịnh nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số
(
)
2
,x y
∈
ℝ
, ñiều này sẽ gây ít
nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về số phức. Vì lẽ ñó, ta sẽ biểu diễn các số phức
dưới dạng ñại số.
Xét tập hợp
{
}
0
×
ℝ
, cùng với phép toán cộng và nhân trên
2
ℝ
như trên. Khi ñó hàm số
{
}
(
)

ấ
y r
ằ
ng các phép toán trên
{
}
0
×
ℝ
c
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
ℝ
. T
ừ

ñ
ây, ta s
ẽ

ñồ
ng
nh
ấ

)
0,1
i
=
. Khi
ñ
ó ta có
2
1
i
= −
. Thật vậy,
(
)
(
)
(
)
2
0,1 0,1 1,0 1
i
= ⋅ = − = −
.
Ta có mệnh ñề sau.
Mệnh ñề. Mọi số phức
(
)
,
z x y
=

)
(
)
(
)
, ,0 0, ,0 0,1 ,0
z x y x y x y x iy
= = + = + ⋅ = +
.
Khi s
ố
ph
ứ
c
z

ñượ
c bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng
z x iy
= +
, ta g
ọ

)
Im
y z
=
;
i

ñượ
c g
ọ
i là
ñơ
n v
ị

ả
o.
T
ừ
cách bi
ể
n di
ễ
n trên, ta c
ũ
ng có m
ộ
t s
ố
nh

(
)
Im 0, \ Im 0
z z z z
∈ ⇔ = ∈ ⇔ ≠
ℝ ℂ ℝ
.
Ngoài ra ta có một số tính chất về các phép toán các số phức ñược biểu diễn dưới dạng ñại số.
1. Phép cộng
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

7

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z x iy x iy x x y y i
+ = + + + = + + +
.
Nhận xét.
(
)
(

n xét.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
Re Re Re Im Im ;Im Re Im Re Im
z z z z z z z z z z z z
= − = +
.
Ngoài ra n
ế
u
λ

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
Re Re Re ;Im Im Im
z z z z z z z z
− = − − = −
.
1.4 Lũy thừa của
i

T
ừ
tính ch
ấ
t
2
1
i
= −
, ta dễ dàng nhận thấy rằng

(
)
( ) ( )
1
1
n
n n
n
i i i i
−
− −
−
= = = −
.
Ví dụ.
Tìm s
ố
ph
ứ
c
; ,z x yi x y
= + ∈
ℤ
thỏa mãn ñiều kiện
3
18 26
z i
= +
.
Lời giải. Ta có

z i
= +
, ta nhận ñược hệ phương trình
3 2
2 3
3 18
3 26
x xy
x y y


− =



− =


.
T
ừ phương trình ñầu của hệ, ta nhận thấy
0, 0
x y
≠ ≠
. Bằng cách ñặt
y tx
=
, từ phương trình
(
)

=
. Th
ế
vào ph
ươ
ng trình
ñầ
u c
ủ
a h
ệ
, ta nh
ậ
n
ñượ
c
1
y
=
,
suy ra
3
x
=
. Do
ñ
ó
3
z i
= +

p c
ủ
a
s
ố
ph
ứ
c
z
. Ta có m
ệ
nh
ñề
sau.
Mệnh ñề.
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
ph
ứ
c
1 2
, ,
z z z
ta có các tính ch
ấ
t sau:

−
−
= .
(7)
1 1
2
2
2
, 0
z z
z
z
z
 



= ≠





 
.
(8)
( ) ( )
Re ,Im
2 2
z z z z

ọ
i s
ố
ph
ứ
c
*
2
z
∈
ℂ
, ta có
(
)
(
)
1 1 2 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
.
.
x y i x y i
z z z x x y y x y x y
i
z x y x y x y
z z
+ −
+ − +

ề
modul c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c s
ẽ

ñượ
c th
ể
hi
ệ
n
ở
m
ệ
nh
ñề
d
ướ
i
ñ
ây.
Mệnh ñề.
V
ớ
i m

(4)
2
.
z z z
= .
(5)
1 2 1 2
. .
z z z z
=
.
(6)
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
− ≤ + ≤ +
.
(7)
1 1
, 0
z z z
− −
= ≠
.
(8)
1
1
2
2 2
, 0
z

ặ
p s
ố
th
ự
c
(
)
,x y
∈ ×
ℝ ℝ
, vì
vậy, một cách tự nhiện, ta có thể ñặt số phức
z x yi
= +
ứng với một ñiểm
(
)
,
M x y
trong mặ
t
ph
ẳ
ng
×
ℝ ℝ
.
G
ọ

a
ñộ

Oxy
. Khi
ñ
ó
ánh x
ạ

(
)
(
)
: , ,
P z M x y
ϕ ϕ
→ =
ℂ
là song ánh.
ðịnh nghĩa. ðiểm
(
)
,
M x y
ñượ
c g
ọ
i là
ả

ñộ
ph
ứ
c c
ủ
a
ñ
i
ể
m
(
)
,
M x y
. H
ơ
n n
ữ
a, ta s
ẽ
dùng kí hi
ệ
u
(
)
M z

ñể
ch
ỉ

ñ
i
ể
m
(
)
' ,
M x y
−
(
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i
(
)
,
M x y
qua tr
ụ
c Ox) là
ả
nh hình
h
ọ
c c
ủ
a

a vector
v OM
=
 
, do ñó, ta cũng có
thể ñồng nhất số phức
z x yi
= +
với vector
v OM
=
 
.
Gọi
0
V
là tập hợp tất cả các vector có cùng ñiểm gốc
O
. Khi ñó, ta chứng minh ñược ánh xạ
(
)
0
' : , '
V z OM v xi y j
ϕ ϕ→ = = = +
   
ℂ ,
Là song ánh, trong
ñ
ó

2 2
M O M O
OM x x y y
= − + −
,
suy ra
2 2
OM x y z v
= + = =

. Nói cách khác, modul của số phức
z x yi
= +
là ñộ dài của
ñoạn thẳng
OM
hay ñộ dài của vetor
v

.
1.7.3 Biểu diễn hình học của các phép toán ñại số
a) Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức
1 1 1
z x y i
= +
và
1 2 2
z x y i
= +
lần lượt tương ứng

c c
ủ
a t
ổ
ng này
ñượ
c th
ể
hi
ệ
n là

Ta có
(
)
(
)
3 2 3 5 2
i i i
− + − + =− −
, vì v
ậ
y
ả
nh hình h
ọ
c c
ủ
a hi
ệ

.
Nếu
λ
là một số thực thì
z x yi
λ λ λ
= +
ứng với vector
v xi y j
λ λ λ
= +
  
. Hơn nữa, nếu
0
λ
>
thì
các vector
,
v v
λ
 
cùng hướ
ng và
v v
λ λ
=
 
.


i
ể
m
M
. Góc
[
)
*
0,2
t
π
∈
hợp bởi vector
OM

với trục
Ox
(theo
chiều dương) ñược gọi là argument cực của ñiểm
M
. Cặp
(
)
*
,
r t
ñược gọi là tọa ñộ cực của ñiểm
M
. Khi ñó ta viết
(

h x y r t
=
là m
ộ
t song ánh.
G
ố
c t
ọ
a
ñộ

O
là
ñ
i
ể
m duy nh
ấ
t mà
0
r
=
, nh
ư
ng argument
*
t
không xác
ñị

i
ể
m
P
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a tia
OM
v
ớ
i
ñườ
ng tròn
ñơ
n v
ị
tâm
O
. Khi
ñ
ó
ñ
i
ể
m
P

cos , sin
M r t r t
, trong
ñ
ó
2 2
r x y
= +
.
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

11V
ấ
n
ñề

ñặ
t ra là v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ

ñ
i

ườ
ng h
ợ
p sau:
(a) N
ế
u
0
x
≠
, t
ừ
k
ế
t qu
ả

*
tan
y
t
x
=
, ta có
ñượ
c
*
arctan
y
t kx

.
(b) N
ếu
0, 0
x y
= ≠
, thì
( )
( )
*
0
2
3
0
2
y
t
y
π
π



>



=



, , 1, 2, ,6
i i
r t i
=
. Ta có
•
( ) ( )
2
2 *
1 1
7
2 2 2 2, arctan 1 2 2
4 4
r t
π π
π π= + − = = − + = − + =
, do ñó
1
7
2 2,
4
M
π
 







7
4,
6
M
π
 






 
.
•
*
4 4
3
2, arctan
3 6
r t
π
= = =
, do
ñ
ó
4
2,
6
M

4 4
r t
π π
π π= = − + = − + =
, do
ñ
ó
6
3
2 2,
4
M
π
 






 
.
2
. Tìm t
ọ
a
ñộ
(Descartes) c
ủ
a các

. Ta có
•
1 1
2 2
2cos 1, 2sin 3
3 3
x y
π π
= =− = =
, do ñó
(
)
1
1, 3
M −
.
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

12

•
2 2
7 3 2 7 3 2
3cos , 3sin
4 2 4 2
x y
π π
= = = = −
, do ñó

M
, cho phép ta biểu diễn bất
kỳ số phức
z x yi
= +
dưới dạng lượng giác là
(
)
* *
cos sin
z r t i t
= +
, trong ñó
[
)
0,r
∈ +∞
và
[
)
*
0, 2
t
π
∈
. Khi ñó, ta gọi
*
t
là argument (chính) của
z

và
*
2 ,t t k k
π
= + ∈
ℤ
thì
(
)
(
)
(
)
cos 2 sin 2 cos sin
z r t k i t k r t i t
π π
 
= − + − = +
 
,
tức là, bất kỳ số phức
z
nào cũng có thể ñược viết dưới dạng
(
)
cos sin
z r t i t
= +
,
0,r t

z
.
Do
ñ
ó, hai s
ố
ph
ứ
c
1 2
, 0
z z
≠
, có dạng
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin , cos sin
z r t i t z r t i t
= + = +
bằ
ng
nhau khi và ch
ỉ
khi
1 2
r r
=

c
, 1, 2,3
i
z i
=
. Ta có
•
( ) ( )
2 2
*
1 1
5
1 1 2, arctan arctan1
4 4
y
r t
x
π π
π π π= − + − = = + = + = + =
. Do ñó
1
5 5
2 cos sin
4 4
z i
π π
 


= +

r t
π
= + = = =
. Do
ñ
ó
2
2 2 cos sin
4 4
z i
π π
 


= +




 
và
2
2 ,
4
Argz k k
π
π
 
 
 

z i
π π
 


= +




 
và
3
2
2 ,
3
Argz k k
π
π
 
 
 
= + ∈
 
 
 
 
ℤ

MATHVN.COM

(
)
(
)
1 2 1 2 1 1 2 2
cos sin cos sin
z z r r t i t t i t
= + +

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin
r r t t t t i t t t t rr t t t t
   
= − + + = + + +
   
.
Chú ý.
a) T
ừ
h
ệ
th

+ <


=


+ ≥


.
c) Ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
{
}
1 2 1 2
rg arg arg 2 ,A z z z z k k
π
= + + ∈
ℤ
.
d) N
ế
u
(
)

cos sin
n n
z r nt i nt
= +

ðịnh lý ñược suy ra trực tiếp từ nhận xét d) khi cho
1 2

n
z z z z
= = = =
.
Chú ý. a)
n
n
z z
=
.
b) Nếu
1
r
=
thì
(
)
cos sin cos sin
n
t i t nt i nt
+ = +
.

z r
 
= − + −
 

Chứng minh.
Ta có
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 2 2
1 1
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
cos sin cos sin cos sin
cos sin
cos sin
r t i t r t i t t i t
z r
z r r t i t
r t i t
+ + −
= = =

 
+
.
Chú ý.
a) T
ừ
h
ệ
th
ứ
c trên, ta th
ấ
y
ñượ
c
1
1 1
2 2 2
z
z r
z r z
= = .
b) Cho
1
1
z
=
,
2
z z

= +
. 1
De Moivre, Nhà toán học Pháp (1667 – 1754)
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

14

Một Số Bài Toán Áp Dụng
Bài toán 1. Chứng minh rằng
1 5
cos
5 4
π +
=
.
Lời giải. ðặt
cos , sin
5 5
x y
π π
= =
và
cos sin
5 5
z x iy i
π π

ằ
ng
0
z
≠
, chia hai v
ế
cho
2
z
, ta nh
ậ
n
ñượ
c
2
2
2
1 1 1 1
1 0 1 0
z z z z
z z z z
       
   
   
+ − + + = ⇔ + − + − =
   
   
   
   

4
x x x
±
− − = ⇔ =
.
Vì
0
x
>
nên
1 5
cos
5 4
x
π +
= =
.
Bài toán 2.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 5 1
cos cos cos
7 7 7 2
π π π
+ + =
.
Lời giải. ðặt

+ + = + + + + +
  
  
  
  
     
.

10 8 6 4 2
5
1
2
z z z z z
z
+ + + + +
=
.
Vì
7
1 0
z
+ =
nên
10 3
z z
= −
và
8
z z
= −

Bài toán 3. (Vietnam 1996) Giải hệ phương trình
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y

 




+ =





+
 




 



2 2
1 2
1
3
1 4 2
1
7
u
u v
v
u v

 




+ =

 



 
+




 


15

2 2
2 4 2
3 7
u iv
u iv i
u v
 
−



+ + = +





+
 
.
Vì
2
2 2
1
u iv z z
u v z
zz

+ = + ⇔ − + + = ⇔ = ± + ±
  


  

  


  
  
 
     
.
T
ừ

ñ
ó suy ra
( )
1 2 2 2
, , 2
3 21 7
u v
 
 
 




ng trình có hai nghi
ệ
m
( )
2
2
1 2 2 2
, , 2
3 21 7
x y
 
 
 










= ± ±







= + = + = +
. Ta có
0
x y z
+ + =
và
( ) ( ) ( )
1 1 1
cos sin cos sin cos sin 0
a i a b i b c i c
x y z
+ + = − + − + − =
.
Do ñó
0
xy yz zx
+ + =
. Suy ra
(
)
(
)
2
2 2 2
2 0
x y z x y z xy yz zx
+ + = + + − + + =
hay

(

. Ta có
2
1

1
n
n
n n
z
C iS z z z z
z
−
+ = + + + =
−
.
Vì
2
cos 1 2sin
2
x
x − = −
và
sin 2sin cos
2 2
x x
x =
nên
2
2
2sin 2 sin cos

2 2 2
na na na
na
i
n a n a
i
a
a a a
i
 


+


 


− −
 
 
= = +
 
 

 

+



 
−
 ( ) ( )
sin
1 1
2
cos sin
2 2
sin
2
na
n a n a
i
a
 
+ +
 
= +
 
 
.
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

16

ðồ

2
n
n a
na
S a a na
a
−
= + + + = và
(
)
1
sin cos
2 2
cos cos2 cos
sin
2
n
n a
na
C a a na
a
−
= + + + = .
Bài Tập
1. Cho các s
ố
ph
ứ
c
(

2 3 1
z
z z
z z z
+ +
; f)
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z
+
+
.
2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
(
)
(
)
7 7
1
2 5 2 5E i i
= + + − ∈
ℝ

0
z
≠
sao cho
1
z
z
+ ∈
ℝ
.
4. Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c
z
sao cho
1
z
=
và
2
2
1
z z
+ =

ệ
n
3
3
1
2
z
z
+ ≤
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
2
z
z
+ ≤
.
7. Cho các s
ố
ph
ứ
c
1 2 3
, ,
z z z
th
ỏ

n n
i i
   
− + − −
 
 
 
+ =
 
 
 
 
 
 
   
.
9. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
3 5 7 9 1
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11 2
π π π π π
+ + + + =
.
10. Ch
ứ
ng minh r

)
1
f i
=
. Chứng
minh rằng
0
a b c d
= = = =
.
13. Cho
,
x y
là hai số
ph
ứ
c phân bi
ệ
t sao cho
x y
=
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
2
x y x
+ <

z
là m
ộ
t s
ố
ph
ứ
c th
ậ
t s
ự
và
2
2
1
1
z z
z z
+ +
∈
− +
ℝ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
z
=


ñược dùng ñể ñịnh nghĩa căn bậc
n
của
0
z
. Vì thế, bất kỳ nghiệm
Z
nào của phương trình trên
cũng ñược xem là một căn bậc
n
của
0
z
.
ðịnh lý. Cho
(
)
* *
0
cos sin
z r t i t
= +
là một số phức với
[
)
*
0, 0,2
r t
π

 
.
Chứng minh. Giả sử
(
)
cos sin
Z i
ρ ϕ ϕ
= +
là một căn bậc
n
của
0
z
, tức là
0
n
Z z
=
, hay
(
)
(
)
* *
cos sin cos sin
n
n i n r t i t
ρ ϕ ϕ
+ = +

ñó
(
)
cos sin ,
n
k k k
Z r i k
ϕ ϕ
= + ∈
ℤ
.
Ta nh
ận thấy rằng
0 1 1
0 2
n
ϕ ϕ ϕ π
−
≤ < < < <
, vì thế các số
{
}
, 0,1, , 1
k
k n
ϕ
∈ −
là các
argument thu g
ọ

nguyên dương và
{
}
0,1, , 1
r n
∈ −
, ta có
,k nq r q
= + ∈
ℤ
và
( )
* *
2 2
2 2
k r
t t
nq r r q q
n n n n
π π
ϕ π ϕ π
= + + = + + = +
.
Vì thế
k r
Z Z
=
. Do ñó
{
}

.
Ví dụ. Căn bậc 3 của số phức
1 2 cos sin
4 4
z i i
π π
 


= + = +




 
là
6
2 2
2 cos sin , 0,1,2
12 3 12 3
k
Z k i k k
π π π π
 
   
 
 
 
= + + + =
 

nh hình h
ọ
c t
ươ
ng
ứ
ng là
6 6 6
0 1 2
3 17
2, , 2, , 2,
12 4 12
M M M
π π π
     
  
  
  
  
  
  
     
.
Các
ñ
i
ể
m này là ba
ñỉ
nh c

1 0
n
Z
− =
ñược gọi là căn bậc
n
của ñơn vị. Vì
1 cos0 sin 0
i
= +

nên các căn bậc
n
của 1 là
{ }
2 2
cos sin , 0,1, 2, , 1
k
k k
i k n
n n
π π
ε
= + ∈ −
.
ðặt
{
}
2 1
1, , , ,

Z
− =
cũng là nghiệm của
1 0
q
Z
− =
.
(b) Nghiệm chung của
1 0
m
Z
− =
và
1 0
n
Z
− =
là nghiệm của
1 0
d
Z
− =
, với
(
)
gcd ,
d m n
=
.

ε = +
là một nghiệm của
1 0
m
Z
− =
và
2 2
' cos sin
p
q q
i
n n
π π
ε = +

là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a
1 0
n
Z
− =
. Vì
' 1
p q

ặ
t khác, ta có
' , '
m m d n n d
= =
, v
ới
(
)
gcd ', ' 1
m n
=
. T
ừ

pn qm rmn
− =
, ta có
ñượ
c
' ' ' '
n p m q rm n d
− =
. Suy ra
' '
m n p
, hay
'
m p
. T

.
Do
ñ
ó, t
ừ
tính ch
ấ
t (a), và
,
d m d n
, b
ấ
t k
ỳ
nghi
ệ
m nào c
ủ
a
1 0
d
Z
− =
c
ũ
ng
ñề
u là nghi
ệ
m c

, với
r
là một số nguyên dương bất kỳ.
Chứng minh. Gọi
r
là một số nguyên dương nào ñó. Xét
{
}
0,1, , 1
h n
∈ −
. Ta có
(
)
(
)
1
n r h
r h n
ε ε
+
+
= =
hay
r h
ε
+
là một nghiệm của
1 0
n

ε ε
+ −
− =
. Vì
2
0
r h
ε
+
≠
nên
ta phải có
1 2
1
h h
ε
−
=
. Nh
ư
ng
ñ
i
ề
u này không th
ể
x
ả
y ra vì
1 2

là
n
căn bậc
n
của 1.Với bất kỳ số nguyên dương
k
, ta có
(
)
(
)
1
0

0 †
n
k
j
j
n n k
n k
ε
−
=




=


khi
n m
. Gi
ả
s
ử

n
không chia h
ế
t
k
, ta có
( ) ( )
(
)
(
)
1 1 1
0 0 0
1 1
0
1 1
n k
k n
n n n
k j
k j k
j
k k

1 1 1 1
0 0 0 0
1
n n n n
q
k qn n
j j j
j j j j
n
ε ε ε
− − − −
= = = =
== = = =
∑ ∑ ∑ ∑

Mệnh ñề 4. Cho
p
là một số nguyên tố và
2 2
cos sini
p p
π π
ε = +
. Nếu
0 1 1
, , ,
p
a a a
−
là các số

thì ta có ngay ñiều cần chứng minh. Ngược lại, ta ñịnh
nghĩa các ña thức
[
]
,
f g X
∈
ℤ
như sau:
(
)
1
1 1 1

p
p
f X a a X a X
−
−
= + + +
và
(
)
1
1
p
g X X X
−
= + + +
.

ằ
ng
g
b
ấ
t kh
ả
quy trên
ℤ
. Do
ñ
ó,
(
)
gcd ,
f g g
=
, suy ra
g f
hay
g kf
=
, v
ớ
i
k
là m
ộ
t s
ố

với tọa ñộ phức lần lượt là
,
a b
. Ta nói rằng ñiểm
M
có tọa ñộ
phức
z
nằm giữa các ñiểm
,
A B
nếu
,
z a z b
≠ ≠
và
a z z b a b
− + − = −
. Kí hiệu là
A M B
− −
.
Tập hợp
(
)
{
}
AB M A M B
= − −
ñược gọi là ñoạn thẳng mở xác ñịnh bởi hai ñiểm

ðịnh lý 1. Giả sử
(
)
(
)
,
A a B b
là hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t. Các phát bi
ể
u sau là t
ươ
ng
ñươ
ng:
(1)
(
)
M AB
∈
;
(2) T
ồ
n t
ạ

t
∈
sao cho
(
)
1
z t a tb
= − +
, trong
ñ
ó
(
)
M z
.
ðịnh lý 2.
Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
,
A a B b
là hai
ñ
i

c
(
)
0,1
t
∈
sao cho
(
)
1
z t a tb
= − +
, trong
ñ
ó
(
)
M z
.
(3)
(
)
(
)
arg arg
z a b a
− = −
;
(4)
z a

, trong ñó
(
)
M z
;
(3)
z a
b a
−
∈
−
ℝ
;
(4)
0
z a z a
b a b a
− −
=
− −
;
(5)
1
1 0
1
z z
a a
b b
=
.

n
th
ẳ
ng
AB
theo t
ỉ
s
ố

{
}
\ 1
k
∈
ℝ
nếu
.
MA k MB
=
 
. Từ hệ thức này, ta có ñược
( ) ( )
1
1
a kb
a z k b z k z a kb z
k
−
− = − ⇔ − = − ⇔ =

i
ể
m
M
c
ủ
a
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng
[
]
AB
có t
ọ
a
ñộ
ph
ứ
c là
2
M
a b
z
+
=
; tr

u các
ñỉ
nh c
ủ
a nó theo th
ứ
t
ự
ng
ượ
c chi
ề
u quay c
ủ
a kim
ñồ
ng
h
ồ
. Ng
ượ
c l
ạ
i, ta nói tam giác có h
ướ
ng âm. Xét các
ñ
i
ể
m phân bi

ñược ñịnh hướng nếu các ñiểm
1 2
,
M M

theo thứ tự ngược chiều quay của kim ñồng hồ.

Mệnh ñề. Số ño của góc ñịnh hướng

1 2
M OM
là
2
1
arg
z
z
.
Chứng minh.
Ta xét hai tr
ườ
ng h
ợ
p
(i)

N
ế
u tam giác
1 2

z
M OM M OM
z
π π= − = −
.
Do
ñ
ó

1 2 2
1 2
2 1 1
2 arg 2 2 arg arg
z z z
M OM
z z z
π π π
 



= − = − − =





 
.
Chú ý. M

2
1
1 1
1
1 2
i i
z i
i
z i
− + −
− +
= = =
+
. Từ ñó suy ra
 
( )
1 2 2 1
3
arg , arg
2 2
M OM i M OM i
π π
= = = − =

b) Cho
1 2
, 1
z i z
= =
. Khi

1 1 2 2 3 3
, ,
M z M z M z
. Khi
ñ
ó, góc
ñị
nh h
ướ
ng

2 1 3
M M M

có số ño là
3 1
2 1
arg
z z
z z
−
−
.
Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector
1
M O

. Qua phép tịnh tiến này, các ñiểm
(
)

' '
3 1
2 1 3 2 3
2 1
arg
z z
M M M M OM
z z
−
= =
−
.
Ví dụ. Cho
1 2 3
4 3 , 4 7 , 8 7
z i z i z i
= + = + = +
. Khi ñó
(
)
2 1
3 1
1
4 1
4 4 2 2
i i
z z i i
z z i
−
− +

(
)
, 1, 2,3,4
i i
M z i
=
. Khi
ñ
ó s
ố

ñ
o c
ủ
a góc
ñượ
c xác
ñị
nh gi
ữ
a
hai
ñườ
ng th
ẳ
ng
1 3 2 4
,
M M M M
bằng

= +
, và
(
)
M z
. Ta có
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

22

(
)
(
)
cos sinz r t i t
ε α α
 
= + + +
 
,
(
)
,arg argz r z z
ε ε α
= = +
.
Do
ñ
ó

(
)
B b
qua phép quay tâm
(
)
A a
, góc quay
α
. Khi ñó
(
)
c a b a
ε
= + −
, trong ñó
cos sin
i
ε α α
= +

Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector
AO

, khi ñó các ñiểm
, ,
A B C
lần lượt trở
thành các ñiểm
(

.
2.2.2 Các ñiều kiện thẳng hàng , vuông góc và cùng thuộc một ñường tròn
Cho bốn ñiểm phân biệt
(
)
, 1, 2,3,4
i i
M z i
=
.
Mệnh ñề 1.
Các
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 2 3
, ,
M M M
th
ẳ
ng hàng khi và ch
ỉ
khi
*
3 1
2 1
z z

hay
*
3 1
2 1
z z
z z
−
∈
−
ℝ
.
Mệnh ñề 2. Các ñường thẳng
1 2 3 4
,
M M M M
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
*
1 2
3 4
z z
i
z z
−
∈
−
ℝ
.
Chứng minh. Ta có
1 2 3 4
M M M M

 
∈
 
 
−
 
 
hay
*
1 2
3 4
z z
i
z z
−
∈
−
ℝ
.
Chú ý. Khi
2 4
M M
≡
ta có
1 2 3 2
M M M M
⊥
nếu và chỉ khi
*
1 2

i
z z i
− −
= =
− − −
hay
1 2 3 4
M M M M
⊥
.
Mệnh ñề 3.
B
ố
n
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 2 3 4
, , ,
M M M M
(x
ế
p theo th
ứ
t
ự
này) cùng thu

1 2 3 1 2 3
3 ,
M M M M M M
π π
+ ∈
hay
{ }
3 2 1 4
1 2 3 4
arg arg 3 ,
z z z z
z z z z
π π
−
−
+ ∈
− −

hay
{ }
3 2 3 4
1 2 1 4
arg arg 3 ,
z z z z
z z z z
π π
− −
− ∈
− −
, t

1 2 3 4
, , ,
M M M M
.
(2) Các
ñiểm
1 2 3 4
, , ,
M M M M
thẳng hàng khi và chỉ khi
*
3 2
1 2
z z
z z
−
∈
−
ℝ
và
*
3 4
1 4
z z
z z
−
∈
−
ℝ
.

z z
−
∉
−
ℝ
.
Ví dụ. (1) Bốn số phức có ảnh hình học lần lượt là
1, , 1,
i i
− −
cùng thuộc một ñường tròn. Thật
v
ậy, vì tỉ số kép
*
1 1
: 1
1 1
i i
k
i i
− − − +
= = − ∈
− +
ℝ
và
1 1
,
1 1
i i
i i

k
i i
− + −
= = ∈
− + −
ℝ
và
*
4 4
4
1
i
i
− +
= ∈
− +
ℝ
.
2.2.3 ðiều kiện các tam giác ñồng dạng và tam giác ñều
2.2.3.1 ðiều kiện các tam giác ñồng dạng
ðịnh nghĩa. Cho sáu ñiểm
(
)
(
)
(
)
(
)
(

(
)
1,2,3
k k
A B k
= =
.
Mệnh ñề 1.
Các tam giác cùng h
ướ
ng
1 2 3
A A A
và
1 2 3
B B B

ñồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i nhau khi và ch
ỉ
khi
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −

hay
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −
=
− −
và
2 1 2 1
3 1 3 1
arg arg
a a b b
a a b b
− −
=
− −
hay
2 1 2 1
3 1 3 1
a a b b
a a b b
− −
=
− −
.
Mệnh ñề 2.
Các tam giác ng
ược hướng
1 2 3

, ,
M b M b M b
. Khi ñó các tam giác
1 2 3
B B B
và
1 2 3
M M M
ñồng dạng với nhau nhưng
ngược hướng. Tức là hai tam giác
1 2 3
A A A
và
1 2 3
M M M
ñồng dạng với nhau và cùng hướng. Từ
ñó ta nhận ñược ñiều cần chứng minh.
2.2.3.2 ðiều kiện tam giác ñều
Mệnh ñề 1.
Giả sử
1 2 3
, ,
z z z
là các tọa ñộ của các ñỉnh của tam giác
1 2 3
A A A
. Khi ñó, các phát
bi
ểu sau ñây là tương ñương:
(a)

;
(e)
1 2 3
1 1 1
0
z z z z z z
+ + =
− − −
, trong ñó
1 2 3
3
z z z
z
+ +
=
;
(f)
(
)
(
)
2 2
1 2 3 1 2 3
0
z z z z z z
ε ε ε ε
+ + + + =
, trong ñó
2 2
cos sin

z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z
ε ε ε ε
= ⇔ + + − + + = ⇔− + + + + =
,
tức là
(
)
(
)
(
)
(
)
a g c f
⇔ ⇔ ⇔
.
Dễ thấy rằng
(
)
(
)
d c
⇔
,
(
)
(
)
a b

cos sin
3 3
i
π π
ε = +
;
(c)
(
)
2 1 3 1
z z z z
ε
− = −
; trong
ñ
ó
5 5
cos sin
3 3
i
π π
ε = +
;
(d)
2
1 2 3
0
z z z
ε ε
+ + =

cos sin
3 3
z z i z z
π π
 


= + + −




 
, hay
(
)
(
)
a b
⇔
.
Tương tự, thực hiện phép quay tâm
1
A
, góc quay
5
3
π
thì
3

  
  
  
= + + − = − + +
  
  
  
  
  
     
.
MATHVN.COM
www.MATHVN.com

25

Do ñó,
2
1 2 3 1 3 1 2 3
1 3 1 3
2 2 2 2
z z z z z z i z i z
ε ε
   
 
 
 
+ + = = + − + + − − =
 
 

0
2 2 2 2
z i z z i z
   
 
 
 
= + − + − + − =
 
 
 
 
 
   
.
Hay
(
)
(
)
b d
⇔
.
Mệnh ñề 3. Giả sử
1 2 3
, ,
z z z
là các tọa ñộ của các ñỉnh
1 2 3
, ,

ñ
ó
cos sin
3 3
i
π π
ε = + ;
(d)
2
1 2 3
0
z z z
ε ε
+ + =
, trong
ñ
ó
2 2
cos sin
3 3
i
π π
ε = + .
Chứng minh. Xin dành cho bạn ñọc, chú ý rằng
1 2 3
A A A
là tam giác ñều ñịnh hướng âm khi và
chỉ khi
1 3 2
A A A

Khi
ñ
ó,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
b a c a b c
⇒ ⇒ ⇔
.
Chứng minh.

(
)
(
)
b a
⇒
. Ta có
1 2 2 3 3 1
. . .

hay
2 2 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
, ,
z z z z z z z z z
= = =
.
C
ộng các ñẳng thức trên theo từng vế, ta nhận ñược
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z
+ + = + +
, do ñó
tam giác
1 2 3
A A A
là tam giác ñều.
Ta cũng dễ dàng chứng minh ñược
(
)
(
)
b c
⇒
và chiều ngược lại, vì vậy
(
)
(
)