ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
BÙI QUANG THIỆN
VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
BÙI QUANG THIỆN
VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HOÀI AN
Thái Nguyên - Năm 2014
i
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic 1
1.1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iii
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ
cấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là của
tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả
Bùi Quang Thiện
iv
Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Hoài An. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Sau quá trình nhận đề tài và
nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác định
đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh
ngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin gửi
lời cảm ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, PGS.
TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ, PGS. TS. Trịnh Thanh Hải
đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào
tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt
quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự
giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và
Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức
tốt đẹp.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp
cao học Toán K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

vấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị. Theo hướng
tiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược
của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý
duy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không.
3. Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu
3.1. Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán
học phổ thông.
3.2. Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic.
3.3. Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương
tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không.
4. Kết quả nghiên cứu
Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1]. Cụ thể là:
• Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6].
• Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6].
• Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6].
• Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6].
5. Bố cục luận văn
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.
vii
Chương 1. Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đề
xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông, trình bày
tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chúng tôi
cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của

Công thức nội suy Newton
Ví dụ 1.1.1. Xác định đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện
P (1) = 2, P(2) = 5, P (3) = 12.
Nếu P (1) = 2 ta có đa thức thỏa mãn điều kiện là đa thức A(x) = 2.
Nếu B(1) = 2 và B(2) = 5 thì đa thức B(x) là
B(x) = A(x) + α(x − 1) = 2 + α(x − 1).
Khi đó
B(1) = A(1) = 2
B(2) = 2 + α
B(2) = 5 ta chọn α = 3.
Ta có B(x) = 2 + 3(x − 1).
Vậy tương tự như trên ta tìm đa thức P (x) sao cho P (1) = 2, P(2) = 5,
2
P (3) = 12.
Ta xét đa thức có dạng
P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2)
= 2 + 3(x − 1) + α(x − 1)(x − 2).
Bởi vì P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2) chúng ta có ngay P (1) = B(1) = 2,
P (2) = B(2) = 5.
Còn P (3) = 8 + 2α để P (3) = 12 thì α = 2.
Ta có P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2).
Khi đó đa thức P (x) cần tìm là
P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2)
= 2x
2
− 3x + 3.
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát. Nếu x
1
, x
2

.
Theo như ví dụ mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức P (x) có dạng
P (x) = α
1
+α
2
(x−x
1
)+α
3
(x−x
1
)(x−x
2
)+. . .+α
n+1
(x−x
1
)(x−x
2
) . . . (x−x
n+1
).
Công thức này gọi là công thức nội suy Newton. Nếu chúng ta thay x = x
1
vào công thức nội suy Newton thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số
α
1
. Tiếp đó, nếu chúng ta thay x = x
2

(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, ta có P (2) = 1 + α
2
= 1 do đó α
2
= 0. Vậy
P (x) = 1 + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 3, ta có P (3) = 1 + 2α
3
= 2, do đó α
3
=
1
2
, vậy
P (x) = 1+

1
+ α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào công thức trên, chúng ta có P (1) = α
1
= 1, vậy
P (x) = 1 + α
2
(x − 1) + α
3
(x − 1)(x − 2) + α
4
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α
5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, chúng ta có P (2) = 1 + α
2
= 4, do đó α
2
= 3, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + α

5
= 0. Do đó đa thức
cần tìm là
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) = x
2
.
Qua đây chúng ta thấy rằng đa thức P (x) xác định bởi điều kiện
P (x
1
) = y
1
, P(x
2
) = y
2
, . . . , P(x
n
) = y
n
, P(x
n+1
) = y
n+1
có thể có bậc bằng n, nhưng cũng có thể có bậc bé hơn n.
Công thức nội suy Lagrange
Nếu x
1
, x
2
, . . . , x

P
1
(x), P
2
(x), . . . , P
n
(x), P
n+1
(x) như sau
P (x) = y
1
P
1
(x) + y
2
P
2
(x) + . . . + y
n
P
n
(x) + y
n+1
P
n+1
(x)
trong đó, các đa thức P
1
(x), . . . , P
n+1

P
2
(x) =
(x − x
1
)(x − x
3
) . . . (x − x
n
)(x − x
n+1
)
(x
2
− x
1
)(x
2
− x
3
) . . . (x
2
− x
n
)(x
2
− x
n+1
)
5

n+1
)
P
n+1
(x) =
(x − x
1
)(x − x
2
) . . . (x − x
n−1
)(x − x
n
)
(x
n+1
− x
1
)(x
n+1
− x
2
) . . . (x
n+1
− x
n−1
)(x
n+1
− x
n

(x
2
) = 1, P
2
(x
3
) = 0, . . . , P
2
(x
n
) = 0, P
2
(x
n+1
) = 0
. . . . . . . . .
P
n
(x
1
) = 0, P
n
(x
2
) = 0, P
n
(x
3
) = 0, . . . , P
n

1
(x − x
2
)(x − x
3
) . . . (x − x
n
)(x − x
n+1
)
(x
1
− x
2
)(x
1
− x
3
) . . . (x
1
− x
n
)(x
1
− x
n+1
)
+ y
2
(x − x

)(x − x
2
)(x − x
3
) . . . (x − x
n−1
)(x − x
n+1
)
(x
n
− x
1
)(x
n
− x
2
) . . . (x
n
− x
n−1
)(x
n
− x
n+1
)
+ y
n+1
(x − x
1

y
i

x − x
j
x
i
− x
j
.
Đây chính là công thức nội suy Lagrange.
Ví dụ 1.1.4. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P(2) = 1, P (3) = 2, P(4) = 3, P(5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange
P (x) =
(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
+
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
+ 2
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)
+ 3
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)
6
+ 5
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

là n + 1 số thực khác nhau, và y
1
, y
2
,
. . . , y
n
, y
n+1
là n + 1 số thực bất kỳ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức P (x)
có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện
P (x
1
) = y
1
, P(x
2
) = y
2
, . . . , P(x
n
) = y
n
, P(x
n+1
) = y
n+1
.
Định lý trên nói rằng một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sẽ được xác
định một cách duy nhất bằng n + 1 giá trị của nó.

Chọn α
3
= 1 ta có f(x) = (x − 1)(x − 2) = x
2
− 3x + 2
1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic
Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic và các định lý được
phát biểu ở đây là được Yang - Hu đề cập trong [6].
Ký hiệu C
p
là trường số phức p-adic, C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng
0 và đầy đủ với chuẩn không acsimét.
1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ
Định lý 1.2.1. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
và
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
là bốn giá trị phân biệt trong C
p
∪ {∞}.

,
q

j=3
k
j
k
j
+ 1
 2.
Khi đó, f ≡ g nếu f và g thỏa mãn
E
k
j
(a
j
) = E
kj
(aj), j = 1, . . . , q.
8
1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập
Xét đa thức sau
F
n,b
(z) =
(n − 1)(n − 2)
2
z
n
− n(n − 2)z

lấy giá trị trên C
p
∪ {∞}. Với f ∈ F và S là một tập con của
C
p
∪ {∞}, ta ký hiệu
E
m
0
f
(S) =

a∈S
{(z, m) ∈ C
p
× N|f(z) = a với bội n và m = min(n, m
0
)}.
Trong trường hợp m
0
= ∞ (tương ứng, m
0
= 1), ta viết
E
∞
f
(S) = E
f
(S) (tương ứng, E
1

[z] được gọi là đa thức
duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác
không c ∈ C
p
thỏa mãn điều kiện
P (f) = cP (g) thì f = g.
9
Tương tự, ta gọi một đa thức khác hằng P (z) là đa thức duy nhất yếu
cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện P (f) = P (g)
thì f = g.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Cho một điểm a ∈ C
p
ta xét hàm
V
a
f
: C
p
→ Z xác định bởi công thức
V
a
f
(z) =



0 nếu f(z) = a
m nếu z là không điểm bậc m của f − a.
Định nghĩa 1.2.3. Cho tập S = {a
1

k
,
và k được gọi là chỉ số đạo hàm của P.
Định nghĩa 1.2.4. Đa thức P (z) khác không được gọi là thỏa mãn điều kiện
(H) nếu P (d
1
) = P (d
m
) với mọi 1  l  m  k.
Định lý 1.2.4. Cho m
0
là một số nguyên dương hoặc ∞. Giả sử P (z) là đa
thức duy nhất mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ số đạo hàm k  3,
hoặc k = 2 và min(q
1
, q
2
)  2. Giả sử S là tập các nghiệm của P . Hơn nữa,
các điều kiện sau đây được thỏa mãn
a, q > 2k + 11 trong trường hợp m
0
= 1,
b, q > 2k +
4
m
0
− 1
+ 5 trong trường hợp m
0
 2,

Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung một tập. Dùng giả
thiết nhận chung một tập, đưa về phương trình hàm. Dùng hai định lý chính
để phương trình hàm có nghiệm duy nhất.
1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không
1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
trưng không
Tiếp theo, tôi nhắc lại các kết quả trong [1] đã được trình bày ở [2]. Từ
đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không. Giả sử
f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f. Khi đó viết
f = (z − a)
m
p(z)
với p(a) = 0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f. Đặt µ
0
f
(a) = m. Giả sử
d ∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f) là số các không điểm của f tính
cả bội;
n(f, d) = n(f − d),
n
l
(f) =
q

i=1
min{m
i
, l}, n
l

l
(f) = n
l
(f
1
), n
l
(f, d) = n
l
(f
1
− df
2
),
n
0
(f, d) = n
0
(f
1
− df
2
), n(f, ∞) = n(f
2
),
n
l
(f, ∞) = n
l
(f

f
= µ
0
f
.
Định nghĩa 1.3.1. Đường cong hữu tỷ f : K → P
n
(K) là một lớp tương đương
của các bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) sao cho f
1
, . . . , f
n+1
không có không
điểm chung trên K. Hai bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) và (g
1
, . . . , g
n+1
) là
tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho g
i

˜
f = (f
1
: f
2
: . . . : f
n+1
), ˜g = (g
1
: g
2
: . . . : g
n+1
) tương ứng. Ta nói f đồng
nhất g và viết f ≡ g khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho f
1
= cg
i
với ∀ i = 1, . . . , n + 1.
Định nghĩa 1.3.2. Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào P
n
(K) với hai biểu
diễn
˜
f = (f
1
: f
2

Khi đó
n(f, a)  T
f
.
Định lý 1.3.2. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a
1
, . . . , a
q
∈
K ∪ {∞}. Khi đó
(q − 2)T
f

q

i=1
n
1
(f, a
i
) − 1.
Giả sử f là đa thức bậc k trên K và b ∈ K. Khi đó chúng ta có thể viết f
trong dạng
f =
k

n=0
b
n
(z − b)

f
(z) > k
ω
0
f
(z) nếu ω
0
f
(z)  k
và
n
k
(f) =

z∈K
ω
k
f
(z), (z ∈ K)
n
k
(f, a) = n
k
(f − a).
Chú ý rằng ω
k
f
(z) bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn z ∈ K.
lim
k→∞

(f, a), n
<k
(f, a) n
k
(f, a) n
>k
(f, a),
n
k
l
(f, a), n
<k
l
(f, a) n
k
l
(f, a) n
>k
l
(f, a).
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, a ∈ K. Ta định nghĩa khuyết của
f tại a bởi
Θ
f
(a) = 1 −
n
1
(f, a)
T
f

2
− 2x + 1)(x + 1)
4
.
1, Ta có x
2
+ 1 = (x − z
1
)(x − z
2
).
Ta có T
f
= 2, n(f, 0) = 2.
Lấy l = 1, ta có n
1
(f, 0) = 2.
14
2, Ta có x
2
+ 1 = (x − z
1
)(x − z
2
).
x
3
+ 2 = (x − a
1
)(x − a

với các hàm sau trên K
1. f(x) = x
2
2. f(x) = −x
2
+ 2x.
1, Xét phương trình x
2
= 1, x
2
− 1 = 0
Ta có x
2
− 1 = (x − 1)(x + 1) = 0
Do đó E
f
(1) = 2, E
f
(1) = 2.
2, Xét phương trình −x
2
+ 2x = 1 hay x
2
− 2x + 1 = 0, (x − 1)
2
= 0. Do đó
E
f
(1) = 1, E
f

g
nhưng f(x) = g(x) trên R.
15
Chương 2
Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng
không với điều kiện ảnh của tập
hợp điểm và áp dụng
Trong chương này, chúng tôi sẽ tương tự các định lý duy nhất đối với hàm
phân hình p-adic trong [6] cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng
không và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức. Định lý 2.1.1 là tương tự của
Định lý 4 điểm, Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6], Định lý
2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6],
2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị
Ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không. Cho f là hàm hữu tỷ
khác hằng trên K và a ∈ K ∪ {∞}. Kí hiệu
E
f
(a) = {(µ
a
f
(z), z) : z ∈ K},
và
E
f
(a) = f
−1
(a) = {z ∈ K : µ
a
f