TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC


2
Î K, x
1
< x
2
Þ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
¢
. Tìm các điểm mà tại đó y
¢
= 0 hoặc y

=-+-
e)
2
(4)(1)
yxx
=
f)
32
341
yxxx
=-+-

g)
42
1
21
4
yxx
=
h)
42
23
yxx
= +
i)
42
11
2
1010
yxx

2
226
2
xx
y
x
++
=
+
o)
1
3
1
yx
x
=-+-
-
p)
2
4159
3
xx
y
x
-+
= CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

1
1
xx
y
xx
-+
=
++

d)
2
21
x
y
x
-
= e)
2
32
x
y
xx
=
-+
f) 322
yxx
=++-

g) 213
yxx

Cho hm s
(,)
yfxm
=
, m l tham s, cú tp xỏc nh D.

ã
Hm s f ng bin trờn D

y
Â


0,
"
x
ẻ
D.

ã
Hm s f nghch bin trờn D

y
Â

Ê
0,
"
x
ẻ

ợ
"ẻ
ờ
ỡ
>
ờ
ớ
ờ
Ê
ợ
ở
D

ã

0
0
'0,
0
0
ab
c
yxR
a
ộ
ỡ
==
ớ
ờ
Ê

b
a
- )

ã
Nu
D
> 0 thỡ g(x) cú hai nghim x
1
, x
2
v trong khong hai nghim thỡ g(x) khỏc du
vi a, ngi khong hai nghim thỡ g(x) cựng du vi a.
4) So sỏnh cỏc nghim x
1
, x
2
ca tam thc bc hai
2
()
gxaxbxc
=++
vi s 0:

ã

12
0
00
0

ã

12
00
xxP
<<<

5) hm s
32
yaxbxcxd
=+++
cú di khong ng bin (nghch bin) (x
1
; x
2
) bng d
thỡ ta thc hin cỏc bc sau:

ã
Tớnh y
Â
.

ã
Tỡm iu kin hm s cú khong ng bin v nghch bin:

0
0
a
ỡ

xỏc nh) ca nú:
a)
3
513
yxx
=++
b)
3
2
391
3
x
yxx
=-++
c)
21
2
x
y
x
-
=
+

d)
2
23
1
xx
y

yxxx
=
Baứi 3. Tỡm m cỏc hm s sau luụn ng bin trờn tp xỏc nh (hoc tng khong xỏc
nh) ca nú:
a)
32
3(2)
yxmxmxm
=-++-
b)
32
21
32
xmx
yx
= +
c)
xm
y
xm
+
=
-

d)
4
mx
y
xm
+

32
11
231
32
yxmxmxm
=-+-+
nghch bin trờn mt khong cú di bng 3.
c)
32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
=-+-++-
ng bin trờn mt khong cú di bng 4.
Baứi 5. Tỡm m hm s:
a)
3
2
(1)(1)1
3
x
ymxmx
=++-++
ng bin trờn khong (1; +Ơ).
b)
32
3(21)(125)2
yxmxmx
=-++++

ng bin trờn khong (1; +Ơ).
f)
2
23
21
xxm
y
x
+
=
+
nghch bin trờn khong
1
;
2
ổử
-+Ơ
ỗữ
ốứ
.

Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 4

VN 3: ng dng tớnh n iu chng minh bt ng thc
chng minh bt ng thc ta thc hin cỏc bc sau:


sin,0
6
x
xxxvụựix
-<<>
b)
21
sintan,0
332
xxxvụựix
+><<
p

c) tan,0
2
xxvụựix
<<<
p
d) sintan2,0
2
xxxvụựix
+><<
p

Baứi 2. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
tan
,0
tan2
aa

xxx
xxxvụựix
-<<-+>

c) xxxvụựixsincos1,0
2
p
+><<

Baứi 4. Chng minh cỏc bt ng thc sau:
a)
1,0
x
exvụựix
>+>
b)
ln(1),0
xxvụựix
+<>

c)
1
ln(1)ln,0
1
xxvụựix
x
+->>
+
d)
(

-
.
b) Xột hm s
3
()34
fxxx
=- .
f(x) ng bin trong khong
11
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
v
0
17
,sin20,
320
ẻ

11
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

độ x
0
. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a)
55
xx+-= b)
53
1340
xxx
+ +=

c)
571614
xxxx
+-++++=
d)
22
15328
xxx
+=-++

Baøi 2. Giải các phương trình sau:
a)
555
1230
xxx
+++++=

32
21
21
21
xyyy
yzzz
zxxx
ì
+=++
ï
í
+=++
ï
+=++
î
b)
32
32
32
2
2
2
xyyy
yzzz
zxxx
ì
=++-
ï
í
=++-

,
22
p
pp
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï
-<<
ï
î

e)
xyxy
xy
xy
sinsin33
5
,0
p
ì
-=-
ï
ï
+=
í
ï

0,
p
p
ì
-=-
ï
+=
í
ï
<<
î
h)
HD: a, b) Xét hàm số
32
()
ftttt
=++
c) Xét hàm số
2
()6128
fttt
=-+

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

), với "x Î (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên
(a; b)\{x
0
}
a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0


·
Tìm f
¢
(x).

·
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

·
Xét dấu f
¢
(x). Nếu f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 7

Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
23
32
yxx
=- b)
32
221
yxxx
=-+-
c)
32
1
415
3
yxxx
=-+-
d)
4
2
3
2
x
yx
=-+
e)
42

=
+
i)
2
215
3
xx
y
x

=
-

Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
34
(2)(1)
yxx
=-+
b)
2
2
421
23
xx
y
xx
+-
=
+-

2
1
yx
=+
b)
3
2
21
x
y
x
=
+
c) 4
xx
yee
-
=+
d)
2
552ln
yxxx
=-++ e)
2
4sin
yxx
=- f)
2
ln(1)
yxx

¢
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x
0
) bằng hai cách:
+
32
0000
()
yxaxbxcxd
=+++

+
00
()
yxAxB
=+
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
¢
.

·
Hàm số
2
''
axbxc
y

0
0
()
()
()
Px
yx
Qx
=
hoặc
0
0
0
'()
()
'()
Px
yx
Qx
=·
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.

·
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.


-+

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Baøi 2. Tìm m để hàm số:
a)
32
(2)35
ymxxmx
=+++-
có cực đại, cực tiểu.
b)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
có cực đại, cực tiểu.
c)
322
3(1)2
yxmxmx
=-+-+
đạt cực đại tại x = 2.
d)
42
2(2)5
ymxmxm
=-+-+-
có một cực đại

xxm
y
x
-+
=
-
có một giá trị cực đại bằng 0.
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a)
32
3334
yxxmxm
=-+++
b)
32
3(1)1
ymxmxmx
=+

c)
2
5
3
xmx
y
x
-++
=
-
d)

2
1
xbxc
y
x
++
=
-
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d)
2
axbxab
y
bxa
++
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
axxb
y
x
++
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

sao cho:
12
8
xx
-³
.
c)
32
11
(1)3(2)
33
ymxmxmx
= +-+
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
12
21
xx
+=
.
Baøi 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
xmxm
y

có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả
4
Mm
-=
.
d)
2
232
2
xxm
y
x
++-
=
+
có
12
CÑCT
yy
-<
.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
32
4
yxmx
=-+-
có hai điểm cực trị là A, B và
2
2

-
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
e)
2
25
1
xmx
y
x
-++
=
-
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
thẳng y = 2x.
f)
2
23
xxm
y
xm
+++
=
-
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Baøi 8. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
32
21213
yxmxx
=+

xy
=
.
Baøi 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2
(1)21
xmxm
y
xm
-++-
=
-
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
222
2(41)322
2
mxmxmm
y
xm
++++
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c)
222
(1)4

.

·
Chia f(x) cho f
¢
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
¢
(x) + Ax + B.

·
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trị thì:

111
222
()
()
yfxAxB
yfxAxB
ì
==+
í
==+

0
) là điểm cực trị thì
0
0
0
'()
'()
Px
y
Qx
=
.

·
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị ấy là:
'()2
'()
Pxaxb
y
Qxd
+
== .

Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a)
32
21
yxxx
= +


Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số:
a)
3223
33(1)
yxmxmxm
=-+
b)
2
6
xmx
y
xm
+-
=
-

c)
322
3(1)(232)(1)
yxmxmmxmm
= +-+
d)
2
2
1
xmxm
y
xm

có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D):
15
22
yx
=-
. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 11
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R).
a)
00
(),
max()
:()
D
fxMxD
Mfx
xDfxM
ì
£"Î

max()(),min()()
abab
fxfafxfb
==.

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

·
Tính f
¢
(x).

·
Xét dấu f
¢
(x) và lập bảng biến thiên.

·
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

·
Tính f
¢
(x).

·
Giải phương trình f
¢

{
}
12
[;]
min()min(),(),(),(), ,()
n
ab
mfxfafbfxfxfx
==

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
43
yxx
=++
b)
34
43
yxx
=- c)
42
22
yxx
=+-

d)
2
2
yxx

h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
++
i)
42
3
1
(0)
xx
yx
xx
++
=>
+

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
32
23121
yxxx
=+-+
trên [–1; 5] b)

x
-
=
+
trên [0; 4]
g)
2
477
2
xx
y
x
++
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
+-
trên [0; 1]
III. GIÁ TR
Ị LỚN NHẤT


c)
2
2sincos1
yxx
=-+

d)
cos22sin1
yxx
=
e)
33
sincos
yxx
=+ f)
2
42
1
1
x
y
xx
-
=
-+

g)
22
42523
yxxxx

=++
+++
.
HD:
111
3
111
P
xyz
ổử
=-++
ỗữ
+++
ốứ

S dng bt ng thc Cụsi:
[ ]
111
(1)(1)(1)9
111
xyz
xyz
ổử
++++=++
ỗữ
+++
ốứị

4
S
xy
=+ .
HD:
( )
11111
425
4
xxxxy
xxxxy
ổử
++++++++
ỗữ
ốứ



41
4()25
4
xy
xy
ổử
++
ỗữ
ốứ

ị
S

Pxy
xyxy
=++++++-
+
=
111
2
11xyxy
++-
+
.
S dng bt ng thc Cụsi:
[ ]
111
(1)(1)()9
11
xyxy
xyxy
ổử
-+-++++
ỗữ
+
ốứ



1119
112
xyxy
++

2
342
4
xy
P
x
y
++
=+.
HD:
2
11
2
4882
xyyxy
P
x
y
æö
+
=+++++
ç÷
èø
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
11
2.1
44
xx
xx

là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0
()(1)
(2)
fxy
xD
ì
=
í
Î
î

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m
£
y
0

£
M (3)
Vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min();max()
DD
fxmfxM
==
=
-+

d)
2sincos3
2cossin4
xx
y
xx
++
=
-+
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min();max()
DD
fxmfxM
==
. Khi đó:
1) Hệ phương trình
()fx
xD
ì
=
í
Î
î
a

í
Î
î
b
có nghiệm
Û
m
£

b
.
4) Bất phương trình f(x)
³

a
đúng với mọi x
Û
m
³

a
.
5) Bất phương trình f(x)
£

b
đúng với mọi x
Û
M
£