1
SKKN : ỨNG DỤNG PHẦN MỀM
MATHCAD VÀ GEOGEBRA
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH PHẦN MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh của đề tài :
Trong các năm học gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động và khuyến
khích việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực của
học sinh, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy, do đó mỗi thầy cô
giáo cả nước đang cố gắng làm và phát huy việc ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ
trợ cho việc dạy và học. Mỗi giáo viên cần ph
ảI có những biện pháp, phương tiện
thích hợp để cảI tiến việc dạy và học sao cho kết quả đạt được ngày càng nhiều hơn,
ít tốn thời gian hơn, và học sinh ham thích học tập hơn. Hoà vào xu thế đó , tôi cố
gắng ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán là nghiên cứu dùng các phần
mềm toán học Mathcad, GeoGebra để giải một số bài toán một cách tự động, tạo ra
các bài toán tương tự có th
ể dùng làm các đề trắc nghiệm khác nhau nhưng có chất
lượng như nhau, sáng tạo ra các bài toán mới dành cho thi đại học, thi học sinh giỏi,
thi máy tính bỏ túi …
II. Lý do chọn đề tài
- Bài toán hình giải tích có liên quan về đường phân giác, trung tuyến, đường
cao trong tam giác là một bài toán thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh
giỏi máy tính bỏ túi thường được cho với nhiều dạng khác nhau . Học sinh đã
được trang bị kiến thức về phương trình đường thẳng từ lớp 10 nhưng đến lớp 12 thì
đã quên khá nhiều và các em rất lúng túng trong cách giải quyết và thậm chí là mất
khá nhiều thời gian vẫn không giải quyết được.
- Trong sáng kiến kinh nghiệ

trong tam giác trong tam giác nói riêng đối với một số bài toán thi đại học, thi học
sinh giỏi máy tính cầm tay.
-Ứng dụng được phần mềm Mathcad , GeoGebra sáng tạo được các bài toán
mới, nhanh chóng, hiệu quả và cho kết quả chính xác.

PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ :
I.1.Thực trạng của vấn đề : Xin nêu ra một số bài toán hình giải tích
có liên quan đến đường phân giác trong tam giác trong một số đề thi đại học :
Bài 1 :
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy,
cho biết đỉnh C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là :
x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 .
(Trích đề thi đại học Huế 2001)
Bài 2 :
Trong mặt phẳng cho ba điểm A(-1;7), B(4; -3), C(- 4;1).
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
( Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001)
Bài 3 :
Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác trong
góc B và C lần lượt có phương trình : x – 2y +1 = 0; x+y + 3 = 0. Tìm
phương trình đường thẳng BC .
(
Trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế – 2000)

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn
22
4
():( 2)


3
Thc t ging dy nu giỏo viờn khụng ụn tp cho hc sinh mt cỏch cú h
thng cỏc kin thc v phng trỡnh ng thng lp 10 thỡ cỏc em s khụng gii
c nhng bi toỏn dng trờn. Nhng bi toỏn ny phi vn dng linh hot cỏc kin
thc ó hc lp 10 m a s hc sinh lp 12 ó quờn hoc ch nh m h . Do ú
vic dnh thi gian nh
t nh ụn tp cho cỏc em l rt cn thit.

I.2.C s lý lun :

Hc sinh cn ụn tp li cỏc kin thc v phng trỡnh ng thng trong mt phng
v mt s kin thc sau :
a) Tớnh cht ca ng phõn giỏc trong tam giỏc : AD laứ phaõn giaực trong, AE laứ phaõn giaực ngoaứi goực A ca tam giỏc ABC thỡ


== =


J
JJG JJJG JJJGJJJG
;
DB AB EB AB AB
D
BDCEBEC
DC AC EC AC AC


+=
v hai im
(;),(;)
M
MNN
Mx y Nx y
.
M v N nm khỏc phớa i vi d


().()0
MM NN
ax by c ax by c
+
+++<

M v N nm cựng phớa i vi d


().()0
MM NN
ax by c ax by c
+
+++>

III. Cỏc bin phỏp tin hnh gii quyt vn :

4
III.1 Các bước tiến hành :
• Đối với bài toán phải xác định chân đường phân giác :

111222
22 22
11 2 2
ax by c ax by c
ab ab
+
+++
=±
++

ta tìm được phương trình hai đường phân giác là d1 và d2.
• Xác định phân giác góc nhọn, phân giác góc tù của góc tạo bởi hai
đường thẳng
12
,ΔΔ
: có nhiều phương pháp , ở đây chỉ nêu một phương
pháp chẳng hạn : ta tìm phương trình hai đường phân giác là d1 và d2
sau đó tính số đo góc giữa
1
Δ
và d1; nếu số đo này nhỏ hơn
0
45
thì d1 là
phân giác góc nhọn ; nếu số đo này lớn hơn
0
45 thì d1 là phân giác góc tù
.

Ngoài ra cũng có thể dùng véc tơ đơn vị để tìm phương trình

CB
JJJG
là véc tơ
chỉ phương của đường phân giác d2.
Từ đó viết được phương trình của d1 và d2.
• Đối với bài toán phải xác định phương trình đường tròn nội tiếp
tam giác :
Cách 1
: có thể tìm phương trình phân giác trong AD, phương
trình phân giác trong BK của tam giác ABC , tâm đường tròn nội
tiếp là giao điểm của AD và BK. Bán kính đường tròn nội tiếp là
khoảng cách từ I đến BC.

Cách 2:
có thể tìm tọa độ điểm D, gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp thì I là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác
ABD nên ta có

=−
J
JG J JG
BD
DA
I
I
BA

từ đây suy ra tọa độ điểm I.
• Đối với bài toán phải xác định tọa độ đỉnh hoặc phương trình cạnh
của tam giác:

bài tập trắc nghiệm với kết quả tương tự giúp giáo viên tạo nhiều đề khác nhau có chất
lượng ngang nhau.Bài 2 :
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;5), B(-1; 4),
C(3; 2) . Tìm toạ độ điểm D và điểm E chân đường phân giác trong và ngoài góc A
của tam giác ABC. Tìm phương trình phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Có thể kiểm tra lại kết quả bằng GeoGebra bằng cách nhập toạ độ A, B, C . Dùng
công cụ vẽ đường phân giác ta có kết quả như sau :
Tương tự ta có các bài toán sau :

8
Bài 3 :

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(
3
2
;3), B(
1
2
; 2),
C(
9
2


Ta giải kết hợp với Mathcad như sau : Trên hình vẽ ta thấy d1 là phân giác góc tù, d2 là phân giác góc nhọn.

Thay đổi a1, b1, c1, a2, b2, c2 ta có kết quả do Mathcad giải ra như sau :
11
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có
phương trình 2x - y +1 = 0, 2x - 4y + 3 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác
của góc tạo bởi 1, 2ΔΔ. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.
Tương tự ta có đề toán và kết quả :Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng
1, 2ΔΔ
có
phương trình x + 3y +3 = 0, y +1 = 0. Tìm phương trình các đường phân giác của
góc tạo bởi 1, 2ΔΔ. Chỉ rõ phương trình phân giác góc nhọn.

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2ΔΔ có

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau có phương
trình :

12
12
2
332
1: 1 4 2: 5
112
xt x t
dy t d y t
zzt
==+
⎧⎧
⎪⎪
=− − =− −
⎨⎨
⎪⎪
==+
⎩⎩

Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù tạo bởi d1 và d2. Ta dựng hình thoi có 2 cạnh là 2 véc tơ đơn vị trên , véc tơ tổng của 2 véc tơ đơn vị trên
chính là véc tơ chỉ phương của một đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2; véc tơ hiệu
của 2 véc tơđơn vị trên chính là véc tơchỉ phương của một đường phân giác của góc tạo
bởi d1 và d2;
=− −
⎨
⎪
=−
⎩Baøi 2 :
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng cắt nhau có phương
trình :

12
12
2
23 52
1: 1 4 2: 5
222
xt xt
dy t d y t
zzt
=+ =+
⎧⎧
⎪⎪
=+ =+
⎨⎨
⎪⎪
==+
⎩⎩

Tìm phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù tạo bởi d1 và d2.

⎩

Vaán ñeà 3 : Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
Phương pháp giải có 2 cách đã trình bày ở phần trên, bây giờ sẽ sử dụng cách 2 để giải .
Cách 2: tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong
AD của tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp thì I
là chân đường phân giác trong kẻ từ B của tam giác ABD nên
ta có

=−
JJG JJG
BD
DA
I
I
BA

từ đây suy ra tọa độ điểm I và bán kính r .

15
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(2;6),
B(-3;-4), C(5;0) . Tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta lập kịch bản sau để giải bài toán :
Ta dùng phép tịnh tiến và đối xứng tâm để tạo bài toán tương tự :

22
(5)(4)5xy−+−=

Ta xét bài toán tương tự là cho phương trình 3 cạnh của tam giác, hãy
tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác .
Bài 1:
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh
là
1: 3 4 6 0xyΔ+−=
,
2:4 3 1 0xyΔ+−=
,
3: 0y
Δ
=
. Tìm phương trình đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.

17

Bài tập tương tự :
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác có phương trình 3 cạnh
là 1:3410xyΔ−+=, 2: 4 3 6 0xy
Δ
+−=, 3: 0x
Δ
= . Tìm phương trình đường tròn nội

2Δ
và có tâm thuộc
3Δ
.

Thử lại bằng GeoGebra

19

Kết quả hoà toàn chính xác.
Ta có bài tập tương tự
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho ba đường thẳng có phương trình
1: 2 3 0Δ−+=xy , 2:2 1 0Δ−+=xy , 3: 2 3 1 0
Δ
−+=xy . Tìm phương trình đường tròn tiếp
xúc với
1Δ
,
2Δ
và có tâm thuộc
3Δ

()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ
và có tâm K thuộc đường
tròn ()C .
( Trích đề thi đại học khối B 2009 )
Ta lập kịch bản giải bài toán như sau :

20
Hệ vô nghiệm.

Vậy đường tròn (C1) có phương trình như trên.

Bài tương tự :
Bài 5 :
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
82150+−−+=xy xy
và hai đường thẳng 1: 2 1 0Δ++=xy , 2: 2 0
Δ

tiếp xúc với các đường
1
Δ
,
2
Δ
và có tâm K thuộc
đường tròn ()C .

21
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) :
22
16 4 48 0
+
−−+=xy xy
và hai đường thẳng 1: 2 3 0Δ+=xy , 2:3 2 0
Δ
+=xy .Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính
đường tròn
1
()C
; biết đường tròn
1
()C
tiếp xúc với các đường 1
Δ
, 2

50+−=xy
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 9 và đỉnh A có hoành độ dương.
Phương trình đường thẳng BC là : x-2y+4 = 0
Bài 3
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-3; 1) ,phân giác
trong góc A có phương trình 20+−=xy . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện
tích tam giác ABC bằng 21 là đỉnh A có hoành độ dương.
Phương trình đường thẳng BC là : 21x -8y +71 = 0
Bài 4
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(4;3),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0 .
( Đề thi đại học Huế 2001)
Ta lập chương trình giải như sau :

23
Bài tập tương tự
Bài 5
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy, cho biết đỉnh B(0;-2),
đường phân giác trong AD và đường trung tuyến CM của tam giác có phương trình lần lượt
là : x –y+1 = 0 và x+y = 0 .
Kết quả :

PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm :

- Sử dụng phần mềm MATHCAD hỗ trợ nghiên cứu giải và sáng
tạo bài toán mới rất nhanh chóng và chính xác. Tính chính xác và hiệu
quả cao hơn gấp nhiều lần khi sử dụng phần mềm Mathcad hỗ trợ để
tính toán và tạo lập bài toán tương tự. Với MATHCAD giáo viên sau khi
đã lập trình giải bài toán trên Mathcad xong thì kết quả có ngay lập tức.
Chỉ cần thay đổi số liệu ban đầ
u là giáo viên có ngay bài toán tương tự
với kết quả tức thì và rất chính xác vì vậy tạo được niều bài tập cho học
sinh thực tập.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm :
Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào việc ôn
thi đại học của học sinh. Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn
đề nhanh chóng và hiệu quả khi đã nắm vững phương pháp.
III. Khả năng ứng dụ
ng, triển khai :
Có thể áp dụng cho các học sinh khối 10, khối 12 luyện thi đại
học, các lớp 10, 12 chuyên toán thi học sinh giỏi các cấp.
IV. Những kiến nghị và đề xuất :
• Cần phổ biến phần mềm Mathcad sâu rộng để giáo viên có thêm
công cụ hỗ trợ giảng dạy.
• Để học sinh tiếp cận được đề thi Đại học và giải được chúng, cần tổ
chức ôn tập s
ớm các chuyên đề có nội dung tương tự như trên.