MÃ KÍ HIỆU
[ *****]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 – Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 05 bài 01 trang)

Bài 1. (2,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:
3

2
3  2
6+2
−4
− 12 − 6 ÷
1.1. A = 
÷ 3
3
2  3
2

1.2. B =

5 2 +7 − 3 5 2 −7
Bài 2. (2,0 điểm)
3

2.1. Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện: 2x 2 + 2xy + 2x + y 2 + z 2 + y = 2yz
Chứng minh rằng: −1 ≤ y − 2z ≤ 1


1
cm 2 .
4026

2


MÃ KÍ HIỆU
[ *****]

Bài
1
(2,0

2
(2,0

ĐÁP ÁNĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
LỚP 9 – Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm …… trang)

Đáp án
1.1 (1,0 điểm)
… A =- 2
1.2 ( 1,0 điểm)
… B=1
2.1 ( 1,0 điểm)
2x 2 + 2xy + 2x + y 2 + z 2 + y = 2yz

2

x +y
2y



2
⇔
⇔
xy
−
3x



2
 xy − xy − 3x = 0
 xy − x 2 + y 2 = 0
 y − y − 3x = 0

2
2


x 2 + y2
x +y
2

3


0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm


(3,0
điểm)
3.2 ( 1,0 điểm)
Có
3( a 2 + b 2 + c 2 ) = ( a + b + c) ( a 2 + b 2 + c 2 )
= a 3 + b3 + c3 + a 2 b + a 2 c + b 2 c + b 2 a + c 2 a + c 2 b
Lại có
a 3 + ab 2 ³ 2a 2 b; b3 + bc 2 ³ 2b 2 c; c3 + ca 2 ³ 2c 2 a
Suy ra được a 2 + b 2 + c 2 ³ a 2 b + b 2 c + c 2 a

0,25 điểm

9- ( a + b + c )
ab + bc + ca
2
2
2
=
a
+
b
+
c

4.1. (1,5 điểm)
·
·
Có được: BCO
= DCO
Þ OB = OD
·
·
·
(cùng bù với ODF
)
EBO
= ODC
·
·
∆CEF cân tại C => CEF
= CFE
·
·
AB//CD => CFE
= BAE

0,25điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

2

2

Với điểm thứ nhất M, ta có 4 tam giác chung đỉnh M đôi một không có
điểm trong chung
Với điểm thứ hai N phải là điểm nằm trong của một trong 4 tam giác trên.
Nối N với 3 điểm của tam giác đó tạo nên 3 tam giác chung đỉnh N,
nhưng số tam giác không có điểm trong chung với các tam giác chỉ tang
thêm 2 do mất đi một tam giác chứa điểm N. Số tam giác không có điểm
trong chung lúc này là 4 + 2
Tương tư với 2010 điểm còn lại, cuối cùng số tam giác đôi một không có
điểm trong chung là 4 + 2 + 2010.2 = 4026.
Tổng diện tích của 4026 tam giác đó bằng 1 cm 2, nên tồn tại ít nhất một
1
cm 2
tam giác có diện tích không vượt quá
4026

0,25điểm
0,25 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm

1,0 điểm