Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
o0o
PHẦN ĐẠI SỐ
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

* Phương trình bậc nhất hai ẩn: Là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là
các số đã biết, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.
- Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Là những hệ phương trình có dạng:

( )
I
' ' '
ax by c
a x b y c



+ =
+ =

Phương pháp giải: Phương pháp cộng, thế, đặt ẩn phụ.
* Biện luận hệ phương trình bậc nhất một ẩn
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi
' '
a b
a b
≠

- Nếu a > 0, hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0. Giá trị nhỏ nhất của
f(x) bằng 0 khi x = 0.
- Nếu a < 0, hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0. Giá trị lớn nhất của
f(x) bằng 0 khi x = 0.
- Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh là O(0;0), nhận trục tung làm trục đối xứng,
quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
2. Tương giao của đường thẳng y = mx + n và Parabol y = ax
2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: ax
2
= mx + n ⇔ ax
2
- mx – n = 0 (*)
* Điều kiện để (d) và (P)
a) Tiếp xúc nhau khi pt (*) có nghiệm kép ⇔ Δ = 0
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 2
c) Có điểm chung khi pt (*) có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0
d) Không có điểm chung khi pt (*) vô nghiệm ⇔ Δ < 0
III. Phương trình bậc hai một ẩn
1. Phương trình bậc hai một ẩn là những phương trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0
(
)
≠
a 0


− + ∆ − − ∆
= =

0
∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =

' 0
∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =

0
∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0
∆ <
: phương trình vô nghiệm
3. Hệ thức Vi-et là ứng dụng





- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
(
)
(
)
2
1 2
ax bx c a x x x x
+ + = − −

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1

≠
a 0
(*)
- (*) có nghiệm
⇔
0
∆ ≥

Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 3
- (*) có 2 nghiệm phân biệt
⇔
0
∆ >

- (*) có 2 nghiệm cùng dấu
⇔
0
P 0
∆ ≥


>


- (*) có 2 nghiệm dương
⇔
0
P 0
S 0

1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =

Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ
phương trình.
6. Một số phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai
* Phương trình trùng phương có dạng: ax
4
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
* Cách giải: Đặt t = x
2
với t ≥ 0, ta đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t: at
2
+ bt + c = 0.
Giải phương trình tìm t ≥ 0 => x
* Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Bước 2: Quy đồng và khử mẫu.
- Bước 3: Giải PT vừa nhận được.
- Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận nghiệm.
* Phương trình tích có dạng: f(x).g(x).h(x) = 0.
* Cách giải:
( ) ( ) ( )

Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bước 5: Kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện rồi kết luận.
* Chú ý việc tóm tắt bài toán trước khi làm.
B – BÀI TẬP
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
3x 2y 4
1)
2x y 5
− =
+ =




4x 2y 3
2)
6x 3y 5
− =


− =


2x 3y 5
3)
4x 6y 10
+ =



Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
2 1
3
x 2y y 2x
1)
4 3
1
x 2y y 2x

+ =

+ +



− =

+ +


3x 2
4
x 1 y 4
2)
2x 5
9
x 1 y 4

− =

=−
=+
12ymx
2myx

a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
II. Hàm số y = ax
2

(
)
≠
a 0

Bài 1:
Cho Parabol (P): y = x
2
và đường thẳng (d): y = –3x + 4
a)

Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b)

Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bài 2:
Cho parabol (P):
y =
2
4

Bài 4:
Cho hai hàm số y = x
2
(P); y = x + 2m – 1 (d).
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ khi (d) đi qua điểm A(1; 1).
Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 5
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Tìm m để (d
1
): y = 2x – 1 cắt (d) và (P) tại cùng một điểm.
d) Chứng minh rằng (d
2
): y = - x + m
2
luôn cắt (P) tại hai điểm với mọi m.
III. Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1:
Giải các phương trình sau

2
a) 3x 12x 0
+ =

2
b) 5x 10x 0
− =

2
c) 3x 12 0


Bài 2:
Cho phương trình x
2
+ 5x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy tính:
2 2
1 2 1 2
a) x x x x
+

1 2
2 1
x x
b)
x x
+

(
)
(
)
1 2 1 2
c) x 2x 2x x
+ +

1 2
2 1
1 1
d) x x
x x

= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.
Bài 4:
Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm.
Bài 5:
Cho phương trình :

3x
2
– ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số, k là tham số.
a)

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
b)

Giải phương trình với k = 1.

.
d) Tìm m để
(
)
(
)
1 2 1 2
2x x x 2x 0
+ + ≥
.
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
Bài 7:
Giải các phương trình sau:
Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 6
a)
056 =+− xx
b)
0752 =++− xx
c)
098 =−+− xx

d)
9
20
1
20
=+
−

0352
24
=
+
−
x
x
i)
065
24
=
+
+
−
x
x

j)
15
5
100
5
100
=
−
+
+
x
x
k)

x
x
x
x

IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bài 1
: Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và
đuổi theo trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc
của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20
km/h.
Bài 2
: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau
khi đi được một giờ với vận tốc dự định, người đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đường
còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của người đi xe
đạp.
Bài 3
: Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên
mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán được giao đã được
người công nhân hoàn thành sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người công
nhân đó.
Bài 4
: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành
kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 5
: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình đầy bể trong bao lâu ?

thành toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công
việc trong mấy ngày.
Bài 12:
Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình
phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó
cộng thêm 5.
Bài 13
: Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn
vận tốc ngược dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 1
giờ. Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô.
Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 8
PHẦN HÌNH HỌC
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Đường tròn và các vấn đề liên quan
1. Cộng số đo cung:
- Nếu điểm M nằm trên cung AB và chia cung AB thành hai cung AM và cung MB
thì



= +
sñAB sñAM sñMB
.

2. So sánh cung
: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
3. Định lý liên hệ giữa cung và dây


* Tính chất:
Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

* Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn:
Đường thẳng a là tiếp tuyến của
đường tròn nếu:
- a có một điểm chung với đường tròn.
- Khoảng cách từ a đến tâm O bằng bán kính R.
Đề cương ôn tập Toán 9 học kỳ II
Biên soạn: GV Bùi Công Luân – 9
- a đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
* Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:
Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua
các tiếp điểm.
8. Tính chất và hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn một cung thì bằng nhau.
9. Định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
:
- Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị
chắn.
- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị
chắn.
10. Định lý tứ giác nội tiếp

2
S R
π
=

- Diện tích hình quạt tròn cung n độ, bán kính R là :
2
2
360
q
lR
R n
S
π
=
=

* Hình viên phân
: Là hình giới hạn bởi một cung và dây căng cung ấy.
Diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB bằng hiệu giữa diện
tích hình quạt OAB và diện tích tam giác OAB.

qOAB OAB
vp AB
S S S
∆
= −

*
Hình vành khăn:


Kẻ đường kính MQ của đường tròn (O). Chứng minh: Hai tam giác MNQ và
MLP đồng dạng.
c)

Kẻ LT song song với NQ. (T
∈
MQ). Chứng minh PT vuông góc với MQ.
2. Cho đường tròn (O), đường kính AB, trên cung AB lấy một điểm C (C không trùng A, C
không trùng B), Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Tia
AC cắt tia BK tại D.
a) Chứng minh tứ giác BKCO nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh


BCK BAC
=
c) Chứng minh K là trung điểm của BD.
d) Chứng minh BC
2
= AC.CD.
3. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AM và AN (M, N là hai
tiếp điểm) và cát tuyến ABC. Gọi I là trung điểm của dây BC.
a) Chứng minh 5 điểm A, M, I, O, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Nếu AM = OM thì tứ giác AMON là hình gì? Vì sao?
c) Cho AM = R. Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác
AMON theo R.
4: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.