ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN
TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,
ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN, NĂM 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN
TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,
ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HOÀI AN
THÁI NGUYÊN, NĂM 2014
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp
với đề tài “Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng
không và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả
Ngô Thị Phương Loan
i
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của
khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu

1.1.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 9
1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân
của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức sai phân
của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đối với
vấn đề nhận giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . 13
1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 15
iii
2 Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
trưng không 18
2.1 Vấn đề nhận giá trị của toán tử sai phân, đơn thức sai phân đối
với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . 19
2.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm
hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 25
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iv
Bảng ký hiệu
f Hàm hữu tỷ
n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a
T (f) Hàm đặc trưng của f
E
f
(S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f
E
f

ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau:
uA (z, f ) =

λ∈ I
a
λ
f
λ
0
f
λ
1
g
(z + c
1
) f
λ
n
(z + c
n
), c
1
, c
n
∈ C
p
, c

i
, s, q, i = 1, , q
là các số nguyên,
s  1, q  1, k
i
 1, n 
q

i=1
(2k
i
+ 1)2
i
+ q + s + 1 − 3
q

i=1
k
1
, ∆
q
c
f
không đồng nhất không. Khi đó P (f )(∆
1
c
f)
k
1
(∆

−a có không điểm, ở đó a ∈ C
p
, a = 0.
Định lý C. Giả sử f, g là hàm phân hình khác hằng trên C
p
.
1. Nếu E
f
n
f(z+c) f(z+kc)
(1) = E
g
n
g(z+c) g(z+kc)
(1) với k  1, n  5k + 8 là
các số nguyên, thì f = hg với h
n+k
= 1 hoặc fg = l với l
n+k
= 1.
2. Nếu E
f
n
(f(z+c))
q
1
(f(z+kc))
q
k
(1) = E

E
f
n
f(z+e
1
c) f(z+e
m
c)(f(z+t
1
c))
q
1
(f(z+t
k
c))
q
k
(1)
= E
g
n
g(z+e
1
c) g(z+e
m
c)(g(z+t
1
c))
q
1

= 1.
Để ý rằng, C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng không và đầy đủ. Câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là: Đối với K là trường đóng đại số, đặc trưng không, không
cần giả thiết K là trường đầy đủ thì các định lý nêu trên còn đúng hay không?
Nhằm trả lời câu hỏi này, đề tài nghiên cứu vấn đề: Toán tử sai phân của
hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Trình bày lại tương tự các Định lý A, B, C cho hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không đã đưa ra trong [1].
3. Nội dung nghiên cứu
• Luận văn tổng hợp và trình bày về sai phân của hàm số trong toán học
trung học phổ thông và ứng dụng.
2
• Luận văn trình bày tổng quan về vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với
toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic.
• Luận văn tổng hợp, trình bày các kết quả về vấn đề nhận giá trị và duy
nhất đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không trong [1].
4. Kết quả nghiên cứu
• Luận văn trình bày lại các định lý về nhận giá trị và duy nhất đối với
toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc trưng không. Cụ thể là:
Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý A.
Định lý 2.1.4 là tương tự của Định lý B.
Định lý 2.2.3 là tương tự của Định lý C.
• Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Toán trung học phổ
thông, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.
5. Bố cục luận văn

của P (x) được xác định như sau:
∆
c
(P (x)) = P (x + c) − P (x)
Ta có thể đưa một vài ví dụ sau:
1. Nếu P (x) = 5 thì ∆
1
(P (x)) = 5 − 5 = 0
2. Nếu P (x) = x thì ∆
1
(P (x)) = (x + 1) − x = 1
3. Nếu P (x) = x
2
thì ∆
1
(P (x)) = (x + 1)
2
− x
2
= 2x + 1
4. Nếu P (x) = 3x
2
+ 2x + 1 thì
∆
1
(P (x)) = [3(x + 1)
2
+ 2(x + 1) + 1] − (3x
2
+ 2x + 1) = 6x + 5

c
(v(x))
Tính chất nhân: Với mọi hằng số a ta có: ∆
c
(aP (x)) = a∆
c
(P (x)).
1.1.2 Sai phân liên tiếp
Chúng ta có thể thực hiện phép sai phân liên tiếp như sau:
Đầu tiên, ta có sai phân cấp 1 của P (x): ∆
c
(P (x)) = P (x + c) − P (x).
Tiếp theo, áp dụng sai phân cho ∆
c
(P (x)), kết quả là sai phân cấp 2, ta kí
hiệu:
∆
2
c
(P (x)) = ∆
c
(∆
c
(P (x)) = ∆
c
(P (x + c) − P (x))
Vậy
∆
2
c

P (x).
Vậy công thức sai phân liên tiếp: sai phân cấp j của P (x) là:
∆
j
c
(P (x)) =
j

v=0
(−1)
j−v

j
v

P (x + v).
1.1.3 Sai phân của đa thức
Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu về sai phân của đa thức, sai phân của đa thức
có tính chất quan trọng sau đây:
6
Với mọi n > 0, sai phân của đa thức bậc n là một đa thức bậc n − 1. Vì vậy:
Sai phân cấp n của một đa thức bậc n là một hằng số.
Sai phân cấp n + 1 của một đa thức bậc n bằng 0.
Ví dụ 1.1.1. Cho P (x) = 2x
3
+ x
2
+ 3x + 5, ta lần lượt tính sai phân của
P (x).
Sai phân cấp 1:

(P (x)) = [6(x + 1)
2
+ 8(x + 1) + 6] − (6x
2
+ 8x + 6)
= 6[(x + 1)
2
− x
2
] + 8[(x + 1) − x]
= 6(2x + 1) + 8 = 12x + 14.
Sai phân cấp 2 của P (x) là đa thức bậc 1.
Sai phân cấp 3:
∆
3
1
(P (x)) = [12(x + 1) + 14] − (12x + 14) = 12
Ta có sai phân cấp 3 của P (x) là một hằng số.
Sai phân cấp 4 của P (x) sẽ bị triệt tiêu: ∆
4
1
(P (x)) = 12 − 12 = 0.
Nhận xét 1.1.2. Khi càng lấy sai phân thì bậc của đa thức càng giảm xuống,
cho đến khi sai phân bị triệt tiêu và bằng 0.
1.1.4 Ứng dụng
Một ứng dụng của sai phân của đa thức chúng ta xét đến ở đây đó là chứng
minh Định lý Wilson. Định lý được phát biểu như sau:
Với mọi số nguyên tố p thì số (p − 1)! + 1 chia hết cho p.
7
Để chứng minh Định lý Wilson, chúng ta sử dụng một vài tính chất của đa

Chúng ta phát biểu 3 tính chất của đa thức:
Tính chất 1.1.3. Đối với đa thức P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
thì
hệ số a
0
có thể tính như sau: a
0
= P (0).
Tính chất 1.1.4. Nếu P (x) là đa thức có bậc là n ≥ 1 thì ∆P (x) = P (x +
1) − P (x) sẽ là một đa thức bậc n − 1.
Ta chứng minh tính chất này cho một trường hợp đặc biệt là đa thức x
n
,
trường hợp tổng quát sẽ suy ra từ đó.
Đối với đa thức x
n
, chúng ta có:
∆x
n

∆x
n−1
+ + a
1
∆x
Vì ∆x
n
là đa thức bậc n − 1, ∆x
n−1
là đa thức bậc n − 2, , do đó ∆P (x)
là đa thức bậc n − 1.
Tính chất 1.1.5. Hệ số đầu tiên của đa thức ∆P (x) sẽ bằng na
n
.
Theo tính chất thứ 2 đã chứng minh ở trên, ∆x
n
là đa thức bậc n −1 với hệ
số đầu tiên bằng n, do đó đa thức ∆P (x) = a
n
∆x
n
+ a
n−1
∆x
n−1
+ + a
1
∆x
sẽ có hệ số đầu tiên là na
n

cho nên f
2
(1) = f
2
(2) = = f
2
(p − 2) = 0(mod p).
Tương tự với đa thức f
3
(x) = ∆f
2
(x) = f
2
(x + 1) − f
2
(x) là đa thức bậc p − 3,
hệ số đầu tiên của đa thức là (p − 1)(p − 2), f
3
(1) = f
3
(2) = = f
3
(p − 3) =
0(mod p).
Cuối cùng với đa thức f
p−1
(x) = ∆
1
f
p−2

3
(0) = f
2
(1) − f
2
(0) = −f
2
(0)(mod p)
Hệ số cuối cùng của đa thức f
p−1
(x) là
f
p−1
(0) = f
p−2
(1) − f
p−2
(0) = −f
p−2
(0)(mod p).
Từ đó suy ra f
p−1
(0) = (−1)
p−2
f
1
(0) = 1(mod p).
Tóm lại f
p−1
(x) là một đa thức bậc 1, có hệ số đầu tiên là (p − 1)!, hệ số cuối

f (z) = 0 với mọi
z ∈ C
p
thì f là hằng.
Bổ đề 1.2.2. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
. Khi đó
1. m(
f(z+c)
f(z)
) = O(1)
2. m(
f(z)
f(z+c)
) = O(1)
3. n(
1
f(z+c)
) = n(
1
f(z)
) + O(1)
4. n(f (z + c)) = N(f (z)) + O(1)
5. m(r,
∆
c
f
f
) = O(1)
6. T (f(z + c)) = T (f (z)) + O(1)

c
f = f (z + c) − f (z), ∆
1
c
f = ∆
c
f, , ∆
n+1
c
f = ∆
c
(∆
n
c
)
n = 1, 2, , ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Định lý 1.2.4. Cho f hàm phân hình trên C
p
và n, k
i
, s, q, i = 1, 2, , q là các
số nguyên dương, s ≥ 1, q ≥ 1, k
i
≥ 1, n ≥
q

i=1
(2k

Định lý 1.2.5. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
và n ≥ 6, E
f
n
∆
c
f
(a
i
) =
E
f
n
∆
d
f
(a
i
) và q ≥ 2 +
n+2
n−1
. Khi đó c = d.
Định lý 1.2.6. Cho f là hàm phân hình trên C
p
, n ≥ 15 và E
f
n
∆
c

p
: µ
a
f
> 0}.
Cho k là số: E
≤k
f
(a) = {z ∈ C
p
, µ
≤k
f−a
}. Nếu một cặp hàm hữu tỷ f và g khác
hằng trên C
p
thoả mãn E
f
(a) = E
g
(a) (tương ứng E
f
(a) = E
g
(a)) thì ta nói
f và g chung nhau giá trị aCM (tương ứng aIM), trong đó CM (tương ứng
IM) có nghĩa là kể cả bội (tương ứng không kể bội).
Định lý 1.2.7. Nếu một hàm phân hình f thỏa mãn f
n
(z) f (z + c) = 1 với

= 1 hoặc f = hg với h
n+1
= 1.
11
Định lý 1.2.10. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
,n, q
i
, s, k, i =
1, , k là các số nguyên dương , s ≥ 1, q
i
≥ 1, k ≥ 1, n ≥
k

i=1
q
i
+ 2k + s + 1. Khi
đó
P (f) (f (z + c))
q
1
(f (z + kc))
q
k
− a có không điểm, ở đó a ∈ C
p
, a = 0.
Định lý 1.2.11. Giả sử f, g là các hàm phân hình khác hằng trên Cp.
1. Nếu E

k

i=1
q
i
+ 8k + 8 là các số nguyên thì f = hg với
h
n+q
1
+ +q
k
= 1 hoặc fg = l với l
n+q
1
+ +q
k
= 1.
3.Nếu
E
f
n
f(z+e
1
c) f(z+e
m
c)(f(z+t
1
c))
q
1

> 1, k ≥ 1, i = 1, k, n ≥ 5m+
k

i=1
q
i
+8k+8 là
các số nguyên thì f = hg với h
n+m+q
1
+ +q
k
= 1 hoặc f g = l với l
n+m+q
1
+ +q
k
=
1.
Nhận xét 1.2.12. Định nghĩa sai phân đối với hàm số thực và hàm phân hình
p-adic là tương tự. Xét vấn đề nhận giá trị đối với toán tử sai phân, đa thức
sai phân gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa hàm đặc trưng của f và hàm đặc trưng của
∆
c
f, f(z + c).
Bước 2: Dùng các kiểu Định lý chính thứ 2 đối với toán tử sai phân, đa thức
sai phân. Sau đó chuyển T (∆
c
f, r), T (f(z + c), r) về T (f, r) và ước lượng.

(a) = m. Giả sử
d ∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f) là số các không điểm của f tính
cả bội;
n(f, d) = n(f − d)
n
l
(f) =
q

i=1
min{m
i
, l} ở đó f = a(f − z
1
)
m
1
. . . (f − z
q
)
m
q
n
l
(f, d) = n
l
(f − d)
13
n
0

l
(f, d) = n
l
(f
1
− df
2
),
n
0
(f, d) = n
0
(f
1
− df
2
), n(f, ∞) = n(f
2
)
n
l
(f, ∞) = n
l
(f
2
), n
0
(f, ∞) = n
0
(f

n
(z − b)
n
với b
k
= 0 và ta đặt ω
0
f
(b) = k. Cho a ∈ K, ta định nghĩa hàm
ω
a
f
: K −→ N bởi ω
a
f
(b) = ω
0
f=a
(b).
Giả sử k là số nguyên dương. Ta định nghĩa hàm ω
k
f
từ K tới N bởi
ω
k
f
(z) =




lim
k→∞
n
k
(f, a) = n(f, a).
Giả sử l là số nguyên dương. Ta định nghĩa
n
k
l
(f) =

z∈K
min

ω
k
f
(z), l

14
Chú ý rằng lim
k→∞
n
k
l
(f) = n
l
(f).
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương. Tương
tự như trên, ta định nghĩa các hàm

(f, a) n
>k
(f, a),
n
k
l
(f, a), n
<k
l
f(, a) n
k
l
(f, a) n
>k
l
(f, a).
Kí hiệu C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng không. Cho f là hàm hữu tỷ
khác hằng trên C
p
và a ∈ C
p
∪ {∞}. Kí hiệu:
E
f
(a) = {(µ
a
f
(z), z) : z ∈ C

g
(a)) thì ta nói
f và g chung nhau giá trị aCM (tương ứng aIM), trong đó CM (tương ứng
IM) có nghĩa là kể cả bội (tương ứng không kể bội).
1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không
Định lý 1.3.4. Đường cong hữu tỷ f : K → P
n
(K) là một lớp tương đương
của các bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) sao cho f
1
, . . . , f
n+1
không có không
điểm chung trên K. Hai bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) và (g
1
, . . . , g
n+1
) là
tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho g

) tương ứng. Ta nói f đồng
nhất g và viết f ≡ g khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho f
1
= cg
i
với ∀ i = 1, . . . , n + 1.
15
f : K → P
n
(K)
z →
˜
f(z) =

f
1
(z) : . . . : f
n+1
(z)

.
Định nghĩa 1.3.5. Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào P
n
(K) với hai biểu
diễn
˜
f = (f
1

f = (f
1
, f
2
). Khi đó Wronskian
W = W (f
1
, f
2
) =





f
1
f
2
f

1
f

2






(K). Khi đó
(q − 1)T (f) 
q

i=1
n(f, X
i
).
16
Định lý 1.3.10. Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P
1
(K) với
biểu diễn là
˜
f = (f
1
: f
2
), X
1
, . . . , X
q
là các điểm phân biệt của P
1
(K). Khi đó
(q − 2)T (f) 
q

i=1
n

q

i=1
n
0
(f, a
i
).
(q − 2)T (f) 
q

i=1
n
0
(f, a
i
) − 1.
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, a ∈ K. Ta định nghĩa khuyết của f
tại a bởi
Θ
f
(a) = 1 −
n
1
(f, a)
T (f )
.
Trong trường hợp a = ∞, ta kí hiệu
Θ
f

∈ K, c
1
= 0, , c
k
= 0,
a
λ
∈ K.
Đơn thức sai phân của f được xác định như sau:
M (z, f ) = af
n
f
q
1
(z + c) f
q
k
(z + kc); a, c
k
∈ K, a = 0, c = 0, k ∈ N
∗
.
17
Chương 2
Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng
không
Cho hàm f là hàm phân hình p-adic. Toán tử sai phân của f được xác định
như sau:
∆

(z + c
1
) f
λ
n
(z + c
n
), c
1
, c
n
∈ C
p
, c
1
= 0, , c
k
= 0,
a
λ
∈ C
p
.
Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [7] đã đưa ra các kết quả cho vấn
đề nhận giá trị và duy nhất choToán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm
phân hình p-adic. Họ đã nhận được các kết quả sau:
Cho P là đa thức bậc n trên C
p
. Viết P = a
0


i=1
k
1
, ∆
q
c
f
không đồng nhất không. Khi đó P (f )(∆
1
c
f)
k
1
(∆
q
c
f)
k
q
− a có không điểm, ở
đó a ∈ C
p
, a = 0.
18