Chương 3
TÍCH PHÂN
3.1. Tích phân bất định
Định nghĩa 3.1 Nguyên hàm. Hàm F (x) gọi là một nguyên hàm của hàm f(x)
trên (a, b) nếu F

(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).
Ví dụ 3.1 Hàm sin x là một nguyên hàm của cos x trên toàn trục số.
Định nghĩa 3.2 Tích phân bất định. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số
f(x) trên (a, b) được gọi là tích phân bất định của hàm số f(x) và kí hiệu là

f(x)dx = F (x) + C
trong đó f(x) là hàm dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x
là biến tích phân.
Chú ý 3.1 Ta có
1.


f(x)dx


= f(x)
2. d


f(x)dx

= f(x)dx
3.

F

sin xdx = −cos x + C
5.

cos xdx = sin x + C
6.

dx
cos
2
x
= tan x + C
7.

dx
sin
2
x
= −cot x + C
8.

dx
√
1−x
2
= arcsin x + C = −arccos x + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 55
9.


x + 1
=


√
x + 1 −
√
x

dx
=

(x + 1)
1/2
d(x + 1) −

x
1/2
dx
=
2
3
(x + 1)
3/2
−
2
3
x
3/2
+ C

sin
2
x
= tan x − cot x + C
Ví dụ 3.4

sin(ax)dx =
1
a

sin(ax)d(ax)
= −
1
a
cos(ax) + C
Ví dụ 3.5

cos(ax)dx =
1
a
sin(ax) + C
Ví dụ 3.6

dx
√
a
2
− x
2
=

d

x
a

1 +

x
a

2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Ví dụ 3.8

x
3
dx
1 + x
4
=
1
4

d(1 + x





+C
Ví dụ 3.10

sin(3x) cos xdx =
1
2

(sin(4x) + sin(2x))dx
= −
1
2

cos(4x)
4
+
cos(2x)
2

+ C
=
1
4

cos 4x
2
+ cos 2x


dx = x ln x − x + C = x(ln x −1) + C
Ví dụ 3.13

xe
x
dx =

xd(e
x
) = xe
x
−

e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C = e
x
(x − 1) + C
Ví dụ 3.14

x ln(x +
√
1 + x
2
)

1+x
2
x +
√
1 + x
2
dx
=

1 + x
2
ln(x +

1 + x
2
) −

dx
=

1 + x
2
ln(x +

1 + x
2
) − x + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 57

cos x



dx thì ta đưa hàm siêu việt vào dấu vi phân rồi tích
phân từng phần n lần.
3. Dạng

e
αx

sin βx
cos βx

dx thì ta đưa một trong hai thừa số vào dấu vi phân
rồi tích phân từng phần hai lần làm xuất hiện tích phân cần tìm với hệ số khác
1 rồi chuyển vế suy ra kết quả.
Ví dụ 3.15

(x
2
+ x −1) ln xdx =

ln xd(
x
3
3
+
x
2

2
2
− x) ln x −
x
3
9
−
x
2
4
+ x + C
Ví dụ 3.16

(x
2
− x + 2) cos xdx =

(x
2
− x + 2)d(sin x)
= (x
2
− x + 2) sin x −

(sin x)(2x − 1)dx
= (x
2
− x + 2) sin x + (2x − 1) cos x −2

cos xdx

)
= e
x
sin x − e
x
cos x +

e
x
(−sin x)dx
Vậy
2

e
x
sin xdx = e
x
(sin x − cos x) + C

⇒

e
x
sin xdx =
e
x
(sin x − cos x)
2
+ C
Đổi biến số tích phân. Có hai cách đổi biến x = ϕ(t) hoặc t = ψ(x). Chú ý sau

t =
a
√
cos
2
t = a cos t. Do đó
I =

a cos t.a cos tdt = a
2

cos
2
tdt = a
2

1 + cos 2t
2
dt =
a
2
2
(t +
sin 2t
2
) + C
Vì x = a sin t, −
π
2
≤ t ≤

− x
2
dx =
a
2
2
arcsin
x
a
+
x
2

a
2
− x
2
+ C
Ví dụ 3.19 Tính tích phân bất định
I =

dx
√
x
2
± a
2
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 59

d(x + t)
x + t
Vậy
I =

dx
√
x
2
± a
2
=

d(x + t)
x + t
= ln |x + t|+ C
Trở lại biến x

dx
√
x
2
± a
2
= ln |x +

x
2
± a
2

± a
2
= x

x
2
± a
2
−

x
2
± a
2
∓ a
2
√
x
2
± a
2
dx
= x

x
2
± a
2
−


| + C
1
Vậy


x
2
± a
2
dx =
x
2

x
2
± a
2
±
a
2
2
ln |x +

x
2
± a
2
| + C
Ví dụ 3.21 Tính tích phân bất định


√
x − ln(
√
x + 1) + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 60
Ví dụ 3.22 Tính tích phân bất định
I =

dx
(1 + x
2
)
2
Giải. Đặt x = tan t thì dx =
dt
cos
2
t
và 1 + x
2
=
1
cos
2
t
Vậy
I =



+ C
hay là

dx
(1 + x
2
)
2
=
1
2

arctan x +
x
1 + x
2

+ C
Chú ý 3.3 Tổng quát đối với tích phân
I
n
=

dx
(a
2
+ x
2
)

I
n
=

dx
(x
2
+ a
2
)
n
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
−

xd

1
(x
2
+ a
2
)
n


dx
(x
2
+ a
2
)
n
− a
2

dx
(x
2
+ a
2
)
n+1

=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2n

I

2x
1 + e
x
dx
Giải. Đặt e
x
= t thì x = ln t nên dx = (dt)/t. Vậy

e
2x
1 + e
x
dx =

t
2
1 + t
dt
t
=

t
t + 1
dt =


1 −
1
t + 1



dx
x
= ln |x| + C
3.

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
4.

sin xdx = −cos x + C
5.

cos xdx = sin x + C
6.

dx
cos
2
x
= tan x + C
7.

dx
sin

a
+ C = −
1
a
arccot
x
a
+ C
10.

dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln




a + x
a − x




+ C, a = 0

2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C, a > 0
13.


x
2
± a
2
dx =
x
2

x
2
± a
2
±
a
2
2

, k ∈ N
∗
• Khi k = 1 thì ta có

A
x − a
dx = A ln |x − a| + C
• Khi k ≥ 2 thì ta có

A
(x − a)
k
dx =
A
1 − k
1
(x − a)
k−1
+ C
2.
Mx + N
(x
2
+ px + q)
k
, p
2
− 4q < 0
Ta có x
2


M(t −
p
2
) + N
(t
2
+ a
2
)
k
dt
= M

tdt
(t
2
+ a
2
)
k
+ (N −
Mp
2
)

dt
(t
2
+ a

http://nguyenduchau.wordpress.com
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 63
Giải.

3x + 2
(x
2
+ x + 1)
2
dx =
3
2

2x + 1
(x
2
+ x + 1)
2
dx +
1
2

d

x +
1
2




)
2
trong đó t = x +
1
2
và α =
√
3
2
.
Ta tính
I
1
=

dt
(t
2
+ α
2
)
2
Đặt t = α tan u thì dt =
αdu
cos
2
u
và
1
(t

2α
3

u +
sin 2u
2

+ C
=
1
2α
3

u +
tan u
1 + tan
2
u

=
1
2α
3

arctan
t
α
+
t
α

3

arctan
x +
1
2
√
3
2
+
√
3
2
(x +
1
2
)
3
4
+ (x +
1
2
)

+ C
=
4
3
√
3

3
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+ C
=
x − 4
3(x
2
+ x + 1)
+
2
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+ C
Định nghĩa 3.4 Hàm hữu tỉ. Hàm hữu tỉ là hàm có dạng
f(x) =
P
n
(x)
Q
m
(x)

(x + a)
k
• Mỗi thừa số của mẫu số dạng (x
2
+ px + q)
k
, p
2
− 4q < 0 tương ứng với tổng
của n phân thức đơn giản loại 2.
M
1
x + N
1
x
2
+ px + q
+
M
2
x + N
2
(x
2
+ px + q)
2
+ +
M
k
x + N

2
+
Cx + D
x
2
+ x + 1
hay là 2x
2
+ 3x −2 = A(x + 1)(x
2
+ x + 1) + B(x
2
+ x + 1) + (Cx + D)(x + 1)
2
. Cho
x = −1 thì B = −3.
So sánh các hệ số của x
3
, x
2
, x
0
ở hai vế ta được






x

3
+ 3x
2
− 2x
Giải. Ta có
2x
3
+ 3x
2
− 2x = x(2x −1)(x + 2)
Xét dạng phân tích
x
2
+ 2x −1
2x
3
+ 3x
2
− 2x
=
A
x
+
B
2x − 1
+
C
x + 2
Quy đồng mẫu số ta được
x

x
+
1
5
1
2x − 1
−
1
10
1
x + 2

dx
=
1
2
ln |x| +
1
10
ln |2x − 1|−
1
10
ln |x + 2|+ C
Tích phân của hàm vô tỉ.
Dạng

dx
√
ax
2


d(x −
1
4
)


x −
1
4

2
−

5
4

2
=
1
√
2
ln








2
=

d(x − 1)

(
√
2)
2
− (x −1)
2
= arcsin
x − 1
√
2
+ C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 66
Dạng


ax
2
+ bx + cdx
đưa về các tích phân

√
α
2

4

2
d

x −
1
4

=
√
2



x −
1
4



x −
1
4

2
−

5
4

=
√
2
2


x −
1
4


x
2
−
x
2
−
3
2
−
25
16
ln





x −
1

(x − 1)
√
1 + 2x −x
2
2
+ arcsin
x − 1
√
2
+ C
Dạng

mx + n
√
ax
2
+ bx + c
dx
Biến đổi tử số thành đạo hàm của mẫu số thì tích phân đã cho được đưa về
m
2a

2ax + b
√
ax
2
+ bx + c
dx +

n −

+ 1
= 2

x
2
− 2x + 2 + 5 ln |x − 1 +

x
2
− 2x + 1|+ C
Dạng

dx
(x − α)
k
√
ax
2
+ bx + c
Đặt x −α =
1
t
sẽ dẫn đến tích phân dạng ở trên.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 67
Ví dụ 3.32 Tính tích phân
I =

dx

= −

dt
√
t
2
− 2t + 2
= −

dt

(t − 1)
2
+ 1
= −ln |t −1 +

t
2
− 2t + 2|+ C
= −ln





1 − x +
√
2x
2
− 2x + 1

atx hay
x =
t
2
− c
2
√
at + b
suy ra
dx = 2
√
at
2
+ bt + c
√
a
(2
√
at + b)
2
dt
và

ax
2
+ bx + c =
√
at
2
+ bt + c

√
c
(a − t
2
)
2
dt
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 68
và

ax
2
+ bx + c =
√
ct
2
− bt +
√
c
a − t
2
Thay vào tích phân ban đầu ta được tích phân của hàm số hữu tỉ.
• Nếu tam thức ax
2
+ bx + c có các nghiệm thực khác nhau λ và µ nghĩa là
ax
2
+ bx + c = a(x − λ)(x − µ) thì ta đặt ax

I =

dx
x +
√
x
2
− x + 1
Giải. Trường hợp này a = 1 > 0. Đặt
√
x
2
− x + 1 = t −x. Khi đó
x =
t
2
− 1
2t − 1
, dx = 2
t
2
− t + 1
(2t − 1)
2
dt, x +

x
2
− x + 1 = t
Thay vào tích phân ban đầu ta được

ln |2t − 1|+ C
= −
3
2
1
2x + 2
√
x
2
− x + 1 −1
−
3
2
ln |2x + 2

x
2
− x + 1 −1| + 2 ln |x +

x
2
− x + 1|
Chú ý 3.6 Với tích phân trên vì c = 1 > 0 nên ta có thể đặt
√
x
2
− x + 1 = tx −1.
Khi đó
x =
2t − 1

+ 2t −2
t(t − 1)(t + 1)
2
dt
=


2
t
−
1
2
1
t − 1
−
3
2
1
t + 1
−
3
(t + 1)
2

dt
=
3
t + 1
+ 2 ln |t|−
1

−
3
2
ln |

x
2
− x + 1 + x + 1| + C

Nếu thay C

= C +
3
2
thì hai kết quả trên là như nhau.
Ví dụ 3.34 Tính tích phân
I =

xdx

(7x − 10 −x
2
)
3
Giải. Vì 7x −10 −x
2
= (x −2)(5 −x) nên ta đặt
√
7x − 10 −x
2

+ 2

dt =
2
9

−
5
t
+ 2t

+ C
=
2
9

5(x − 2)
√
7x − 10 −x
2
−
2
√
7x − 10 −x
2
x − 2

+ C do t =
√
7x − 10 −x

π
2
≤ t ≤
π
2
.
2.

R(u,

α
2
+ u
2
)du. Đặt u = α tan t, −
π
2
< t <
π
2
.
3.

R(u,

u
2
− α
2
)du. Đặt u =

2
. Khi
đó
I =

dt
sin t − cos t
=
1
√
2

dt
sin

t −
π
4

=
1
√
2
ln




tan



(x − 1)(x + 1)
2
Giải. Ta có
I =

3

x + 1
x − 1
dx
x + 1
Đặt
3

x + 1
x − 1
= t,
x + 1
x − 1
= t
3
, dx =
−6t
2
dt
(t
3
− 1)
2

dt
t − 1
+

(t + 2)dt
t
2
+ t + 1
= −ln |t −1|+
1
2

2t + 1
t
2
+ t + 1
dt −
3
2

d(t +
1
2
)
(t +
1
2
)
2
+

3 arctan
2t + 1
√
3
+ C với t =
3

x + 1
x − 1
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 71
Tích phân của các hàm lượng giác. Dạng

R(sin x, cos x)dx
trong đó R là hàm hữu tỉ đối với sin x và cos x.
Phương pháp chung. Đổi biến tan
x
2
= t ta có
x
2
= arctan t, x = 2 arctan t, dx =
2dt
1 + t
2
Mặt khác
sin x =
2t
1 + t

1 + t
2
Thay vào tích phân ban đầu ta sẽ được
I =

dt
(t + 2)t
=
1
2


1
t
−
1
t + 2

dt =
1
2
ln




t
t + 2



Ví dụ 3.38 Tính tích phân
I =

2 + sin
2
x
2 − cos
2
x
dx
Giải. Hàm dưới dấu tích phân là hàm hữu tỉ đối với sin x và cos x hơn nữa nó chẵn
đối với cả sin x và cos x nên ta đặt t = tan x hay là x = arctan t suy ra dx =
dt
1+t
2
.
Hơn nữa
2 + sin
2
x
2 − cos
2
x
=
2(1 + tan
2
x) + tan
2
x
2(1 + tan


dt
=
1
√
2
arctan(t
√
2) + arctan t + C
=
1
√
2
arctan(
√
2 tan x) + x + C
Ví dụ 3.39 Tính tích phân
I =

cos
3
x
1 + sin x
dx
Giải. Hàm dưới dấu tích phân là hữu tỉ đối với sin x và cosx hơn nữa nó lẻ đối với
cos x nên đặt sin x = t. Vậy
I =

(1 − sin
2

m+1
n
∈ Z đặt a + bx
n
= u
s
trong đó s là mẫu số của p.
3. Nếu
m+1
n
+ p ∈ Z đặt ax
−n
+ b = u
s
trong đó s là mẫu số của p.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.4. Tích phân xác định 73
Ngoài 3 trường hợp trên Trê-bư-sép đã chứng minh được là tích phân dạng trên
không biểu thị qua các hàm số sơ cấp.
Ví dụ 3.40 Tính tích phân
I =

dx
3
√
x
2
(1 +
3

(1 + z)
−1
dz
vì p = −1 và mẫu chung của m và n là 2 nên đặt z = t
2
. Thay vào tích phân đã cho
ta được
I = 3

dt
1 + t
2
= 3 arctan t + C
Trở lại biến x ta được
I = 3 arctan
3
√
x + C
3.4. Tích phân xác định
Bài toán diện tích miền phẳng. Tìm diện tích miền
S nằm dưới đường y = f(x) từ a đến b như hình vẽ.
Nghĩa là biên của S là đồ thị của hàm liên tục f (f(x) ≥
0), các đường x = a, x = b và trục Ox. Ta sẽ xét một
ví dụ cụ thể đối với hàm f.
Areas and Distances
●●●●●●●●●●●●●●●
In this section we discover that in attempting to find the area under a curve or the dis-
tance traveled by a car, we end up with the same special type of limit.
The Area Problem
We begin by attempting to solve the area problem: Find the area of the region that

y=ƒ
S
x=a
x=b
xx ෇ bx ෇ a
f ͑x͒ ജ 0f
Sbay ෇ f ͑x͒
S
5.1
345
In Chapter 2 we used the tangent and velocity problems
to introduce the derivative, which is the central idea in
differential calculus. In much the same way, this chapter
starts with the area and distance problems and uses
them to formulate the idea of a definite integral, which
is the basic concept of integral calculus. We will see in
Chapters 6 and 7 how to use the integral to solve prob-
lems concerning volumes, lengths of curves, population
predictions, cardiac output, forces on a dam, work,
consumer surplus, and baseball, among many others.
There is a connection between integral calculus and
differential calculus. The Fundamental Theorem of
Calculus relates the integral to the derivative, and we
will see in this chapter that it greatly simplifies the solu-
tion of many problems.
▲ Now is a good time to read (or
reread) A Preview of Calculus (see
page 2). It discusses the unifying ideas
of calculus and helps put in perspective
where we have been and where we

angles. The following example illustrates the procedure.
EXAMPLE 1 Use rectangles to estimate the area under the parabola from 0 to 1
(the parabolic region S illustrated in Figure 3).
SOLUTION We first notice that the area of S must be somewhere between 0 and 1
because S is contained in a square with side length 1, but we can certainly do better
than that. Suppose we divide S into four strips , , , and by drawing the ver-
tical lines , , and as in Figure 4(a). We can approximate each strip
by a rectangle whose base is the same as the strip and whose height is the same as
the right edge of the strip [see Figure 4(b)]. In other words, the heights of these
rectangles are the values of the function at the right endpoints of the
subintervals , , , and .
Each rectangle has width and the heights are , , , and . If we let
be the sum of the areas of these approximating rectangles, we get
R
4
෇
1
4
ؒ
(
1
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
1

(
1
2
)
2
(
1
4
)
21
4
FIGURE 4
(b)
0
y
x
1
(1,1)
3
4
1
2
1
4
(a)
0
y
x
1
(1,1)

4
]
f ͑x͒ ෇ x
2
x ෇
3
4
x ෇
1
2
x ෇
1
4
S
4
S
3
S
2
S
1
FIGURE 3
0
y
x
1
(1,1)
y=≈
S
y ෇ x

1
4
ؒ
(
1
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
1
2
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
3
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ 1

1
(1,1)
3
4
1
2
1
4
(a)
0
y
x
1
(1,1)
y=≈
3
4
1
2
1
4
S¢
S£
S™
S¡
[
3
4
, 1
][

3
S
2
S
1
FIGURE 3
0
y
x
1
(1,1)
y=≈
S
y ෇ x
2
S
346 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS
Resources / Module 6
/ What Is Area?
/ Estimating Area under a Parabola
Try placing rectangles to estimate the area.
From Figure 4(b) we see that the area A of S is less than , so
Instead of using the rectangles in Figure 4(b) we could use the smaller rectangles
in Figure 5 whose heights are the values of at the left-hand endpoints of the sub-
intervals. (The leftmost rectangle has collapsed because its height is 0.) The sum of
the areas of these approximating rectangles is
We see that the area of is larger than , so we have lower and upper estimates
for :
We can repeat this procedure with a larger number of strips. Figure 6 shows what
happens when we divide the region into eight strips of equal width.

Ͻ
A
Ͻ
0.3984375
A
͑R
8
͒
͑L
8
͒
FIGURE 6
Approximating S with eight rectangles
(a) Using left endpoints (b) Using right endpoints
0
y
x
1
(1,1)
1
8
0
y
x
1
1
8
y=≈
(1,1)
S

1
2
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
3
4
)
2
෇
7
32
෇ 0.21875
f
A
Ͻ
0.46875
R
4
SECTION 5.1 AREAS AND DISTANCES ◆ 347
0
y
x
1
(1,1)
3

1
4

1
2

2
+
1
4

3
4

2
+
1
4
1
2
=
15
32
= 0.46875
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.4. Tích phân xác định 74
Tương tự ta xét các hình chữ nhật xấp xỉ dưới ở đó chiều cao lần lượt là các giá
trị của f(x) = x
2


3
4

2
=
7
32
= 0.21875
Nhận xét rằng 0.21875 < A < 0.46875. Ta có thể tiếp tục chia nhỏ đoạn [0, 1] thành
n = 10, 30 và 50 điểm chia ta nhận được các tổng trên R
10
= 0.385, R
30
= 0.3502,
R
50
= 0.3434 và các tổng dưới L
10
= 0.285, L
30
= 0.3169, L
50
= 0.3234.
It can be shown that the lower approximating sums also approach , that is,
From Figures 8 and 9 it appears that, as increases, both and become better and
better approximations to the area of . Therefore, we define the area to be the limit
of the sums of the areas of the approximating rectangles, that is,
Let’s apply the idea of Examples 1 and 2 to the more general region of Figure 1.
We start by subdividing into strips of equal width as in Figure 10.

1
0x
y
n=30 R£¸Å0.3502
1
0x
y
n=10 R¡¸=0.385
1
0x
y
n=10 L¡¸=0.285
1
0x
y
n=30 L£¸Å0.3169
1
0
x
y
n=50 L∞¸=0.3234
FIGURE 9
A ෇ lim
n

l

ϱ
R
n

SECTION 5.1 AREAS AND DISTANCES ◆ 349
It can be shown that the lower approximating sums also approach , that is,
From Figures 8 and 9 it appears that, as increases, both and become better and
better approximations to the area of . Therefore, we define the area to be the limit
of the sums of the areas of the approximating rectangles, that is,
Let’s apply the idea of Examples 1 and 2 to the more general region of Figure 1.
We start by subdividing into strips of equal width as in Figure 10.
0
y
x
ab
⁄¤‹ x
i-1
x
i
x
n-1
.. ..
y=ƒ
S¡ S™ S£
S
i
S
n
FIGURE 10
S
1
, S
2
, , S

n

l

ϱ
R
n
෇ lim
n

l

ϱ
L
n
෇
1
3
AS
R
n
L
n
n
lim
n

l

ϱ


3
n

2
+ +
1
n

n
n

2
=
1
n
3
(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
) =
1
n
3
n(n + 1)(2n + 1)

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.4. Tích phân xác định 75
• Chia đoạn [a, b] thành n khoảng con một cách tuỳ ý bởi các điểm chia a = x
0
<
x
1
< x
2
< < x
n
= b.
• Trên mỗi đoạn con [x
i−1
, x
i
], i = 1, n chọn điểm ξ
i
tuỳ ý.
• Lập tổng tích phân I
n
=
n

i=1
f(ξ
i
)∆x
i

f(ξ
i
)∆x
i
Chú ý 3.9 Ta có các định nghĩa bổ xung
a

a
f(x)dx = 0 và
a

b
f(x)dx = −
b

a
f(x)dx, a < b
Định lý 3.2 (Định lí tồn tại). Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì
b

a
f(x)dx tồn
tại.
Ví dụ 3.41 Dùng định nghĩa tính các tích phân xác định sau
1.
b

a
dx
2.

trên
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.4. Tích phân xác định 76
các đoạn con. Do đó có thể chia đoạn [1, 2] làm n phần bằng nhau nghĩa là
∆x
i
=
1
n
và các điểm chia sẽ là:
x
0
= 1, x
1
= 1 +
1
n
, x
2
= 1 +
2
n
, , x
i
= 1 +
i
n
, , x
n

e
n

e
1
n
+ e
2
n
+ + e
n
n

= lim
n→+∞
e
n
e
1
n
(e
n
n
− 1)
e
1
n
− 1
= lim
n→+∞

[λ
1
f
1
(x) + λ
2
f
2
(x)] dx = λ
1
b

a
f
1
(x)dx + λ
2
b

a
f
2
(x)dx
3. Tính chất bảo toàn thứ tự. Nếu f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì
b

a
f(x)dx ≤
b


u(x)

a
f(t)dt = f (u(x)) u

(x)
Định lý 3.3 Định lí cơ bản. Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm.
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên [a, b] thì
b

a
f(x)dx = F (b) − F (a)
Công thức trên còn được gọi là công thức Niu-tơn - Lép-nít (Newton-Leibnitz).
Ví dụ 3.42
2

1
e
x
dx = e
x
|
2
1
= e(e − 1)
Phép đổi biến số. Giống như tích phân bất định ta có các phép đổi biến x = ϕ(t)
hoặc t = ψ(x). Chỉ khác là khi đổi biến ở tích phân xác định thì ta phải đổi cận.
Ví dụ 3.43 Tính tích phân xác định I =
2



|
π
2
0
= π
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com
3.4. Tích phân xác định 78
Ví dụ 3.44 Tính tích phân xác định
I =
π
2

0
cos xdx
1 + sin
2
x
Giải. Đặt sin x = t thì
I =
1

0
dt
1 + t
2
= arctan t|
1
0

1
x
1
x
dx = e −x|
e
1
= 1
Tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ. Nếu hàm f(x) liên tục trên [−a, a].
1. Khi f(x) là hàm lẻ thì
a

−a
f(x)dx = 0
2. Khi f(x) là hàm chẵn thì
a

−a
f(x)dx = 2
a

0
f(x)dx
Symmetry
The next theorem uses the Substitution Rule for Definite Integrals (5) to simplify the
calculation of integrals of functions that possess symmetry properties.
Integrals of Symmetric Functions Suppose is continuous on .
(a) If f is even , then .
(b) If f is odd , then .
Proof We split the integral in two:


y
2
Ϫ2
͑x
6
ϩ 1͒ dx ෇ 2
y
2
0
͑x
6
ϩ 1͒ dx
f ͑Ϫx͒ ෇ f͑x͒f ͑x͒ ෇ x
6
ϩ 1
0
y ෇ f͑x͒x
x
b
a
f ͑x͒ dx
a0aϪay ෇ f͑x͒
f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
a

0
f ͑Ϫu͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx
8
Ϫ
y
Ϫa
0
f ͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
a
0
f ͑Ϫu͒͑Ϫdu͒ ෇
y
a
0
f ͑Ϫu͒ du
u ෇ ax ෇ Ϫadu ෇ Ϫdx
u ෇ Ϫx
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
0
Ϫa
f͑x͒ dx ϩ

_a
a
FIGURE 4
(a)
ƒ even,
j
 ƒ dx=2
j
ƒ dx
0
a
_a
a
0
x
_a
a
y
(b)
ƒ odd,
j
 ƒ dx=0
_a
a
Symmetry
The next theorem uses the Substitution Rule for Definite Integrals (5) to simplify the
calculation of integrals of functions that possess symmetry properties.
Integrals of Symmetric Functions Suppose is continuous on .
(a) If f is even , then .
(b) If f is odd , then .

7

y
2
Ϫ2
͑x
6
ϩ 1͒ dx ෇ 2
y
2
0
͑x
6
ϩ 1͒ dx
f ͑Ϫx͒ ෇ f͑x͒f ͑x͒ ෇ x
6
ϩ 1
0
y ෇ f͑x͒x
x
b
a
f ͑x͒ dx
a0aϪay ෇ f͑x͒
f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇ Ϫ
y

a
0
f ͑Ϫu͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx
8
Ϫ
y
Ϫa
0
f ͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
a
0
f ͑Ϫu͒͑Ϫdu͒ ෇
y
a
0
f ͑Ϫu͒ du
u ෇ ax ෇ Ϫadu ෇ Ϫdx
u ෇ Ϫx
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
0
Ϫa

x
_a
a
FIGURE 4
(a)
ƒ even,
j
 ƒ dx=2
j
ƒ dx
0
a
_a
a
0
x
_a
a
y
(b)
ƒ odd,
j
 ƒ dx=0
_a
a
Ví dụ 3.46 Tính tích phân xác định
2

−2
(x

+ 2

=
284
7
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
http://nguyenduchau.wordpress.com