ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG VĂN HIẾU SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHAN HUY KHẢI


4.1 – Bất đẳng thức Trêbưsép 67
4.2 – Một số ví dụ minh hoạ 68
Chương 5 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen 81
5.1 – Định nghĩa hàm lồi 81
5.2 – Điều kiện đủ về tính lồi của hàm số 82
5.3 – Bất đẳng thức Jensen 82
5.4 – Một số ví dụ minh hoạ 84
Tài liệu tham khảo 98 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
2LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy đã trực tiếp
giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường
Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp
giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả những
người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
phương pháp cơ bản nhất để sử dụng có hiệu quả bất đẳng thức Côsi.
Chương 2 “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski” trình bày các
ứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng.
Một trong những phương pháp hay sử dụng và có tính hiệu quả để chứng minh
các bất đẳng thức là sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu. Các kết quả này
được trình bày trong chương 3.
Chương 4 dành để trình bày một lớp bất đẳng thức đơn điệu đặc biệt (đó là bất
đẳng thức Trêbưsép).
Sau hết trong chương 5 trình bày một áp dụng lý thú các kết quả của giải tích lồi
để chứng minh bất đẳng thức – đó là sử dụng tính lồi của hàm số để chứng minh
bất đẳng thức. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
4Chương 1

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.
1.1.1 Định lý. Với
n
số không âm:

·
Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với
2
n
=
.
·
Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho
n
số không âm thì bất đẳng thức cũng đúng với
2
n
số không âm.
Ta có:
(
)
122
2
12122122

1

22
n
nn
n
nnnnn
aaa
aaaaaaaaa
n

Ta có:
( )
121
1
121

.1
11
n
n
n
n
aaaAA
AnAnaaa
nn
-
-
-
+³Þ³-Kết hợp ba điều trên suy ra bất đẳng thức Côsi đúng với mọi
n
nguyên dương
(
)
2
n
³
Þ

ç
÷
ç
÷
ç
èø

Đẳng thức xảy ra
12

n
aaa
Û===

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
5

Chng minh
Theo bt ng thc Cụsi, ta cú:
1212
0
n
nn
aaanaaa
+++>
, (1)

1212
111111

T Bt ng thc cụsi c bn tng quỏt, ta cú hai trng hp riờng sau:

ã
Vi mi
,0
ab
>
, ta cú:
(
)
ab
+
(
11
ab
+
)

4 hay:
114
.
abab
+
+

ng thc xy ra

ab
=
.

.
1.2.2 Mt s thớ d minh ho.
Thớ d 1.1 ( thi tuyn sinh i hc, cao ng khi A 2005).
Cho
,,0
xyz
>
v tho món:
111
4.
xyz
++=
Chng minh:
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
6111
1
222xyzxyzxyz
++Ê
++++++
.
Bi gii
p dng bt ng thc Cụsi c bn hai ln liờn tip, ta cú:
11111111111111
2424242822
xyzxyzxyzxyzxyz
ộự

Hon ton tng t, ta cú:
11111
2822
xyzxyz
ổử
ữ
ỗ
Ê++ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
++
ốứ
(2)
v
11111
2822
xyzxyz
ổử
ữ
ỗ
Ê++ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
++

>
thỡ:
( )
1111
16
abcd
abcd
ổử
ữ
ỗ
++++++
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ị
111111
16
abcdabcd
ổử
ữ
ỗ
Ê+++
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
+++

ốứ
.
Tng t suy ra:
11121
216
xyzxyz
ổử
ữ
ỗ
Ê++ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
++
ốứ
v
11112
216
xyzxyz
ổử
ữ
ỗ
Ê++ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ


Thớ d 1.2 (Bt ng thc Nesbit 3 bin).
Cho
,,0
abc
>
. Chng minh rng:
3
2
abc
bccaab
++
+++
. (1)
Bi gii
D thy (1)

9
111
2
abc
bccaab
ổửổửổử
ữữữ
ỗỗỗ
+++++
ữữữ
ỗỗỗ
ữữữ
ỗỗỗ

ởỷ
ờỳ
+++
ởỷ
(2)
Theo bt ng thc Cụsi c bn thỡ (2) ỳng
ị
pcm.
ng thc xy ra
0
abc
==>
.
Nhn xột :

ã
Bt ng thc Nesbit cng l mt trong cỏc bt ng thc thụng dng, thng
dựng lm bt ng thc trung gian chng minh mt bt ng thc khỏc, nhm rỳt
gn phộp chng minh mt bt ng thc.

ã
Xin a ra mt thớ d hỡnh hc lý thỳ minh ho cho bt ng thc Nesbit sau:
Cho
ABC
D
. V ba phõn giỏc
AA',BB',CC'
. Gi
,,
abc

=+
(Hỡnh 1.1)
111
222
aaa
ahckbk
ị=+
( )
a
aa
a
k
a
ahkbc
hbc
ị=+ị=
+
. (Hỡnh 1.1)
Hon ton tng t, ta cú:
b
b
k
b
hca
=
+
;
c
c
k

pcm.
ng thc xy ra

ABC
D
u.
Thớ d 1.3 Cho
,,0
xyz
>
v
1
xyz
++=
. Chng minh:
3
1114
xyz
xyz
++Ê
+++
.
Bi gii
Cú:
111111
1113
111111111
xyz
xyzxyzxyz
ổử

+++
pcm.
ng thc xy ra
111
1
1
3
xyz
xyz
xyz
ỡ
+=+=+
ù
ù
===
ớ
ù
++=
ù
ợ
.
Nhn xột:

ã
Xin a ra mt minh ho lng giỏc cho thớ d trờn:
Chng minh rng trong mi
ABC
D
, ta luụn cú:


222222
ABBCCA
ABBCCA
++Ê
+++
. (2)
t
tan.tan
22
AB
a = ;
tan.tan
22
BC
b = ;
tan.tan
22
CA
c = ,
(
)
,,0
abc
>
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
9

D thy:

n
xxx
>
tho món:
12
1
n
xxx
+++=
.
Chng minh:
12
12

1111
n
n
x
xx
n
xxxn
+++Ê
++++
.

Thớ d 1.4 Cho
,,0
xyz
>
. Chng minh rng:

ỗ
=-++++ữ=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
++++++
ốứ

( ) ( ) ( )
1111
3222.
4222
xyzxyzxyz
xyzxyzxyz
ộự
ộự
ờỳ
=-++++++++++
ởỷ
ờỳ
++++++
ởỷ
Theo bt ng thc Cụsi c bn, ta cú:
( ) ( ) ( )
111
2229
222
xyzxyzxyz

++=
. Chng minh:

1113
23232316
abcbcacab
++<
++++++
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
10

Bi gii
p dng bt ng thc Cụsi c bn, ta cú:
(
)
(
)
(
)
11111
23242
abcacbcacbc
ổử
ữ
ỗ
ữ
=Êỗ+
ữ

2()
0.
22
acbc
acabc
bc
ỡ
+=+
ù
ù
ù
ù
====
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ

iu ny khụng xy ra vỡ theo gi thit
,,0
abc
>
.
Vy ta cú:
1113
23163232
abcabc

ốứốứ
++++++
. (5)
Theo gi thit:
abbccaabc
++=
111
1
abc
ị++=
. (*)
Suy ra (5)

1113
23232316
abcbcacab
++<
++++++

ị
pcm.
Nhn xột: Cng theo bt ng thc Cụsi c bn ta cú cỏch gii khỏc cho thớ d trờn:
Tht vy, theo bt ng thc Cụsi c bn, ta cú:

111111111
2342344212
abcabcabc
ộự
ổửổử
ữữ

ù
=
ù
ợ
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
11

Tương tự ta có:
1111
23163212
bcabca
£++
++
, (7)

1111
23163212
cabcab
£++
++
. (8)
Đẳng thức xảy ra tương ứng trong (7),(8) là
2
43
ca
ab
ì
=

÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
++++++
. (9)
Đẳng thức trong (9) xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức trong (6),(7),(8) xảy ra

0
abc
Û===
.Vô lý, vì
,,0
abc
>
nên đẳng thức trong (9) không thể xảy ra.
Theo (*)
Þ
(9)
Û
111173
2323239616
abcbcacab
++<<
++++++

Þ

==³
+

Þ
112
coscos
sin
2
C
AB
+³. (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra
Û
coscos
.
os1
2
AB
AB
AB
c
ì
=
ï
ï
ï
Û=
í
-
ï

sinsinsin
222
ABC
ABC
++³++
Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2),(3)
Û
ABC
==Û
ABC
D
đều.
Thí dụ 1.7 Cho
ABC
D
nội tiếp trong đường tròn. Gọi
AA',','
BBCC
là ba đường
cao lần lượt cắt đường tròn tại
111
,,
ABC

Có
111
'''
AABBCC
AABBCC
++=
1
'
1
'
AA
AA
++
1
'
1
'
BB
BB
++

+
1
'
1
'
CC
CC
+
'''

CCAABBCC
AABBCCAABBCC
æö
æö
÷
ç
÷
ç
÷
++++³
÷
ç
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
èø
. (4)
Từ (3),(4)
Þ
111
'''9
4
AABBCC
AABBCC

C
.(Hình 1.3).
Chứng minh:
111
'''9
4
AABBCC
AABBCC
++£
.
Bài giải
Ta có:
2
1
'.''.'
4
a
AAAABAAC==
(
)
11
AA'.AAAA'.AA''AA
Þ=+=22222
2
22
444
a

)
2222
22
22
221
1.
2
2
bcaa
bc
bc
+-
==-
+
+
. (Hình 1.3)
Tương tự ta có:
2
22
1
'1
1.
2
BBb
BB
ca
=-
+
;
2

ç
÷
ç
+++
èø
9
4
£
.
Û
222
222222
3
2
abc
bccaab
++³
+++
. (1)
Theo thí dụ 1.2 thì (1) đúng
Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
abc
Û==
Û
ABC
D
đều.
Nhận xét: Đây là một minh hoạ hình học nữa cho bất đẳng thức Nesbit.

sinsinsinsinsinsin
ccc
abg
bggaab
++£
+++
.
(
)
*

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
14

Bài giải
Dễ thấy:
222
ososos1
ccc
abg
++=
(1)
222
sinsinsin2
abg
Þ++=
. (2)
Đặt
x

222222
222222
1osos1osos1osos3
4
sinsinsinsinsinsin
cccccc
bgagba
bggaab

*Û++£
+++

222222
222222
sinsin1sinsin1sinsin13
4
sinsinsinsinsinsin
gbagab
bgagba
+-+-+-
Û++£
+++

11131119
3
44
xyzxyz
æö
÷
ç

Đẳng thức xảy ra
Û
.
xyzSABC
abg
==Û==Û
là hình chóp đều với các góc
ở đỉnh là tam diện vuông.
1.3 SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.
1.3.1 Nội dung phương pháp.
Phương pháp này thích hợp với những bất đẳng thức có thể trực tiếp áp dụng
ngay bất đẳng thức Côsi, hoặc sau những biến đổi sơ cấp đơn giản là có thể sử dụng
ngay được bất đẳng thức Côsi. Lớp các bất đẳng thức này rất rộng, vì thế phương
pháp này cũng là một trong những phương pháp thông dụng để chứng minh bất
đẳng thức
Kỹ thuật chủ yếu là lựa chọn các số thích hợp để sau khi áp dụng bất đẳng
thức Côsi với các số ấy sẽ cho ta bất đẳng thức cần chứng minh .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
15

1.3.2 Một số thí dụ minh hoạ.
Thí dụ 1.10 (Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng khối B – 2005).
Chứng minh:
121520
345
543
xxx
xxx
æöæöæö

. Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
12151215
2 2.3
5454
xxxx
x
æöæöæöæö
÷÷÷÷
çççç
+³=
÷÷÷÷
çççç
÷÷÷÷
çççç
èøèøèøèø
. (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra
1215
0
54
xx
x
æöæö
÷÷
çç
Û=Û=
÷÷
çç
÷÷
çç

÷÷
çç
èøèø
. (3)
Cộng từng vế (1),(2),(3) ta được:
121520
345
543
xxx
xxx
æöæöæö
÷÷÷
ççç
++³++
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø

Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2),(3)
Û
0
x
=
.

(
)
1
2.0
111
yz
xyz
³>
+++
. (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra
11
yz
yz
yz
Û=Û=
++
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
16

Tương tự ta có:
(
)
(
)
1
2.0
111

³ç=
÷
ç
÷
÷
ç
+++++++++
èø

1
18
8
xyzxyz
Û³Û£
Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3) xảy ra
1
2
xyz
Û===
.
Nhận xét: Với cách lập luận trên có thể xây dựng các bất đẳng thức tương tự sau:

·
Cho
,,,0
xyzt

a
=
=-
+
å
. Chứng minh:
(
)
1
1
1
n
i
n
i
a
n
=
£
-
Õ
.

Thí dụ 1.12 Cho
,,0
abc
>
và
3
abc

. (1)
Đẳng thức xảy ra
ab
Û=
.
Tương tự ta có:
2
2
1
bbc
b
c
³-
+
;
2
2
1
cca
c
a
³-
+
(2)
Từ (1),(2)
Þ
( )
222
2
111

3
2
111
abc
bca
++³
+++

Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2)
1
abc
Û===
.
Nhận xét:

·
Với cách làm trên cũng chứng minh được một bất đẳng thức tương tự với 4 số:
Cho
,,,0
abcd
>
và
4
abcd
+++=
. Chứngminh:

1111
2
1111
M
abcd
=+++³
++++
.
Bài giải
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:
22
22
1
111
22
11
aaa
a
aa
=-³-=-
++
. (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra
2
11.
aa
Û=Û=

Tương tự ta có:
2

42
2
abcd
M
+++
Þ³-=
Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức xảy ra trong (1),(2)
1
abcd
Û====
.

Thí dụ 1.14 Cho
,,0
abc
>
và
3
abc
++=
.
Chứng minh:
222
111
3
111

++
=+-³+-=+-
++
(1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra
2
11.
bb
Û=Û=

Tương tự ta có:
2
1
1
2
1
bbcc
b
c
++
³+-
+
, (2)

2
1
1
2
1
ccaa

4
abcd
+++=
. Chứng minh:

2222
1111
4.
1111
abcd
bcda
++++
+++³
++++Thí dụ 1.15 Cho
,,,0
abcd
>
. Chứng minh:

3333
22222222
2
abcdabcd
abbccdda
+++
+++³
++++

2
cd
c
cd
³-
+
, (3)

3
22
2
da
d
da
³-
+
. (4)
Cộng từng vế của (1),(2),(3),(4) ta được:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
19

3333
22222222
2
abcdabcd
abbccdda
+++
+++
++++

33
3
112233123123
.
abababaaabbb
++++ (1)

Bi gii
ã
Nu
(
)
(
)
(
)
112233
0
ababab
+++=
0
VT
ị=
. Ngoi ra tn ti
k
(
)
13
k
ÊÊ

ababab
+++>
khi ú:
(1)
331212
33
112233112233
1
abaabb
abababababab
+Ê
++++++
. (2)
Theo bt ng thc Cụsi, ta cú:

331212
3
112233112233
1

3
aaaaaa
abababababab
ổử
ữ
ỗ
ữ
Ê++
ỗ
ữ

(2) ỳng .
ng thc trong (2) xy ra

ng thi ng thc trong (3),(4) xy ra


3
12
112233
312
112233
aaa
ababab
bbb
ababab
ỡ
ù
ù
==
ù
ù
+++
ù
ớ
ù
ù
==
ù
ù
+++

==
ờ
ở

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
20

Nhn xột:
ã
Xin a ra mt minh ho hỡnh hc cho bt ng thc trờn.
Cho
ABC
D
. Gi
,,
MNP
l im bờn trong cnh
,
BCAC
v
MN
. t
ABC
SS
D
=
;
1
APN

2
ANb
=
;
1
MPc
=
;
2
NPc
=
. (Hỡnh 1.5).
Ta cú:
11
.
CMN
CMN
SSS
SSS
D
D
=

(
)
(
)
(
)
2212

Saabbcc
=
+++
(7) (Hỡnh 1.5)
T (6),(7) suy ra (5)
(
)
(
)
(
)
33
3
111222121212
abcabcaabbcc
+Ê+++. (8)
Theo thớ d 1.16 thỡ (8) ỳng
ị
pcm.

ã
Hon ton theo cỏch chng minh trờn ta cng chng minh c dng tng
quỏt ca bt ng thc Minkowski sau:
Cho hai dóy s khụng õm:
12
,, ,
n
aaa
;
12


1
n
n
n
nnn
CCC
n
-
ổử
-
ữ
ỗ
ữ
Ê
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
-
ốứ
.
Bi gii
Vỡ
0
1
n
nn
CC

nnnnnnnnnn
CCCCCCCCCC

+++=+++++-+(
)
11222
n
n
=+-=-
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
21

22
n
ị-
(
)
121
1
1
n
n
nnn
nCCC
-

ng thc xy ra

121
2

3
n
nnn
n
CCC
n
-
ộ
=
ờ
===
ờ
=
ở
.

Thớ d 1.18 (Bt ng thc Cụsi suy rng).
Cho
n
s khụng õm:
12
,, ,
n
aaa
v

1
1
n
k
k
a
=
=
ồ
.
Nờn t
12
12
,, ,
n
n
p
pp
MMM
aaa=== , trong ú:
12
,, ,
n
ppp
,
M
l cỏc s nguyờn
dng v:
12

n
p
pp
nn
M
n
aaaaaaa
aaa
M
++++++++++12
12
1212

n
p
pp
n
MMM
nn
ppp
aaaaaa
MMM
+++




1212

n
nn
aaanaaa
+++
.

ã
Theo li gii ca thớ d trờn ta chng minh c bt ng thc sau
(Bt ng thc Holder).
Cho hai dóy s khụng õm:
12
,, ,
n
aaa
v
12
,, ,
n
bbb
,
p
v
q
l hai s hu t
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
22

Nếu
0,0
ab
³³
thì
11
pq
abab
pq
+³
. (1)
Áp dụng (1) với
1
1
k
n
p
p
k
k
a
a
a
=
=
æö
÷
ç
÷
ç

1,
kn
"=
. Ta có:
11
11
11
11
pq
kkkk
nn
pq
nn
pq
pq
kk
kk
kk
kk
abab
pq
ab
ab
==
==
+³
æöæö
÷÷
çç
÷÷

ab
=
==
+³
æöæö
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
èøèø
å
åå
. (3)
Do
11
1
pq
+=
, nên từ (3)
Þ
đpcm.
Đặc biệt: Nếu
2
pq
==
thì từ bất đẳng thức Hônđe ta có được bất đẳng thức
Bunhiacopski:

Bài giải
Áp dụng hệ thức
4sinsinsin
222
ABC
rR= , ta có:
(1)
Û
222
coscoscos1
sinsinsin
12sinsinsin
222
ABC
ABC
ABC
++
³
++
. (2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
23

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
(
)
(
)
222

Þ
222
coscoscossinsinsin
6sinAsinsin
sinsinsin
ABCABC
BC
ABC
++++
³
++

Þ
222
4ososos
coscoscos1
222
sinsinsin
48sinsinsinososos12sinsinsin
222222222
ABC
ccc
ABC
ABCABCABC
ABC
ccc
++
³=
++
.

>
. Chứng minh:
(
)
333
2
1
3
abc
abbcca
++
++-£ .
Bài giải
Biểu thức dưới dấu căn bậc 3 là một tích của hai thừa số. Để có thể sử dụng được
bất đẳng thức Côsi ta cần viết:
.1
abab
=
;
.1
bcbc
=
;
.1
caca
=
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com
24

(
)
333
2
1
3
abc
abbcca
++
++£+

Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
Û
đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3) xảy ra
Û
1
abc
===
.
Phương pháp giải như trên gọi là phương pháp thêm bớt hằng số khi sử dụng bất
đẳng thức Côsi.
Vấn đề quan trọng ở chỗ cần chọn hằng số như thế nào để có thể áp dụng được bất
đẳng thức Côsi vào bất đẳng thức cần chứng minh. Đồng thời phải chọn đúng hệ số
khi ghép cặp để đẳng thức có thể xảy ra được.
1.4.2 Một số thí dụ minh hoạ.
Thí dụ 1.20 Cho
,,0
xyz

( )
3
44
33
xxyxyzxyz
++£++=
(do
1
xyz
++=
)
Þ
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
16
21
4
4
416
21
1
1
21
x
xy
yzy
xyz
z
ì
ï

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
www.VNMATH.com