Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài số 1
Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.1. Hàm số một biến số
1. Định nghĩa hàm số
Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của
R
. Tương ứng
:
f D E
→
cho tương ứng
mỗi phần tử
x D
∈
với duy nhất một phần tử
y E
∈
được gọi là hàm số một biến số
thực.

+ Tập D được gọi là miền xác của f.
+ Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f.
+
x D
∈
được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ).
+ ( ),
f x x D
∈

=
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

Nhận thấy khi x tiến gần đến
0
2
x
=
thì các giá trị các hàm số
( )
f x
tiế
n g
ầ
n
đế
n 4.
Ta nói r
ằ
ng hàm s
ố
có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng 4 khi
0

→
=
n
ế
u v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ
dãy
{
}
n
x
mà
0
n
x x
→
thì lim ( )
n
n
f x L
→∞
=
.
Định nghĩa 2
: theo ngôn ng
ữ

không có gi
ớ
i h
ạ
n khi
0
x x
→
, ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
→
không t
ồ
n t
ạ
i.
+ Khi tìm gi
ớ
i h
ạ
n, ta ch
ỉ
quan tâm
đế
n các giá tr

i
0
x x
=
nh
ư
ng ph
ả
i xác
đị
nh t
ạ
i các
đ
i
ể
m thu
ộ
c lân c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m
đ
ó.


ủ
a
( )
f x
khi
1
x
→
. T
ừ

đ
ó xem
( )
f x
d
ầ
n
đế
n giá tr
ị
nào. Nh
ậ
n th
ấ
y khi x ti
ế

ạ
n b
ằ
ng 0,5 khi
0
1
x x
→ =
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Cách mô t
ả
này ch
ủ
y
ế
u cho ta dáng
đ
i
ệ
u c
ủ
a f(x) khi x g
ầ
n a, d
ự

đ
oán giá tr
ị

Sử dụng định nghĩa
, ch
ỉ
ra r
ằ
ng
2
1
1 1
lim
2
1
x
x
x
→
−
=
−
.
Th
ậ
t v
ậ
y, cho tr
ướ
c
0
ε
>

ụ
3: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
0
1
lim cos
x
x
→

Gi
ả
i:
Đặ
t
1
( ) cos
f x
x
= .
+ V
ớ
i
1
x
2n
=

ồ
n t
ạ
i.
3. Giới hạn ở vô cực
Đị
nh ngh
ĩ
a:
lim ( ) 0
x
f x L
ε
→+∞
+ = ⇔ ∀ >
,
0
N
∃ >

đủ
l
ớ
n, sao cho
( )x N f x L
ε
∀ > ⇒ − <
.
lim ( ) 0
x

.
+ T
ừ

2
1 1
0 x
x
ε
ε
− < ⇔ >
.
+ Ta có:
0
ε
∀ >
, ch
ọ
n
2
1
N
ε
= . Khi
đ
ó
( ) 0x N f x
ε
∀ > ⇒ − <
.

lim ( ) ( )
x a
f x g x L M
→
− = − 3. lim . ( )
x a
c f x cL
→
=
4.
lim ( ). ( ) .
x a
f x g x L M
→
=
5.
( )
lim
( )
x a
f x L
g x M
→
= n
ế
u
0

c
( ) ( ) ( )
f x g x h x
≤ ≤
trong
lân c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m a. Khi
đ
ó n
ế
u lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L
→ →
= =
thì lim ( )
x a
g x L
→
=
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Ví d

x
x
x
→∞
=
, hay ta có
đ
pcm.
5. Một số phương pháp khử dạng vô định:

0
, , , 1 .
0
∞
∞
∞ − ∞
∞

+ Phân tích
đ
a th
ứ
c thành nhân t
ử
ho
ặ
c nhân bi
ể
u th
ứ

gi
ớ
i h
ạ
n c
ơ
b
ả
n sau:

0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
,
0
1
lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=

→+∞
= < <
, …
Ví d
ụ
6: Tìm
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
→
−
−
.
Gi
ả
i: + D
ạ
ng
0
0
.
+
(
)

−
− + + + + + +
.
Ví d
ụ
7: Tìm
3
2
1 2 3
lim
2
x
x x
x
→
− − −
−

+ D
ạ
ng
0
0

+
(
)
(
)
(

dang
x
x
x
→
− −
=
−

+
(
)
0
0
2
2 3 1
lim
2
dang
x
x
x
→
− −
=
−
.
+ V
ậ
y

ng
∞
∞
.
+
lim
1
x
x x
x
→+∞
+
=
+

+ KQ: 1.
Ví d
ụ
9: Tìm
(
)
2
lim
x
x x x
→+∞
+ −
+ D
ạ
ng

→+∞
 
+
 
−
 
,
+ D
ạ
ng
1
∞

+
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2 2
1
1
2 2
2
2
lim

 
 
+
 
 
= + = =
 
 
 
− −
 
 
 
 
.
Ví d
ụ
11: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
0
1 cos .cos 2
lim
1 cos
x
x x
x
→

i h
ạ
n sau
( )
2
1
0
lim cos
x
x
x
→
.
+ D
ạ
ng
1
∞

+ Ta có:
( )
2
cos 1 1 cos 1 2sin
2
x
x x
= − − = −+

ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f(x) khi
,
x a x a
→ <
(ho
ặ
c
,
x a x a
→ >
) n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i g
ọ
i là
gi
ớ
i h
ạ
n trái ( ho
ặ

Đị
nh lý: T
ồ
n t
ạ
i lim ( )
x a
f x L
→
=
khi và ch
ỉ
khi
lim ( )
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x a
x a
x a x a
f x
f x
f x f x L
−
+
− +
→
→
→ →

∃

x x
x
x
x x
+ +
→ →
= =
,
0 0
lim lim 1
x x
x
x
x x
− −
→ →
−
= = −
. V
ậ
y
0
lim
x
x
x
→
không t
ồ
n t

i c
ủ
a
(
)
4
lim
x
f x
→
.
GI
Ả
I:
Vì
(
)
4
f x x
= −
v
ớ
i
4
x
>
, chúng ta có:
(
)
4 4

= − = − =

Gi
ớ
i h
ạ
n trái và gi
ớ
i h
ạ
n ph
ả
i b
ằ
ng nhau. Vì v
ậ
y, gi
ớ
i h
ạ
n t
ồ
n t
ạ
i và
(
)
4
lim 0
x

i là vô cùng bé, vi
ế
t t
ắ
t là VCB khi
0
x x
→ n
ế
u
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
=
. Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ
i là vô cùng l
ớ
n, vi
ế
t t
ắ
t là VCL khi
0

( )
x x x x
f x
f x
→ →
= ∞ ⇔ =
.
1
( ) (1 )
x
f x x
= +
♦
N
ế
u
0
( )
lim 1
( )
x x
f x
g x
→
=
ta nói r
ằ

.
ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v×
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=

Định lý:
N
ế
u f(x)
∼
f*(x), g(x)
∼
g*(x) khi
x x
→
0
. Khi
đ
ó :
0 0
*
*
( ) ( )

e ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0
Do
đ
ó :
2
0 0
1 2 2
lim lim
ln(1 sin 3 ) 3 3
x
x x
e x
x x
→ →
−
= =
+
.
1.3. Tính liên tục của hàm số
1.
Đị
nh ngh
ĩ
a
Định nghĩa 1
: Hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c t

ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m thu
ộ
c mi
ề
n D.
Chú ý: T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a 1, ta th
ấ
y
để
y = f(x) liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể

ồ
n t
ạ
i
0
lim ( )
x x
f x
→
.
3.
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=

Nh
ậ
n xét:
+ Các
đ
a th
ứ
c, hàm phân th
ứ
c, hàm h
ữ

t
đườ
ng cong tr
ơ
n trên
kho
ả
ng này (t
ứ
c là không b
ị
gãy, không b
ị

đứ
t
đ
o
ạ
n).
Đị
nh ngh
ĩ
a 2: Hàm s
ố
f (x)
đượ
c g
ọ
i là

t
ạ
i
0
x
n
ế
u
(
)
(
)
0
0
lim
x x
f x f x
−
→
=
.Hàm s
ố
y = f (x) liên t
ụ
c t
ạ
i


( )
2
2
2
2
1 2
x x
x
f x
x
x

− −
≠

=
−


=


+ Ta th
ấ
y hàm s
ố
liên t
ụ
c t

f x x f
x x
→ → → →
− +
− −
= = = + = =
− −

Nh
ư
ng
(
)
(
)
2
lim 2
x
f x f
→
≠
. Nên f không liên t
ụ
c t
ạ
i 2.
Ví d
ụ
17: Tìm a
để

ớ
i m
ọ
i
0
x
≠
,
để
hàm s
ố
liên t
ụ
c trên R thì nó ph
ả
i liên t
ụ
c t
ạ
i
0
x
=
.
+ T
ạ
i
0
x
=

hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 0 thì
(0 ) (0 ) (0) 1 2 3
f f f a a
+ −
= = ⇔ − = ⇔ =
.

Ví d
ụ
18: Hàm s
ố
f(x) không xác
đị
nh t
ạ
i x = 0, hãy xác
đị
nh f(0)
để
hàm s
ố
f(x) liên
t
ụ

x x
f f x x e
→ →
= = + =
.
2.
Đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c
ủ
a hàm s
ốĐị
nh ngh
ĩ
a: Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ
i là gián
đ

đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n
lo
ạ
i 1.

Đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n khác (không ph
ả
i lo
ạ
i 1) g
ọ
i là gián

b.
1
1
( )
1
x
x
f x
e
−
=
−

Giải
: a. Xét t
ạ
i x = 0

(
)
0
lim
x
f x
+
→
=(

+ −
→ →
= =

nên x = 1 là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 1.

♦
T
ạ
i x = 0.

(
)
(
)
0 0
lim lim
x x
f x f x
+ −
→ →
= =

nên x = 0 là gián

cos x
f ( x)
x x
π



≤


=



− >



1
2
1 1

(
Đ
S: x = - 1 là
đ
i
ể
m gián
đ

f x
là m
ộ
t hàm m
ớ
i có giá tr
ị

t
ạ
i
đ
i
ể
m x
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i gi
ớ
i h
ạ
n sau (khi gi
ớ
i h
ạ
n t
ồ

y = f(x)
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi t
ạ
i a.
+ Hàm kh
ả
vi là hàm s
ố
kh
ả
vi t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m trong t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.

ế
n c
ủ
a
đườ
ng cong y = f(x) t
ạ
i P.
+ Có nhi
ề
u cách ký hi
ệ
u khác nhau c
ủ
a
đạ
o hàm hàm s
ố

( )
y f x
=
:
'( )
f x
, y’ ,
dy
dx
,
( )

y
theo
x
.
+ N
ế
u ta mu
ố
n vi
ế
t giá tr
ị
s
ố
c
ủ
a
đạ
o hàm t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ụ
th
ể

nên
0
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
'( ) lim lim
x x x
f x f x
f x x f x
f x
x x x
∆ → →
−
+ ∆ −
= =
∆ −
.

2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa:●

Bc 1
. Tìm s
ố
gia f(x +
∆

i h
ạ
n c
ủ
a t
ỷ
s
ố
trên khi
∆
x
→
0. N
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i thì
đ
ó
chính là
đạ
o hàm c


B
ướ
c 1:
1 1 ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x x x
f x x f x
x x x x x x x x x
− + ∆ −∆
+ ∆ − = − = =
+ ∆ + ∆ + ∆

B
ướ
c 2.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
)(
1
)()(
00
xxxx
xfxxf
∆+
−
=
∆
−∆+


= =
và cho bi
ế
t nó không kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m nào
Gi
ả
i :
2
2
, 0
( )
, 0
x x
y f x x x
x x

≥

= = =

− <


∆ ∆
, hàm s
ố
kh
ả
vi t
ạ
i x = 0.
V
ậ
y hàm s
ố
kh
ả
vi v
ớ
i m
ọ
i x.
Ví d
ụ
3: Hàm s
ố

( -1)ln( 1) 1 1
( )
2 1 1

x x x
f x

1
( ) (1)
lim
1
x
f x f
x
−
→
−
=
−

V
ậ
y hàm s
ố
không kh
ả
vi t
ạ
i x = 1.
Ví d
ụ
4: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế

nên
(0) 0 (0) 0
f f
≤ ⇔ =
.
Ta có
(0 ) (0) ( )
0
f x f f x
x
x x
+ ∆ − ∆
≤ = ≤ ∆
∆ ∆
, mà
0
lim 0
x
x
∆ →
∆ =

Nên
0
(0 ) (0)
'(0) lim 0
x
f x f
f
x

ể
m x thì :
0lim
0
=∆
→∆
y
x

+

M
ộ
t hàm
kh vi ti mt đim thì liên tc ti đim đó
vì:
0 0 0 0
lim lim lim lim 0 0
x x x x
y y dy
y x x
x x dx
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
 
 
∆ = ⋅ ∆ = ∆ = ⋅ =
 
 
∆ ∆

ộ
t hàm s
ố

không liên tc
t
ạ
i
0
x

thì s
ẽ

không khả vi tại điểm đó
.
2. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC
1.
0
d
c
dx
=
2.
1
d du
u u
dx dx
α α
α

u
dx u dx
=

7.
cos sin .
d du
u u
dx dx
= −
8.
( )
d du dv
u v
dx dx dx
+ = +
9.
( )
d du dv
uv v u
dx dx dx
= +

10.
2
' '
d u u v v u
dx v v
−
=

ln sin ln
y x
=
 
 

Gi
ả
i:
a.
'
y
=

+ KQ:
2 2
2 1 . 1 1
x
x x
+ + +
.
b.
'
y
=+ KQ:
(
)

ặ
c t
ườ
ng minh) theo x. Ngoài ra y th
ườ
ng
đị
nh ngh
ĩ
a là hàm c
ủ
a x b
ằ
ng
ph
ươ
ng trình
( , ) 0
F x y
=
(1), không gi
ả
i
đượ
c
đố
i v
ớ
i y, nh
ư

xy
=
xác
đị
nh m
ộ
t hàm
ẩ
n c
ủ
a x mà ta có th
ể
vi
ế
t m
ộ
t cách t
ườ
ng minh
là
1
y
x
=
.
+ P/trình 2x
2
- 2xy = 5 - y
2
xác

+ =
ho
ặ
c
dy y
dx x
= −

+ T
ừ
ph
ươ
ng trình ta có
1
y
x
=
nên:
2
1 1 1 1
dy y
y
dx x x x x x
= − = − = − ⋅ = −
.
+ N
ế
u
đạ
o hàm tr

ta có :
2 2 0
dy dy x
xdx y
dx dx y
+ = ⇔ = −
.
2.3. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược
1. Đnh nghĩa :
Cho hàm s
ố
: :
( )
→
→ =
f X Y
x y f x

N
ế
u t
ươ
ng
ứ
ng ng
ượ
c :

−
−
→
→ =
f Y X
y x f y
Có hàm số ngược

1
( )
f x
−

Không có hàm số ngược

2. Công thc hàm s ngc :
Xét hàm s
ố
:
: , ( )
f X Y x y f x
→ → =

Xét ph
ươ
ng trình
ẩ

y f x
có hàm s
ố
ng
ượ
c:

1
1
:
( )
−
−
→
→ =
f Y X
y x f y

trong
đ
ó
1
( )
−
=
x f y
chính là công th
ứ
c nghi
ệ

1 2
x x
≠
thì ta có
1 2
( ) ( )
f x f x
≠
.

Không là hàm 1-1
b. Điều kiện :
N
ế
u
( )
y f x
=
là hàm m
ộ
t - m
ộ
t có TX
Đ
là
X
và MGT là
Y
. Khi
đ


Chú ý :
: + N
ế
u
( )
y f x
=

có hàm ng
ượ
c
1
f
−

thì
+
(
)
1
( ) ,
f f x x x X
−
= ∀ ∈
.
+
(
)
1

ủ
a hai hàm s
ố

đ
ó s
ẽ

đố
i x
ứ
ng
nhau qua
đườ
ng phân giác th
ứ
nh
ấ
t
y x
=
.
4. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp
a) Hàm số
:

:
( )
f
x y f x x

ố
:

[
]
[
]
sin : / 2, / 2 1,1
sin
π π
− → −
→ =
x y x

Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố
ng
ượ
c :

[
]
[
]

ố

đ
o góc mà
sin
=
a b
.


Ví dụ 8:

1
1 1 1
sin sin arcsin
6 2 6 2 2
π π
−
= ⇔ = =
.
c) Hàm ngược của hàm cosine :
T
ươ
ng t
ự
, n
ế
u xét
[
]


tan : , ( , )
2 2
tan
π π
 
− → −∞ ∞
 
 
→ =
x y x

khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố
ng
ượ
c
1
tan : ( , ) ,
2 2
π π
−
 
−∞ + ∞ → −

đườ
ng
đậ
m nét
ở
hình
9.19.

e. Hàm ngược của hàm cotang :

Khi xét
(
)
cotan : 0, ( , )
cot
x y x
π
→ −∞ ∞
→ =

T
ươ
ng t
ự
: Hàm
( )
1
arccot cot ( )
y x x
−

c
1
( )
x f y
−
=
xác
đị
nh trong lân c
ậ
n c
ủ
a
0
y
v
ớ
i
0 0
( )
y f x
=
. Gi
ả
s
ử

Hình 9.19
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
( )

0
y
và
( )
'
1
0
0
1
( )
'
f y
f x
−
 
=
 
.
Ví dụ 9:
Hàm s
ố

( )
y f x x
= =
có hàm ng
ượ
c
1 2
( )

ượ
ng giác ng
ượ
c
Cho u là hàm kh
ả
vi c
ủ
a x, ta có :

1
2
1
(sin )
1
d du
u
dx dx
u
−
=
−

1
2
1
(cos )
1
d du
u


Ví d
ụ
10: Tính dy/dx c
ủ
a hàm s
ố

1 2
tan ln 1
y x x x
−
= − +
.
Gi
ả
i :
1 2
1
tan ln(1 )
2
y x x x
−
= − +
nên
dy
dx
=

1

2.4 .VI PHÂN

a. Định nghĩa :
Cho hàm s
ố

( )
=
y f x
, tích s
ố

'( ).
f x x
∆
g
ọ
i là vi phân c
ủ
a f(x) t
ạ
i
đ
i
ể
m x, kí hi
ệ
u
'( ).
dy f x x

)
( ) ( ) '( ).
y f x x f x f x x o x
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆b. Công thức vi phân.
Quy t
ắ
c tính
đạ
o hàm d
ẫ
n
đế
n các công th
ứ
c vi phân
t
ươ
ng
ứ
ng.

0
d
c
dx
=
d(c) = 0

dx dx dx
= +
d(uv) = vdu + udv

2
( )
du dv
v u
d u
dx dx
dx v v
−
=
d(
2
)
v
udvvdu
v
u
−
=

1
n n
d du
u nu
dx dx
−
=

dx
= +

và nhân v
ớ
i dx, ta
đượ
c
3
(4 6 )
dy x x dx
= +

+
Cách 2
: Chúng ta c
ũ
ng có th
ể
dùng các công th
ứ
c vi phân
ở
trên
dy = d(x
4
+ 3x
2
+ 7) = dx
4

ươ
ng:
d(
2 2 2 2 2
2
2
1. ( ) ( 1 )
)
1
1
x x d x x d x
x
x
+ − +
=
+
+3
2
2 3
2
2 2 3/ 2
2
2 1
2
1
1 ( 1)
1

ộ
t hàm kh
ả
vi
đố
i v
ớ
i x và th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình:
x
2
y
3
- 2xy + 5 = 0.
Hãy s
ử
d
ụ
ng vi phân
để
tìm
dx
dy
.
Gi
ả
i: + L

dx
f(x)
f(x + dx)
f(x) + dy
dy
Hình 5.3
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

3
2 2
2 2
3 2
dy y xy
dx x y x
−
=
−
v
ớ
i
đ
/k
2 2
3 2 0
x y x
− ≠
.




ĩ
a r
ằ
ng khi dx
đủ
nh
ỏ
, thì
đườ
ng cong th
ự
c s
ự
g
ầ
n v
ớ
i ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a nó, và vì th
ế
vi phân dy d
ễ
dàng
đượ

n c
ủ
a
0
( , )
x a b
∈
. Theo công th
ứ
c s
ố
gia c
ủ
a
hàm kh
ả
vi ta có
0 0 0
( ) ( ) '( ).
f x x f x f x x
+ ∆ ≈ + ∆



Ví dụ 15:
Tính x
ấ
p x
ỉ


Cho hàm s
ố
f(x) xác
đị
nh trong kho
ả
ng (a, b). Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y = f(x) có
đạ
o hàm
y’ = f’(x) và f’(x) có
đạ
o hàm thì ta g
ọ
i
đạ
o hàm c
ủ
a f’(x) là
đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm

=
2
x
y e
. Tính
′′′
y
.
Ta có: =
'
y(
)
( )
−
′′
= =
′′′
= = −
2
3
' '
" ' 4 (
3 2 ).
x

n n n
f x g x f x g x

b. Quy tắc Leibniz:
V
ớ
i f, g là các hàm s
ố
có
đạ
o hàm c
ấ
p n, ta có:
−
=
=
∑
( ) ( ) ( )
0
( )
n
n k n k k
n
k
fg C f g

Ví d
ụ
17: Tìm công th
ứ

1
( 1)
1
y x
x
−
= = −
−
, nên
' , "
y y
= =
, …,
Nên
( )
1
1
( 1) !.
( 1)
n n
n
y n
x
+
= = −
−
.
b. N
ế
u

−

− − + >

= =


<


Ví d
ụ
18: Dùng
đạ
o hàm hàm
ẩ
n, tính y” c
ủ
a hàm y = f(x) cho b
ở
i
n n n
x y a
+ =
.
Gi
ả
i:
Đạ
o hàm 2 v

ủ
a x, ta có:

2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 1
( 1) ( 1) . '. ( 1) ( 1) .
''
( 1) ( ) ( 1)
n n n n n n n
n n
n n n n n
n n
n x y n y y x n x y n y x
y
y y
n x y x y n a x
y y
− − − − − − − −
− −
− − −
− −
− − − − + −
= − = −
− + −
= − = −

3. Vi phân c
ấ

( )
d f d df
= .

Quy n
ạ
p ta có: Vi phân c
ấ
p n, kí hi
ệ
u là
n
d f
là vi phân c
ấ
p m
ộ
t c
ủ
a vi phân c
ấ
p (n-
1):
1
( )
n n
d f d d f
−
=
.


ln
y x
=
. Tìm
5
d y

Ta có:
5 (5) 5 5 5
5 5
4! 24
d y y dx dx dx
x x
= = =
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài giảng số 3

CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
a) Định nghĩa: Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :
i. Hàm số đạt GTLN nếu :
( ) , [a,b]

 Chú ý : 1) Nếu hàm số
( )
y f x
=
liên tc trên D, và trên đó nó có duy nht mt
cc tr
+ Nếu cực trị đó là cc tiu thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó.
+ Nếu cực trị đó là cc đi thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó.
2) Nếu hàm số
( )
y f x
=
đồng biến trên
[
]
,
a b
thì
[ ]
[ ]
,
,
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b
a b
f x f b f x f a
= =
.
Nếu hàm số
( )

 Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của chúng bằng 16 và tích của chúng đạt giá
trị lớn nhất.

Gii: + Giả sử x và y là hai số dương mà tổng của chúng bằng 16
+ Vì vậy: x + y = 16
+ Tích của chúng : P = xy
+ Ta có : y = 16 – x , khi đó :
P = xy = x(16 - x) = 16x - x
2
, với 0<x<16
+ Tìm các điểm tới hạn :
16 2 ; 0 8
dP dP
x x
dx dx
= − = ⇔ =
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
+ Lập bảng biến thiên, suy ra GTLN của P: max P=64, tại x = 8. Vậy x = y =8.



 Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật 450m
2
được rào lại.
Nếu một cạnh của mảnh vườn được bảo vệ bởi bức tường của
một kho thóc, thì kích thước chiều dài của tường rào ngắn nhất
là bao nhiêu?

Gii: + Gọi x là chiều rộng của vườn, y là chiều dài của mảnh

= a
2
.

+ Chúng ta phải tìm GTLN của: A = với điều kiện :
+ Đưa A về hàm một biến số x:

(9)

x
y
450ft
2
Barn

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
+ Vì vậy kích thước của hình chữ nhật nội tiếp lớn nhất là
2 2
x a
=
và


+ Vậy
2
min
1
4 4
L
A
π
π
   
= +
   
+
   


+ Giá bán thuận lợi nhất là 1,2 đô la/kg.



 Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất các hộp đựng xà phòng hình trụ nhận a đơn đặt
hàng đối với các hộp có thể tích được chỉ rõ V
0
. Với kích thước nào thì diện tích
toàn phần của một cái hộp như vậy sẽ đạt GTNN và số lượng kim loại cần đến cho
nhà máy là bao nhiêu?

Gii:
+ Giả sử r là bán kính của đáy và h là chiều cao của hộp hình trụ
+ Khi đó thể tích là:
2
0
.
V r h
π
=
(1)
và diện tích mặt toàn phần là:
2

ữ
a hai
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
P
và Q trên
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
kh
ả
vi, t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ

t
đ
i
ể
m c n
ằ
m gi
ữ
a a và b (a < c < b)
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:

/
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
=
−
.
a) Đnh lý 1

ằ
m
gi
ữ
a a và b tho
ả
mãn f’(c) = 0.


Ý nghĩa hình hc:

Đị
nh lý này phát bi
ể
u r
ằ
ng n
ế
u m
ộ
t
đườ
ng cong tr
ơ
n c
ắ
t
tr
ụ
c Ox t

ạ
i
đ
ó ti
ế
p tuy
ế
n có ph
ươ
ng n
ằ
m ngang.


Ví dụ 7.
Hàm s
ố
:
0 1
( )
2 1 2
x x
f x
x x
≤ ≤

=

− ≤ ≤


ừ

đ
i
ể
m x = 1 vì khi
đ
ó
đạ
o hàm
c
ủ
a nó không t
ồ
n t
ạ
i.
Đạ
o hàm f’(x) rõ ràng là không
b
ằ
ng 0 t
ạ
i b
ấ
t k
ỳ

đ
i

ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 1.


Ví dụ 8.
Hàm s
ố
: Hàm s
ố
b
ằ
ng 0 t
ạ
i x = 0 và x = 1, và kh
ả
vi trong kho
ả
ng 0
< x < 1. Hàm s
ố
liên t

ế
t lu
ậ
n c
ủ
a
Đị
nh lý

0

y

x

2

10

1

x

0 1
0 1
x x
f

ng trình
2
0
ax bx c
+ + =
có nghi
ệ
m trong
(
)
0,1
.
Gi
ả
i: Xét hàm s
ố

3 2
( )
3 2
a b
f x x x cx
= + +
:
+ Xác
đị
nh liên t
ụ
c trên
[

c là
2
0 0
0
ax bx c
+ + =
.
V
ậ
y ta
đượ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh.
b) Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình).
N
ế
u hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên [a,b] và kh
ả

vi trên (a,b), khi
đ
ó t
ồ

u 0
b a
< <
thì ta có ln
a b a a b
a b b
− −
< < .
Gi
ả
i: Xét hàm s
ố

( ) ln
f x x
=
:
+ Xác
đị
nh liên t
ụ
c trên
[
]
,
b a
, kh
ả
vi trên
(


+ Ta có
( ) ln
f x x
=
là hàm
đồ
ng bi
ế
n nên :
0 0
0
1 1 1 1 1
0 '( )b x a f x
a x b a b
< < < ⇔ < < ⇔ < <

+ T
ứ
c là
1 ln ln 1
ln ln ln
a b a b a b a b a a b
a b
a a b b a b a b b
− − − − −
< < ⇔ < − < ⇔ < <
−
.
3.3. QUY TẮC L’HOSPITAL