Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

Xét hàm số bậc ba :
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c

DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

N
ế
u a = 0 thì
3 0
3
′ ′
= + → = ⇔ = −
c
y bx c y x
b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
 Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm s
ố không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức

ự
c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh (hay hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n trên
mi
ề
n xác
đị
nh),
đ

− +
′
∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m

Hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
khi y′
đổ
i d
ấ
u trên mi
ề
n xác
đị
nh,
đ
i
ề
u
đ
ó x
ả
y ra khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ

- Hàm s
ố có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2
+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số
(
)
= + − + + −
3 2
2 2 3
y mx m x mx m
tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m.
Hướng dẫn giải:
Ta có
(
)
2
3 2 2 2 .
′
= + − +
y mx m x m


− +

≥
− +


≠

≠

 
≥


⇔ ⇔ ⇔
  

′
∆ ≤

+ − ≥

− −




≤
− − 

5 5
0
5 4 4 0
0

− − − +
≠

≠

< <
 
⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ >
+ − <




≠

m
m
m
m m
m

K




≠

m
m

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Tìm m
để
các hàm s
ố
sau
đ
ây có c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u:
a)
(
)
3 2 2
2 1 2

c tr
ị
.
Bài 3.
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

( ) ( )
3 2
1
1 3 2 1
3
= + + + − +
y m x mx m x

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực
tiểu).

Ph
ương pháp thực hiện :
+ Tìm
điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆ > 0, (*)
+ Tìm
điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x
o


Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ):
+ Hàm s
ố đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
(
)
0 .
′
= ⇔ = →
o o
x x y x m

+ V
ớ
i m tìm
đượ
c, thay vào hàm s

u t
ạ
i
đ
i
ể
m x
o
hay không.

Cách 2 (s
ử
d
ụ
ng y’’) :
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
(
)
( )
0

(
)
( )
0
.
0
′

=

= ⇔ →

′′
>


o
o
o
y x
x x m
y x

Chú ý:
Hàm s
ố

đạ
t c
ự

1
( 2) 1.
3
y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :
Ta có
(
)
2
2( 2) 2 2 2 .
′ ′′
= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m

a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
1
0 5 4 0
4
> −

′
⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔

=

x
y x x
x

Ta có bảng biến thiên:
x
−∞ 0 4 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
C
Đ +∞

−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.


 Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại
(
)
( )
0 0
0
0 0
2( 2) 0
0 0

c
đạ
i t
ạ
i x = 0.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i t
ạ
i x = 2.


 Cách 1:
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự


=
 


x
m y x x y x x
x

Ta có b
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−∞
2
5
2 +∞

y’
+ 0
−
0 +
y
CĐ +
∞−∞

= −

 
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
  
− >
′′
>




<

y
m
m
x m
m
y
m

V
ậ
y
4
5
= −
m thì hàm s
ố

ự
c ti
ể
u.
b)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i t
ạ
i x = −1.
c)
Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c


= + >


> > → ⇔
 
= >


>




Hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
cùng có hoành
độ
âm.
Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2

đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
có hoành
độ
trái d
ấ
u.
Khi
đ
ó ta có
1 2 1 2
0 0 0
C
x x P x x
A
< < ⇔ = < ⇔ <


Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.
Khi
đó ta có
( )( )
( )
2
2


− + >
− + + >
 


− − >
  
 
> > ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ >
−
>


 
>





Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.
Khi
đ
ó ta có
( )( )
( )

−
 

− + >
− + + >
 


− − >
  
 
< < ⇔ ⇔ ⇔
  
−
+ <
−
<


 
<





Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x
1
<
α

1 2
1 2

+ = −




=


B
x x
A
C
x x
A

Ví dụ 1: Cho hàm số
= + − − +
3 2
( 1) 3 .
y x m x mx m

a) Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự

+ =
1 2
1 2
1 1
2 .
x x
x x

c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 2( 1) 3
′
= + − −
y x m x m

a)
Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi ph

VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Vậy với
7 3 5
2
7 3 5
2

− +
>



− −
<


m
m
thì hàm s
ố đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Gọi x
1
; x
2
là hoành
độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x
1

+
− − ±
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =
x x
m
x x x x m m m m
x x x x

Đố
i chiếu với điều kiện (*) ta được
1 13
6
m
− +
= là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
c)
G
ọ
i x
1
; x
2
là hoành
độ

đ

2(1 )
3
−

+ =



= −

m
x x
x x m

Theo bài ta có
( )( )
(
)
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
2 4 0
4(1 )
2 2 0
4 0
2
3
2(1 )
4

8
8
0
8 5.
3
5
5
+

> −
>


⇔ ⇔ ⇔ − < < −
 
< −


< −

m
m
m
m
m

Đố
i chi
ế
u v

6

′
− − ∆
= =


′
= ⇔ + − − = ⇔ → <

′
− + ∆
= =


m
x x
y x m x x x
m
x x

B
ả
ng bi
ế
n thiên
x
−∞ x
1
x

1
1
6
′
− − ∆
=
m
x
Theo bài ta có
( )
1
2
5 0
1
1 1 6 5
6
5
− − ≥

′
− − ∆

′ ′
= > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔

′
∆ < − −


m

ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
// Ví d
ụ
này th
ầ
y tính nh
ầ
m nhé, hê hê //
Ví dụ 2: Cho hàm số

2.
x x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ta có
2
3 6( 1) 9.
′
= − + +
y x m x


Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ

⇔ + − > ⇔

< − −


m
m
m


Theo
đị
nh lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3
+ = +


=

x x m
x x

Khi
đ
ó:
( ) ( )
2 2

ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
= + − + − + +
3 2
(1 2 ) (2
.
) 2
y x m x m x m

Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1


Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2

( )
2 2


+ = −



−

=


m
x x
m
x x

Khi
đ
ó
( ) ( )
2 2
2
1 21 2 2 1 21
1
4 4(1 2 ) 4(2 1
1
9
3
)
⇔−
= + − > ⇔ − − − >


< −


m
m
là các giá tr
ị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x

Tìm m
để
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ

khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

2
5 7 0,
′
⇔ ∆ = − + > ∀
m m m


Khi
đ
ó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1
3( 2) 3 2 4 3 3 6

+ = − − + = − = −
 
  
= − ⇔ = − ⇔ = − − = −
  

5: Cho hàm s
ố

= + + + +
3 2
(1– 2 ) (2 – ) 2.
y x m x m x m

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hoành
độ

đ
i
ể

ở
thành y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2
1 2
4 5 0
5 7
1 (1) 5 7 0
4 5
2 1
1
2 3

′
∆ = − − >


ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
= −
1 2
4 .
x x

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2 2
12 2 3 36 0.
′ ′
= + − ⇒ ∆ = + >
y x mx m

Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ
P:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 2.
= + + − − +
y x m x m x

a)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
10.
+ <x x

d)
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.

3 2 2
2
1 4 3 2.
3
= + + + + + + +
y x m x m m x m
Gọi x
1
, x
2
là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số.
a)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b)
Tìm m sao cho biểu thức
(
)
1 2 1 2
2= − +
P x x x x

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 5:

d)
hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Tính ch
ấ
t 4: Các c
ự
c tr
ị
n
ằ
m cùng phía, khác phía v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các
điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với
y
CĐ
.y
CT
< 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với y

ể
u và các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
3 6
′
= + +
y x x m
, hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

ố có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
Ta có
điều kiện
3 0
3
( 1) 3 0

′
∆ = − >
⇔ <

− = − ≠

m
m
g m

V
ậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
= − + + − − + −
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
y x m x m m x
, v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m

ụ
c tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
3 2(2 1) ( 3 2)
′
= − + + − − +
y x m x m m

Hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u khi y
′
= 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
(
)

(
)
2
3 3 2 0 1 2.
− + < ⇔ < <
m m m
K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c 1 < m < 2 th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

= − + − −
3 2

ự
c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
2
2 2 1
′
= − + −
y x mx m

Hàm s
ố

c ti
ể
u n
ằ
m v
ề
cùng m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c tung khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có hai nghi
ệ
m cùng
d
ấ
u
1
0 2 1 0 .
2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >
ac m m
K
ết hợp điều kiện ta được
1
1
2

b
ax b x
a
∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ −

Khi
đó,
1
2
0
x x
y
x x
=

′
= ⇒

=

và s
ử
d
ụ
ng yêu c
ầ
u c
ủ
a
đề

đ
ó, tìm m
để
kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i
đế
n g
ố
c t
ọ
a
độ
b
ằ
ng
2

l
ần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ

t
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀
m

Khi
đ
ó
(
)
( )
1 1;2 2
0
1 1; 2 2

= − ⇒ − −
′
= ⇔

= + ⇒ + − −


x m A m m
y
x m B m m

Do h
ệ
s


= − −


m
OA OB m m
m

V
ậ
y
3 2 2
= − ±m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 2: Cho hàm số
(
)
−
= − + − + −
2
3

ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
+ =
2 2
1 2
2 12
x x

Hướng dẫn giải :
Ta có
(
)
(
)

( ) ( )
2
2
0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1
m m m m m
∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠

b)
V
ớ
i
(
)
( )
3 1 3 1
1
2
1 0
3 1 3 1
3 1
2
m m
x
m y
m m
x m

− − −
= =



V
ậ
y v
ớ
i m > 1 thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và hoành
độ
c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u l
ớ
n h

ớ
i
( )
2
2 2
1 2 1 2
1 10
1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10
3
x x m x x m m m
±
= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự

ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
ta
đượ
c
2 22
.
6
m
±
=
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

+=

120
AOB
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
0
3 6 0
2 4
= ⇒ =

′ ′
= + ⇒ = ⇔

= − ⇒ = +

x y m
y x x y
x y m

V
ậ
y hàm s
ố
có hai

4 ( 4) 2 ( 4)
3 24 44 0
2
4 ( 4)
4 0
12 2 3 2
4
12 2 3
3
3
3
− < <
+

⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔

+ + =

+ +
− < <

− +

⇔ ⇔ = = − +
− ±

=


m

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua (d): x + 8y
−
−−
−
74 = 0.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

m phân bi
ệ
t
⇒
m ≠ 0
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là
3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )
− − − − ⇒
A m B m m m AB m m


Trung
đ
i
ể
m I c
ủ
a AB có to
ạ

độ

3
( ;2 3 1)

i nhau qua d
⇔

( )
3
8(2 3 1) 74 0
2
. 0

+ − − − =
∈


⇔ ⇔ ⇔ =
 
⊥
=



 
m m m
I d
d m
AB d
AB u

V
ậ
y m = 2 là giá tr

3 2 2 2
3
3 1 1 3 3 3 1 3 1
2
m
y x x m x y x mx m x mx m
′
= − + − + ⇒ = − + − = − + −

Hàm s
ố có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có
điều kiện
( )
2
0 2 0 2.
m m
∆ > ⇔ − > ⇔ ≠

V
ậ
y v
ớ
i m ≠ 2 thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự
c

=


′′
>

y
I
y

Ta có y′′ = 6x – 3m, khi
đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =
 
⇔ ⇔ ⇒ =
 
− > <
 

Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm
(0) 0
, ( )
(0) 0

≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
V
ậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x
2
– mx + m – 1 = 0
( )
1
1
2
2
2
2
3 2
2
1
2
2
2
2
3 5 4
1
2
2
m
m m
y
x m
m

, y
1
) và B(x
2
, y
2
) là các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ
ó
2
3 8 6
2 ;
2
m m
AB m
 
− +
= −

d o
m m
m
AB u m m m m m vn
− +
−
⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →
−
 BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Cho hàm s
ố

(
)
2
3
2 1
1
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +

Tìm giá trị của m để

ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
; x
2
th
ỏ
a mãn
2 2
1 2
2 12
x x
+ =

Bài 2:
Cho hàm s
ố

(
)
2
3 2

a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.
Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình
Lấy y chia cho y′ ta được
. ( ) ,
′
= + +
y y g x ax b
khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các điểm
cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác d
ụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của chúng.
Th
ật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
+ +
M x ax b N x ax b
, trong đó x
1
; x
2
là hai nghiệm của
phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số

ể
m
đ
ó.
Hướng dẫn giải :
Ta có
2 2 2 2
3 6 3(1 ) 0 2 1 0
′ ′
= − + + − ⇒ = ⇔ − + − =
y x mx m y x mx m

Hàm s
ố có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
1 0,
′
⇔ ∆ = > ∀
m

V
ậ
y hàm s
ố
luôn có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti

(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
, khi
đ
ó
( )
( )
1
2
2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3

1 1
2
2 2
2
0 , : 2
2

= − +
′ ′
= = ⇒ ⇔ ∈ = − +

= − +

x x
y x m m
y y A B d y x m m
y x m m

V
ậ
y, ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua hai
đ
i
ể

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
song song v
ớ
i
đườ

ể
u khi y′ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta
đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
G
ọ
i
(

 
m m
y x
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Theo bài ta có
2
2 4
3
3
2 3
3
/ / : 4 3

 
− + = −
 


 
⇔ ⇔ =
∆ = − +


− ≠

⇒

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này cách
đề
u
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = x
−
−−
−
1.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
2
3 6

đượ
c
1 1 2
2 2
3 3 3 3
     
′
= − − + + −
     
     
m
xy
m
x y
G
ọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
 
= − + + −

d y x
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
     
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
     
    
⇔

m m m m
x x x x m
V
ậy
3
0;
2
= = −
m m là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
4: Cho hàm s
ố

= − +
3 2
3
y x x mx

Hướng dẫn giải :
Ta có
2
3 6
′
= − +
y x x m

Hàm s
ố có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
(
)
0 9 3 0 3, *
′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m
Chia y cho y′ ta
được
1 1 2 1
2
3 3 3 3
   
′
= − + − +
   
   
y x y m x m

G
ọi
(

( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
 
⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =
 
 
AB d
AB d k k m m
V
ới m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta th
ấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI T
Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ
P:
Bài 1:
Cho hàm số
3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
y x m x x m
Tìm m
để

1
: .
2
=
d y x

Đ
/s: m = 1
Bài 2:
Cho hàm s
ố

3 2
3 2
= − − +
y x x mx
Tìm m
để
hàm s
ố
có
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và
đ

(
)
: 4 5 0
+ − =
d x y
một góc 45
0
.
Đ/s:
.
= −
1
2
mVINAMATH.COM
VINAMATH.COM