KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HẢ I PHÒNG - BẢNG A
Năm học 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (2 điểm)
1. Rút gọn biểu thức sau
2. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn là số chính phương.
Bài 2. (1 điểm) Giải phương trình
Bài 3. (2 điểm)
1. Cho là hai nghiệm của phương trình Hãy tính giá trị của biểu
thức
2. Hãy tìm một đa thức bậc bảy với hệ số nguyên nhận làm nghiệm.
Bài 4. (1,5 điểm) Cho tam giác cân tại có trên cạnh lấy điểm
sao cho trên cạnh lấy điểm sao cho Gọi là giao điểm của
và Chứng minh rằng tam giác cân tại
Bài 5. (2,5 điểm) Cho tứ giác với là giao điểm hai đường chéo. Gọi và lần lượt là
trực tâm các tam giác và Chứng minh
1.
2. vuông góc với đoạn thẳng nối trực tâm hai tam giác và
Bài 6. (1 điểm) Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Bài 1:
1. Rút gọn biểu thức:
2. Tìm min:
Bài 2:
1.Cho (P): ( là tham số) giao nhau tại 2 điểm và
. Tìm k
2. Giải phương trình:
Bài 3:
1. có . là tiếp điểm trên cạnh . . Chứng minh
rằng
a. b.

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Năm học 2010 - 2011
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (2 điểm):
Rút gọn biểu thức:
Bài 2 (5 điểm):
1. Giải phương trình:
2. Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn
Tìm y khi x lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (5 điểm):
1. Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình
phương của chúng.
2. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của:
Bài 4 (6 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
1. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn
(K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các
điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).
Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CNA bằng 3 lần diện tích tam giác
AMB.
2. Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi điểm E là hình chiếu
của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng
DE.
So sánh và với cosAEB.
Bài 5 (2 điểm):
Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với
. Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.

1. Cho phương trình: (1) (m là tham số). Tìm m để
phương trình có ba nghiệm phân biệt.
2. Cho phương trình:
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm
(Giả sử )
b. Khi đó, tìm m để nghiệm dương đạt giá trị lớn nhất
Câu 3: (2,0 đ)
Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
Câu 4 : (2,0 đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R và có hai đường chéo vuông góc
với nhau. Tính theo R
Câu 5 : (6,0 đ)
Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, người ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho
(k là số dương cho trước)
1. Cho diện tích tam giác ABC bằng S. Tính diện tích tam giác MNP theo k và s.
2. Tam giác ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ nhất.
Đề thi hsg tỉnh Quảng Ninh năm 2010-2011
Bài 1:
Rút gọn biểu thức
Bài 2:
Trong mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm , chứng minh rằng tam
giác là tam giác vuông.
Bài 3:
Với n là một số tự nhiên tùy ý đặt chứng minh M chia
hết cho 6
Bài 4:
Giải phương trình
Bài 5:
Cho đường tròn tâm (0;R) với hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E là điểm
chính giữa của cung nhỏ BC, dây AE cắt CD tại M, dây DE cắt AB tại N

Câu I:
1. Giải phương trình:
2. Giải hệ :
Câu II:
1. Chứng minh rằng không tồn tại nguyên dương thoả mãn:
2. Giải phương trình:
Câu III:
Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O), độ dài đường cao là . M thuộc cung nhỏ BC. Gọi
là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.
1. Chứng minh rằng có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ
BC
2. Chứng minh:
Câu IV
Giả sử A là tập hợp gồm 9 số nguyên dương mà tích của chúng có không quá 3 ước nguyên tố.
Chứng minh rằng trong A tồn tại 2 số có tích là bình phương đúng.

Shyran's: Ta có thể tổng quát bài IV như sau (cm không khác bài toán riêng là mấy: Dirichlet):
Với là số nguyên lớn hơn 1 xét số nguyên dương mà tích của chúng có không
quá ước nguyên tố. Khi đó trong các số đã cho tồn tại số có tích là luỹ thừa bậc của
một số nguyên
Khi n lẻ ta có thể thay điều kiện các số đã cho nguyên dương bằng điều kiện các số đã cho là các
số nguyên.
Bài IV ứng với
Ðề: Đề thi hsg Bình Phước năm 08-09
Bài 1: Cho Phương trình
với m là tham số. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm dương
Bài 2: cho a;b;c là các số dương, chứng minh rằng:
Bài 3: giải phương trình
Bài 4:
Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành 2 hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã

bài 4 : cho và . hãy tìm min của bt

Đề thi chọn HSG tỉnh Hà Tĩnh (lớp 9 ) năm 2006-2007
Bài 1: Cho phương trình :
a) TÌm a để có ngiệm
b) Giải phương trình với giá trị của a tìm dc ở trên
Bài 2: Cho 3 số a,b,c khác 0 t/m :
Chứng minh rằng 3 số có ít nhất 2 số bằng nhau
Bài 3:Gọi là 1 ngiệm của phương trình: . Tính giá trị của biểu
thức:
Bài 4: CHo đường tròn và đường tròn (Với .) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt . ( và thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ). Vẽ
tiếp tuyến chung thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm , có bờ là đường
thẳng . Trong đó theo thứ tự thuộc . Từ vẽ các đường
thẳng song song với , chúng cắt nhau tại . Chứng minh rằng
a) Tứ giác nội tiếp
b) thẳng hàng
c) .
Bài 5: Cho x,y,z t/m:
Chứng minh:

Đề thi tuyển sinh lớp 10 KHTN 2010
Vòng 1
Câu 1:
1) Giải hệ pt:
2) Giải pt:
Câu 2:
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức:
.
2) Gọi là phần nguyên của . Cmr với mọi nguyên dương, ta có:

1) Giả sử và là 2 số dương khác nhau và thỏa mãn . Cmr:
.
2) Cmr: là một số nguyên dương.
Câu 2: Giả sử bốn số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
i) PT có 2 nghiệm .
ii) PT có 2 nghiệm .
Cmr:
1. .
2. .
Câu 3 : Giả sử và là những số nguyên dương với . Đặt . Cmr:
1) Nếu thì .
2) Nếu là số chính phương thì .
Câu 4: Cho tam giác với . Trên cạnh của tam giác lấy
các điểm và sao cho và .
1) Cmr: điểm nằm trong đoạn thẳng .
2) Qua M và kẻ và . Cmr: .
3) Cho và . Tính theo .
Câu 5: Trên một bảng đen ta viết 3 số . Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần
chơi ta xóa 2 số nào đó trong 3 số trên bảng, giả sử là a và b, rồi viết vào 2 vị trí vừa xóa 2 số
mới là và , đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng
luôn có 3 số. Cmr: dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không thể có đồng thời
3 số .
Đề HSG 9
Câu 1 : a,tính giá trị biểu thức
biết
b, tìm số nguyên lớn nhất ko vượt quá
c, Cho tính
Câu 2 :
a,GPT :
b, xác định các số hữu tỉ sao cho

tiếp thỏa hệ thức : Hãy định dạng tam giác
Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán-Tin Ams
2006-2007
Bài 1:
Cho PT ẩn x:
1. Giải PT với
2. Tìm a để (*) có nhiều hơn 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 2: Cho dãy các số tự nhiên được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích k số
nguyên tố đầu tiên (k=1,2 ). Biết rằng tồn tại 2 só hạng của dãy có hiệu là 30000, tìm 2 số hạng
đó.
Bài 3: Tìm các só nguyên x,y,z thỏa mãn:
Bài 4:Cho nửa đường tròn đừong kính AB+2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn. D là
hình chiếu của C trên AB. Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại E, cắt phân
giác góc ABC tại H
1. CM AE//BH
2. Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đưong kình AC ở F, cắt CE ở I. Tính S tam giác FID
trong trường hợp nó đều
3. Trên BH lấy K sao cho HK= HD, gọi J là giao điểm AF và BH. Xác định vị trí C để tổng
khoảng cách từ I,J,K đến AB max
Bài 5:CMR trong 2007 số khác nhau tùy ý đựoc lấy ra từ tập hợp A={1;2; }, có ít
nhất hai số x,y thỏa mãn:
2007-2008
Copy from Mnf
1) Cho phương trình
a. Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
2) Cho A di chuyển trên đường tròn tâm đường kính ( khác và ). Lấy
điểm đối xứng qua . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên và là trung
điểm của .
a. CM M chuyển động trên 1 đường tròn cố định

Bài 1:
Cho phương trình :
a) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
b) Định m sao cho tích của 4 nghiệm trên đạt giá trị lớn nhật
Bài 2:
Giải các phương trình:
a)
B)
Bài 3:
Cho là 2 số thực khác 0. Chứng minh :
Bài 4:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O,R). Vẽ tam giác đều ACD( D và B
nằm trên 2 nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC). Gọi E là giao điểm của BD
với đường tròn (O) , gọi M là giao điểm của BD với đường cao AH của tg ẠBC
a) Chứng minh MADC nội tiếp .
B) Tính ED theo R
Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn tâm O . Trên cung AC không chứ
điểm B lấy 2 điểm K và M theo thứ tự A, K , M , C5Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau
tại E , còn lại các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D . Chứng minh : ED // AC
Ngày thứ II:
Bài 1:
Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt và phương trình
có 2 nghiệm . Chứng minh :
Bài 2:
Cho các số thỏa :
khác 0 .
Chứng minh :

Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn :
T“m max và min của biểu thức :
Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn :
và
Chứng minh rằng :
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Bắc Giang
Năm học :2006-2007
Thời gian:150 phút

Bài 1 : (2,0 điểm)
Cho phương trình : , là tham số
a) Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm để phương trình đã cho có 2 nghiệm và thỏa mãn .
Bài 2 : (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A= + .
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên a và b sao cho la nghiệm của phương trình
.
Bài 3 : (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số thực dương x và y thỏa mãn :
Bài 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC).Điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B và
C ).Đường tròn ( I ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, đường tròn ( J ) đi
qua M và tiếp xúc với đường thẳngAC tại C
a) Nêu cách xác định tâm I của đường tròn ( I ) và tâm ( J ) của đường tròn ( J ).
b) Các đường tròn ( I ) và ( J ) cắt nhau tại điểm thứ hai N.Chứng minh tứ giác BNCA
nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn BC thì tổng các bán kính đường tròn ( I )
và ( J ) không đổi và đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: biết

Câu 1 (6 điểm):
a.Giải pt:
b.Cho đa thức bậc bốn P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(x) chia hết cho 7 với mọi x thuộc Z
(Z là tập số nguyên).Chứng minh các hệ số của P(x) chia hết cho 7
Câu 2 (5 điểm):
a.Giải hệ pt:
b.Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:
Chứng minh:
Câu 3 (2 điểm)
Trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 chứa 9 hình chữ nhật nhỏ,mỗi hình chữ nhật nhỏ có
diện tích bằng 1.Chứng minh rằng tồn tại 2 hình chữ nhật nhỏ có diện tích phần chung ko nhỏ
hơn
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK.Đường tròn ngoại tiếp
tam giác BKN cắt đường tròn (O) tại điểm M (M khác B).Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng
AC
a.Chứng minh EK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN
b.Chứng minh EM vuông góc với MB
Câu 5 (2 điểm)
Biết rằng một tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn .Tính độ
dài đường chéo còn lại theo S
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian chép đề
Câu I. Giải phương trình
Câu II. Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình
Câu III. Cho tam giác nhọn với trực tâm . Đường thẳng vuông góc với tại cắt
đường thẳng ở , đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Gọi
theo thứ tự là trung điểm của .

DO em không biết cách post hình lên, nên mấy anh,chị thông cảm.
Đa giác 1 có 1 chấm.
Đa giác 2 có 5 chấm.
Đa giác 3 có 12 chấm.
Đa giác 4 có 22 chấm.
Đa giác 5 có 35 chấm.