Các chuyên đề
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 08 - 2012
O
y
x
F
1
F
2
A
1
A
2
B
1
B
2
Copyright
c
2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.
Nguyễn Minh Hiếu
2
www.VNMATH.com
Mục lục
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . 5
§2. Cực Trị Của Hàm Số . . 6

§4. Hình Chiếu . . . 40
§5. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . 41
Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . 45
§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp. . 46
§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích . 47
§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu . 48
§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước. . . 49
3
Nguyễn Minh Hiếu
Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§1. Nguyên Hàm . . . . 51
§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . 52
§3. Tích Phân . . 52
§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . 54
§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác . . . 56
§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . 57
Chuyên đề 9. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . 59
§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . 61
§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . 62
Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§1. Quan Hệ Song Song . . . . 63
§2. Quan Hệ Vuông Góc . . 64
§3. Thể Tích Khối Đa Diện . . . . . . 65
§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu . . 68
Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . 69
§2. Xác Suất . . . . 70
§3. Nhị Thức Newton . . . . 71

B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
• Tìm tập xác định D
f
.
• Tính y

và chỉ ra y

≥ 0, ∀x ∈ D
f
(hoặc y

≤ 0, ∀x ∈ D
f
).
C. Bài Tập
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
a) y = 2x
3
− 3x
2
+ 1. b) y = −x

− 4x + 4
1 − x
.
1.2. Tìm m để hàm số y = x
3
+ (m − 1) x
2
+

m
2
− 4

x + 9 luôn đồng biến trên R.
1.3. Tìm m để hàm số y = −mx
3
+ (3 − m) x
2
− 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.
1.4. Tìm m để hàm số y =
mx − 2
m − x
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
1.5. Tìm m để hàm số y =
mx − 2
x + m − 3
luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
1.6. Tìm m để hàm số y = x + 2 +
m
x − 1

0
) = 0.
Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x
0
và có đạo hàm trên (a; x
0
), (x
0
; b). Khi đó
• Nếu f

(x) < 0, ∀x ∈ (a; x
0
) và f

(x) > 0, ∀x ∈ (x
0
; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
• Nếu f

(x) > 0, ∀x ∈ (a; x
0
) và f

(x) < 0, ∀x ∈ (x
0
; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x
0

) > 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
Lưu ý. Nếu y

(x
0
) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x
0
.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm cực trị của hàm số.
• Tìm tập xác định. Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

bằng 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị.
• Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4.
3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x
0
.
• Tính y

, y

. Hàm số đạt cực trị tại x
0

d) y = x
4
− 2x
2
+ 3. e) y = −x
4
+ 2x
3
− 2x − 1.
f) y =
√
x
2
− 2x − 3.
g) y =
2x + 3
x + 2
. h) y =
x + 2
3x − 1
.
i) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
1.12. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3mx

2
+ 3 có đúng một cực trị.
1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx
4
+

m
2
− 9

x
2
+ 10 có ba điểm cực trị.
1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y =
x
2
+ mx + 1
x + m
a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1.
c) Đạt cực đại tại x = 2.
6
www.VNMATH.com
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D. Khi đó
• M = max
x∈D
f(x) ⇔


2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước.
PP1:
• Tính y

và chỉ ra y

≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y

≤ 0, ∀x ∈ D).
• Từ y

≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D.
• Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
PP2:
• Tính y

. Tìm các điểm tại đó y

= 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.
Lưu ý.
• m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D
f(x). • m ≤ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min
x∈D
f(x).
C. Bài Tập
1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 + 8x − 2x
2

− 1.
i) y = x +
√
4 − x
2
.
1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = x +
√
2 cos x trên

0;
π
2

.
b) y = 2 sin x −
4
3
sin
3
x trên [0; π].
c) y = sin
4
x − 4sin
2
x + 5.
d) y = sin
4
x + cos

1.24. Tìm m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).
1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y =
mx
2
+ 6x − 2
x + 2
nghịch biến trên [1; +∞).
1.26. Tìm m để hàm số y =
x
2
− 2mx + 2m
2
− 2
x − m
đồng biến trên (1; +∞).
1.27. Tìm a để hàm số y =
x
2
− 2ax + 4a
2
x − 2a
đồng biến trên (2; +∞).
7
Nguyễn Minh Hiếu
§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ

0
f(x) = −∞.
Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a = 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
lim
x→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim
x→−∞
[f(x) − (ax + b)] = 0.
B. Kỹ Năng Cơ Bản
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
• Tìm lim
x→±∞
f(x) ⇒TCN.
• Tìm lim
x→x
±
0
f(x) ⇒TCĐ.
Lưu ý. x
0
thường là một nghiệm của mẫu.
2. Tìm tiệm cận xiên.
C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim
x→±∞
[y −(ax + b)] = 0 ⇒TCX.
C2: Tính a = lim
x→±∞
f(x)
x
và b = lim

g) y =
x
2
− 4x + 4
1 − x
.
h) y =

x
2
+ x − 1. i) y = x +

x
2
+ 2x.
1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y =
mx
2
− 2m (m −1) x − 3m
2
+ m − 2
x + 2
có tiệm cận xiên đi qua A (−1; −3).
1.30. Tìm m để hàm số y =
2x
2
+ (m + 1) x − 3
x + m
có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x
2

tam giác có diện tích bằng 4.
1.34. Cho hàm số y =
3x − 1
x − 2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm
cận không đổi.
1.35. (A-07) Cho hàm số y =
−x
2
+ 4x − 3
x − 2
. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số
đến hai tiệm cận là một hằng số.
1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
3x − 5
x − 2
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
x
2
+ 2x − 2
x − 1
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
8
www.VNMATH.com
Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Sơ đồ khảo sát tổng quát.
1. Tập xác định.

khi qua điểm x
0
thì U (x
0
; f (x
0
)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).
B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát
• Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a = 0). • Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a = 0).
O O
y y
x x
U U
O O
y y
x x
• Hàm số y =
ax + b
cx + d
(c = 0, ad − bc = 0).
• Hàm số y =
ax

3
− x − 3. g) y = −x
3
+ 3x
2
− 1.
h) y =
1
3
x
3
− x
2
− 3x −
5
3
.
1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x
4
− 2x
2
− 3. b) y = x
4
+ 2x
2
− 1.
c) y =
1
2

1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y =
4
2 − x
. b) y =
x − 3
2 − x
. c) y =
x + 3
x − 1
. d) y =
−x + 2
2x + 1
.
e) y =
x − 2
x + 1
. f) y =
x + 2
x − 1
. g) y =
2 − x
x + 1
. h) y =
x + 3
x − 2
.
9
Nguyễn Minh Hiếu
1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

1 − x
.
g) y = −x + 2 +
1
x − 1
. h) y = x − 1 +
1
x + 1
.
10
www.VNMATH.com
Chuyên đề 2
Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ
Phương Trình Đại Số
§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn
A. Phương Pháp Giải Cơ Bản
1. Đưa về phương trình tích.
• Biến đổi đưa phương trình về dạng f(x).g(x) = 0.
• Áp dụng công thức f (x).g(x) = 0 ⇔

f(x) = 0
g(x) = 0
.
2. Đặt ẩn phụ.
• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.
• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x).
3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).
• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
• Xét phương trình trên từng khoảng.
Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f(x)| thì xét hai trường hợp f (x) ≥ 0 và f(x) < 0.

≥ 2x + 2.
c)
x + 5
2x − 1
+
2x − 1
x + 5
> 2. d)
1
x
2
− 5x + 4
<
1
x
2
− 7x + 10
.
2.3. Giải các phương trình sau
a) x
3
− 5x
2
+ 5x − 1 = 0.
b) x
3
− 3
√
3x
2

− 3x + 2

3
.
f) (4 + x)
2
− (x − 1)
3
= (1 − x)

x
2
− 2x + 17

.
2.4. Giải các phương trình sau
a)

x
2
− 4x + 3

2
−

x
2
− 6x + 5

2

+ (x + 3)
4
= 16.
c) (x + 3)
4
+ (x − 1)
4
= 82.
d) x
4
+ (x − 1)
4
=
29
8
.
2.6. Giải các phương trình sau
a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)

x
2
+ 1

(x + 3) (x + 5) + 16 = 0.
c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x
2
.
d)

x

− 27x
2
+ 6x + 8 = 0. d) x
4
− 5x
3
+ 8x
2
− 10x + 4 = 0.
2.8. Giải các phương trình sau
a)

x
2
+ 5x

2
− 2

x
2
+ 5x

− 24 = 0.
b)

x
2
+ x + 1


2x
2
− x + 7
. b)
4x
4x
2
− 8x + 7
+
3x
4x
2
− 10x + 7
= 1.
c)
x
2
+ 1
x
+
x
x
2
+ 1
= −
5
2
.
d)


+

1
x
2
+ x + 2

2
=
13
36
.
2.10. Giải các phương trình sau
a) |x − 1| =


x
2
− 3x + 1


. b)


x
2
+ 4x − 5


=



= x
2
+ 6x + 5. f)


x
2
− 5x + 5


= −2x
2
+ 10x − 11.
2.11. Giải các phương trình sau
a)

x
2
− x

2
+


x
2
− x


x
2
− 4


= 0. d)


x
2
+ 3x − 4


+


x
2011
+ 2011x − 2012


= 0.
2.12. Giải các bất phương trình sau
a) |x − 2| < |2x + 1|. b)




2x − 3
x − 3

x
2
− 5x + 4


+


x
2
− 5x


= 4.
c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|. d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4.
e)
√
x
2
− 2x + 1 +
√
x
2
+ 4x + 4 = 5.
f)

x + 2
√
x − 1 +


3

f(x) = g(x) ⇔ f (x) = g
3
(x).
•

f(x) < g(x) ⇔



f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < g
2
(x)
. •

f(x) > g(x) ⇔





g(x) < 0
f(x) ≥ 0

g(x) ≥ 0
f(x) > g
2

3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4.
d)

2x +
√
6x
2
+ 1 = x + 1.
e)
3
√
2x − 1 +
3
√
x − 1 =
3
√
3x + 1. f)
3
√
x + 1 +
3
√
x + 2 +
3
√

5x − 1 −
√
x − 1 >
√
2x − 4.
c)

2x +
√
6x
2
+ 1 > x + 1.
d) (A-04)

2 (x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
.
2.17. Giải các phương trình sau
a) (D-05) 2

x + 2 + 2

√
x − 1 =
x + 3
3
.
2.18. Giải các bất phương trình sau
a)

x
4
+
√
x − 4 ≥ 8 − x.
b) (D-02)

x
2
− 3x

√
2x
2
− 3x − 2 ≥ 0.
c) (x − 2)
√
x
2
+ 4 < x
2
− 4. d) (x + 2)

+ 4x − 5.
2.19. Giải các phương trình sau
a) (D-06)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0.
b)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =
√
3 − 2x − x
2
.
c)
√
2x
2
+ 8x + 6 +
√
x
2
− 1 = 2x + 2.
d) 3

2 +

1 −
√
1 − 4x
2
x
< 3.
b)
1 −
√
21 − 4x + x
2
x + 1
≥ 0.
c)
2x
√
2x + 1 − 1
> 2x + 2.
d)
x
2

1 +
√
1 + x

2
> x − 4.
2.21. Giải các phương trình sau
a) (x + 5) (2 − x) = 3

= 2 + 3x
√
4 − x
2
.
b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3
= −3.
c)
4
x
2
+
x
2
4 − x
2
+
5
2

√
4 − x
2
x
+
x
√

2
+ x + 4 + 2 ≥ 0.
d) x
2
− 2x + 8 − 6

(4 − x) (2 + x) ≤ 0.
e)
x
x + 1
− 2

x + 1
x
> 3.
f)
√
x + 2 +
√
x − 1 + 2
√
x
2
+ x − 2 ≤ 11 − 2x.
2.24. Giải các phương trình sau
a) x
2
− 1 = 2x
√
x

3x − 2 + 3
√
6 − 5x − 8 = 0.
c) 2

x
2
+ 2

= 5
√
x
3
+ 1. d) 2

x
2
− 3x + 2

= 3
√
x
3
+ 8.
13
Nguyễn Minh Hiếu
2.26. Giải các phương trình sau
a) x
2
+

2
− 4x + 1 ≥ 3
√
x.
b) (A-2010)
x −
√
x
1 −

2 (x
2
− x + 1)
≥ 1.
c)
3
√
x
2
− 2 =
√
2 − x
3
.
d) x +

3 (1 − x
2
) = 2


1 − 3x + 4 = 0.
e) x
3
+ 4x − (2x + 7)
√
2x + 3 = 0. f) (CĐ-2012) 4x
3
+ x − (x − 1)
√
2x + 1 = 0.
2.29. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 2x + 5 +
√
x − 1 = 2.
b)
√
x − 2 +
√
4 − x = x
2
− 6x + 11.
c) 2

√
x − 2 − 1


• Nếu y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(u) = f(v) ⇔ u = v.
• Nếu y = f(x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.
B. Bài Tập
2.30. Giải các hệ phương trình sau
a)

x
2
+ y
2
+ xy = 7
x + y + xy = 5
. b)

x + y + xy = 1
x
3
+ y
3
− 3(x − y)
2
+ 2 = 0
.
c) (DB-05)

x
2
+ y
2






x − 3y =
4y
x
y −3x =
4x
y
.
c)





2x + y =
3
x
2
2y + x =
3
y
2
. d) (B-03)




− 2xy + 3y
2
= 9
x
2
− 4xy + 5y
2
= 5
.
c)

x
3
+ y
3
= 1
x
2
y + 2xy
2
+ y
3
= 2
. d) (DB-06)

(x − y)

x
2
+ y


(y + x − 2) = y
.
c) (B-08)

x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
. d) (D-09)

x (x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)
2
−
5
x
2
+ 1 = 0
.
14
www.VNMATH.com

+
2xy
x+y
= 1
√
x + y = x
2
− y
. d)

6x
2
− 3xy + x + y = 1
x
2
+ y
2
= 1
.
2.35. Giải các hệ phương trình sau
a) (DB-07)

x
4
− x
3
y −x
2
y
2

. d)

x
3
+ 2y
2
= x
2
y + 2xy
2

x
2
− 2y −1 +
3

y
3
− 14 = x − 2
.
2.36. Giải các hệ phương trình sau
a)

x
2
+ y
2
+ xy = 1
x
3


. d) (A-2011)

5x
2
y −4xy
2
+ 3y
3
− 2 (x + y) = 0
xy

x
2
+ y
2

+ 2 = (x + y)
2
.
2.37. Giải các hệ phương trình sau
a) (B-09)

xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2

− y
3
= 9
x
2
+ 2y
2
= x − 4y
.
2.38. Giải các hệ phương trình sau
a)

x (3x + 2y) (x + 1) = 12
x
2
+ 2y + 4x − 8 = 0
. b)

x + y −
√
xy = 3
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4
.
c) (CĐ-2010)

2
√

3
y + xy
2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy (1 + 2x) = −
5
4
.
2.39. Giải các hệ phương trình sau
a)

√
x + 10 +
√
y −1 = 11
√
x − 1 +
√
y + 10 = 11
. b)

√
x − 1 −
√


x + (y −3)
√
5 − 2y = 0
4x
2
+ y
2
+ 2
√
3 − 4x = 7
.
§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số
A. Kiến Thức Bổ Sung
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:
• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min
x∈D
f(x) ≤ m ≤ max
x∈D
f(x).
• m ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max
x∈D
f(x).
• m ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min
x∈D
f(x).
• m ≤ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min
x∈D
f(x).
• m ≥ f(x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max

2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x
4
− 2 (m + 1) x
2
+ 2m − 1 = 0.
a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt.
2.44. (D-04) Tìm m để hệ

√
x +
√
y = 1
x
√
x + y
√
y = 1 − 3m
có nghiệm.
2.45. Tìm m để bất phương trình
√
4x − 2 +
√
16 − 4x ≤ m có nghiệm.
2.46. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)

x+1
x−3
= m có nghiệm.
2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m


1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2

= 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
có nghiệm.
2.51. (A-08) Tìm m để phương trình
4
√
2x +
√
2x + 2
4
√
6 − x + 2

√
x + 16 = 0
có nghiệm.
2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

2x
3
− (y + 2) x
2
+ xy = m
x
2
+ x − y = 1 −2m
có nghiệm.
2.57. Tìm m để hệ
√
1 − x
2
+ 2
3
√
1 − x
2
= m có nghiệm duy nhất.
2.58. Tìm m để hệ

x = y
2
− y + m
y = x

C
; y
C
). Ta có
• Hai vectơ bằng nhau:
−→
u =
−→
v ⇔

x
1
= x
2
y
1
= y
2
.
• Các phép toán vectơ:
−→
u ±
−→
v = (x
1
± x
2
; y
1
± y

• Hai vectơ vuông góc:
−→
u ⊥
−→
v ⇔
−→
u .
−→
v = 0.
• Độ dài vectơ: |
−→
u | =

x
2
1
+ y
2
1
.
• Góc giữa hai vectơ: cos (
−→
u ;
−→
v ) =
−→
u .
−→
v
|


(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
.
• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I

x
A
+ x
B
2
;
y
A
+ y
B
2

.
• Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G

MB = 5
−−→
MC.
3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình
hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.
3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác
MAB vuông tại M.
3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộc
trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.
3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.
3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọng
tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vuông góc với CM .
3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B

−
√
3; −1

. Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác OAB.
3.8. (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M (1; −1) là trung điểm cạnh BC và
G

2
3
; 0

là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
3.9. (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0; m) , m = 0. Tìm toạ độ trọng
tâm G. Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.


x = x
0
+ at
y = y
0
+ bt
.
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Dạng: ax + by + c = 0 (a
2
+ b
2
= 0).
• Nhận xét: • Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến
−→
n (a; b).
• Cho x
0
tuỳ ý ⇒ y
0
ta có điểm M (x
0
; y
0
) thuộc đường thẳng.
• Đường thẳng qua M (x
0
; y
0

|
−→
n
1
|. |
−→
n
2
|
.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M, ∆) =
|ax
0
+ by
0
+ c|
√
a
2
+ b
2
.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: d (∆
1
, ∆
2
) = d (M, ∆
2
), trong đó M là điểm bất kỳ trên ∆
1

d
1
: 5x + 3y −4 = 0 và d
2
: 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.
3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh
A và B lần lượt là d
1
: 4x − 3y + 1 = 0 và d
2
: 7x + 2y −22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.
3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB

, B

C

lần lượt có phương
trình là y −2 = 0, x −y + 2 = 0, x −3y + 2 = 0 với B

, C

tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B, C của tam giác
ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.
3.20. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d
1
: 7x −2y − 3 = 0; d
2
: 6x −y − 4 = 0. Viết phương trình

3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y −2 = 0, d
2
: x + y −8 = 0. Tìm điểm
B ∈ d
1
và C ∈ d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3). Tìm điểm C thuộc d : x −2y − 1 = 0 sao cho khoảng
cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x −y − 2 = 0. Tìm tọa độ
điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
3.30. (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d
1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x − y −4 = 0, d
3
: x − 2y = 0. Tìm
M thuộc d
3
sao cho khoảng cách từ M đến d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến d
2
.
3.31. Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3; −4) và đường thẳng ∆ : 2x −y −1 = 0. Tìm toạ độ M trên ∆ sao
cho MP + MQ là nhỏ nhất. Tìm toạ độ N trên ∆ sao cho |NP − NQ| là lớn nhất.


, AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.
Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.
3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0, d
2
: 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hình
vuông ABCD biết A thuộc d
1
, B thuộc d
2
và B, D thuộc trục hoành.
3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương
trình là x + 3y = 0 và x −y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M

−
1
3
; 1

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật ABCD.
3.42. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên
cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M

11
2
;
1

2
> c

Có tâm I (a; b) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
− c.
2. Tiếp tuyến với đường tròn.
• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là
−−→
IM.
• Phương trình tiếp tuyến tại M là: (x
0
− a) (x −x
0
) + (y
0
− b) (y − y
0
) = 0.
3. Bán kính đường tròn.
• Điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi R = IM.
• Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi R = d (I; ∆).
B. Bài Tập
3.43. (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y

= 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ
điểm M ∈ (C) sao cho

IMO = 30
0
.
3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 =
0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
3.48. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
−4x −2y = 0.
Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến M A và M B đến (C), (A, B là tiếp điểm). Tìm
tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
3.49. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)
2
+ y
2
=
4
5
và hai đường thẳng ∆
1
: x − y = 0,

2
) tiếp xúc với d và cắt (C
1
) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d
1
:
√
3x + y = 0 và d
2
:
√
3x −y = 0. Gọi (T) là đường
tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T),
biết tam giác ABC có diện tích bằng
√
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
§4. Phương Trình Elip
A. Kiến Thức Cần Nhớ
O
y
x
F

− c
2

.
• Trong đó:
Các đỉnh: A
1
(−a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0; −b), B
2
(0; b).
Các tiêu điểm: F
1
(−c; 0), F
2
(c; 0).
Trục lớn: A
1
A
2
= 2a.
Trục nhỏ: B
1
B
2
= 2b.
Tiêu cự: F

x
2
9
+
y
2
4
= 1.
c) x
2
+ 4y
2
= 4.
3.55. Viết phương trình chính tắc của các đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e =
√
3
2
.
b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4.
c) (E) có một tiêu điểm là F

√
3; 0

và đi qua điểm M

1;
√
3

y
2
2
= 1. Gọi F
1
và F
2
là các tiêu điểm
của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với (T ); N là điểm đối xứng
của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AN F
2
.
3.59. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh
của hình thoi có phương trình x
2
+ y
2
= 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của
hình thoi. Biết A thuộc Ox.
3.60. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) :
x
2
4
+

v(x)
thì y
0
=
u

(x
0
)
v

(x
0
)
.
B. Bài Tập
4.1. Tìm m để hàm số y = x
3
− 3 (m + 1) x
2
+ 9x − m đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa |x
1
− x
2
| ≤ 2.
4.2. Tìm m để hàm số y = x

2
3
x
3
− mx
2
− 2

3m
2
− 1

x +
2
3
có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho x
1
x
2
+
2 (x
1
+ x
2
) = 1.
4.4. Tìm m để hàm số y = −x

3
+ 3mx
2
+ 3

1 − m
2

x + m
3
−m
2
. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số.
4.9. Tìm m để hàm số y = x
3
−
3
2
mx
2
+
1
2
m
3
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x
3
+ 3x

2
+ m
2
có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam
giác vuông.
4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y =
x
2
+ 2 (m + 1) x + m
2
+ 4m
x + 2
có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng
với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông.
23
Nguyễn Minh Hiếu
4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3m
3
có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 48.
4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx +
1
x
có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm
cận xiên bằng
1

) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x).
Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.
• Đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x
0
; y
0
) ⇔

f(x
0
) = g(x
0
)
f

(x
0
) = g

(x
0
)
.
B. Bài Tập
4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x

, x
3
thoả mãn điều kiện x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
< 4.
4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
−mx
2
+ 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.
4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y =
x − 1
x + 1
luôn cắt đường thẳng y = m − x với mọi giá trị của m.
4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =
2x − 1
x + 1
tại hai điểm thuộc hai
nhánh phân biệt.
4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =
2x + 1
x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B

− (3m + 4) x
2
+ m
2
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng.
4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x
4
− (3m + 2) x
2
+ 3m tại bốn điểm phân biệt có
hoành độ nhỏ hơn 2.
4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 8x
2
+ 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx −9.
4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y =
(2m − 1) x − m
2
x − 1
tiếp xúc với đường thẳng y = x.
4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
− 2mx
2
+ m
3
− m
2

3
−2x
2
+ 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng
minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi
qua điểm A (1; 2).
4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
3x − 2
x + 1
tại điểm có tung độ bằng −2.
4.42. (DB-06) Cho hàm số y =
x + 3
x + 1
. Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và
Q. Chứng minh S là trung điểm P Q.
4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x
3
+ 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của
(Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.
4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x + 1
x − 2
, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5.
4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
−x + 3

4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x
x − 1
sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt
nhau tạo thành một tam giác cân.
4.50. Tìm m để (Cm) : y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho
các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =
−x + 1
2x − 1
. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m
để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.
4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x
3
− 6x
2
+ 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9).