đề cơng ôn tập cuối học kì II
đề cơng ôn tập học kì 2 toán 9
A. Phần Đại số
I. Lý thuyết
1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế
Ví dụ: Giải hệ



=+
=+
538
24
yx
yx
Giải:
1
y 1
y 2 4
4x y 2 y 2 x y 2 4x
4
1
8x 37 5 8x 3(2 4x) 5 4x 1 1
x
x
4
4

=
=





=+
=+




=+
=+
4
1
1
24
1
538
428
538
24
x
y
yx
y
yx
yx
yx
yx
- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ








=

=
1
1
2
1
y
v
x
u
2. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT
- Toán tìm số
Ví dụ: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình:
Tháng trớc mẹ bạn Linh đi chợ mua một quả trứng gà và một quả trứng vịt chỉ hết 5000 đồng. Thời
điểm này mỗi quả trứng gà tăng thêm 1000 đồng còn mỗi quả trứng vịt tăng thêm 500 đồng nên mẹ
bạn Linh mua 3 quả trứng gà và 4 quả trứng vịt hết 22000 đồng. Hỏi số tiền mua mỗi quả trứng gà và
mỗi quả trứng vịt trớc khi tăng giá là bao nhiêu?
Giải: Gọi x (đồng) là số tiền mua một quả trứng gà, y (đồng) là số tiền mua một quả trứng vịt trớc khi
tăng giá. ĐK: x > 0, y > 0
Trớc khi tăng giá: x + y = 5000
Sau khi tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000
Hay 3x + 4y = 17000

- Tính chất
- Vẽ đồ thị số y = ax
2
(a

0)
Ví dụ: Đồ thị hàm số y = -
1
2
x
2
Giáo viên: Trần Hữu Duật 1
đề cơng ôn tập cuối học kì II
4. Phơng trình bậc hai một ẩn
- Dạng tổng quát, dạng khuyết của PT, xác định các hệ số a, b, c của PT
- Giải PT dạng ax
2
+ bx = 0; PT dạng ax
2
+ b = 0
5. Công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn
Cho PT bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (1) (a

0)
Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn
Đặt (Delta)

= b

a

+Nếu

< 0, PT (1) vô nghiệm
Đặt b = 2b

'
= b
2
ac.
*Nếu
'
> 0, PT (1) có hai nghiệm p.b: x
1
=
' 'b
a
+
; x
2

=
' 'b
a

*Nếu
'
= 0, PT (1) có nghiệm kép :
x

a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Nhẩm nghiệm PT bậc hai theo hệ thức Vi-et
Ví dụ: Cho PT x
2
- 7x + 10 = 0 có hai nghiệm



=
=+
10.
7
21
21
xx
xx
nên x
1
= 5; x
2
= 2
b. Cho PT ax

2. PT x
2
- 3x - 4 = 0 có 1 - (-3) - 4 = 0 nên có x
1
= -1; x
2
= 4.
c. Tìm hai số khi biết tổng và tích của nó
Nếu hai số u và v cần tìm có tổng u + v = S và tích u.v = P (với S
2
- 4P 0)
thì chúng là nghiệm của PT x
2
- Sx + P = 0
Ví dụ: Tìm hai số u và v biết u + v = -8 và tích u.v = 15
Giáo viên: Trần Hữu Duật 2
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Giải: Hai số u và v là nghiệm của PT: x
2
- (-8)x + 15 = 0
hay x
2
+ 8x + 15 = 0. Giải ra ta có x
1
= -3, x
2
= -5
7. Giải PT quy về PT bậc hai
a. PT trùng phơng ax
4

t
1
=
13 5
2
+
= 9 (TMĐK); t
2
=
13 5
2

= 4 (TMĐK)
+) Với t
1
= 9

x
2= 9

x =

3
+) Với t
2
= 4


+x
(ngày)
Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập trớc thời gian đến hạn 2 ngày nên ta có PT
x
70
-
2
60
+x
= 2

x
2
- 3x - 70 = 0
x
1
= -7 (loại); x
2
= 10 (TMĐK)
Vậy số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là 10 bài.
II. Bài tập
Bài 1 : Giải các hệ PT sau :
a.



=+
=
42
32


=
=

2
32
465
32
x
xy
x
xy



=
=

1
2
y
x
b.
2
5 2 4
3

6 3 7 11
3
x

9 1
1
4
x y
x

+ =




+ =


HD : Đặt







=
=
y
v
x
u
1
1

45
=
x
y
(Do đến sớm hơn)
Điều kiện 2
x 35
35
x
7
2
35
=
x
y
(Do đến muộn hơn)
Ta có hệ PT :







=
=
7
2
35
9

4443
=+=








++
yxyxx
Ta có hệ PT:







=+
=+
5
447
8
111
yx
yx
Đặt


a
ba

Giải ra ta có : a= 1/10; b= 1/40. Suy ra : x = 10; y = 40 (thoã mãn bài toán)
Vậy nếu đội 1 làm một mình thì sau 10 h mới xong công việc, đội 2 làm một mình thì sau 40 h mới
xong công việc.
Bài 4: Cho hai ham sụ y = 2x + 4 va y = 2x
2
a) Ve ụ thi cua hai ham sụ nay trong cung mụt mt phng toa ụ.
b) Tim toa ụ giao iờm cua hai ụ thi.
c) Goi A va B la giao iờm cua hai ụ thi. Tinh S
AOB
?
Giáo viên: Trần Hữu Duật 4
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bài 5: Giai phng trinh sau:
a. x
2
- x - 6 = 0
b. 3x
2
+ 2x - 8 = 0
c.
2
2 2 0x x + =

d. 3x
2
- 4x - 4 = 0
e. 2x

2
+ 4x + 3 = 0
e. x
2
- 3x - 4 = 0
Bài 7.2
a. 23x
2
9x 32 = 0
b. 4x
2
11x + 7 = 0
c. x
2
3x 10 = 0
d. x
2
+ 6x + 8 = 0
e. x
2
6x + 8 = 0
Bài 8: Tìm hai số u và v trong các trờng hợp sau:
a. u + v = 8; u.v = 15
b. u + v = -7; u.v = -18
c. u + v = 5; u.v = -24
d. u - v = 10; u.v = -21
Bài 9: Giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau đây
Bài 9.1: PT trùng phơng
a. x
4

+

xx
x
x
x
x
x
Bài 9.3: PT tích
a. 3x
3
+ 6x
2
- 4x = 0 b.
3 2
3 2 6 0x x x+ =
c. x
3
7x
2
+ 6 = 0 d. (4x-5)
2
6(4x-5) + 8 = 0
Bài 10: Các bài toán có liên quan đến tham số m
Bài 10.1 Cho phơng trình
0)1(2
22
=++ mxmx
với m là tham số.
a. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2
=10
Bài 10.3 Cho phng trỡnh: (m -1)x
2
2m
2
x 3(m+1) = 0
a. Tỡm m bit phng tỡnh cú nghim x = -1
b. Khi ú hóy tỡm nghim cũn li ca phng trỡnh
Bài tập tơng tự
BT1: Cho phng trỡnh: 5x
2
+ 2x 2m 1 = 0
1. Gii phng trỡnh khi m = 1
2. Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú?
BT 2: Cho phng trỡnh: x
2
+ mx + 3 = 0
1. Tỡm m phng trỡnh cú nghim?
2. Tỡm m phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Giáo viên: Trần Hữu Duật 5
đề cơng ôn tập cuối học kì II
BT 3: Cho phng trỡnh: x
2
2(k 1)x + k 3 = 0
1. Gii phng trỡnh khi k = 2
2. Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
BT 4: Cho phng trỡnh: x
2
2x + m = 0

- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = - 4
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
BT 9: Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 (với m là tham số ) có một nghiệm x
= 1. Tìm nghiệm còn lại
BT 10: Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 (với m là tham số) có một nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
BT 11: Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
BT 12: Cho phơng trình: x
2
- 2(m- 1)x + m
2
- 3m = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
BT 13: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

Giáo viên: Trần Hữu Duật 6
OI

CD

IC = ID
CD không đi qua tâm
(CD không là đờng kính)
IC = ID

OI

CD
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bài 11.4 Mt khu vn hỡnh ch nht cú din tớch 54m
2
, nu tng chiu di 2m v gim chiu rng i
2m thỡ din tớch gim 10m
2
. Tớnh chiu di v chiu rng ca khu vn.
Hớng dẫn: Bài này quá dễ, tự làm đi nhé.
Bài 11.5 Hai i cụng nhõn cựng lm mt quóng ng thỡ 12 ngy xong vic. Nu i th nht lm
mt mỡnh ht na cụng vic, ri i th hai lm nt phn vic cũn li thỡ ht tt c 25 ngy. Hi mi
i lm mt mỡnh thỡ bao lõu xong cụng vic.
Hớng dẫn : Bài này có thể giải bằng cách lập hệ PT hoặc lập PT bậc hai đều đợc
Gọi thời gian để đội I làm một mình xong việc là x (ngày), 12 < x < 50.
Đội I làm một mình hết nữa công việc trong x/2 ngày, đội II làm một mình hết nữa công việc trong 25 -
x/2 ngày => cả công việc là 2(50-x/2)
Mỗi ngày đội I làm đợc
x

+
xx
06050
)50(12)50(12:
2
=+
=+
xx
xxxxraSuy

Giải ra ta có: x = 20, x = 30 (TMĐK)
Bài 11.6: Khong cỏch gia hai bn sụng A v B l 30km. Mt ca nụ i t bn A n bn B, ngh 40
phỳt bn B ri quay li bn A. K t lỳc khi hnh n khi v ti bn A ht tt c 6 gi. Tỡm vn tc
ca ca nụ lỳc nc yờn lng, bit vn tc dũng nc l 3km/h.
Lập PT:
6
3
2
3
30
3
30
=+

+
+ xx
Giải ra đợc vận tốc v = 12 km/h
B. Phần Hình học
I. Lý thuyết
1. Đờng kính vuông góc với dây

AB và AC là hai tiếp tuyến của (O)
+ AB = AC
+

OAB =

OAC
+

AOB =

AOC
+ OA là đờng trung trực của BC
3. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R)
a. Hai đtròn cắt nhau
+ OO là đờng trung trực của
AB
+ R R < OO < R + R
B
A
O
O'
B
A
O
O'
b. Hai đtròn tiếp xúc nhau
+ OO đi qua A
+ Tiếp xúc trong

+ N: L gúc cú nh nm trờn .trũn v hai cnh cha hai dõy cung ca .trũn ú.
+ TC: Trong mt .trũn, s o ca gúc ni tip bng na s o ca cung b chn
+ H qu: Trong mt ng trũn
- Cỏc gúc ni tip bng nhau chn cỏc cung bng nhau
- Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung
hoc hai cung bng nhau thỡ bng nhau
- Cỏc gúc ni tip khụng quỏ 90
0
cú s o bng
na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung.
- Gúc ni tip chn na ng trũn l gúc vuụng.
6. Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung:
+ TC: S o ca gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung
bng na s o ca cung b chn.
+ H qu: Trong mt ng trũn,
gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung v gúc ni tip
cựng chn mt cung thỡ bng nhau.
7. Gúc cú nh trong v ngoi ng trũn:
+ S o ca gúc cú nh bờn trong .trũn bng na tng s o ca hai cung b chn.
+ S o ca gúc cú nh bờn ngoi .trũn bng na hiu s o ca hai cung b chn.
8. T giỏc ni tip
+ nh ngha: Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt .trũn thỡ c gi l t giỏc ni tip ng
trũn (ng trũn ú gi l ng trũn ngoi tip t giỏc).

T giỏc ABCD ni tip (O)
A + C =180
0
(B + D =180
0
)

a) Cụng thc tớnh di ng trũn: C = 2R (R: bỏn kớnh ng trũn)
Cụng thc tớnh din tớch hỡnh trũn: S = R
2
b) Cụng thc tớnh di cung trũn n
0
:
180
nR
l

=
(R: bỏn kớnh ng trũn)
Cụng thc tớnh din tớch qut trũn n
0
:
2
.

360RlnR
S
q
==


c) Cụng thc tớnh din tớch hỡnh viờn phõn: S
VP
= S

= S
xq
+ S
d
=

rl + r
2
+ Th tớch hỡnh nún : V =
3
1
S

.h =
3
1
r
2
h
(Trong ú: r l bỏn kớnh ỏy; h l chiu cao hỡnh nún; l l di ng sinh)
c) Hỡnh cu:
+ Din tớch mt cu: S = d
2
= 4R
2

+ Th tớch hỡnh cu : V=
3
3
4

(a l di cnh tam giỏc u)
Giáo viên: Trần Hữu Duật 10
đề cơng ôn tập cuối học kì II
II. Bi tp
Phn bi tp Trc nghim - cng c kin thc
CHNG II. NG TRềN
1.Cho tam giỏc MNP v hai ng cao MH, NK. Gi (O) l ng trũn nhn MN lm ng kớnh.
Khng nh no sau õy khụng ỳng ?
A.Ba im M, N, H cựng nm trờn ng trũn (O).
B.Ba im M, N, K cựng nm trờn ng trũn (O).
C.Bn im M, N, H, K khụng cỡng nm trờn ng trũn (O).
D.Bn im M, N, H, K cựng nm trờn ng trũn (O).
2. ng trũn l hỡnh:
A.khụng cú trc i xng. B.cú mt trc i xng.
C.cú hai trc i xng. D.cú vụ s trc i xng.
3.Khi no khụng xỏc nh duy nht mt ng trũn ?
A.Bit ba im khụng thng hng. B.Bit mt on thng l ng kớnh.
C.Bit ba im thng hng. D.Bit tõm v bỏn kớnh.
4.Cho ng thng a v im O cỏch a mt khong 2,5 cm. V ng trũn tõm O, ng kớnh 5 cm.
Khi ú ng thng a
A.khụng ct ng trũn (O). B.tip xỳc vi ng trũn (O).
C.ct ng trũn (O). D.kt qu khỏc.
5.Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng nm
A.nh gúc vuụng. B.trong tam giỏc. C.trung im cnh huyn. D.ngoi tam giỏc.
6.Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AB = 18; AC = 24. Bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ú
bng
A. 30. B. 20. C. 15.
D. 15
2
.

12.Cho (O; 6 cm), M l mt im cỏch im O mt khong 10 cm. Qua M k tip tuyn vi (O). Khi ú
khong cỏch t M n tip im l:
A. 4 cm. B. 8 cm.
C. 2
34
cm.
D. 18 cm.
13.Cho hỡnh vuụng MNPQ cú cnh bng 4 cm. Khi ú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng ú
bng
Giáo viên: Trần Hữu Duật 11
đề cơng ôn tập cuối học kì II
A. 2 cm.
B.
2 2
cm. C.
2 3
cm. D.
4 2
cm.
14.ng trũn l hỡnh cú
A.vụ s tõm i xng. B.cú hai tõm i xng.
C.mt tõm i xng. D.khụng cú tõm i xng.
15.Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn (O). Trung tuyn AM ct ng trũn ti D. Trong
cỏc khng nh sau khng nh no sai ?
A.

ACD = 90
0
. B.AD l ng kớnh ca (O).
C. AD

3.Nu ng thng a v ng trũn (O; R) khụng giao nhau C.thỡ d = R.
D.thỡ d > R.
Bng 2.
A B
1.Tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc A.l giao im ca cỏc ng trung tuyn.
2.Tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc B.l giao im ca hai ng phõn giỏc cỏc gúc
ngoi ti B v C.
3.Tõm ca ng trũn bng tip tam giỏc trong
gúc A
C.l giao im ca cỏc ng phõn giỏc trong ca
tam giỏc.
4.Tõm ca ng trũn bng tip tam giỏc trong
gúc B
D.l giao im ca ng phõn giỏc trong gúc B
v ng phõn giỏc ngoi ti C.
E.l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc.
Bng 3.
A B
1.Nu hai ng trũn ngoi nhau A.thỡ cú hai tip tuyn chung.
2.Nu hai ng trũn tip xỳc ngoi B.thỡ khụng cú tip tuyn chung.
3.Nu hai ng trũn ct nhau C.thỡ cú mt tip tuyn chung.
4.Nu hai ng trũn tip xỳc trong D.thỡ cú bn tip tuyn chung.
5.Nu hai ng trũn ng nhau E.thỡ cú ba tip tuyn chung.
22. Hóy in t (cm t) hoc biu thc vo ụ trng sao cho ỳng.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 12
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Bng 1.Xột (O; R) v ng thng a, d l khong cỏch t O n a.
V trớ tng i d R
Tip xỳc nhau 3 cm
4 cm 5 cm

C
D
B
A
1. Trong hỡnh 1, bit AC l ng kớnh, gúc BDC = 60
0
. S o gúc ACB bng
A. 40
0
. B. 45
0
. C. 35
0
. D. 30
0
.
2. Trong hỡnh 2, gúc QMN bng 60
0
, s o gúc NPQ bng
A. 20
0
. B. 25
0
. C. 30
0
. D. 40
0
.
3. Trong h.3, bit AB l ng kớnh ca .trũn, gúc ABC = 60
0

Q
N
x
(h.7)
O
B
M
A
(h.6)
O
D
C
B
A
(h.5)
O
M
C
D
B
A
5. Trờn h.5, bit s o cung AmD = 80
0
, s o cung BnC = 30
0
. S o ca gúc AED =?
A. 25
0
. B. 50
0

0
. D. 31
0
.
8.Trờn hỡnh 8, s o gúc QMN = 20
0
, s o gúc PNM = 10
0
. S o ca gúc x bng
A. 15
0
. B. 20
0
. C. 25
0
. D. 30
0
Cho các hình vẽ sau:
(h.12
(h.11)
(h.10)
(h.9)
O
A
D
B
C
O
B
D

0
. B. 60
0
. C. 50
0
. D. 40
0
.
11. Trong h.11, cú gúc BAC = 20
0
, gúc ACE = 10
0
, gúc CED = 15
0
. S o gúc BFD bng
A. 55
0
. B. 45
0
. C. 35
0
. D. 25
0
.
12.Trong hỡnh 12, cú AD//BC, gúc BAD = 80
0
, gúc ABD = 60
0
. S o gúc BDC bng
A. 40

(B)
65

65

D
C
B
A
(A)
60

90

D
A
C
B
14.Cho hỡnh 14. Trong cỏc khng nh sau, hóy chn khng nh sai:
A. Bn im MQNC nm trờn mt ng trũn.
(h.14)
M
B
C
Q
N
A
B. Bn im ANMB nm trờn mt ng trũn.
C. ng trũn qua ANB cú tõm l trung im on AB.
D. Bn im ABMC nm trờn mt ng trũn.

C. T giỏc cú hai nh k nhau cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc .
D. T giỏc cú tng hai gúc bng 180
0
.
18. di cung 60
0
ca ng trũn cú bỏn kớnh 2cm l:
A.
1
3

cm. B.
2
3

cm.
C.
3
2

cm. D.
1
2

cm.
19. di cung trũn 120
0
ca ng trũn cú bỏn kớnh 3 cm l:
A.


2
cm. B.

cm. C. 2cm. D.
1

cm.
22.Din tớch hỡnh trũn cú ng kớnh 5 cm bng:
A.
25

cm
2
. B.
25
2

cm
2
. C.
5
2

cm
2
. D.
25
4

cm

A.
.
4
l R
m
2
. B.
.
2
l R
m
2
.
C.
2
.
4
l R
m
2
. D.
2
.
2
l R
m
2
.
24.Cho hai ng trũn ng tõm O cú bỏn kớnh ln lt l R v r (R > r). Din tớch phn nm gia
hai ng trũn ny hỡnh vnh khn c tớnh nh th no ?


ữ

. B.
2
1
4
a



ữ

. C.
( )
2
1a


. D.
2
4
a


.
CHNG IV. HèNH KHễNG GIAN
1. Trong bng sau, gi h l ng cao, l l ng sinh, R l bỏn kớnh ỏy ca hỡnh nún. Hóy ni mi ý
ct A vi mt ý ct B c khng nh ỳng.
A B

( )
2 2
1 2 1 2
1
h R R R R
3
+ +
2. Trong bng sau, gi R l bỏn kớnh, d l ng kớnh ca hỡnh cu.
Giáo viên: Trần Hữu Duật 15
đề cơng ôn tập cuối học kì II
Hóy vit mi h thc ct B vo v trớ tng ng phự hp ct B.
A B
1.Cụng thc tiớnh din tớch mt cu l
2.Cụng thc tớnh th tớch hỡnh cu l
A)
3
4
R
3

.
B)
2
1
R
3

.
C)
2

R h
.
B)
2
4 R
.
C)
2
2 R
.
D)
2
2 Rh 2 R +
.
E)
2 Rh
.
Phn bi tp T lun
1) Cho hai ng trũn (O; 4cm); (O; 3cm), bit OO = 7cm. Cho bit v trớ tng i ca hai ng
trũn ú.
2) Cho ng trũn (O; 13). Bit khong cỏch t tõm O n dõy AB bng 5.
Tớnh di dõy AB
3) Cho MNP u cú cnh bng
5 3
cm.Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc
4) Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 2cm. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip, ng trũn ni tip
ca nú.
5) Trờn (O), ly cỏc im A, B, C, D liờn tip sao cho cung AB = 40
0
, cung BC = 100

a) Tng gp 3 ln. b) Gim 2 ln
13) Cho ABC cú = 80
0
ni tip ng trũn (O; R).
Tớnh din tớch hỡnh qut trũn OBC theo R
14) Hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy bng 6cm v cú ng sinh bng 10cm.
Tớnh th tớch hỡnh nún
15) Cho ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. K HM AB ( M AB ), HN AC (N AC)
Chng minh rng :
a) T giỏc AMHN ni tip
b) AM.AB = AN.AC
c) AMN ACB.
d) T giỏc BMNC ni tip
16) Cho ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O), k ng cao BN v CM (NAC, MAB)
Chng minh rng :
a) T giỏc BMNC ni tip
b) AMN ACB
c) OA MN
d) Gi I l giao im ca BN v CM. Chng minh IN . IB = IM . IC
17) T mt im A bờn ngoi ng trũn (O; 3cm) v hai tip tuyn AB v AC vi ng trũn (O).
( B, C (O) ).
a) Chng minh t giỏc ABOC ni tip ng trũn
b) Qua A v cỏt tuyn AMN. Chng minh AB
2
= AM . AN
c) Tớnh din tớch hỡnh trũn v di ng trũn ngoi tip ABC, bit AB = 4cm
18) Cho ABC vuụng ti A ( AB > AC ), ng cao AH. ng trũn ng kớnh BH ct AB ti E,
ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F. Chng minh rng :
a) T giỏc AEHF l hỡnh ch nht
b) BH.HC = EF

=AD.CD.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) BC // DE.
24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O. BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt
đường tròn tâm O lần lượt tại D’, E’. CMR:
a) Tứ giác BEDC nội tiếp
b) DE song song D’E’.
c) OA vuông góc DE.
25) Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc BC. Qua B kẻ đường vuông góc với DE, cắt DE tại H và cắt
DC tại K.
a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp.
b) Tính góc CHK.
c) CM: KH.KB = KC.KD.
26) Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác
B và D), dây CM cắt AB tại N, tiếp tuyến của đ.tròn tại M cắt AB tại K, cắt CD tại F.
a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp.
b) CM: MK
2
=KA.KB.
c) So sánh góc DNM và góc DMF.
27) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. P là điểm chính giữa của AB (phần không chứa
C và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các
dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:
a) góc CID = góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
c) IK song song AB.
d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
28) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt nhau tại D.
Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn tại E, F và cắt AC tại I.
a) CM: góc DOC = góc BAC.