Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích

Lời Cảm Tạ
∗∗∗∗∗
Được sự phân công của bộ môn cùng với niềm hứng thú của bản thân, tôi
nhận đề tài luâïn văn tốt nghiệp từ những ngày đầu năm học. Đây là một vấn đề
tương đối mới lạ, suốt một thời gian dài, nguồn tài liệu mà tôi tìm được vẫn còn
nhiều hạn chế. Có những lúc tôi nghó rằng mình phải bỏ cuộc vì không biết phải
tiếp tục như thế nào, nhưng rồi được các thầy cô nhiệt tình chỉ dạy và bạn bè đôïng
viên ủng hộ, tôi đã quyết tâm đi hết chẵng đường dang dở.
Đến nay luận văn “Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian
giải tích” đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy
Cô trong bộ môn Toán đã cung cấp cho em những kiến thức q báu trong bốn
năm ở trường đại học. Đẵc biệt, em xin ghi nhớ công ơn của thầy Lê Hồng
Đức đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt em trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Đồng
thời, em cũng chân thành cảm ơn cô Trần Thò Thanh Thúy đã sửa chữa những
sai sót trong bản luận văn và cô Lại Thò Cẩm đã động viên, giúp đỡ em.
Xin cảm ơn các anh chò, các bạn sinh viên đã nhiệt tình ủng hộ tôi hoàn
thành luận văn này.

Trần Hoài Ngọc Nhân

Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích
thuyết và tạo thành một chuỗi, bài sau sử dụng kết quả của bài trước.
² Các kết quả phổ biến nhiều sách đã trình bày, sinh viên chỉ nhắc lại
hoặc nêu hướng chứng minh.
IV/ PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN NGHIÊN CỨU:
Phương pháp nghiên cứu:
Các phương pháp chính được sử dụng là tổng hợp, phân tích và so sánh.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích
² Tổng hợp: Tổng hợp các kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau,
trình bày lại theo cách riêng.
² Phân tích: Trên cơ sở kiến thức đã học và đọc tài liệu đi sâu phân tích
làm rõ vấn đề.
² So sánh: Sử dụng phương pháp so sánh để thấy được sự khác biệt của
vấn đề thác triển liên tục trong từng không gian cụ thể.
Phương tiện nghiên cứu:
Các sách về giải tích của các tác giả trong và ngoài nước, tìm kiếm các
kết quả được công bố từ internet.
V/ CÁC BƯỚC THỰC HIỆN:
² Tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, tóm tắt các các
kết quả có liên quan.
² Phân loại theo từng nhóm, soạn dàn ý và tham khảo ý kiến của giáo
viên hướng dẫn để viết thành đề cương.
² Tiếp tục tham khảo tài liệu để bổ sung, đồng thời phân tích làm rõ, dần
hoàn chỉnh theo từng phần.
VI/ CÁC THUẬT NGỮ ĐƯC DÙNG TRONG LUẬN VĂN:
Các thuật ngữ trong luận văn chủ yếu được sử dụng từ các giáo trình. Để
thống nhất, sinh viên dùng từ hàm để chỉ một ánh xạ có tập đích là tập hợp số
(thực hoặc phức), từ hàm số chỉ một ánh xạ có tập nguồn và tập đích đều là các

các ứng dụng và mở rộng, đồng thời cũng tìm hiểu việc thác triển một ánh xạ
tuyến tính liên tục không âm.
VIII/ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI:
Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu các vấn đề cơ bản nhất, nhiều
ứng dụng rộng rãi của các vấn đề lí thuyết vào từng trường hợp cụ thể đã bò bỏ
qua và việc tổng quát các kết quả cũng dừng lại ở một mức độï nhất đònh. Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích

MỤC LỤC



Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 1
PHẦN NỘI DUNG Chương mở đầu
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày sơ lược các khái niệm cơ bản với nội dung tối
thiểu cần thiết cho các chương sau. Các chứng minh đều không được đưa vào,
người đọc có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo.
1/ Trong giải tích cổ điển:
1.1/ Hàm số liên tục:
Đònh nghóa: Cho hàm số f : A → R
² f được gọi là liên tục tại điểm x
0
∈ A nếu:
∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ A, |x − x
0
| ≤ δ ta có |f(x) − f(x
0
)| ≤ ε.
² f được gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm x
0
∈ A.
1.2/ Hàm số liên tục đều:

i/ d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
ii/ d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X
iii/ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X
Tập X với mêtric d trang bò trên X được gọi là một không gian mêtric.
Ký hiệu: (X, d).
2.2/ Khoảng cách giữa các tập hợp:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d) và A, B là hai tập con khác
rỗng của X . Khi đó:
d(A, B) = inf{d(x, y): x ∈ A, y ∈ B}
được gọi là khoảng cách giữa các tập A và B.
2.3/ Không gian con:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), E ⊂ X, E ≠ φ. Với mỗi cặp
phần tử x, y ∈ E ta đặt d
E
(x, y) = d(x, y). Khi đó d
E
là một mêtric trên E được
gọi là mêtric trên E cảm sinh bởi mêtric d.
Không gian mêtric (E, d
E
) được gọi là không gian mêtric con của
không gian mêtric (X, d).
2.4/ Không gian mêtric tích:
Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
) và (Y, d
Y
)
Khi đó X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y} là không gian mêtric với mêtric

n
, a) = 0. Khi đó x được gọi là giới
hạn của dãy {x
n
}. Ký hiệu: limx
n
= a hoặc x
n
→ a.
2.5.2/ Đònh lý: Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
2.6/ Lân cận:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), x
0
∈ X, ε > 0.
² Tập S(x
0
, ε ) = {x ∈ X : d(x, x
0
) < ε }được gọi là hình cầu mở tâm x
0

bán kính ε.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 3
² Tập S[x
0
, ε] = {x ∈ X : d(x, x
0

² Tập đóng bé nhất trong X chứa A được gọi là bao đóng của A.
Ký hiệu:
A
.
2.9.2/ Đònh lý: d(x, A) = 0 ⇔ x ∈
A
.
2.10/ Tập hợp trù mật:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d), A ⊂ X, B ⊂ X.
² Nếu B ⊂
A
thì A được gọi là trù mật trong B.
² Nếu
A
= X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X.
2.11/ Không gian đầy:
Đònh nghóa: Cho không gian mêtric (X, d).
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 4
² Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
tồn tại N sao cho: ∀m, n > N ⇒ d(x
m
, x
n
) < ε
² Không gian mêtric X được gọi là không gian đầy nếu mọi dãy

(f(x), f(x’)) < ε
2.12.2/ Đònh lý: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
) và ánh xạ
f : X → Y. Khi đó f liên tục tại x
0
khi và chỉ khi:
∀{x
n
} ⊂ X, x
n
→ x
0
⇒ f(x
n
) → f(x
0
)
2.12.3/ Đònh lý: Cho ánh xạ f : X → Y.
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a/ f liên tục trên X.
b/ Nếu G là tập mở trong Y thì f
−1
(G) là tập hợp mở trong X.
c/ Nếu G là tập đóng trong Y thì f
−1
(G) là tập hợp mở trong X.
2.12.4/ Đònh lý: Với mọi tập hợp A ≠ φ, hàm khoảng cách d(x, A) liên

2.13/ Ánh xạ đồng phôi:
Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
). Nếu ánh xạ
f : X → Y là một song ánh, f liên tục và f
−1
liên tục thì f được gọi là một phép
đồng phôi từ X vào Y.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 5
Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau
2.14/ Ánh xạ k − Lipsit:
Đònh nghóa: Cho hai không gian mêtric (X, d
X
), (Y, d
Y
).
Ánh xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ k − Lipsit nếu:
∀x, x’ ∈ X , d
X
(x, x’) < δ ⇒ d
Y
(f(x), f(x’)) < k.d
X
(x, x’).
2.15/ Tập bò chặn:

Tập hợp X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô.
Ký hiệu: (X, τ).
² Họ τ = {φ, X} là một tôpô trên X. (X, τ) được gọi là không gian
tôpô thô.
² Họ τ = {A | A ⊂ X} là một tôpô trên X. (X, τ) được gọi là không
gian tôpô rời rạc.
3.2/ So sánh các tôpô:
Đònh nghóa: Cho τ
1
, τ
2
là hai tôpô trên X. Ta nói τ
1
là yếu (nhỏ, thô)
hơn τ
2
, hay nói cách khác τ
2
là mạnh (lớn, mòn) hơn τ
1
nếu τ
1
⊂ τ
2
.
Ký hiệu: τ
1
≤ τ
2
.

A
.
3.4.2/ Đònh lý: Cho (X, τ), A ⊂ X, x ∈ X
a/ intA là tập mở lớn nhất chứa trong A.
b/ x ∈
A
⇔ x là điểm dính của A.
3.5/ Tập hợp trù mật:
Đònh nghóa: Cho (X, τ), A ⊂ X, B ⊂ X.
² Nếu B ⊂
A
thì A được gọi là trù mật trong B.
² Nếu
A
= X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X.
3.6/ Cơ sở tôpô:
Đònh nghóa: Cho (X, τ). Họ B ⊂ τ được gọi là một cơ sở tôpô của X nếu
như với mọi x ∈ X, và mọi V ∈ V
x
đều tồn tại B ∈ B : x ∈ B ⊂ V.
Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay
không quá đếm được) những tập mở.
3.7/ Cái phủ:
Đònh nghóa: Họ U các tập hợp nào đó được gọi là một cái phủ của tập
B nếu hợp tất cả các tập thuộc U chứa B.
Nếu tất cả các tập thuộc U là mở (đóng) thì U được gọi là một phủ
mở (đóng) của tập B.
3.8/ Ánh xạ liên tục:
3.8.1/ Đònh nghóa: Cho hai không gian tôpô (X, τ
X

d/ Với mọi tập hợp A ⊂ X ta đều có: f(
A
) ⊂ )A(f .
3.8.3/ Đònh lý: Cho ba không gian tôpô (X, τ
X
), (Y, τ
Y
), (Z, τ
Z
) và hai
ánh xạ liên tục f : X → Y, g : Y → Z. Khi đó ánh xạ tích h = g o f : X → Z là ánh
xạ liên tục.
3.9/ Ánh xạ đồng phôi:
Đònh nghóa: Cho hai không gian tôpô (X, d
X
), (Y, d
Y
). Ánh xạ
f : X → Y được gọi là một phép đồng phôi từ X vào Y nếu f là một song ánh, f
liên tục và f
−1
liên tục. Khi đó các không gian X và Y được gọi là đồng phôi với
nhau
3.10/ Các tiên đề tách:
Đònh nghóa:
² Không gian tôpô X được gọi là T
0
− không gian (không gian
Komogorov) nếu với mọi cặp điểm khác nhau của không gian luôn tồn tại lân
cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia.

4
− không gian.
3.11/ Không gian compact:
3.11.1/ Đònh nghóa: Cho không gian tôpô (X, τ) và A ⊂ X
² X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn
tại phủ con hữu hạn.
² A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ
con hữu hạn.
3.11.2/ Đònh lý: Mỗi tập con đóng của không gian compact đều là
compact.
3.12/ Không gian compact đòa phương:
Đònh nghóa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian compact
đòa phương nếu mỗi x thuộc X đều tồn tại một lân cận đóng và compact.
3.13/ Không gian liên thông:
Đònh nghóa: Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian liên thông
nếu chỉ có φ và X là hai tập vừa đóng vừa mở trong X.
4/ Không gian đònh chuẩn:
4.1/ Không gian tôpô tuyến tính:
4.1.1/ Đònh nghóa: Tập X được gọi là một không gian tôpô tuyến tính
trên trường số thực R hoặc trên trường số phức C, nếu:
i/ X là một không gian tuyến tính,
ii/ X là một không gian tôpô (với tôpô
τ
),
iii/ Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R hoặc
C là liên tục.
Từ đây ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức C.
4.1.2/ Đònh lý: Với mỗi
0
x

≥
µ
λ
∀
∈
∀
∈
∀
, ta đều có
A
y
x
∈
µ
+
λ
.
ii/ A được gọi là cân nếu ,1:,Ax
≤
λ
λ
∀
∈
∀
ta đều có
A
x
∈
λ
,

Nhận xét:
A tuyệt đối lồi ⇔ với mọi x, y ∈ A và λ, µ ∈ K,
1

≤
µ
+
λ
, ta có
A
y
x
∈
µ
+
λ
.
4.1.4/ Đònh nghóa:
a/ Bao lồi của tập A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn)
.
A
x
,
1
,
0
với

λ
λ
∑
∑

4.1.5/ Đònh lý: Giả sử A
≠
0, tuyệt đối lồi. Khi đó:
Ø 0
∈
A,
Ø
A
A
µ
⊂
λ
⇒
µ
≤
λ
,
Ø
()
()
AA
i
n
1i
i

gốc.
4.1.8/ Đònh nghóa: Một sơ chuẩn trên không gian tuyến tính X là một
ánh xạ p : X
→
R thỏa mãn :
i/ p(
α
x) =
α
p(x)
(
)
0
,
X
x
>
α
∀
∈
∀
,
ii/ p(x+ y)
≤
p(x) + p(y)
(
)
X
y
,

X
y
,
x
∈
∀
.
4.1.10/ Đònh lý: Giả sử p và q là các nửa chuẩn trên X thỏa mãn điều
kiện “
)
X
x
(
)
x
(
p
)
x
(
q

đó
Khi

".
1
)
x
(

{
}
A
x
,
0
:
λ
∈
>
λ
λ

và đồng thời
{
}
{
}
.
1
)
x
(
p
:
x
A
1
)
x

b/ Giả sử p là hàm cỡ của tập tuyệt đối lồi và hút U. Khi đó:
p liên tục trên X ⇔ U là một lân cận của 0.
Đồng thời,
intU = {x : p(x) < 1 },

U
= {x : p(x)
≤
1 },
4.2/ Không gian đònh chuẩn:
4.2.1/ Đònh nghóa: Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường
số thực hay phức K, p là một nửa chuẩn xác đònh trên X. Nếu p thỏa mãn thêm
điều kiện:
p(x) = 0 ⇒ x = 0,
thì p được gọi là một chuẩn xác đònh trên X. Khi đó, ta ký hiệu
x
thay cho
p(x). Như vậy, một chuẩn
.
thỏa mãn ba điều kiện:

(
)
()
()
Xy,xyxyx /iii
;K,Xxxx/ii
;0x 0x
;
X

y
x
−
,
thì d là một khoảng cách trong X. Vì vậy, một không gian đònh chuẩn cũng là
một không gian mêtric, và do đó lý thuyết các không gian mêtric áp dụng được
cho các không gian đònh chuẩn.
4.2.4/ Đònh nghóa: Dãy {x
n
} trong không gian đònh chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x
0

∈
X, nếu:
;
0
x
x
lim
0n
=
−

Ký hiệu:
0n
0
n
xxlimhoặcxx =→ .
4.2.5/ Đònh nghóa: Dãy {x

và
2

.
được gọi là tương đương với nhau, nếu τ
1
= τ
2
4.2.7/ Đònh lý: Giả sử X là một không gian tuyến tính đònh chuẩn, A là
một tập lồi mở chứa điểm O, p là phiếm hàm Minkowski của tập A. Khi đó:
A =
{
}
.
1
)
x
(
p
:
X

x
<
∈

4.3/ Toán tử tuyến tính:
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường số K,
ánh xạ A : X → Y.
4.3.1/ Đònh nghóa: A được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử

+
α

² Toán tử f : X → K được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X.
4.3.2/ Đònh nghóa: Giả sử A : X
→
Y là toán tử tuyến tính.
i/ Hạt nhân của A là tập hợp :
KerA = A
−1
(0) = {x
∈
X : Ax = 0},
ii/ Ảnh của A là tập hợp:
imA = A(X) = {y
∈
Y : y = Ax, x
∈
X}.
4.3.3/ Đònh nghóa: Toán tử tuyến tính A : X
→
Y được gọi là một đẳng
cấu tuyến tính của X lên Y, nếu KerA = {0} và imA = Y.
4.3.4/ Đònh nghóa:
² Tập hợp A được gọi là một đa tạp tuyến tính nếu với mọi x, y ∈ A
ta có αx + (− α)y ∈ A.
Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 12

đònh trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của X.
Ký hiệu: X
*
.
² Không gian liên hợp của X* được gọi là không gian liên hợp thứ
hai của X, ký hiệu là X
**
. Không gian liên hợp của X** được gọi là không gian
liên hợp thứ ba của X, ký hiệu là X
***
…
4.6/ Toán tử ngược:
Ta chú ý: Nếu X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một
trường số K, A : X
→
Y là một song ánh tuyến tính, thì tồn tại ánh xạ ngược
A
−1
: Y
→
X và A
−1
cũng là một toán tử tuyến tính.
² Nếu X, Y là các không gian đònh chuẩn và A : X
→
Y là song ánh
tuyến tính liên tục từ X lên Y, thì tồn tại toán tử tuyến tính A
−1
, nhưng A
−1

4.7.1/ Đònh nghóa: Không gian tuyến tính X xác đònh trên trường số K
(K = R hoặc C) được gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ K, xác
đònh một số (x, y) thỏa mãn các tiên đề sau:
i/ (x, x) ≥ 0 (∀ x ∈ X)
(x, x) = 0 ⇔ x = 0
ii/ (x, y) =
x) ,y(
(∀ x,y ∈ X)
iii/ (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) (∀ x,y, z ∈ X, ∀λ, µ ∈ K)
4.7.2/ Đònh lý: Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính đònh
chuẩn với chuẩn x) ,x( .
4.7.3/ Đònh nghóa: Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
4.7.4/ Đònh nghóa:
² Hai vectơ x, y ∈ X được gọi là trực giao nếu (x, y) = 0.
Ký hiệu: x ⊥ y
² Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ của S trực giao
với nhau từng đôi một
4.7.5/ Đònh lý: (Riesz)
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert X.
Khi đó tồn tại x
0
∈ X sao cho:
f(x) = (x, x
0
) (x ∈ X)
Phần tử x
0
được xác đònh duy nhất và
0

và h : R
+
→ R
x
α
f(x) =
x

thì rõ ràng h = f
R
+
.
Ví dụ sau đây sẽ chứng tỏ không phải mọi ánh xạ liên tục trên một không
gian con đều thác triển liên tục được:
Ví dụ 1.2: Cho A = (0, 1] ⊂ X = [0, 1] và các ánh xạ liên tục
f : (0, 1] → R g : (0, 1] → R
x
α
f(x) = 1 / x x
α
g(x) = sin(1 / x)
ta thấy không thể thác triển liên tục f và g trên toàn bộ đoạn [0, 1]. *
Trong một trường hợp khác bài toán thác triển cũng không có lời giải:
Đònh lý 1.3: Nếu hàm số f(x) liên tục nhưng không liên tục đều trên tập bò
chặn E ⊂ R thì hàm số này không thể thác triển liên tục trên R.
Chứng minh
Giả sử f được thác triển trên R thì nó cũng được thác triển trên
E
, lúc đó
thác triển của f sẽ liên tục đều trên

k
} ⊂ E, x
k
→ x
0
. Xét dãy {f(x
k
)}, dãy này là dãy Cauchy trong R vì
0
xx
lim
→
| f(x) − f(x
0
) | = 0. Suy ra {f(x
k
)} có giới hạn và giới hạn này không phụ
thuộc cách chọn dãy {x
k
} hội tụ đến x
0
.
Đặt
)
x
(
f
0
=
0

E
= f,
suy ra
f
là thác triển liên tục của f trên R. *
2/ Thác triển đồng thời các hàm số liên tục:
Giả sử ta đã có thác triển
f
,
g
của hai hàm số f và g, trong một miền nào
đó ta lại có
f
=
g
. Như vậy thác triển một hàm số dẫn tới khái niệm thác triển
đồng thời nhiều hàm số.
Vấn đề 2.1: Cho E, F là hai tập đóng không giao nhau trên R, f : E → R,
g : F → R là hai hàm số liên tục trên R. Ta xây dựng hàm số
f
liên tục, vừa là
thác triển của f vừa là thác triển của g.
Vì E, F là hai tập hợp đóng, E
∩
F = φ nên E, F không có điểm dính
chung, suy ra d(x, F) + d(x, E) ≠ 0
Đặt
)E,x(d)F,x(d
)
E

F
f
(x) = f(x) với x
∈
E
Vì f, g, d liên tục nên
f
liên tục.
Vậy
f
là thác triển liên tục đồng thời của f và g. *
Đònh lý 2.2: Trên R cho trước một họ đếm được các tập đóng đôi một
không giao nhau
k
E
, trong đó
1
E
chứa các điểm dính của
Υ
1k
k
E
≠
,
k
f
:
k
E

N*.
Gọi x
0
∈ E
1
là điểm dính của
Υ
1i
i
E
≠
. Khi đó
f
(x
0
) = f
1
(x
0
) và trong lân cận
bất kì của điểm x
0
tìm được các điểm thuộc E
1
với các chỉ số i lớn tùy ý. Suy ra
trong lân cận này tìm được các điểm mà tại đây
f
(x) đủ bé (vì f
i
→ 0 khi


Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 17
BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1: Trên R cho n tập đóng đôi một rời nhau E
1
, E
2
, … , E
n
và f
k
: E
k
→ R
là các hàm số liên tục (k = 1, , n). Hãy xây dựng hàm số
f
liên tục trên R là

i
ik
ki
i
n
1k
k
)E,x(d)E,x(d
)
E
,
x
(
d
)x(f)x(f
≠
≠
=
+
=
∑
(x ∈ R)
Khi đó:
f
(x) =
k
f
(x) với mọi k = 1, … , n.
k
E |

=1k
k
f hội tụ tuyệt đối.
Hãy xây dựng hàm số
f
liên tục trên R sao cho
f
là thác triển đồng thời của
các
k
f
(k = 1, … , n, ).
Giải
Đặt:

f
(x) =
Υ
Υ
k
i
ik
ki
i
1k
k
)E,x(p)E,x(p
)
E
,

]
bò chặn nên tồn tại M
0
sao cho với mọi x
0
∈ [0, x
0
] ta có
| f(x) | ≤ M
0
.
Vậy với mọi x ∈ R
+
ta có: | f(x) | ≤ sup( M
0
, ε + l ), tức là f bò chặn trên R
+
.
(2) Giả sử ϕ là hàm số tăng nghiêm ngặt, bò chặn và liên tục từ [0, 1) vào
R
+
. Khi đó hàm hợp F = f o

ϕ liên tục trên [0, 1) và tiến đến b khi x → 1. Ta
thác triển F thành hàm liên tục trên [0, 1] bằng cách đặt F(1)= b.
Ta có: [0, 1] là compact nên F đạt được các cận của nó. Vì các cận ( khác
b ) của f bằng các cận của F nên ta suy ra đpcm. *
Nhận xét:
Nếu f là một hàm số liên tục trên khoảng (a, +∞) sao cho f(x) dần ra
+ ∞ khi x tiến đến + ∞ thì f bò chặn dưới và đạt được cận dưới.

−1
(V), suy ra g
−1
(U) đóng.
Do a∈ g
−1
(U) nên g
−1
(U) ≠ φ
Mặt khác b ∉ g
−1
(U) nên g
−1
(U) ⊂ R và g
−1
(U) ≠ R
Như vậy g
−1
(U) là tập con thực sự của R, vừa mở vừa đóng. Điều này vô
lý vì R chỉ có 2 tập con vừa mở vừa đóng là R và φ.
* Đề tài: Thác triển ánh xạ liên tục trong các không gian giải tích 19

), do đó f(x
0
) = g(x
0
)
Như vậy x
0
∈ A, chứng tỏ A là tập đóng. *
Hệ quả 1.7.1: Cho f và g là hai ánh xạ liên tục từ không gian mêtric X
vào không gian mêtric Y. Nếu D là tập con trù mật của X và f(x) = g(x) ∀x ∈ D
thì f = g.
Chứng minh
Đặt A = { x ∈ X : f(x) = g(x) }
Ta có: D ⊂ A ⊂ X
⇒
D
⊂
A
⊂ X ⇒ X ⊂ A ⊂ X ⇒ X = A
⇒ f(x) = g(x) ∀ x ∈ X. *
Đònh lý 1.8: Cho A trù mật trong không gian mêtric X, f là một ánh xạ
liên tục từ A vào trong không gian mêtric Y. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một
ánh xạ liên tục
f
: X → Y là thác triển của f trên X, là với mọi x ∈ X, tồn tại
giới hạn
)
z
(
f

x z
n
→
=
)
z
(
f
lim
n
x z
n
→
.
b/ Điều kiện đủ:
Giả sử giới hạn
)
z
(
f
lim
Az;xz ∈→
tồn tại với mọi x ∈ X.
Ta xác đònh
f
: X → Y
x
α
f
(x) =

A z ;x z
n
∈→

do đó tồn tại z
n
∈ A sao cho:
d(z
n
, x
n
) <
n
1
và d(
f
(x
n
), f(z
n
)) <
n
1

Vì
d(z
n
, x) ≤ d(z
n
, x

n
→

do đó
d(
f
(x),
f
(
n
x
)) ≤ d(
f
(x), f(
n
z
)) + d(f(
n
z
),
f
(
n
x
)) < d(
f
(x), f(
n
z
)) +