Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a) a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1)
b) x 1 + x
n + 3
x
n
HD:
a). a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1) = ax
2
a
2
x + a x = ax(x a) (x a) = (x
a)(ax 1).
b). x 1 + x
n
(x
3
1) = (x 1)[1 + x
n
(x
2

xy(x y) x y
y xy x xy x y xy x y + +
= + = =
ữ
ữ

+ Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y
+
=
+
HD:
+ Điều kiện xác định: (
x y
).
+ Xét 4 trờng hợp:
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B 1; *Nếu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B ; *Nếu x 0;y 0 B
x y x y


Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng
minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:
2
Câu 1:
Cho đa thức : P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x

Z.
HD:
a). P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6 = 2x

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE

AB, CF

AD.
Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC
2

Câu 3: Cho phân thức
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
+
=
+
a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120
cm. Tính hai cạnh AB và AC.
Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c.
Chứng minh rằng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c

+ + + +
ữ

2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2


0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC.
Câu 6:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta
kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.
Chứng minh EF + EG = 2AM.
4 Câu 1:Rút gọn biểu thức:
4 12 9

+ 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dơng với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và
AD. Cho
AB DC
MN
2
+
=
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI
cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N.
Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= =
; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
2
b + b
2
c + c
2
a +ca

Câu 1: Cho a b = 7.
Tính giá trị của biểu thức: a
2
(a + 1) b
2
(b 1) + ab 3ab(a b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:
2
6 3
7 2
2 1 6
9 3


ữ

x x
Câu 3: Cho biểu thức B =
3
2
2 a 8 2
a :
1 0,5a a 2
2a a


+ +
ữ
+ +


0. Đẳng thức xảy ra
khi nào?
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và
ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
13x
2
14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF
và EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6:
1)Chứng minh rằng phơng trình x
4
x
3
x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phơng trình: m
2
x + 1 = x + m (m là tham số)
8

.
Bài tập t ơng tự :
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại
H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC
2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng
à
à
2 2
A 2B a b bc.= = +
4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC
kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.
9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
3x
3
+ 5x
2
9x + 6.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phơng trình P(x) = 0.

Câu 6: Giải phơng trình:
x a x b x c 1 1 1
2
bc ac ab a b c


+ + = + +
ữ

(Trong đó x là
ẩn)
10 Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0
10
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ +
=
+
10 Câu 3:
Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:

Chứng minh biểu thức P =
2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
+ +
không phụ thuộc vào
biến x
11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
11
Câu 3: (2đ) Giải phơng trình:
2
2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )
+
+ =
+

Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:
2 2 2
2 2 2

3
= 3abc.
12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3)
3
+ (5 7x)
3
+ (3x 8)
3
= 0.
12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac

a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + ac + bc)
12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam
giác đều
12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng
thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM =
FE.
12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao
cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.

= +
+
+ +
13 Câu 4:
Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc
+ ad.
13 Câu 5:
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết
góc FAE = 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông
ABCD.
13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO,
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
OA OB OC
2
AP BQ CR
+ + =
.
14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn
( )
1 1 1


= +
+
1)Tính giá trị của A khi
1
a
2

=
.
2)Tính giá trị của A khi 10a
2
+ 5a = 3.
15 Câu 2: Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x 12 = 0.
15 Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các
tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc
COD = 90
0
.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.

2)
KM DM
KN DN
=
.
3) AB.AE + AD.AF = AC
2
.
16
Câu 5:Giải phơng trình :
x 1 x 2 x 3 14 + + + =
16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh:
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên
đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại
P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
7x 6
17 Câu 2: (6đ)

Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON,
NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau.
1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác
MNPQ.
18 Câu 1: (4đ)
Rút gọn biểu thức: A = 75(4
1993
+ + 4
2
+ 5) + 25.
18 Câu 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
B
1
=
+ +x x
18 Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và
1 1 1
2
a b c
+ + =
thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c

5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+
z
2
)
19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng
thẳng d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng
minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt
lấy các điểm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
= = = >
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m



1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S
ABCD
?
2) Giả sử S
ABCD
bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đ-
ờng thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC,
BD chia thành ba phần bằng nhau
21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y
3
(a y)x
3
+ (x y)a
3
.
21
Câu 3: Giải phơng trình:
2 2
1 1 1
6
x 4x 3 x 8x 15
+ =
+ + + +
21 Câu 4: Giải phơng trình: x
4
+ 2x

Câu 3: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
+ + +
=
+ +
1) Rút gọn A.
2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) Tam giác CIN vuông.
2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
+ +
=
+
1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.

a 3a 1 1
+ =
24 Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tơng ứng của x với:
( )
2
B 3x 1 4 3x 1 5= +
24
Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1
a b c
3
+ +
24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và
OBC đồng dạng.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O.
24 Câu 5:
Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD
sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC.
25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của
tổng các chữ số của nó.
25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của
tam giác để biểu thức sau :
a b c
A

+ +
thì (a + b)(b + c)(a + c) =
0.
26
Câu 2: a) Giải phơng trình:
3 x 3 2 x 2 x 1 4 + =
.
b) Giải phơng trình: x
4
+ 7x
2
12x + 5 = 0.
26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi
đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu
gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao
cho BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân
giác của góc DIB.
26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lợt là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD.
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
27 Câu 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a
2
b + 4ab
2
a
2

+ 1997x
2
+ 1996x + 1997.
b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.
28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
Biết:
a b c
x ; y ; z
b c a c a b
= = =
+ + +
28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.
28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N
sao cho DN = BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM
cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90
0
.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm
FA).
28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh
và Q là trung điểm của cạnh AB.
29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a
2
b
2
= c
2


=
+ +
a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọn biểu thức B.
30 Câu 2: Chứng minh rằng: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4
chia hết cho 16, với
mọi n là số nguyên.
30 Câu 3:
1). Giải phơng trình:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

+ =

2). Giải bất phơng trình:
x 1 4 x
2
2 2
+

30 Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau

3
22x
2
+ 7x + 2004, với x là
nghiệm của phơng trình 6x
2
+ 5x = 6.
31
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + + + +
31 Câu 4: Chứng minh đẳng thức:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)

+ + = + +

31 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đờng
phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I.
1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG//BC và suy ra độ
dài của đoạn thẳng IG.
31 Câu 6:
1). Cho tam giác ABC có góc A = 30
0
. Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh rằng: AD
2
= AB
2

x y z 1
+ + =


+ + =


+ + =

Hãy tính giá trị của biểu thức:
17 9 1997
P (x 1) (y 1) (z 1)= + +
32 Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình
chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH.
Chứng minh rằng AO vuông góc với IB.
32 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lợt trêncác tia
AB và AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng: EK > BC.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
33 Câu 1:
1). Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
4x + 3 bằng hai cách.
2). Cho A(x) = 8x
2
26x + m và B(x) = 2x 3. Tìm m để A(x) chia hết cho
B(x).
33 Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
(x a)(x 5) 0
33
Câu 3: Giải phơng trình:

A
xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6
x 9
+ +
=
+ + + +

a). Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa.
b). Rút gọn biểut thức A.
34 Câu 3:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn:
3 2 3 2 3 2
1
a b b b c c c a a
3
= = =
Chứng minh rằng a = b = c.
34 Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đờng chéo BD dựng đ-
ờng thẳng song song với đờng chéo AC, đờng thẳng này cắt AD tại E. Chứng
minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
34 Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó.
35 Câu 1:
1). Chứng minh rằng: 8351
634
+ 8241
142
chia hết cho 26.
2). Chứng minh rằng A là số chính phơng, biết rằng A có dạng:
{


.
35 Câu 4: Các đờng chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung
điểm các cạnh AB và AD kẻ những đờng vuông góc theo thứ tự với các cạnh
CD và CB. Chứng minh rằng hai đờng thẳng vuông góc này và đờng thẳng AC
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
đồng quy.
35 Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định
vị trí của điểm M trên đờng thẳng CD sao cho:
1). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2). Đờng thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D
có diện tích bằng (n 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2).
36 Câu 1:
Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
1 1 1 1
A 1 1 1 1
2 3 4 1998

=
ữ ữ ữ ữ

36 Câu 2: Phân tích đa hức thành nhân tử:
1). x
2
x 12
2). x
2
+ 8x + 15
36
Câu 3: Chứng minh rằng:

x 7 4 =

37 Câu 2: (3,5đ)
Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
1). Tính độ dài đờng cao CH của tam giác ABC.
2). Gọi CD là đờng phân giác của tam giác ACH. Chứng minh tam giác ACD
cân.
3). Chứng minh rằng: BC
2
+ CD
2
+ BD
2
= 3CH
2
+ 2BH
2
+ DH
2
37 Câu 3: (1,5đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E
và F lần lợt là hình chiếu của B và C xuống đờng thẳng AM. Xác định M trên
BC để tổng BE + CF lớn nhất.
37 Câu 4
37 Câu 5:
38 Câu 1:
1). Xác định giá trị của m để bất phơng trình sau vô nghiệm:

2
(m 3m 2)x 3 2m +

AD. Đờng thẳng CM cắt đờng thẳng AB tại N.
1). Chứng minh: AB
2
= DM.BN.
2). BM cắt DN tại P. Tính góc BPD.
38 Câu 6:
Cho ba số a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3 và
0 a 2;0 b 2;0 c 2
.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2


5.
39 Câu 1:
1). Rút gọn biểu thức:
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
A
1 x 1 x
1 x 1 x 1 x 1 x
= + + + + +
+
+ + + +
2). Cho biểu thức:
2

2
b c a c a b
+ + <
+ + +
39 Câu 4: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên BC
lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
Chứng minh rằng: FD = FC.
39 Câu 5:
Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC.
Chứng minh rằng: BC < MC.AB + MB.AC.
39 Câu 6: Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đờng chéo không đổi là d. Hãy
tìm diện tích hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?
40 Câu 1:
1). Tính: S = 1
2
2
2
+ 3
2
4
2
+ + 99
2
- 100
2
+ 101
2
.
1). Cho a + b + c = 9 và a
2

điểm của cạnh AB và CD.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
Chứng minh rằng nếu: BC + AD = 2MN thì ABCD là hình thang.
41 Câu 1: Giải phơng trình:
1).
2 2
2 2
x x x x 2
1
x x 1 x x 2
+
=
+
2).
2 2
x 5x 5 10x 2x 11
+ =
41 Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau.
1). Tính:
ab bc ac
S
(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)
= + +

2). Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
a b c
2
(b c) (c a) (a b)

2
+ x + 3.
42
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 2
x yz y xz z xy
A
(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)

= + +
+ + + + + +
42
Câu 3: Cho
a 1; a c 1999; b 1 1999.< < <
Chứng minh:
ab c 3998 <
.
42 Câu 4: Tìm x, y, z thoả mãn phơng trình: 9x
2
+ y
2
+ 2z
2
18x + 4z 6y +
20 = 0.
42 Câu 5: Cho tam giác ABC (BA = BC). Trên cạnh AC chọn một điểm K nằm
giữa A và C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho: CE = AK.
Chứng minh rằng BK + BE > BA + BC.
42 Câu 6: Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác không


a). Tìm x để B có nghĩa.
b). Rút gọn B.
c). Chứng minh B luôn dơng với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B.
43 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, và E là một điểm bất kỳ trên
BC (E khác B và C). Hai đờng thẳng AE và CD cắt nhau tại F. Tia Ax vuông
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
góc với AE tại A cắt đờng thẳng CD tại I.
1). Chứng minh dóc AEI = 45
0
.
2). Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AB AE AF
= +
3). Chứng minh diện tích tam giác AEI không nhỏ hơn
2
a
2
43 Câu 4: Cho hinh bình hành ABCD (AB > AD). Từ C kẻ CE và CF lần lợt
vuông góc với các đờng thẳng AB, AD (E thuộc AB và F thuộc AD).
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
43 Câu 5:
44 Câu 1:
Cho 4a
2
+ b

OM ON OP
1
AM BN CP
+ + =
.
45 Câu 1: Giải phơng trình:
1). (x + 2)(x + 3)
2
(x + 4) = 12.
2).
2x 1 3 x 1 2x 6 + = +
.
45 Câu 2:
1). Cho tam giác ABC có đờng cao BD và CE. Chứng minh: góc AED = góc
ACB.
2). Cho tam giác ABC coa đờng phân giác AD.
Chứng minh: AD
2
= AB.AC DB.DC.
45 Câu 3:
1). Cho đa thức bậc hai: P(x) = ax
2
+ bx + c.
Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
2).Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
Tính

Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ + =
46 Câu 3: Giải phơng trình:
1). x
2
+ 8x 20.
2).
x 2 x 1 3 x 2 4 + =

46 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba đờng phân giác AD, BE, CF. Chứng minh
rằng:
DB EC FA
1) . . 1.
DC EA FB
1 1 1 1 1 1
2)
AD BE CF BC AC AB
=
+ + > + +
46 Câu 5:
47
Câu 1: Rút gọn phân thức:
3 3 3
a b c 3abc
A

+ + + =
ữ ữ ữ

. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
48
Câu 2: Giải phơng trình:
2
x 3x 2 x 1 0 + + =
48 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
y

+ xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+
2xyz
48 Câu 4:
Xác định các giá trị của x, y để có đẳng thức: 5x
2
+ 5y
2
+ 8xy + 2y 2x + 2


1 1 1 1 1 1
a b c b c a a c b a b c
+ + + +
+ + +
49 Câu 4: Cho tam giác ABC (Â = 90
0
) đờng cao AH, trung tuyến BM, phân giác
CD cắt nhau tại một điểm.
1). Chứng minh:
BH CM AD
. . 1
HC AM BD
=
.
2). Chứng minh: BH = AC.
49 Câu 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các đ-
ờng phân giác của tam giác đó. Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
x y z a b c
+ + > + +
.
50 Câu 1: Trong một cái hộp đựng một số táo. Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa số
táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy ra thêm 1/3 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả.
Cuối cùng trong hộp còn lại 12 quả. Hỏi trong hộp lúc đầu có bao nhiêu quả
táo.
50 Câu 2: Cho a > 0, b > 0 và c > 0. Chứng minh:
1 1 1 3
b c a c a b a b c
+ + >

Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của B và D xuống đờng thẳng AC.
1). Tứ giác BEDF là hình gì? chứng minh điều đó.
2).Gọi CH và CK lần lợt là đờng cao của tam giác ACB và ACD.
a). Chứng minh:
CH CK
CB CD
=
.
b). Chứng minh hai tam giác CHK và ABC đồng dạng với nhau.
c). Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC
2
.
51 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB và CD lần lợt lấy các điểm
M và K sao cho AM = CK. Trên đoạn AD lấy điểm P tuỳ ý. Đoạn thẳng MK
lần lợt cắt PB và PC tại E và F. Chứng minh rằng:
P FE BME CKF
S S S= +
51 Câu 5:
52 Câu 1: Phân tích thành tích: a
3
+ b
3
+ c
3
3abc.
52 Câu 2:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + xy x
2
y
2
và các giá

2). Chứng minh rằng: AM.NB = NC.MB.
53 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức:
2
2 2
3 2 2
x 25 y 2
A : Biết: x 9y 4xy 2xy x 3
x 10x 25x y y 2

= + =
+
53 Câu 2: Giải phơng trình: 2x
3
+ 3x
2
+ 2x 2 = 0.
53 Câu 3:
1). Chứng minh rằng: x
2
+ xy + y
2
3x 3y + 3

0.
2). Chứng minh rằng: (a + b c)(a b + c)(b + c a)

abc, với a, b, c là
độ dài 3 cạnh của một tam giác.
53 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và
AD. K là một điểm bất kỳ nằm giữa C và D. Gọi P và Q theo thứ tự là các

2
2 2 3 3
x 1 2 3 x 2 6x 3x
A : 2 x
x 1 x
x 1 x 1 x 2x
+ +

= + + +
ữ
+
+

1). Rút gọn biểu thức A.
2). Tìm các giá trị của x để A có giá trị âm.
54 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài của tam giác ta vẽ các
hình vuông ABDE và ACGH.
1). Chứng minh rằng tứ giác BCHE là hình thang cân.
2). Kẻ đờng cao AH
1
của tam giác ABC. Chứng minh các đờng thẳng AH
1
, DE
và GH đồng quy.
54 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K
lần lợt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh rằng BM vuông góc với MK.
55 Câu 1: Giải bất phơng trình:
1). x
2
3x > 0.

+ a
2
c
2
55 Câu 3:
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức sau:
2
x x 6
y
x 1
+ +
=
+
55 Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH. Cho biết AH = 3 cm, CH = 4
cm.
1). Tính AC và AB.
2). Vẽ đờng phân giác trong AD của góc A của tam giác ABC. Tính diện tích
tam giác ABD.
55 Câu 5: Cho hình thang ABCD có AD//BC và BC = 10 cm, AD = 6 cm, AB = 4
cm và CD = 6 cm. Các đờng phân giác của góc A và B (trong hình thang) cắt
nhau tại M. Các đờng phân giác của góc C và D (trong hình thang) cắt nhau tại
N. Tính MN?
56 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1). ab + ac + b
2
+ 2bc + c
2
.
2). x

2
= 1
56 Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Điểm M bất kỳ nằm trong hình
thang, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. Chứng minh rằng: PQ//CD.
57 Câu 1:
Cho a, b, c là 3 số khác 0 thoả mãn a + b + c = 2002 và
1 1 1 1
a b c 2002
+ + =
.
Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.
57 Câu 2:
Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện: x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 14.
Hãy tính giá trị của biểu thức: A = 1 + x
4
+ y
4
+ z
4
.
57 Câu 3: Tìm 3 số x, y, z sao cho:
2 2
x 5y 4xy 10x 22y x y z 26 0+ + + + + + =
57 Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

15
0
và cắt cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N.
Chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 4
AM AN AB
+ =
.
58 Câu 1: Phân tích thành tích:
1). 3x
2
2x 1.
2). x
3

+ 6x
2
+ 11x + 6
58 Câu 2:
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS Biên soạn GV Hoàng Xuân Thìn
1). Giải phơng trình:
x 2 1 2
0
x 2 x x(x 2)
+
=

2). Giải bất phơng trình:
4x 7

2
= 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A = x
2
+
y
2
.
58 Câu 5: Cho tứ giác ABCD. Đờng thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại
P, đờng thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại Q. Chứng minh rằng:
PQ//CD.
58 Câu 6: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC, AC và AB lần lợt lấy các điểm M,
N, P.
1). Chứng minh:
ANP
ABC
S
AN.AP
S AB.AC
=
2). Chứng minh:
( )
3
ANP MPB MNC ABC
1
S .S .S . S
64

59 Câu 1: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2 2
2 2

9x 5.
Câu 2: Chứng minh rằng phơng trình: x
4
3x
3
+ 8x 24 = 0 có đúng hai
nghiệm.
Câu 3:
Cho biểu thức:
3 3
2 2
x x x x 1 x 1 x
A :
1 x 1 x
1 x 1 x

+ +

=
ữ
ữ
+
+1). Tìm các giá trị của x để A có nghĩa.
2). Rút gọn biểu thức A.
60
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ phân giác AM của góc A (M thuộc cạnh CD),

61 Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh BC, AD, và I là trung điểm của MN. Một đờng thẳng bấ kỳ qua
I cắt hai đáy AB, CD lần lợt tại E và F. CHứng minh rằng hai tứ giác AEFD và
BEFC có diện tích bằng nhau.
62 Câu 1: Giải phơng trình: (x
2
9)(x
2
+ 4x) = 0.
62
Câu 2: Giải phơng tình:
x x 2
x 1 x 3
+
=
+
62
Câu 3: Tìm giá trị nguyên của x để
3 2
2x 5x 5x 5
A
2x 1
+ +
=

có giá trị là số
nguyên.

Tính giá trị của biểu thức:
3
2 2
x x
C khi x 12, y 99.
(1 xy) (x y)

= = =
+ +
63 Câu 4: Cho hình thang cân có hai đay dài 3 cm và 11 cm, góc của cạnh bên và
đáy lớn bằng 45
0
. Tính diện tích hình thang đã cho.
63 Câu 5: Một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi. Hỏi diện tích hình
nào lớn hơn? Giải thích vì sao?
64
Câu 1: Giải phơng trình:
2
2
x 2x
2x 0
x 1
+
=
+
64
Câu 2: Giải phơng trình:
2
3 2
1 2x 5 4