TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ
(Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi)
The width of the interval is , so the width of each of the strips is
These strips divide the interval [a, b] into subintervals
where and . The right-hand endpoints of the subintervals are
Let’s approximate the th strip by a rectangle with width and height ,
which is the value of at the right-hand endpoint (see Figure 11). Then the area of the
th rectangle is . What we think of intuitively as the area of is approximated
by the sum of the areas of these rectangles, which is
Figure 12 shows this approximation for , 4, 8, and 12. Notice that this
approximation appears to become better and better as the number of strips increases,
that is, as . Therefore, we define the area of the region in the following way.
Definition The area of the region that lies under the graph of the
continuous function is the limit of the sum of the areas of approximating
rectangles:
A ෇ lim
n

l

ϱ
R
n
෇ lim
n

l

ϱ
͓ f ͑x

͒ ⌬x ϩиииϩf ͑x
n
͒ ⌬x
Sf ͑x
i
͒ ⌬xi
f
f ͑x
i
͒⌬xS
i
i
x
3
෇ a ϩ 3 ⌬x, x
2
෇ a ϩ 2 ⌬x,x
1
෇ a ϩ⌬x,
x
n
෇ bx
0
෇ a
͓x
0
, x
1
͔, ͓x
1

(a) n=2 (b) n=4 (c) n=8 (d) n=12
Hà nội 2013
Mục lục
Chương 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 4
1.1. Hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Giới hạn của dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Giới hạn của hàm số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 26
2.1. Tiếp tuyến và vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Các định lí về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Quy tắc Lô-pi-tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9. Đường cong trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. TÍCH PHÂN 54
3.1. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5. Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7. Một số ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.1. Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.2. Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.3. Tính thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

element, called , in a set .
We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers.
The set is called the domain of the function. The number is the value of
at and is read “ of .” The range of is the set of all possible values of as
varies throughout the domain. A symbol that represents an arbitrary number in the
domain of a function is called an independent variable. A symbol that represents
a number in the range of is called a dependent variable. In Example A, for
instance, r is the independent variable and A is the dependent variable.
It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2). If is in the domain
of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the
machine produces an output according to the rule of the function. Thus, we can
think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all pos-
sible outputs.
The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a
machine. For example, the square root key on your calculator is such a function. You
press the key labeled
(
or
)
and enter the input x
. If , then is not in the
domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will
indicate an error. If , then an approximation to will appear in the display.
Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical
function defined by .
Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3. Each
arrow connects an element of to an element of . The arrow indicates that is
associated with is associated with , and so on.
The most common method for visualizing a function is its graph. If is a function
with domain , then its graph is the set of ordered pairs

fxy ෇ f ͑x͒͑x, y͒
f
͕͑x, f ͑x͒͒
Խ
x
ʦ
A͖
A
f
af ͑a͒x,
f ͑x͒BA
f ͑x͒ ෇
s
x
f
s
x
s
x
x
ജ
0
x
xx
Ͻ
0
s
x
s


mặt phẳng toạ độ xOy.
A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one
element, called , in a set .
We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers.
The set is called the domain of the function. The number is the value of
at and is read “ of .” The range of is the set of all possible values of as
varies throughout the domain. A symbol that represents an arbitrary number in the
domain of a function is called an independent variable. A symbol that represents
a number in the range of is called a dependent variable. In Example A, for
instance, r is the independent variable and A is the dependent variable.
It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2). If is in the domain
of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the
machine produces an output according to the rule of the function. Thus, we can
think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all pos-
sible outputs.
The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a
machine. For example, the square root key on your calculator is such a function. You
press the key labeled
(
or
)
and enter the input x
. If , then is not in the
domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will
indicate an error. If , then an approximation to will appear in the display.
Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical
function defined by .
Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3. Each
arrow connects an element of to an element of . The arrow indicates that is
associated with is associated with , and so on.

y ෇ f ͑x͒͑x, y͒y
f
fxy ෇ f ͑x͒͑x, y͒
f
͕͑x, f ͑x͒͒
Խ
x
ʦ
A͖
A
f
af ͑a͒x,
f ͑x͒BA
f ͑x͒ ෇
s
x
f
s
x
s
x
x
ജ
0
x
xx
Ͻ
0
s
x

Arrow diagram for ƒ
Hàm số chẵn, lẻ. Cho hàm số f xác định trên A, A là miền đối xứng qua gốc O.
• Hàm số f gọi là chẵn nếu f(x) = f(−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1). Chẳng hạn hàm
f(x) = x
2
là hàm số chẵn.
• Hàm số f gọi là lẻ nếu f(x) = −f(−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1). Chẳng hạn hàm
f(x) = x
3
là hàm số lẻ.
Hàm số đơn điệu.
• Hàm số f(x) được gọi là tăng trên A nếu ∀x
1
, x
2
: x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
).
• Hàm số f(x) được gọi là giảm trên A nếu ∀x
1
, x
2
: x
1

called step functions—they jump from one value to the next. Such functions will be
studied in Chapter 2.
Symmetry
If a function satisfies for every number in its domain, then is
called an even function. For instance, the function is even because
The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric with
respect to the -axis (see Figure 23). This means that if we have plotted the graph of
for , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis.
If satisfies for every number in its domain, then is called an
odd function. For example, the function is odd because
The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24). If we
already have the graph of for , we can obtain the entire graph by rotating
through about the origin.
EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or
neither even nor odd.
(a) (b) (c)
SOLUTION
(a)
Therefore, is an odd function.
(b)
So is even.t
t͑Ϫx͒ ෇ 1 Ϫ ͑Ϫx͒
4
෇ 1 Ϫ x
4
෇ t͑x͒
f
෇ Ϫf ͑x͒
෇ Ϫx
5

Ϫ
f ͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
3
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇
Ϫ
f ͑x͒f
yx
ജ
0f
y
f ͑
Ϫ
x͒ ෇ ͑
Ϫ
x͒
2
෇ x
2
෇ f͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
2
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇ f͑x͒f
0.34
0.56
0.78

1
if 1
Ͻ
x
ഛ
2
if x
Ͼ
2
f
x
Ͼ
2xf
20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
FIGURE 22
C
1
1
0
2
3
4
5
w
x
0
y
x
_x
f(_x) ƒ

neither even nor odd.
(a) (b) (c)
SOLUTION
(a)
Therefore, is an odd function.
(b)
So is even.t
t͑Ϫx͒ ෇ 1 Ϫ ͑Ϫx͒
4
෇ 1 Ϫ x
4
෇ t͑x͒
f
෇ Ϫf ͑x͒
෇ Ϫx
5
Ϫ x ෇ Ϫ͑x
5
ϩ x͒
f ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫx͒
5
ϩ ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫ1͒
5
x
5
ϩ ͑Ϫx͒
h͑x͒ ෇ 2x Ϫ x
2
t͑x͒ ෇ 1 Ϫ x
4

Ϫ
x͒ ෇ ͑
Ϫ
x͒
2
෇ x
2
෇ f ͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
2
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇ f͑x͒f
0.34
0.56
0.78
1.00
if 0
Ͻ
w ഛ
1
if 1
Ͻ
w ഛ
2
if 2
Ͻ
w ഛ
3
if 3

FIGURE 22
C
1
1
0
2
3
4
5
w
x
0
y
x
_x
f(_x) ƒ
FIGURE 23
An even function
x
0
y
x
_x
ƒ
FIGURE 24
An odd function
Hình 1.1: Đồ thị hàm số chẵn (phải) và hàm số lẻ (trái).
• Hàm số f(x) được gọi là không giảm trên A nếu ∀x
1
, x

You can see from Figure 27 that the function is decreasing on the inter-
val and increasing on the interval .͓0, ϱ͒͑Ϫϱ,0͔
f ͑x͒ ෇ x
2
x
1
Ͻ
x
2
Ix
2
x
1
f ͑x
1
͒
Ͻ
f ͑x
2
͒
whenever x
1
Ͻ
x
2
in If͑x
1
͒ Ͼ f ͑x
2
͒

Ͻ
f ͑x
2
͒x
1
Ͻ
x
2
ba
x
2
x
1
͓c, d͔͓b, c͔
͓a, b͔fDC
CBBA
1
1
x
y
h
1
1
y
x
g
1
_1
1
y

0
y
x
y=≈
FIGURE 27
Hình 1.2: Hàm số đơn điệu
Hàm bị chặn. Cho hàm số f(x) xác định trên A.
• Hàm f(x) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ A.
• Hàm f(x) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho f(x) ≥ M , ∀x ∈ A.
• Hàm f(x) được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại M sao cho |f(x)| ≤ M,
∀x ∈ A.
Hàm số tuần hoàn. Cho hàm số f(x) xác định trên A. Nếu tồn tại số T dương sao
cho f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ A thì f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn. Số T nhỏ nhất
trong các số thoả mãn điều kiện trên gọi là chu kì của hàm số f(x).
Chú ý 1.1 (a) Các hàm số sin x, cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là 2π.
(b) Các hàm số tan x, cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là π.
(c) Nếu f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm f(ax) cũng là hàm số tuần hoàn
với chu kì là
T
|a|
.
(d) Tổng hiệu các hàm số tuần hoàn với cùng một chu kì T cũng là hàm tuần
hoàn với chu kì T . Trường hợp các số hạng tuần hoàn nhưng khác chu kì, thì hàm
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.1. Hàm số một biến số 6
tổng là hàm số tuần hoàn với chu kì là bội chung nhỏ nhất của các chu kì của các
hàm số hạng.
Ví dụ 1.1 (1) Hàm số y = a cos(αx) + b sin(αx), α > 0 là hàm số tuần hoàn với
chu kì là

hợp của f và g được kí hiệu bởi f ◦g đọc là ’f o tròn g’.
The procedure is called composition because the new function is composed of the two
given functions and .
In general, given any two functions and , we start with a number x in the domain
of and find its image . If this number is in the domain of , then we can cal-
culate the value of . The result is a new function obtained by
substituting into . It is called the composition (or composite) of and and is
denoted by (“f circle t”).
Definition Given two functions and , the composite function (also
called the composition of and ) is defined by
The domain of is the set of all in the domain of such that is in the
domain of . In other words, is defined whenever both and are
defined. The best way to picture is by a machine diagram (Figure 13) or an arrow
diagram (Figure 14).
EXAMPLE 7 If and , find the composite functions
and .
SOLUTION We have
|
NOTE
●
You can see from Example 7 that, in general, . Remember, the
notation means that the function is applied first and then is applied second.
In Example 7, is the function that first subtracts 3 and then squares; is the
function that first squares and then subtracts 3.
EXAMPLE 8 If and , find each function and its domain.
(a) (b) (c) (d)
SOLUTION
(a)
The domain of is .෇ ͕x
Խ

2
t ؠ f
f ؠ tt͑x͒ ෇ x Ϫ 3f͑x͒ ෇ x
2
FIGURE 14
Arrow diagram for f•g
f
{
©
}
x©
f
g
f • g
f
{
©
}
(output)
x
(input)
g g(x)
f
FIGURE 13
The f•g machine is composed of
the g machine (first) and then
the f machine.
f ؠ t
f ͑t͑x͒͒t͑x͒͑ f ؠ t͒͑x͒f
t͑x͒txf ؠ t

(y).
Chú ý rằng nếu điểm (a, b) là một điểm thuộc đồ thị của
hàm f thì (b, a) thuộc đồ thị của f
−1
.
if , the point is on the graph of if and only if the point is on
the graph of . But we get the point from by reflecting about the line
. (See Figure 8.)
Therefore, as illustrated by Figure 9:
The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line .
EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the
same coordinate axes.
SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola
, or ) and then we reflect about the line to get the
graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression
for is . So the graph of is the right half of the
parabola and this seems reasonable from Figure 10.
Logarithmic Functions
If and , the exponential function is either increasing or
decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an
inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is
denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3),
then we have
Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give
. For example, because .
The cancellation equations (4), when applied to and ,
become
a
log
a

͑x͒ ෇ y
log
a
f
Ϫ1
f ͑x͒ ෇ a
x
a  1a Ͼ 0
y ෇ Ϫx
2
Ϫ 1
f
Ϫ1
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ Ϫx
2
Ϫ 1, x ജ 0f
Ϫ1
f
Ϫ1
y ෇ xx ෇ Ϫy
2
Ϫ 1y
2
෇ Ϫ1 Ϫ x
y ෇
s
Ϫ1 Ϫ x
f ͑x͒ ෇

(0,_1)
y=f–!(x)
(_1,0)
FIGURE 10
Ví dụ 1.2 Tìm hàm ngược của các hàm số
(a) f(x) = x
3
+ 2
(b) f(x) =
√
−1 − x
Giải.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.1. Hàm số một biến số 7
if , the point is on the graph of if and only if the point is on
the graph of . But we get the point from by reflecting about the line
. (See Figure 8.)
Therefore, as illustrated by Figure 9:
The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line .
EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the
same coordinate axes.
SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola
, or ) and then we reflect about the line to get the
graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression
for is . So the graph of is the right half of the
parabola and this seems reasonable from Figure 10.
Logarithmic Functions
If and , the exponential function is either increasing or
decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an

a
xx Ͼ 0
a
y
෇ x&?log
a
x ෇ y
6
f ͑y͒ ෇ x&?f
Ϫ1
͑x͒ ෇ y
log
a
f
Ϫ1
f ͑x͒ ෇ a
x
a  1a Ͼ 0
y ෇ Ϫx
2
Ϫ 1
f
Ϫ1
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ Ϫx
2
Ϫ 1, x ജ 0f
Ϫ1
f

Ϫ1
͑b, a͒f͑a, b͒f
Ϫ1
͑b͒ ෇ a
68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
0
y
x
y=x
y=ƒ
(0,_1)
y=f–!(x)
(_1,0)
FIGURE 10
(a) Giải phương trình y = x
3
+ 2 theo biến x ta được
x
3
= y −2 hay
x =
3

y −2
Cuối cùng đổi chỗ của x với y ta được
y =
3
√
x − 2
Vậy hàm ngược cần tìm là f

x
෇ x for every x Ͼ 0
log
a
͑a
x
͒ ෇ x for every x ʦ ޒ
7
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ log
a
xf ͑x͒ ෇ a
x
10
Ϫ3
෇ 0.001log
10
0.001 ෇ Ϫ3x
alog
a
xx Ͼ 0
a
y
෇ x&?log
a
x ෇ y
6
f ͑y͒ ෇ x&?f
Ϫ1

s
Ϫ1 Ϫ x
y ෇ xff
Ϫ1
FIGURE 8
0
y
x
(b,a)
(a,b)
y=x
FIGURE 9
0
y
x
f–!
y=x
f
y ෇ x
͑a, b͒͑b, a͒f
Ϫ1
͑b, a͒f͑a, b͒f
Ϫ1
͑b͒ ෇ a
68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
0
y
x
y=x
y=ƒ

x
.
3. Hàm số logarit log
a
x.
4. Các hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x.
5. Các hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctan x, arccotx.
Hàm sơ cấp. Hàm sơ cấp là các hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
tính đại số và phép hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 1.3 (a) Các hàm số y = cos 5x, y = x
4
+tan 3x −ln(x+2), y =
e
x
+ tan 6x
log
3
x − 3
,
là các hàm số sơ cấp.
(b) Các hàm số y = |x|, y = sgnx, y =

0 khi x < 0
1 − e
−
x
2
khi x ≥ 0
không phải là
các hàm số sơ cấp.

đối số x gọi là hàm cho theo tham số x = f (t), y = g(t).
Với mỗi giá trị t xác định một điểm (x, y) trên mặt phẳng
xOy. Khi t thay đổi điểm (x, y) = (f(t), g(t)) chạy trên
một đường cong C gọi là đường cong tham số.
(e) reflecting about the line
(f) reflecting about the x-axis and then about the line
(g) reflecting about the y-axis and then about the line
(h) shifting 3 units to the left and then reflecting about the
line
60. (a) If we shift a curve to the left, what happens to its reflec-
tion about the line ? In view of this geometric
principle, find an expression for the inverse of
, where is a one-to-one function.
(b) Find an expression for the inverse of ,
where .c  0
h͑x͒ ෇ f ͑cx͒
ft͑x͒ ෇ f ͑x ϩ c͒
y ෇ x
y ෇ x
y ෇ x
y ෇ x
y ෇ x(The maximum charge capacity is and t is measured in
seconds.)
(a) Find the inverse of this function and explain its meaning.
(b) How long does it take to recharge the capacitor to 90%
of capacity if a ෇ 2?
Starting with the graph of , find the equation of the
graph that results from
(a) shifting 3 units upward
(b) shifting 3 units to the left

x
8
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
t=_1
t=_2
(0,1)
͑x, y͒
͑0, 1͒y ෇ 1x ෇ 0t ෇ 0
t
y ෇ t ϩ 1x ෇ t
2
Ϫ 2t
͑x, y͒ ෇ ͑ f͑t͒, t͑t͒͒
C
͑x, y͒ ෇ ͑ f͑t͒, t͑t͒͒t
͑x, y͒t
y ෇ t͑t͒x ෇ f ͑t͒
tyx
y ෇ t͑t͒x ෇ f ͑t͒
y ෇ f ͑x͒
1.7
txy
Ϫ28Ϫ1
Ϫ
1
30

, 0 ≤ t ≤ 2π
Các hàm số hyperbolic.
1. Hàm sine hyperbolic sinh x =
e
x
− e
−x
2
.
2. Hàm cosine hyperbolic cosh x =
e
x
+ e
−x
2
.
3. Hàm tang hyperbolic tanh x =
sinh x
cosh x
.
4. Hàm cotang hyperbolic coth x =
cosh x
sinh x
.
5. Các hệ thức
cosh
2
x − sinh
2
x = 1

n
. Dãy các số thực
a
1
, a
2
, được gọi là dãy số, a
n
gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Kí hiệu dãy số
là {a
n
}.
Dãy bị chặn.
1. Dãy {a
n
} gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho a
n
≤ M, ∀n ∈ N.
2. Dãy {a
n
} gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho a
n
≥ M, ∀n ∈ N.
3. Dãy {a
n
} gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
hay là tồn tại M sao cho |a
n
| ≤ M, ∀n ∈ N.
Dãy đơn điệu. Dãy {a

a
n
= a hoặc a
n
→ a khi n → +∞. Hay
còn nói {a
n
} là dãy hội tụ đến a, trong trường hợp trái lại {a
n
} gọi là dãy phân kì.
Viết gọn lại lim
n→+∞
a
n
= a ⇔ ∀ε > 0, ∃N
0
: ∀n ≥ N
0
⇒ |a
n
− a| < ε.
Chú ý 1.2 Nếu lim
n→+∞
a
n
= 0 thì dãy {a
n
} được gọi là dãy vô cùng bé.
Định nghĩa 1.4 Dãy dần đến vô cùng.
lim

a
b
, b = 0.
3. Cho hai dãy hội tụ {a
n
}, {b
n
}
• Nếu tồn tại N
0
∈ N : a
n
= b
n
, ∀n ≥ N
0
thì lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
• Nếu tồn tại N
0
∈ N : a
n
≥ b


1.3. Giới hạn của hàm số thực 10
4. Cho 3 dãy {a
n
}, {b
n
}, {c
n
}. Nếu a
n
≤ b
n
≤ c
n
, ∀n và lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
c
n
= L
thì lim
n→+∞
b
n
= L (Giới hạn kẹp).
5. Tích của một dãy bị chặn với dãy vô cùng bé là một dãy vô cùng bé.
6. Các giới hạn cần nhớ:

} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Dãy
{a
n
} là dãy đơn điệu và không bị chặn thì sẽ là một dãy vô cùng lớn.
1.3. Giới hạn của hàm số thực
Định nghĩa 1.5 Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a nếu
với bất kì dãy {x
n
} mà x
n
→ a khi n → +∞ thì f(x
n
) → L khi n → +∞. Khi đó
ta kí hiệu là lim
x→a
f(x) = L.
Định nghĩa 1.6 Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a nếu
với ∀ε > 0 cho trước tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε.
Viết gọn lại
lim
x→a
f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
lie in successively smaller intervals centered at 2 if the distance
from to 1 is less than . It turns out that it is always possible to find such a number
, no matter how small the interval is. In other words, for any positive number , no
matter how small, there exists a positive number such that
This indicates that
and suggests a more precise way of defining the limit of a general function.
Definition Let be a function defined on some open interval that contains
the number , except possibly at itself. Then we say that the limit of as

a-∂ a+∂
∑
∑
L
when
x
is in here
(x≠a)
ƒ
is in
here
a
0
x
y
y=ƒ
y=L+∑
y=L-∑
∑
∑
L
␦
␦
y ෇ L ϩ␧y ෇ L Ϫ␧
y ෇ f͑x͒x  a͑a Ϫ
␦
, a ϩ
␦
͒
x

f
1
lim
x

l

1
͑x
3
Ϫ 5x ϩ 6͒ ෇ 2
Խ
x Ϫ 1
Խ
Ͻ
␦
whenever
Խ
͑x
3
Ϫ 5x ϩ 6͒ Ϫ 2
Խ
Ͻ
␧
␦
␧
␦
␦
x
f͑x͒ ෇ x





= |x|




cos
1
x




Nhận xét rằng khi 0 < |x| < ε thì
|x|




cos
1
x




< ε

n
=
1
2nπ
Nhận xét khi n → +∞ thì x
n
→ 0, x

n
→ 0.
Mặt khác f(x
n
) = 0, f (x

n
) = 1 do đó khi n → +∞ thì f(x
n
) → 0, f (x

n
) → 1. Theo
định nghĩa 1.5 thì
lim
x→0

cos
1
x

không tồn tại.

(larger than , where depends on ). Graphically it says that by choosing large
enough (larger than some number ) we can make the graph of lie between the
given horizontal lines and as in Figure 8. This must be true no
matter how small we choose . If a smaller value of is chosen, then a larger value of
may be required.
0
y
x
N
L
when x is in here
ƒ is
in here
y=L-∑
y=L+∑
∑
∑
y=ƒ
FIGURE 8
lim ƒ=L
x `
N
␧␧
y ෇ L ϩ␧y ෇ L Ϫ␧
fN
x␧NN
x␧␧
Lf͑x͒
x Ͼ Nwhenever
Խ

3
y=4x-5
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 12
Ví dụ 1.8 Chứng minh rằng lim
x→∞
1
x
= 0.
Giải. ∀ε > 0 bé tuỳ ý. Ta có




1
x
− 0




=
1
|x|
< ε ⇔ |x| >
1
ε
Chọn N =
1

f(x) = lim
x→a−0
f(x) = f(a − 0)
EXAMPLE 6 The Heaviside function is defined by
[This function is named after the electrical engineer Oliver Heaviside (1850–1925)
and can be used to describe an electric current that is switched on at time .] Its
graph is shown in Figure 8.
As approaches 0 from the left, approaches 0. As approaches 0 from the
right, approaches 1. There is no single number that approaches as
approaches 0. Therefore, does not exist.
One-Sided Limits
We noticed in Example 6 that approaches 0 as approaches 0 from the left and
approaches 1 as approaches 0 from the right. We indicate this situation sym-
bolically by writing
and
The symbol “ ” indicates that we consider only values of that are less than 0.
Likewise, “ ” indicates that we consider only values of that are greater than 0.
Definition We write
and say the left-hand limit of as approaches [or the limit of as
approaches from the left] is equal to if we can make the values of
as close to L as we like by taking x to be sufficiently close to a and x less than a.
Notice that Definition 2 differs from Definition 1 only in that we require to be
less than . Similarly, if we require that be greater than , we get “the right-hand
limit of as approaches is equal to ” and we write
Thus, the symbol “ ” means that we consider only . These definitions are
illustrated in Figure 9.
0
x
y
L

f͑x͒axf͑x͒
lim
x

l

a
Ϫ
f͑x͒ ෇ L
2
tt l 0
ϩ
tt l 0
Ϫ
lim
t

l

0
ϩ
H͑t͒ ෇ 1lim
t

l

0
Ϫ
H͑t͒ ෇ 0
tH͑t͒

x→a
−
f(x) = L = lim
x→a
+
f(x)
Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng lim
x→0
|x| = 0.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 13
Giải. Ta có
|x| =

x khi x ≥ 0
−x khi x < 0
Do đó
lim
x→0
+
|x| = lim
x→0
+
x = 0
lim
x→0
−
|x| = lim
x→0

Ϫ
1
2
͡
෇ Ϫ1.
͠
s
2
͡
෇ 1͠
␲
͡ ෇ 3͠4.8͡ ෇ 4͠4͡ ෇ 4x

x

͓x͔͠x͡
͠x͡ ෇
1
_1
x
y
0
y=
|
x
|
x
f ͑x͒ ෇
Խ
x

෇ lim
x

l

0
Ϫ
͑Ϫ1͒ ෇ Ϫ1
lim
x

l

0
ϩ

Խ
x
Խ
x
෇ lim
x

l

0
ϩ

x
x

lim
x

l

0
Ϫ

Խ
x
Խ
෇ lim
x

l

0
Ϫ
͑Ϫx͒ ෇ 0
Խ
x
Խ
෇ Ϫxx
Ͻ
0
lim
x

l


Ͻ
0
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
෇ 0
lim
x

l

a
Ϫ
f ͑x͒ ෇ L ෇ lim
x

l

a
ϩ
f ͑x͒lim
x


+
1 = 1
lim
x→0
−
|x|
x
= lim
x→0
−
−x
x
= lim
x→0
−
(−1) = −1
Do các giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau nên
theo định lý 1.2 ta suy ra lim
x→0
|x|
x
không tồn tại.
Some limits are best calculated by first finding the left- and right-hand limits. The
following theorem is a reminder of what we discovered in Section 2.2. It says that a
two-sided limit exists if and only if both of the one-sided limits exist and are equal.
Theorem if and only if
When computing one-sided limits we use the fact that the Limit Laws also hold for
one-sided limits.
EXAMPLE 7 Show that .
SOLUTION Recall that

x

͓x͔͠x͡
͠x͡ ෇
1
_1
x
y
0
y=
|
x
|
x
f ͑x͒ ෇
Խ
x
Խ
͞xlim
x l0

Խ
x
Խ
͞x
lim
x

l


0
ϩ

Խ
x
Խ
x
෇ lim
x

l

0
ϩ

x
x
෇ lim
x

l

0
ϩ
1 ෇ 1
lim
x

l



l

0
Ϫ
͑Ϫx͒ ෇ 0
Խ
x
Խ
෇ Ϫxx
Ͻ
0
lim
x

l

0
ϩ

Խ
x
Խ
෇ lim
x

l

0
ϩ

lim
x

l

a
Ϫ
f ͑x͒ ෇ L ෇ lim
x

l

a
ϩ
f ͑x͒lim
x

l

a
f͑x͒ ෇ L
1
SECTION 2.3 CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS ◆ 115
FIGURE 3
y
x
0
y=|x|
FIGURE 4
Các tính chất.

0
[f
1
(x) + f
2
(x)] = L
1
+ L
2
• lim
x→x
0
[f
1
(x)f
2
(x)] = L
1
L
2
• lim
x→x
0
f
1
(x)
f
2
(x)
=

x→0
1
x
= ∞, lim
x→∞
1
x
= 0
2. lim
x→+∞
a
x
=

+∞, a > 1
0, 0 < a < 1
, lim
x→−∞
a
x
=

0, a > 1
+∞, 0 < a < 1
3. lim
x→+∞
log
a
x =


x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
0
b
m
x
m
+ b
m−1
x
m−1
+ + b
0
bằng
a
n
b
m
nếu m = n, bằng 0 nếu n < m và
bằng ∞ nếu n > m.
7. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim

x
= 1
10. lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a, lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1
11. lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= α, lim
x→0
n
√
1 + x − 1
x
=
1
n

= e
2
3. lim
x→0
e
x
− e
−x
x
= lim
x→0
e
x
− 1
x
+ lim
x→0
e
−x
− 1
−x
= 1 + 1 = 2
Các dạng vô định khác.
lim
x→a
[f(x)]
g(x)
1. lim
x→a
f(x) = 0 và lim


1
sin
3
x
= lim
x→0

1 +
tan x − sin x
1 + sin x

1
sin
3
x
= lim
x→0
exp

1
sin
3
x
ln

1 +
tan x − sin x
1 + sin x


x→0
1 − cos x
sin
2
x(1 + sin x) cos x
=
1
2
Từ đó suy ra
lim
x→0

1 + tan x
1 + sin x

1
sin
3
x
=
√
e
Định lý 1.3 Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) thoả mãn f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈
(a, b). Điểm x
0
∈ [a, b]. Khi đó nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x

obtain
lim
x

l

0
x
2
sin
1
x
෇ 0
h͑x͒ ෇ x
2
t͑x͒ ෇ x
2
sin͑1͞x͒f ͑x͒ ෇ Ϫx
2
lim
x

l

0
Ϫx
2
෇ 0andlim
x


x

l

2

x
2
ϩ x Ϫ 6
x Ϫ 2
෇ lim
x

l

2
͑x ϩ 3͒
x
2
ϩ x Ϫ 6
x Ϫ 2
෇ x ϩ 3
lim
x

l

1

ͩ

lim
x

l

2

2x
2
ϩ 1
x
2
ϩ 6x Ϫ 4
lim
x

l

4
͑5x
2
Ϫ 2x ϩ 3͒
lim
x

l

1

s

(e) (f)
(g) (h)
2. The graphs of and t are given. Use them to evaluate each
limit, if it exists. If the limit does not exist, explain why.
(a) (b) lim
x

l

1
͓ f͑x͒ ϩ t͑x͔͒lim
x

l

2
͓ f͑x͒ ϩ t͑x͔͒
x
1
y
y=ƒ
1
0
x
y
1
y=©
1
f
lim


a

f ͑x͒
h͑x͒
lim
x

l

a

1
f ͑x͒
lim
x

l

a

s
3
h͑x͒
lim
x

l

a

2.3
Watch an animation of a similar limit.
Resources / Module 2
/ Basics of Limits
/ Sound of a Limit that Exists
Áp dụng định lý 1.3 ta nhận được lim
x→0
x
2
sin
1
x
= 0.
Vô cùng bé, vô cùng lớn.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 16
Định nghĩa 1.9 Vô cùng bé. Hàm f(x) gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x
0
(x
0
có thể hữu hạn hay vô hạn) nếu lim
x→x
0
f(x) = 0.
Ví dụ 1.14 (1) Hàm f(x) = x
n
là một VCB khi x → 0, ∀n ≥ 1.
(2) 1 −cos x là một VCB khi x → 0.
(3) 0 là VCB trong mọi quá trình.

1. Nếu lim
f(x)
g(x)
= 0 thì ta nói f(x) là VCB cấp cao hơn g(x) hay g(x) là VCB
cấp thấp hơn f(x). Kí hiệu là f(x) = o(g(x)) (Nhận xét: Nếu g(x) là VCB cấp
thấp hơn f(x) thì lim
g(x)
f(x)
= ∞).
2. Nếu lim
f(x)
g(x)
= k (k = 0, k hữu hạn) thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng
cấp. Kí hiệu là f(x) = O(g(x)).
Đặc biệt nếu k = 1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Kí hiệu
là f(x) ∼ g(x).
3. Nếu không tồn tại giới hạn lim
f(x)
g(x)
thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB không
so sánh được.
Ví dụ 1.16 Trong quá trình x → 0 thì x, x
2
, 1 − cos x, x
2
/2, x cos(1/x) là các
VCB.
Giải.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU


x
2
=
1
2
nên 1 − cos x = O(x
2
).
4. Vì lim
x→0
1 − cos x
x
2
/2
= lim
x→0
2 sin
2
(x/2)
x
2
/2
= 1 nên 1 − cos x ∼ x
2
/2.
5. Vì không tồn tại giới hạn lim
x→0
x cos(1/x)
x
nên x cos(1/x) và x là hai VCB không

(x)
g
2
(x)
Ví dụ 1.17 Tính giới hạn
lim
x→0
ln(1 + 2x)
sin 5x
Giải. Do ln(1 + 2x) ∼ 2x, sin 5x ∼ 5x (x → 0) nên ta có
lim
x→0
ln(1 + 2x)
sin 5x
= lim
x→0
2x
5x
=
2
5
Chú ý 1.6 Cho f (x) và g(x) là hai VCB trong cùng một quá trình nào đó. Nếu
f(x) = o(g(x)) thì f(x) + g(x) ∼ g(x).
Quy tắc 2. Cho f(x) = f
1
(x)+f
2
(x)+ +f
n
(x), g(x) = g

(x) + g
2
(x) + + g
m
(x)
= lim
f
1
(x)
g
1
(x)
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 18
Ví dụ 1.18 Tính giới hạn
lim
x→0
x + 1 − cos x + tan
3
x
2x + sin
2
x + 3x
5
Giải. Do 1 − cos x = O(x), tan
3
x = O(x) (x → 0) và sin
2
x = O(2x), 3x

1
(x)f
2
(x) ∼ g
1
(x)g
2
(x).
3. Trong cùng một quá trình nào đó nếu f
1
(x) ∼ f
2
(x) thì f
1
(x) − f
2
(x) =
o(f
1
(x)). Có nghĩa là không thể thay thế tương đương trong từng hạng tử của
biểu thức hiệu của hai VCB tương đương.
Ví dụ 1.19 Tính lim
x→0
tan x − sin x
x
3
Giải.
lim
x→0
tan x − sin x

x
− 1 ∼ x, (1 + x)
µ
− 1 ∼ µx.
Định nghĩa 1.10 Vô cùng lớn. Hàm f(x) gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → x
0
(x
0
có thể hữu hạn hay vô hạn) nếu lim
x→x
0
f(x) = ∞.
Tương tự như trên giống như VCB ta cũng có thể so sánh các đại lượng VCL và hai
quy tắc thay thế VCL tương đương và ngắt bỏ VCL cấp thấp.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.4. Hàm số liên tục 19
1.4. Hàm số liên tục
Định nghĩa 1.11 Hàm f(x) được gọi là liên tục tại
điểm a nếu:
• Hàm f(x) xác định tại điểm a và lân cận của điểm
a.
• lim
x→a
f(x) = f(a).
Một hàm số mà không liên tục tại điểm a được gọi là
gián đoạn tại điểm a. Như vậy nếu f(x) mà gián đoạn
tại điểm a thì hoặc f(x) không xác định tại điểm a hoặc
∃ lim
x→a

out removing your pen from the paper.
lim
t l0
H͑t͒0
x
f ͑x͒f ͑x͒
f
f ͑a͒f ͑x͒af
lim
x

l

a
f ͑x͒ ෇ f ͑a͒
lim
x

l

a
f ͑x͒
ff ͑a͒
f
fff
lim
x

l


exists? If so, find the value of a and the value of the limit.
44. The figure shows a fixed circle with equation
and a shrinking circle with radius
and center the origin. P is the point , Q is the upper͑0, r͒
rC
2
͑x Ϫ 1͒
2
ϩ y
2
෇ 1
C
1
lim
x lϪ2

3x
2
ϩ ax ϩ a ϩ 3
x
2
ϩ x Ϫ 2
43.
lim
x

l

a
t͑x͒lim


a
͓ f ͑x͒ ϩ t͑x͔͒
41.
SECTION 2.4 CONTINUITY ◆ 119
▲ As illustrated in Figure 1, if is con
-
tinuous, then the points on the
graph of approach the point
on the graph. So there is no gap in the
curve.
͑a, f ͑a͒͒f
͑x, f ͑x͒͒
f
f(a)
x
0
y
a
y=ƒ
ƒ
approaches
f(a).
As x approaches a,
FIGURE 1
Explore continuous functions interactively.
Resources / Module 2
/ Continuity
/ Start of Continuity
Ví dụ 1.20 Hình vẽ bên biểu diễn đồ thị của hàm số

(d) The greatest integer function has discontinuities at all of the integers
because does not exist if is an integer. (See Example 9 and Exercise 35
in Section 2.3.)
Figure 3 shows the graphs of the functions in Example 2. In each case the graph
can’t be drawn without lifting the pen from the paper because a hole or break or jump
occurs in the graph. The kind of discontinuity illustrated in parts (a) and (c) is called
removable because we could remove the discontinuity by redefining at just the f
nlim
x

l

n
͠x͡
f ͑x͒ ෇ ͠x͡
f
lim
x

l

2
f͑x͒  f ͑2͒
lim
x

l

2
f͑x͒ ෇ lim


l

0
f ͑x͒ ෇ lim
x

l

0

1
x
2
f ͑0͒ ෇ 1
ff ͑2͒
f ͑x͒ ෇ ͠x͡f ͑x͒ ෇
ͭ
x
2
Ϫ x Ϫ 2
x Ϫ 2
if x  2
1if x ෇ 2
f ͑x͒ ෇
ͭ
1
x
2
if x  0

y
0
x
123
4
5
Resources / Module 2
/ Continuity
/ Problems and Tests
Tại điểm a = 5, hàm số xác định và ∃ lim
x→5
f(x) (giới hạn trái và giới hạn phải bằng
nhau). Tuy nhiên ta thấy rằng
lim
x→5
f(x) = f(5)
Do đó hàm số gián đoạn tại a = 5.
Định nghĩa 1.12 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu f (x) liên
tục tại mọi điểm trong khoảng đó.
Định nghĩa 1.13 Liên tục phải, liên tục trái.
1. Hàm số f(x) được gọi là liên tục phải tại điểm a nếu f(x) xác định tại a và
lân cận phải của điểm a đồng thời
lim
x→a
+
f(x) = f(a)
2. Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại điểm a nếu f (x) xác định tại a và
lân cận trái của điểm a đồng thời
lim
x→a

x∈[a,b]
f(x), m = min
x∈[a,b]
f(x) và
µ ∈ [m, M] thì ∃c ∈ [a, b] : f(x) = µ.
Phân loại điểm gián đoạn.
Định nghĩa 1.15 Gián đoạn loại một. Điểm a được gọi là điểm gián đoạn loại
một nếu a là một điểm gián đoạn của hàm số f(x) và các giới hạn lim
x→a
+
f(x),
lim
x→a
−
f(x) đều tồn tại hữu hạn.
Trong trường hợp lim
x→a
+
f(x) = lim
x→a
−
f(x) = f(a) thì a gọi là điểm gián đoạn bỏ
được.
Định nghĩa 1.16 Gián đoạn loại hai. Điểm a được gọi là điểm gián đoạn loại
hai nếu a là một điểm gián đoạn của hàm số f(x) nhưng không phải là điểm gián
đoạn loại một.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.4. Hàm số liên tục 21
Ví dụ 1.21 (a) Hàm số f(x) =

Ví dụ 1.22 Xét sự liên tục của hàm số
f(x) =

x sin
1
x
, x < 0
ax
2
+ b, x ≥ 0
Giải.
• Khi x < 0 thì f(x) = x sin
1
x
là hàm số sơ cấp. Do đó f(x) liên tục với x < 0.
• Khi x > 0 thì f(x) = ax
2
+ b là hàm số sơ cấp. Do đó f(x) liên tục với x > 0.
• Tại điểm x = 0. Ta có
lim
x→0
−
f(x) = lim
x→0
−
x sin
1
x
= 0
lim

1.5. Bài tập chương 1 23
1.5. BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của các bài toán thực tế
Bài 1 Hãy biểu diễn số 18 thành tổng của 2 số dương sao cho tích của số thứ nhất
và bình phương của số thứ hai là lớn nhất.
HD: Gọi x và y là hai số cần tìm (x, y > 0). Theo giả thiết ta có x + y = 18. Ta cần
tìm x, y sao cho A = xy
2
= (18 −y)y
2
đạt max. Ta có A

= 36y −3y
2
= 3y (12 −y).
A

= 0 ⇔ y = 0 và y = 12. Dễ thấy trên khoảng y > 0 hàm số đạt cực đại tại y = 12
và khi đó x = 6.
Bài 2 Hãy chỉ ra rằng hình chữ nhật với diện tích cho trước có chu vi nhỏ nhất là
một hình vuông.
HD: Gọi hình chữ nhật có các cạnh lần lượt là a và b. Chu vi hình chữ nhật là
C = 2(a + b). Diện tích S = ab đã biết. Ta có C = 2

S
b
+ b

= 2


C=const=nửa chu vi. Diện tích của nó là S = xy = x(C − x). S đạt cực đại tại
x =
C
2
và khi đó y =
C
2
nghĩa là hình là hình vuông.
Bài 4 Hãy chỉ ra rằng hình vuông có diện tích lớn nhất trong số các hình hình chữ
nhật nội tiếp trong một hình tròn cho trước x
2
+ y
2
= a
2
.
HD: Gọi hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn có các cạnh lần lượt là c và d. Theo
giả thiết ta có c
2
+d
2
= 4a
2
hay d =
√
4a
2
− c
2
, c, d ∈ [0, 2a]. Mặt khác diện tích của

chữ nhật nội tiếp trong hình tròn như ở trong bài 4.
HD: Gọi các cạnh của hình chữ nhật là x và y. Bán kính của đường tròn là a.
Ta có x
2
+ y
2
= 4a
2
hay y =
√
4a
2
− x
2
, x, y ∈ [0, 2a]. Chu vi hình chữ nhật là
C = 2x + 2y = 2x + 2
√
4a
2
− x
2
là hàm theo x. Ta có C

= 2 −
2x
√
4a
2
−x
2

Hàm đạt giá trị lớn nhất khi x = 1.5. ĐS: 8.5 đô la
Bài 7 Một mảnh đất có diện tích hoa là 3500fit
2
. Nó là hình chữ nhật với ba mặt
tường gạch chắc chắn và mặt trước trang hoàng bằng kính. Giá làm bằng kính bằng
1, 8 lần giá bức tường xây gạch. Xác định kích thước của mảnh đất để chi phí cho
việc xây dựng ít nhất.
HD: Gọi cạnh có kính là x, cạnh không kính là y (fit). Ta có x.y = 3500, x, y > 0.
Giá thành xây dựng là G = 1.8x + (2y + x) = 2.8x + 2.
3500
x
= 2.8 −
7000
x
2
= 0 nếu
x
2
=
7000
2.8
hay x = 50 và tại đó hàm số đạt cực tiểu (với x > 0). Vậy các cạnh cần
tìm là x = 50 và y = 70.
Bài 8 Vào buổi trưa tầu A cách tầu B 50 hải lý về phía bắc và đang chạy về phía
nam với tốc độ 16 hải lý/h. Tầu B thì đi về phía tây với tốc độ 12 hải lý/h. Ở thời
điểm nào thì chúng gần nhau nhất và khoảng cách đó là bao nhiêu.
HD: Gọi thời gian ban đầu là 0 (giờ chiều). Tại thời điểm t tầu A đi được
16t (hải lý) và tầu B đi được 12t (hải lý). Khoảng cách giữa A và B là S =

(50 − 16t)

2
+ 2y − 16 và
A

= 0 khi y = 2 và y = −
8
3
Trên đoạn [0, 8] thì A đạt giá trị nhỏ nhất khi y = 2
(bằng 44 và khi đó x = 6) và lớn nhất nhất khi y = 8 (bằng 83 khi đó x = 0).
Bài 10 Tìm hai số dương mà tích của chúng bằng 16 và tổng của chúng đạt giá trị
nhỏ nhất.
HD: Gọi hai số đó là x và y (x, y > 0). Ta có xy = 16. Tổng S = x + y = x +
16
x
và
S

= 1 −
16
x
2
=
x
2
−16
x
2
= 0 khi x = ±4. S đạt giá trị nhỏ nhất (với y > 0) khi y = 4
và khi đó x = 4.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU