Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
1

CĂN BẬC HAI

1. AA 
2
2.
BAAB .
(A0, B0 ) 3.
B
A
B
A
 (A0, B>0)
4.
BABA 
2
(B0) 5.
BABA
2

(A0, B0) 6.
BABA
2

(A<0, B0)
7.
B
BA

(A0, B0, A≠B) 11)0  A < B  BA 
BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

2 2 2
( ) 2
A B A AB B
   

2 2 2
( ) 2
A B A AB B
   



2 2
A B A B A B
    
3
3 2 2 3
3 3
A B A A B AB B
    


   

NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT

Ax B


 A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất :
A
B
x  .
 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm.
 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm.(
x R
 
)

Ax B


 A > 0 :
A
B
x  0
B
A x
A
   

 A = 0 và B  0 : vô nghiệm

D
x
//
//

;
caac
ca
ca
D
y
//
//


 D  0 : hệ có nghiệm duy nhất









D
D
y
y
D

NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a  0)
  = b
2
– 4ac


> 0

a
b
x
2
1

 ,
a
b
x
2
2


 = 0
Nghiệm kép
a
b
xx

/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
/
21


/
< 0 Vô nghiệm
Chú ý:

a + b + c = 0 : Nghiệm x
1
= 1, x
2
=
a
c

a – b + c = 0 : Nghiệm x
1
= –1, x
2
=
a
c
 .

P






f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu
0
0
a
P







f(x) = 0 có hai nghiệm âm
0
0
0
0
a
S
P






f(x) > 0
0
0
a
x



 



f(x)

0
0
0
a
x



 




f(x) < 0

x
 
0
0
a







f(x)

0 vơ nghiệm

f(x)
0
x
 
0
0
a












 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
3
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a  0)
x
– 
a
b
 +
f(x)

Trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì







0
0
a

f(x) > 0, x 
a
b
2
f(x) < 0, x 
a
b
2


 > 0
x –  x
1
x
2
+
f(x)


a
\
2
 

 
 


> 0
a.f(x) > 0,

x


(
–
∞
; x
1
)


(x
2
∞
; +
)

a.f(x) < 0,











0
2
0)(
0


S
af 3/. x
1
< x
2
< 









<  < x
2
<






0)(
0)(


af
af

6/.





21
21
xx
xx



0)()(

af
af

 Chú ý:
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
4
1/. x
1
< 0 < x
2


P < 0 2/. x
2
> x
1
> 0









0
0
0

K
K
BA
B
BA
2
2
0
2/.






)0(0
22
hayBA
BA
BA
KK 
g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )







K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.














f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )



  





 
g x
f x
f x g x
g x
f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )












0
0
B
BA
B
BA
BA 2/.






BA
BA
BA Chú ý:









0B
BAB
BA 2/.
0
0
0
B
A B
A B
B
A B
B








 





 



NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. ĐỊNH NGHĨA :
Dạng : A > B, A  B , A < B, A  B
2/. TÍNH CHẤT :
a)
abba



; b)
ca
cb
ba






; c)
cbcaba





;d)




0
;g)









0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
, , a
321
321

Dấu đẳng thức xảy ra  a
1
= a
2
= a
3
= = a
n.
Cơ si cho 2 số khơng âm:
, 0
a b

: 2
a b ab
  .Dấu “=” xảy ra khi
a b

.
Tính chất: Cho 2 số khơng âm
,
a b
.
 Nếu
a b
 

, b
2
, b
3
, , b
n
là những số tực khi đó:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa 

Dấu đẳng thức xảy ra  a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n  N.Ta có : (1 + a)
n
 1 + na Đẳng thức xảy ra



4/.
. 1
tanx cotx

5/.
2
2
1
1 tan x
cos x
  6/.
2
2
1
1 cot x
sin x
 
Điều kiện tồn tại :
 tanx là(x  / 2 + k , k  Z)

cotx là (x  k , k  Z)
 sinx là – 1  Sinx  1

cosx là – 1  Cosx  1
Chú ý :
 a
2
+ b
2

  

11/.
( )
1 tan .
tana tanb
tan a b
a tanb

 

12/.
( )
1 .
tana tanb
tan a b
tana tanb

 


13/.
cot . 1
( )
a cotb
cot a b
cota cotb

 

II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343
3

19/.
aSinSinaaSin
3
433 
20/.
a
Tan
aTanTana
aTan
2
3
3
1
3
3



III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2

aCosCosa
aCos


IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) với
2
x
Tant 
25/.
2
1
2
t
t
Sinx

 26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx


 , 27/.
2
1
2

2
ba
Cos
ba
SinSinbSina


 31/.
2
2
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina



32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)(

 33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)(


baCosbaCosSinaSinb 
38/.
 
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb 

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
7
CHUÙ YÙ:
 
2
2
2 2
1 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos
2 2 2 2
x x x x
x x x x x x x x
 
           
 
 
2 2 2 2
1 cos 2 2sin ;1 cos 2 2cos ;1 cos 2 cos ;1 cos 2 sin
2 2
Góc hơn kém


Góc hơn kém
2


sin( ) sin
  
  

sin cos
2

 
 
 
 
 

cos( ) cos
  
  

cos sin

  
 
 Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos
 
 

sin( ) sin
  
 

sin cos
2

 
 
 
 
 

sin( ) sin
 
  

cos( ) cos
  
  


cot( ) cot
  
  

cot tan
2

 
 
 
 
 Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
8

G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt: NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A. CƠ BẢN :



Cotu = Cotv

kvu




Sinu = 0

ku



Sinu =

1



22/ ku




Sinu =
–
1


B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a
2
+ b
2
 0 ). Phương pháp :
Cách 1: Chia hai vế cho
22
ba  .Đặt :

Sin
ba
b
Cos
ba
a




2222
;

.

(1)

22
)(
ba


2


2
3


3
4




3
2


2


0
0
30
0
45
0
60
0
90

3
2

2
2

1
2

0
1
2


2
2


–1 0 1
tan 0
3
3

1
33



2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx





.
Vào phương trình (1)  t ?  x ?
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a 0
0
2
 cbSinxxaSin ( đặt 1,  tSinxt )

0
2
 cbCosxxaCos (đặt 1,  tCosxt )


3223
 xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)
Phương pháp :
Cách 1:
 Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?
 Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho
về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2xSin
SinxCosx  thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt : 2),
4
(2  txSinCosxSinxt
0
2
1
(*)
2

1/. Tổng bình phương :
 A
2
+ B
2
+ + Z
2
= 0  A = B = = Z = 0
 A  0, B  0, , Z  0
Ta có : A + B + + Z = 0  A = B = = Z = 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B(*). Nếu ta chứng minh





KB
KA







KB
KA
(*)


1
1
B
A
AB hay





1
1
B
A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIAC
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
10
H
B
C
A
1.TAM GIÁC THƯỜNG ( các đònh lý)
Hàm số Cosin


bcCosAcba 2
222



ba
ba
BA
Tan
BA
Tan





2
2

Các chiếu



cCosBbCosCa



Trung tuyến

4
)(2
222
2
acb

2
1
2
1
2
1

 prS



R
abc
S
4

 ))()(( cpbpappS 
Chú ý:

2
)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A

cba
p


 Nữa chu vi tam giác.
2.HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

ACABBCAH
CHBHAH

.
2



BCBHAB .
2



CBCHAC .
2



222
ACABBC 

B
Sin
A
SinCosCCosBCosA 
3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA



( tam giác ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2
2
2
2
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A

7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos 21
222


8/. SinCBASin


)( ; CosCBACos



)( ;
2
2
C
Cos
BA
Sin 

;

2
2
C
Sin
BA
Cos 



8
1
2
.
2
.
2

C
Sin
B
Sin
A
Sin 13/.
4
3
222
 CCosBCosACos
14/.
9
4
222
 CSinBSinASin 15/.
9
222
 CTanBTanATan

16/.
1
2

2
2
222

C
Tan
B
Tan
A
Tan 19/. 9
2
2
2
222

C
Cot
B
Cot
A
Cot
20/.
2
33
222  CSinBSinASin
21/.
2
3
222  CCosBCosACos


1 ( cố đònh). Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức :
y = a
x
( x

R)
2/. TÍNH CHẤT :
a) Hàm số mũ liên tục trên R. b) y = a
x
> 0 mọi x  R
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
12
c) a > 1 : Hàm số đồng biến :
21
21
xxaa
xx


d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến:
21
21
xxaa
xx

3/. ĐỒ THỊ :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1



.
.
8) ;
m
n n k n
m m k m
n
a a a a
 
.
,
9) ;10)
,
n n
n
m n m
a
a a a
a


 




11)
0


( ) ( )
1 : ( ) ( )
f x g x
a a a f x g x
   ( ) ( )
0 1 : ( ) ( )
f x g x
a a a f x g x
     NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a Với số 0,10



ba .
bab
a



log
.
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a

log.log


 5)
1
log log
a
a
b b



6)
log log
a
a
b b






6)
1 1
log log ;log log
n
a a a a
b b b
b n

log log
b b
c a
a c
11)
cbcba
cbcba
aa
aa


0loglog:10
0loglog:13. GIỚI HẠN:
1
)1ln(
lim;1
1
lim
00





x
x
x








)()(
0)(
(*)
1
xgxf
xf
a






 

)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a



)()(
limlim)(
00
00
0
'

 Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x






0
0
'
lim)( ( tồn tại )
 Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x




)
4)
2
''
)'(
v
uvvu
v
u

 5)
2
'
)'
1
(
v
v
v
 .
III/. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN :

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))



Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x))
(e
x
)' = e
x

(a
x
)' = a
x
lna
(e
u
)' = e
u
.u'
(a
u
)' = a
u
lna.u'
x
x


)' =
2
)( dcx
bcad



2
22
)(
2
)'(
edx
dcbeaexadx
edx
cbxax







2 2
2 2 2
( ) 2( )
( )'
( )
ax bx c ae bd x af dc x bf ec

a b
)
2/. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :

 

b
a
b
a
b
a
vduvuudv ].[
với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. ĐỔI CƠ SỐ:

 





dtttfdxxf
b
a
)(.)()(
'

với x =



b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b)
0)( 

a
a
dxxf

c)


b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
d)
 

b
a
b
a



k
2
, k  Z)
(cotx)' = -
x
2
sin
1
(x  k, k  Z).
(sinu)' = cosu.u'

(cosu)' = -sinu.u'
(tanu)' =
u
u
2
cos
'
(u 


k
2
, k  Z)
(cotu)' = -
u
u
2



*Trường hợp đặc biệt
, 0
u ax b a
  

*Ngun hàm c
ủa các h
àm s
ố đ
ơn gi
ản

dx x C
 


du u C
 
. .
k dx k x C
 

, k là hằng
số
. .

1 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a





  



1
ln
dx x C
x
 


1
ln
du u C
u
 


1 1



1
2
du u C
u
 


1 1
.2
du ax b C
a
ax b
  



*Ngun hàm c
ủa h
àm s
ố mũ
:

C
x x
e dx e




,0 1
ln
C a
x
a
x
a dx
a
  



ln
C
u
a
u
a du
a




. , 0
1
ln
m

a
   


sin . cos
x dx x C
  

sin . cos
C
u du u

 


1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
    


1
tan
2
cos
dx x C
x
 


1
cot
2
sin
du u C
u
  


1 1
cot( )
2
sin ( )
dx ax b C
a
ax b
   

CHÚ Ý:
2 2
2 2
1 1
1 tan ;1 cot
cos sin
x x
x x
   


1
sin . cos
k
kx dx kx C
  


2
1
sin 2 . cos 2
x dx x C
  


1
C
k
kx kx
e dx e




1
2
2 2
C
x x
e dx e




    


1 1
ln
( )
dx ax b C
ax b a
  



3
1 1
ln 3 1
3 1
dx x C
x
  



1 1
.2
du ax b C
a
ax b



. , 0
1
ln
m
m
mx n
a
mx n
a du C
a



 


5
5 .
2
2 1
1
2 1
ln 5
x
x
dx C




1 1
tan( )
2
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
  



2
1 1
tan(2 1)
2
cos (2 1)
dx x C
x
  



1 1
cot( )
2
sin ( )
dx ax b C
a
ax b


Giải: Đặt
1
) ' . .
(
b dx a dx dx du
a
u ax b du ax       

Suy ra
1 1 1 1
cos( ) cos . . cos . .sin sin( )
ax b dx u du u du u C ax b C
a a a a
       
  
2 2
1 1
ln
2
x a
dx
x a a x a


 





 1
0

n
n
n
CC

K
n
K
n
K
n
CCC 


1
11


nn
nnn
CCC 2
10



Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
 Hai số phức bằng nhau:
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b


    




2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: Số phức z = a + bi (a, b
)
R

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
( ; )
u a b


trong mp(Oxy) (mp phức)

3. CỘNG TRỪ SỐ PHỨC:




u u

 
biểu diễn z + z’ và
'
u u

 
biểu diễn z – z’.
4. NHÂN HAI SỐ PHỨC :









' '  ’– ’ ’ ’
a bi a b i aa bb ab ba i
    

( ) ( )
k a bi ka kbi k R
   

5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP: của số phức z = a + bi là
z a bi
 

   



0, , 0 0
z z C z z
     


. ' . '
z z z z
 
'
'
z z
z
z
 
' ' '
z z z z z z
    

7. CHIA HAI SỐ PHỨC:

1
2
1
z z
z



2
z w


2 2
2
x y a
xy b

 




Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
18
 w = 0 Có đúng 1 căn bậc hai là z = 0.
 w
0

Có đúng hai căn bậc hai đối nhau.
 Hai căn bậc hai của a > 0 là
a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
a i
 

: (*) có 1 nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
  
Chú ý: Nếu z
0


C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:

(cos sin )
z r i
   
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z

0)

2 2
cos
sin
r a b
a
r

(cos sin ), ' '(cos ' sin ')
z r i z r i
       
:



. ' '. cos( ') sin( ')
z z rr i
       

 
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
      

12. CƠNG THỨC Moa–vrơ:

 
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
      
, (
*
n N

       
     
 
     
 

 Mở rộng: Số phức
(cos sin )
z r i
 
 
(r > 0) có n căn bậc n là:

2 2
cos sin , 0,1, , 1
n
k k
r i k n
n n
 
 
  
 
 
   NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :


a

=x
i

+y
j

thì cặp số (x;y) là toạ độ của
a

.Ký hiệu
a

= (x ; y) hoặc
a

(x ; y)
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
OM

được gọi là tọa độ của điểm M. Như
vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M


OM

=(x ; y)

M(x ; y)







2
2
BA
BA
yy
y
xx
x

2).
2
),(
ABAB
yyxxAB  5) Tọa độ trọng tâm G: ;
3 3
A B C A B C
x x x y y y
   
 
 
 

4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  1 :


.
 
 

AB
EB EC
AC
.

 
.

b. Tọa độ véctơ: Cho : ),(
21
aaa 

),(
21
bbb 

:
1).







22



7).
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
,
.
a b a ba b
Cos a b
a b
a a b b
 

 
 
 
 
 
 
 
8)
1 2 2 1
a b a b a b
 
 

A x x B y y
   
.Khi biết đường thẳng đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y

VÉC TƠ PHÁP TUYẾN:Là véc tơ có phương vng góc với đường thẳng.
CHÚ Ý:
Có VTPT:
( ; )
n A B



VTCP: ),( ABa 

( hay ),( ABa 

),Và ngược lại.
Hệ số góc:
( 0)
A
k B
B
  

Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
20

– x
A
) hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx




6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn):
1
b
y
a
x7/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a

0
00




yy
yy
a
xx

8/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến (d):Ax + By + C = 0 :
 
0 0
,( )
2 2
M d
Ax By C
d
A B
 

10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d

2
1
B
B
C
C
D
x



;
2
1
2
1
C
C
A
A
D
y


 d
1
cắt d

0
y
D
D Chú ý :A
2
, B
2
, C
2


0
d
1
cắt d
2

2
1
2
1
B
B
A
A

;


11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos





Cho

ABC. Để tính góc A trong

ABC, ta có thể sử dụng cơng thức:


BA
CyBxA






* Chú ý :
Dấu của:

21
nn
Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2

Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d
1
, d
2

–

t
1


________________________________________________________________________________
21
13.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
a. Chú ý:

'
'
d
d
d d n n
 
 

/
/
/
d
d
d
d
n u
d d
u n



  




  
)
Với Tâm I(a,b) Bán kính
2 2 2
0
R a b c
   3.Cách lập phương trình đường tròn các dạng cơ bản:
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó
phương trình đường tròn (C) là:
x a y b R
2 2 2
( ) ( )
   

Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng

. Bán kính R =
d I
( , )

.
Dạng 3: (C) có đường kính AB. Tâm I là trung điểm của AB. Bán kính R =
AB
2
.
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng


.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và

.
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng

1
và

2
.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
d I IA
1 2
1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
 







– Bán kính R = IA.
Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi

);( baI
R
a
b
);( yxM
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
22
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng

1
,

2
và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
I d
1 2
( , ) ( , )
 





.
– Bán kính R = d I
1
( , )

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d:
Ax By C
0
  
và đường tròn (C):
x y ax by c
2 2
2 2 0
    
, ta có thể thực hiện như sau:.


Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+
d I d R
( , )



d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+
d I d R
( , )



d tiếp xúc với (C).(Cách tìm tọa độ tiếp xúc:Viết phương trình đường
thẳng

+ Hệ (*) có 1 nghiệm

d tiếp xúc với (C).
+ Hệ (*) vô nghiệm

d và (C) không có điểm chung.
5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
)
Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
(C
1
): x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2 0
    
, (C
2
): x y a x b y c
2 2
2 2 2
2 2 0
    
.
ta có thể thực hiện như sau:



).
+
I I R R
1 2 1 2
 

(C
1
) tiếp xúc trong với (C
2
).
+
I I R R
1 2 1 2
 


(C
1
) và (C
2
) ở ngoài nhau.
+
I I R R
1 2 1 2
 

(C
1
) và (C

) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+ Hệ (*) có một nghiệm

(C
1
) tiếp xúc với (C
2
).
+ Hệ (*) vô nghiệm

(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung.
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
23
6: Tiếp tuyến của đường tròn (C)
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng

.

tiếp xúc với (C)


d I R
( , )



Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của

có phương cho trước (Dạng Ax + By + m = 0,(A,B) đã biết).
– Dựa vào điều kiện:
d I R
( , )


, ta tìm được m. Từ đó suy ra phương trình của

.


Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm
A A
A x y
( ; )
ở ngồi đường tròn (C).
– Viết phương trình của

đi qua A (Dạng: A(x – x
A
) + B(y – y
A
) = 0).
– Dựa vào điều kiện:
d I R

( )
x y
a b
a b
 


Trục lớn, độ dài

Ox, 2a

Oy, 2b

Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
– b
2
c
2
= b
2
– a
2

Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F

Đường chuẩn
a
x
e
 

b
y
e
 

Bán kính qua tiêu
MF
1

= a + ex

MF
2
= a – ex
MF
1

= b + ey

MF
2
= b – ey
Pt tiếp tuyến tại
M(x

 


 


Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2

Trục thực, độ dài

Ox,

2
a

Oy, 2b

Trục ảo, độ dài

Oy, 2b

Ox, 2a

Liên hệ a, b, c

c
2

= a
2

+ b
2

c
2



Đường chuẩn
a
x
e
 

b
y
e
 

Tiệm cận
b
y x
a
 
b
y x
a
 
Bán kính qua tiêu
M

nhánh phải
MF
1
= ex + a
MF
2

0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
 

0 0
2 2
1
y y x x
b a
 

Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2

 
 
 

,0
2
p
F
 

 
 

0,
2
p
F
 
 
 
0,
2
p
F
 

 
 

Đường chuẩn

2
p = – 2BC

NHỚ 30 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ tọa độ Đêcac vng góc trong khơng gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đơi một và chung một điểm gốc O. Gọi
i j k
, ,
  
là các
vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vng góc
Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
2 2 2
1
i j k
  
  
và
0
i j i k k j. . .
  
     
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:



1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b



  




 


0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
i j k
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
   


 


a

cùng phương

     






1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
. . . .
  



1 1 2 2 3 3
0
a b a b a b a b
    
 


2 2 2 2
1 2 3
a a a a
  


2 2 2
1 2 2
a a a a



)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
M x y z OM x y z
( ; ; ) ( ; ; )
 

(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:

M

(Oxy)

z = 0; M

(Oyz)

x = 0; M

(Oxz)

y = 0


M

Ox

 1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
; ;
 
  
 
  
 

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
 
  
 
 

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z


.
 
 
2 3 3 1
1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
, ; ; ; ;
 
        
 
 
 
 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:



i j k j k i k i j
, ; , ; ,
 
 
  