TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗

A. Tính gần đúng tổng của một chuỗi số dương 4
1. Dấu hiệu tích phân 5
2. Dấu hiệu D’Alambert 7
3. Dấu hiệu Cauchy 10
4. Dấu hiệu so sánh 14
B. Tính gần đúng tổng của một chuỗi đan dấu 16
1. Dấu hiệu Leibnitz 16
2. Công thức Calabrese 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO 21
2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Cho trước một chuỗi hội tụ
∑
∞
=
1i
i
a
(*) và số tự nhiên k. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để ta
có thể xác định S* là một giá trị gần đúng của
∑
∞
=
=
1i
i
aS
thỏa
i. S* có k chữ số sau dấu phẩy.
ii.

Tuy nhiên tùy theo chuỗi (chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, ) mà sẽ lựa chọn tiêu chuẩn
khảo sát sự hội tụ như: Tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy,
tiêu chuẩn Lebinite, tiêu chuẩn so sánh… để có thể đánh giá sai số khi lấy tổng riêng thay
cho giá trị của chuỗi. Nghĩa là xác định
0
ε
>
sao cho
n
S S
ε
− <
thông qua tiêu
chuẩn hội tụ của chuỗi(*).
Trong phần này, chúng ta khảo sát mỗi chuỗi số dương và chuỗi đan dấu.
II.2. Cơ sở lý luận
- Cho dãy số {a
n
}. Biểu thức
∑
∞
=
1i
i
a
= a
1
+a
2
+….+a

=
= + + + =
∑
n
n n i
i
S a a a a
là tổng riêng thứ n của chuỗi
∑
∞
=
1i
i
a

Ta có: chuỗi
∑
∞
=
1i
i
a
có tổng bằng S nếu
lim
n
n
S S
→∞
=
và ký hiệu S=

aS
1
làm giá trị gần đúng cho S với sai số không vượt quá

1
ε ε
=
.
Để biểu diễn kết quả ở dạng thập phân, ta cần biểu diễn các
nia
i
,1, =
ở dạng thập phân
Đặt
i
a
là giá trị gần đúng của
i
a
, lấy l chữ số sau dấu phẩy với sai số phù hợp.
Suy ra
1
10
2
l
i i
a a
−
− ≤


* 10
2
−
− ≤
k
n
S S
Ta xét bất đẳng thức sau:
1 2
1
* * 10
2
−
− ≤ − + − + − ≤ + +
k
n n n n
S S S S S S S S
ε ε
Để
* 10
k
S S
−
− ≤
ta sẽ chọn
1 2
,
ε ε
sao cho
1 2

k
k
ε
ε
−
−

≤




≤


4
Do đó
1
2
10 10
4 4
10 .10 10
4 2 4
k k
n
k l k
S S
n
ε
ε

4 4 2
k k
k
S S
− −
− −
− ≤ + + ≤
III. THUẬT TOÁN
+ Tên thuật toán : < tính gần đúng cho tổng của chuỗi hội tụ >
+ Input: k, a
n
+ Output: S
*
+ Giải thuật :
B1: Tìm n nguyên dương bé nhất sao cho
4
10
1
k
ni
in
aSS
−
∞
+=
≤=−
∑
B2: Tìm l nguyên dương bé nhất sao cho
n
kl

B4: Kết luận S* là kết quả cần tìm và

* 10
k
S S
−
− ≤
IV. ÁP DỤNG
A. TÍNH GẦN ĐÚNG TỔNG CỦA MỘT CHUỖI SỐ DƯƠNG
Cho chuỗi
1
k
k
S a
∞
=
=
∑
và
1
n
n k
k
S a
=
=
∑
,
( )
0

S a
∞
=
=
∑
hội tụ và
( ) ( )
1
1
n
k n
S S f k f x dx
∞
+∞
= +
− = ≤
∑
∫
và
( )
0
n
f x dx
+∞
→
∫
Chứng minh
Vì
f
là hàm giảm nên

+
= = =
⇒ ≥ ≥ +
∑ ∑ ∑
∫
( ) ( ) ( )
1
1
m
m m
k n k n
n
f k f x dx f k
+
= =
⇒ ≥ ≥ +
∑ ∑
∫
Khi chuỗi
( )
m
k n
f k
=
∑
hội tụ, ta có
( )
{ }
1m
n

∑
. Kết quả ghi ở dạng
biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá
3
10
−
.
Giải
Xét hàm số
( )
4
1
f x
x
=
là hàm liên tục giảm, không âm trên
[
)
1,
+∞
Với
4
1
lim 0
x
x
→∞
=
và
( )

x
∞
=
∑
hội tụ và
( ) ( )
3
1
1
3
n
n
k n
S S f k f x dx
n
∞
∞
=+
− = < =
∑
∫
Áp dụng thuật toán, ta có:
B1: Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho:
3
4 3
1 1 10
3. 4
n
dx
x n

k
a
như sau:
k
k
a
1 1
2 0,06250
3 0,01235
4 0,00391
5 0,00160
6 0,00077
7 0,00042
8 0,00024
9 0,00015
10 0,00010
11 0,00007
12 0,00005
∑
1.08215
B3: Tính
12
12
1
1,08216
k
k
a S
=
= =

− ≤ + +
*
0,001S S
− ≤
nghĩa là
* 3
S S 10
−
= ±

+ Áp dụng: Khi số hạng tổng quát
n
a
của chuỗi có thể xem như f(n) và có tích phân suy
rộng dễ dàng tính được.
+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít (n tương đối nhỏ), giải quyết được vấn đề
n
n
n
a 1
lim 1
a
→∞
+
=
mà dấu hiệu D’ Alambert không xét được sự hội tụ.
+ Nhược điểm: Trong quá trình tính toán, ta có thể gặp khó khăn trong việc tính tích
phân suy rộng và sử dụng các hàm phức tạp như arctan, arcsin…
2. Dấu hiệu D’Alambert
Giả sử

 
 
giảm tới L thì
n 1
n
n 1
n
a
S S
a
1
a
+
+
− <
−
và
n
n 1
n 1
n
a
0
a
1
a
→∞
+
+
→

−
 
Chứng minh:
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
n 1
n
a
a
+
 
 
 
là dãy dương, giảm
Khi đó
N 0
∃ ≥
sao cho
n N
>

Đặt
N 1
N
a
r
a

8

2
n 2 n 1 n
a a r a r
+ +
< =

3
n 3 n 2 n
a a r a r
+ +
< =
…………………
Khi đó:
1 1
n
n k k
k k
S S a a
∞
= =
− = −
∑ ∑
=
1 1 1
k k
k n n
k n k k
a r a a r

k
a
∞
=
∑
hội tụ.
Mặt khác
1
1
1
1
1
k
n
n n n
n
k
n
a
r
S S a r a
a
r
a
∞
+
+
=
− < = <
∑

a
a
+
 
 
 
tăng tới L nên
n 1
n
a
L
a
+
<
Do đó
n 1 n
a a L, k n
+
< ∀ >2
n 2 n 1 n
a a L a L
+ +
< =

3
n 3 n 2 n
a a L a L


1
a
k
k n
∞
∑
= +
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Mặt khác:
1
1
k
n n
k
L
s s a L a
n
L
∞
=
 
− < =
 ÷
−
 
∑
(ii)
Ví dụ: Tính gần đúng cho tổng của chuỗi
2

2
6
lim 0
(4 )!
n
n
n
→∞
=
Ta có:
1
36
lim lim 0 1
(4 1)(4 2)(4 3)(4 4)
n
n n
n
a
a n n n n
+
→∞ →∞
= = <
+ + + +
Xét dãy
1n
n
a
a
+
 

a
n n
a
+
+
+
=
+ −
−
Áp dụng thuật toán, ta có
Bước 1: Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
2 2 5
6 10
(4 4)! 36(4 )! 4
n
n n
+ −
≤
+ −
Chọn n = 3
Bước 2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
5
10 10
2 4.3
l− −
≤
Chọn
6l =

k
k
a S
=
= =
∑
Làm tròn
3
S
đến chữ số thập phân hàng thứ (-5) ta được:
1.53224S
∗
=
Bước 4: Kết luận Chọn
1.53224S
∗
=
là giá trị gần đúng thay cho S thì
( )
8 6 5
6 3.10 10
16! 36.12! 2 2
S S
− −
∗
− ≤ + +
−
0,00000008 0,0000015 0,000005S S
∗
− ≤ + +

a
a
+
→∞
=
3. Dấu hiệu Cauchy :
Giả sử (a
n
) là dãy dương, giảm và
lim 1
n
n n
a L
→∞
= <
. Khi đó theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi
1
n
n
S a
∞
=
=
∑
hội tụ và có:
i. Nếu
n
n
a
giảm tới L thì

tăng tới L thì
1
1
n
L
s s
n
L
+
− <
−
và
1
1
0
n
L
n
L
+
→ ∞
−
uuuuuur
Chứng minh:
• Giả sử
{ }
n
a
và dãy
{ }

n 1
a r , k n
+
+
< ∀ >

n 2
n 2
a r
+
+
<
n 3
n 3
a r
+
+
<
…………………
Khi đó:
∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
+==
∞
=
=<=−=−

a
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
∑
∞
=
⇒
1k
k
a
hội tụ.
Mặt khác:
1
1
1
1
1
∞
+
=
+
− < = <
∑
−
−
k
n
k
n n n
n

a L k n
k
< ∀ >
Khi đó
n 1
n 1
a L , k n
+
+
< ∀ >

n 2 2
n 2 n
a L a L
+
+
< =
n 3
n 3
a L
+
+
<
…………………
n k
n k
a L
+
+
<

)
1
k
k n
a
∞
= +
⇒
∑
hội tụ (dấu hiệu so sánh)
Theo tính chất chuỗi hội tụ thì
1
k
k
a
∞
=
∑
hội tụ.
Mặt khác:
1
1
1
n
k
n n
k
L
S S a L
L

Kiểm tra điều kiện:
n
2
n
2
2n 1
a
3n 1
 
−
=
 ÷
−
 
là dãy dương, giảm thì
n
2
n
n
n
2
n n
2n 1 2
lim a lim 1
3n 1 3
→∞ →∞
 
−
= = <
 ÷

− < = =
 ÷
−
 
−

Áp dụng thuật toán ta có:
Bước 1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
2
i
i n 1
10
a
4
−
+∞
= +
≤
∑n
2
2 10
2
3 4
−
 
⇒ ≤
 ÷

làm tròn đến chữ số hàng thứ
(-3), được
k
a
theo bảng sau:
K
k
a
1 0,5
2 0,405
3 0,280
4 0,189
5 0,127
6 0,085
7 0,057
8 0,038
9 0,026
10 0,017
11 0,011
∑
1.735
Bước 3: Tính
11
S 1,735
=

Làm tròn
11
S
đến chữ số hàng thứ (-1) ta được:

Áp dụng: Khi số hạng tổng quát a
n
của chuỗi số có chứa các lũy thừa bậc n của các thừa
số.
Ưu điểm: Quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép toán đơn giản.
Nhược điểm: Trong một số trường hợp, việc chúng minh dãy
{ }
n
n
a
là dãy tăng hay giảm
cũng không phải là chuyện đơn giản. Ngoài ra không thể dùng phương pháp này để tính
gần đúng nếu
lim 1
n
n n
a
→∞
=
14
4. Dấu hiệu so sánh:
Cho hai chuỗi số dương
1
k
k
a
∞
=
∑
và

a
∞
=
∑
hội tụ và có i. Nếu
a
n
b
n
n
 
 
 
 
 
giảm tới L thì
1
a
n
b K
k n
b
k n
n
∞
<
∑
= +
ii. Nếu
n

, k n
b b
< ∀ >
Do đó:
n
k k
n
a
a b , k n
b
< ∀ >
Nên ta có:
1 1
n n
n k k n
k n k n
n n
a a
S S a b K
b b
∞ ∞
= + = +
− < < <
∑ ∑
(vì
1
k
k n
b K
∞

k 1
k
k 1
∞
=
∑
+
. Kết quả ghi ở dạng biểu diễn
thập phân gần đúng, dạng chính tắc, sai số không quá
1
10
−
.
Giải
Xét dãy
{ }
n
a
:
{ }
n n n
4 3
n 1
a , b : b
n 1 n
= =
+
là dãy dương thì
4
n

∫

Chọn
n
2
1
K
2n
=
thì
k n 1
k n
b K
∞
= +
<
∑
và
n
n
limK 0
→∞
=

15
Do
n
n
n
a

1
10 10
2 4.7
− −
≤
l
Chọn
3
=
l
Lấy giá trị biểu diễn thập phân các số hạng
( )
( )
k 1
k
4
k
a , k 1,7
k 1
∞
=
= =
∑
+
làm tròn đến
chữ số hàng thứ -3 được bảng sau:
k
k
a
k

2.7 2 2
S S
− −
∗
− ≤ + +
1
0,0102 0,0035 0,05
0.1 10
S S
S S
∗
∗ −
− ≤ + +
− ≤ =

Áp dụng: Ta chọn các chuỗi số mà tính hội tụ đã biết để so sánh với các chuỗi số khác.
Ví dụ: Chuỗi số
0
n
n
q
∞
=
∑
hội tụ khi
1q
<
và
0
1

k k
S a u
∞ ∞
+
= =
= = −
∑ ∑
và
1
1
( 1)
k
n k
k
S u
∞
+
=
= −
∑
là tổng riêng thứ
của chuỗi. Giả sử
{ }
n
u
là dãy giảm và thỏa
lim 0
n
n
u

Vì
{ }
n
u
là dãy giảm nên
2 2 1
0
n n
u u
+
− >
,
{ }
2 1n
S
−
là dãy giảm và bị chặn dưới.
Tương tự ta cũng có:
2 2 2 2 1 2 1 2n n n n n
S S u u S
+ + +
= + − >
.
Vì
{ }
n
u
là dãy giảm nên
2 1 2 1
0

( 1)
2 1
k
k
S
k
+
∞
=
−
=
+
∑
. Kết quả ghi ở dạng biểu
diễn thập phân, dạng chính tắc, sai số không quá
1
10
−
.
Giải: Xét dãy
{ }
n
a
:
n
a
3
1
2 1k
=

n
S S
n
− <
+ +
17
Áp dụng thuật toán, ta có:
B1: Tìm n nguyên dương nhỏ nhất sao cho
1
3
1 10
4
2( 1) 1n
−
≤
+ +
Chọn
10n
=
B2: Tìm số nguyên dương
l
nhỏ nhất sao cho:
1
10 10
2 4.10
l− −
≤
Chọn
3l
=

7 0,038
8 -0,031
9 0,026
10 -0,022
∑
0.407
B3: Tính
10
10
1
0,407
k
k
a S
=
= =
∑

Làm tròn
10
S
đến chữ số hàng thứ
( )
1
−
ta được :
0,4S
∗
=
B4: Kết luận

a
∞
+
=
−
∑
khi
lim 0
n
n
a
→∞
=
và
1n n
a a
+
≤
Ưu điểm: Quá trình tính toán đơn giản, việc tìm giá trị n cũng dễ dàng.
Khuyết điểm: Hiệu quả không tốt lắm có thể tìm ra n khá lớn.
18
2. Công thức Calabrese
Giả sử chuỗi
1
1 1
( 1)
n
k k
k n
S a u

và
1
1 2 3
( 1) ( )
n
n n n n
S S b b b
+
− + +
= + − + + +
Do dãy
{ }
n
b
giảm nên
1 3 5 2 3 1

n n n n n n n n
S S b b b b b b S S
+ + + + + −
− = + + + < + + + = −
Vậy
1
,
n n
S S S S n N
−
− < − ∀ ∈
Do
2 1

∞
+
=
−
∑
(*). Kết quả ghi ở dạng
biểu diễn thập phân, dạng chính tắc, sai số không quá
5
10
−
.
Giải:
Xét dãy
{ }
6
:
(2 )!
n
n n
a a
n
=
là dãy dương, giảm và
6
lim 0
(2 )!
n
n
n
→∞

. 1
(2 2)! 6 2(2 1)(2 2) 2
n
n
n
n
a
n
a n n n
+
+
= = ≤ <
+ + +

1
0
n n
a a
+
⇒ − <
hay
0
n
b
<
.
19
Theo công thức Calabrese, ta có:
, 1
2

Lấy giá trị biểu diễn thập phân của các số hạng
( )
6
, 1,7
(2 )!
k
k
a k
k
= =
làm tròn đến
chữ số hàng thứ -6 ta được
k
a
theo bảng sau:
k
k
a
1 3
2 -1,5
3 0,3
4 -0,032143
5 0,002143
6 -0,000097
7 0,000003
B3: Tính
7
1
1,769906
k

0,00001 10
S S
S S
∗
∗ −
− ≤ + +
− ≤ =
Áp dụng: Chuỗi số đan dấu
1
1
( 1)
k
k
k
a
∞
+
=
−
∑
khi
lim 0
n
n
a
→∞
=
và
1n n
a a

∞ ∞
−
= =
= −
∑ ∑
Nhưng quá trình tính toán sẽ mất rất nhiều thời gian và khó khăn trong việc xác định
sai số cho từng chuỗi.
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài giảng TS.Trịnh Công Diệu
2. Tài liệu khóa trước
3. Sách giải tích hàm một biến của TS. Nguyễn Cam.
4. Chuỗi và phương trình vi phân của Đỗ Công Khanh – Ngô Thu Lương.
5. Internet
22