Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
I. phần mở đầu
I.1. Lý do chọn đề tài.
Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà
ngời thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi hỏi
phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên
tắc đúng đắn. Ngời học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu đợc
càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác. Nhng nếu
Học sinh đứng một mình trớc một bài toán mà không có giúp đỡ nào,
hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì đợc. Mặt khác nếu
thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm. Thầy giáo
phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và nh vậy để học
sinh có một công việc hợp lý.
Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học
cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thờng gặp bài toán giải phơng trình, hệ
phơng trình không chính tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng của
một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó.
Phơng trình, hệ phơng trình không chính tắc là sự phối hợp nhiều
luồng kiến thức, kĩ năng giải toán. Bài toán đòi hỏi ngời làm toán phải
hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng. Ngời làm toán
cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập cho
chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học.
Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp
lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một
cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một
cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học
tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,
gọn và tiết kiệm đợc thời gian .
Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi
và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học
sinh trong hoạt động học tập. Với các lý do nêu trên tôi có ý tởng xây

giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo cho
học sinh niềm hứng thú trong học tập Giải phơng trình hệ phơng trình
bằng phơng pháp dùng bất đằng thức hoàn toàn phụ thuộc vào năng
lực s phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp ngời giáo viên phải
không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để làm sao có thể
truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả
năng tiếp thu của từng đối tợng học sinh.
Hớng đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay ở trờng THCS
là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập,
sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt là trong năm học
này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động Xây
dựng trờng học thân thiện, học sinh tích cực thì việc tạo hứng thú
học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong
học tập, khơi dậy trong các em ý thức mỗi ngày đến trờng là một
niềm vui
I.4.2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi có
nhiều năm tham gia vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán,
Toán trên máy tính tại trờng THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:
- Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình bằng phơng
pháp dùng bất đẳng thức các em rất tích cực vì một số điều nh kết
quả nhanh, chính xác, làm đợc nhiều bài tập trong khoảng thời gian
ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán.
- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến

còn thiếu động cơ học tập, lời học, không tích cực học tập vì cho rằng
đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy việc phát
huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế. Hơn nữa những
học sinh trên ít đợc sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi hỏi sự cố
gắng tận tâm của ngời thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năng
nhận thức chung cuả môn học.
II.13. Vấn đề đặt ra
Rèn luyện Giải phơng trình hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng
bất đằng thức là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng
mới cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua bài tập là quan
trọng để nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn. Với học sinh họat
động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu đợc
qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức đợc nhớ lâu khi đợc
vận dụng thờng xuyên.
- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong
phú, hấp dẫn.
- Là phơng tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt
nhất kiến thức đã học.
- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh.
II.2.áp dụng trong giảng dạy
II.2.1.các b ớc tiến hành
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Để bồi dỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy tính
nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm đợc những công việc sau:
- Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn những em học khá
Toán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán.
- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán.
- Soạn nội dung bồi dỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dỡng học

++
Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
=a
2
= =a
n
Bất đẳng thức đợc chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ.
Phơng trình, hệ phơng trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức
cauchy rất phong phú và đa dạng. Thông qua các ví dụ điển hình mong
rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán.
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
5.63.42.24 ++=+++ zyxzyx
(Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh - 1993 -1994)
* Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: x 2 ; y 3 ; z 5.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta có:
1222 + xx
(1)
4334
+
yy
(2)
9556 + zz
(3)
Cộng (1), (2), (3), ta có:

3
++=++++=+ xxxxxxxx
=> 16x
3
+ 5 4x
2
+ 4x + 3
8x
3
+ 2x
2
- 2x + 1 0
(2x-1)
2
. (2x
2
+ 2x + 1) 0
(2x - 1)
2
0, vì (2x - 1)
2
0, nên x = 1/2 thỏa mãn
Nhận xét: Đây là bài toán phơng trình vô tỷ khó, hiểu giải bằng
cách nâng lên lũy thừa thì bài toán phức tạp và khó giải đợc . Bằng
cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
với biến đổi tơng đông chúng ta tìm ra lời giải. Quan sát kỹ chúng ta
có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biển đổi đi lên.
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình

x
x
Cộng vế với vế ta có: (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
1
3
1
3
4
22
4
22
=++
x
xx
x
xx
3
1
3
1
3
4
22
4
22
=++
y
yy

+
2
2
1
2
z
y
y
=
+
2
2
1
2
x
z
z
=
+
2
2
1
2
Lời giải:
Dễ thấy ( x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của phơng trình
Xét x # 0 thì y # 0, z # và x, y, z > 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x
2
2x , 1+ y
2

2
2
1
2
Vậy từ hệ phơng trình ta
có:
y x z y do đó x = y = z . Giải ra ta có: x = y = z = 1
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)}
Nhận xét: Đây là hệ phơng trình có dạng hoán vị, ngoài cách giải
trên, bài toán còn cách giải khác. Tuy nhiên cách giải trên ngắn gọn,
phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đã đem lại lời
giải hay, độc đáo.
II)- á p dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.
1- Kiến thức:
Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến
Bất đẳng thức Binhiacôpski. Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với
học sinh, đợc sử dụng nh một công cụ, trong phần này chúng ta
nghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình không
mẫu mực. Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski.
Giả sử: a
1
, a
2
,, a
n
và b
1
, b
2
,b

n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1
==
Bất đẳng thức đợc chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày cách chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ:
Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phơng
trình, hệ phơng trình thờng phong phú và đa dạng. Khi giải dạng toán
bằng phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các cặp số.
Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
164231
2
+=+ xxxx
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa x 1
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:
2222
)3()1(.1131 +++ xxxx

xx
x
x = 5 (loại x = 2 < 3). Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x
= 5.
Nhận xét: Nhận biết hai bộ s
3;1 xx
và 1; 1 để dùng bất đẳng
thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó. Bài
toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn, Chúng
ta có thể tạo ra những bài toán tơng tự.
Ví dụ 2: Giải phơng trình
381257
2
+=+ xxxx
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
(Thi học sinh giỏi THCS TP Hồ Chí Minh 2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: 5 x 7.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Vế trái:
( ) ( )
257.1157
22
=+++ xxxx
(1)
Vế phải: x
2
- 12x + 38 = (x-6)
2

zyx
zyzyx
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
))(431()43(
2222222
xyxzyx ++++++

)(26)43(
2222
xyxzyx ++++
(1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi
431
zyx
==
kết hợp với hệ phơng trình ta
tìm đợc nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).
Nhận xét: Đây là hệ phơng trình không mẫu mực. Để phát hiện
ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến
vế phải của chơng trình thứ nhất (chứa x
2
+ y
2
+ z
2
), Sau đó chọn bộ số
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
thích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá. Phơng trình thứ hai chỉu

xxx +++++++++
) 2006.(20062007.2006
200621
xxx ++++

1
200621
+++ xxx
(1)
( )
2
200621
2
1 11
2006
2005
.2006 xxx +++=
) 2006.(20062005.2006
200621
xxx

1
200621
+++ xxx
(2)
Từ (1), (2) x
1
+ x
2
+ .+ x

n
kn
nxxx
n
kn
nxxx
n
n

=+++
+
=++++++
.1 11
.1 11
21
21
III)- Giải ph ơng trình bằng cách đánh giá các ẩn
1- Kiến thức:
Nhiều bài toán tởng chừng không giải đợc , thật bất ngờ chung ta
chỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phơng trình thì bài toán cho ta
một lời giải thú vị đến bất ngờ.
Kỹ thuật trong phần này thờng sử dụng quan sát các ẩn, để đánh
giá hai vế hoặc giữa các phơng trình của hệ để tìm ra sự kiên hệ giữa
các ẩn số, từ đó có đợc một phơng trình , hệ phơng trình đơn giản hơn.
2. Một ví dụ:
Trong phần này thông qua một ví dụ, chúng ta quan sát cách
đánh giá giữa các ẩn hoặc với một số, từ đó xác định đợc nghiệm của
hệ.
Ví dụ 1: Giải phơng trình
20165)32(2

xx
xx
=
123
)2(
2
2
++


xx
x
7
Đẳng thức xảy ra hki x = 2 (1)
* Xét vế phải: y
2
+ 2 (2x - 3) y + 5x
2
-

16x + 20
= (y+2x-3)
2
+ (x-2)
2
+ 7
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
7
Đẳng thc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)

IV)-Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.
1- Kiến thức
Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng đa
dạng và phong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nét
chính, những kiến thức kinh điển. Trong mục này chúng ta xét thêm
một số kỹ thuật khác mà tởng chừng nh đơn giản song đôi khi lại gặp
khó khăn. Một số chú ý là:
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
- Điều kiện của bài toán.
- Tính chất của lũy thừa, 0 a 1, m > n > 0 => a
m
a
n
1
1 a; m < m => a
m
a
n
.
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
|A| +|B| |A + B| |A| - |B| ; |A| -A
- Làm trội bất đẳng thức không chặt,
2. Một số ví dụ.
Sau đây thông qua một số ví dụ, chúng ta thấy sự linh hoạt của ý
tởng sử dụng, sử dụng phong phú của ứng dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:
11
11
=++

=+ yx
(2)
Lời giải:
Từ phơng trình (1) ta có: |x| 1, |y| 1 => 1 - x 0,1 -y 0.
Lấy phơng trình (1) trừ đi (2) vế với vế, ta có:
0)1()1(
20062006
=+ yyxx
Mà
0)1()1(
20062006
+ yyxx
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0
Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 và x = 1, y = 0.
Nhận xét: bài toán này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0 a
1, m > n > 0 =>a
m
a
n
1 chúng ta có thể mở rộng về số ẩn. Dạng
bài này có dùng để tính giá trị biểu thức và vấn đề là tìm giá trị của ẩn,
Cách thiết kế kiểu bài này không khó.
Ví dụ 3: Giải phơng trình
321
22
=++ xxxx
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức
.BABA ++
Dấu bằng xảy ra khi

|x
2
-x + 1| + |x
2
-x - 2| x
2
-x + 1 - (x
2
-x - 2) = 3
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Đẳng thức xảy ra khi: x
2
-x - 2 0 - 1 x 2.
Nhận xét: Thông thờng học sinh dùng phơng án phá dấu giá trị
tuyệt đối. Nhng cách giải bài này là sử dụng bất đẳng thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối đã cho lời giải đơn giản và ngắn gọn. Nếu chúng ta
tăng thêm các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thì đợc nhiều bài
toán hay và khó.
II.3. Ph ơng pháp nghiên cứu- kết quả nghiên cứu

II.3.1.Phơng pháp.
1/ Nghiên cứu lý luận.
Để viết đợc kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những
phơng pháp sau:
*-Nghiên cứu tài liệu :
+SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học.
*-Sử dụng phơng pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp
của dạy học .
*- So sánh, tổng kết

- Hình thành ở học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải
cho một bài toán phát huy đợc tích cực suy nghĩ trong quá trình giải
toán.
- Góp phần trau dồi cho học sinh những phẩm chất nh tính độc lập
kiên trì sáng tạo tích cực tìm tòi và giúp các em hoàn thiện dần các
phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trong quá trình học toán ở nhà tr-
ờng phổ thông.
- Phát huy đợc đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô
điểm cho việc đổi mới phơng pháp giảng dạy và học tập của giáo viên
và học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học của học sinh làm trung
tâm " từ đó nâng cao từng bớc chất lợng học tập môn toán cho các em.
Vì vậy trong 5 năm học từ năm 2005 - 2006 đến năm 2009 - 2010
kết quả cho thấy những bài toán đa ra các em rất tích cực học tập, làm
đợc tơng đối tốt đạt 65% - 70% và ngày càng gây niềm tin cho học
sinh. Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp ở khối 8 và khối 9 ở
trờng THCS tôi đã đạt học sinh giỏi các cấp có cả cấp quốc gia kết quả
cụ thể nh sau:
- Năm học 2005 2006: Đạt 8 em học sinh giỏi cấp huyện và 4
em học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2006 2007: Đạt 8 em học sinh giỏi cấp huyện và 4
em học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2007 2008: Đạt 6 em học sinh giỏi cấp huyện và 3 em
học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2008 2009: Đạt 4 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó
có một em đạt giải nhì và đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009
đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia.
- - Năm học 2008 2009: Đạt 5 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong

của tôi còn nhiều phần cha nêu hết, Đề tài này hy vọng giúp chúng ta
phần nào khó khăn trong giảng dạy và hy vọng các bạn đồng nghiệp
nêu tiếp những ứng dụng mà bài viết này cha nêu đợc.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh
nghiệm và cố gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí
do còn hạn chế về kiến thức cũng nh phơng pháp nên bản đề tài chắc
không thể tránh khỏi thiếu xót.Tôi mong đợc sự đóng góp, bổ sung.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
III.2- Kiến nghị:
- Với nhà trờng: Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên
thực hiện và áp dụng những sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào
chuyên môn trong nhà trờng.

- Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu t mở nhiều chuyên
đề bồi dỡng các chuyên đề có liên quan đến môn Toán đặc biệt bồi d-
ỡng giáo viên ôn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phơng pháp, năng
lực s phạm cho giáo viên dạy học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Mạo Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2010
Ngời viết
Nguyễn Thị Hạnh
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
đánh giá của hội đồng khoa học
Trờng thcs mạo
khê II
phòng gd - đt
huyện đông
triều