BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
§1. Các phương pháp tìm cực trị
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho
:f D → ¡
và
0
x D∈
.
a)
0
x
được gọi là một điểm cực đại của
f
nếu tồn tại khoảng
( )
;a b
sao cho
( )
( ) ( ) ( ) { }
0
0 0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
∈ ⊂



0
x
( )
0
f x
( )
( )
0 0
;x f x
Điểm cực đại của
f
Giá trị cực đại (cực đại) của
f
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
f
Điểm cực tiểu của
f
Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của
f
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
f
Điểm cực trị của
f
Cực trị của
f
Điểm cực trị của đồ thị hàm số
f
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm
f

;
• Nếu
( )
'f x
đổi dấu từ âm sang dương khi
x

đi qua
0
x
thì
f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
b) Quy tắc 2:
•
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=


<

0
x
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
3 2
1 4
3
3 3
y x x x= − − +
.
Giải. Hàm số có TXĐ
= ¡
,
2
' 2 3y x x= − −
,
' 0y =

⇔

1x
= −
hoặc
3x
=
.

( )
( )
2
2
' 2
x x
x
y x x
x x
+
= + + =
(
0x ≠
).
Ta thấy với mọi
0x
≠
, dấu của
'y
chính là dấu của tam thức bậc hai
2
x x+
. Nên ta có bảng
biến thiên của hàm số như sau:
Kết luận: hàm số đạt cực đại tại
1x = −
, giá trị cực
đại tương ứng là
( )
1 1y − =

3x =
.
•
" 2 2y x= −
,
+)
( )
" 1 4 0y − = − <

⇒
hàm số đạt cực đại tại
1x = −
, giá trị cực đại tương ứng là
( )
1 3y − =
;
+)
( )
" 3 4 0y = >

⇒
hàm số đạt cực tiểu tại
3x
=
, giá trị cực tiểu tương ứng là
( )
23
3
7
y = −

x k
π
π
= ± +
(
k
∈
¢
).
•
" 4sin 2y x=
,
+)
4sin 2 2 3 0
6 3
y k k
π π
π π
   
′′
+ = + = >
 ÷  ÷
   

⇒
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
6
x k
π
π

x k
π
π
= +
, giá trị cực tiểu tương ứng là
3
2
6 6 2
y k k
π π
π π
 
− + = − + − +
 ÷
 
.
Ví dụ 5. [SGK] Tìm
a
,
b
,
c
sao cho hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
đạt cực tiểu tại điểm
0x
=
,
( )

=


=


⇔

0
0
3 2 0
1
c
d
a b c
a b c d
=


=


+ + =


+ + + =

⇔

2

. Ta có
( )
" 0 6 0y = >

⇒
hàm số đạt cực
tiểu tại
0x =
,
( )
" 1 6 0y = − <

⇒
hàm số đạt cực đại tại
1x =
(thỏa mãn). Vậy
2a = −
,
3b =
,
0c =
,
0d =
.
C. Bài tập
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số
1)
3 2
2 9 12 3y x x x= − + +
;

2
4
x
y
x
=
+
;
7)
3y x x= −
;
8)
2
2 2y x x= − +
;
9)
2
sin 3 cosy x x= −
;
10)
2sin cos 2y x x= +
.
Bài 2. Tìm
a
,
b
,
c
để hàm số
3 2

=
,
( )
1 8y =
và đạt
cực tiểu tại điểm
2x
=
,
( )
2 7y =
; Error: Reference source not found Hàm số nghịch biến trên
¡
nên không có cực trị; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại
2x
= −
,
( )
2 115y − = −
và
2x
=
,
( )
2 13y =
, đạt cực đại tại điểm
1x
=
,
( )


điểm
2x = −
,
( )
1
2
4
y − = −
và đạt cực đại tại điểm
2x =
,
( )
1
4
4
y =
; Error:
Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại

điểm
1x =
,
( )
1 5y =
và đạt cực đại tại
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
điểm

= +
và
2x k
π π
= +
,
( )
2 2 3y k
π π
+ = −
.
Hàm số đạt cực đại tại các điểm
5
2
6
x k
π
π
= ± +
,
5 1
2
6 2
y k
π
π
 
± + = −
 ÷
 

π
 
− + = −
 ÷
 
. Hàm số đạt cực đại tại các điểm
2
6
x k
π
π
= +
,
3
2
6 2
y k
π
π
 
+ =
 ÷
 
và
5
2
6
x k
π
π

(
0a ≠
).
1. Điều kiện có cực trị
• Hàm số có cực trị
⇔
hàm số có hai cực trị
⇔

( )
C
có cực trị
⇔

( )
C
có hai điểm
cực trị
⇔

'y
có hai nghiệm phân biệt.
•
f
không có cực trị
⇔

' 0∆ ≤
.
2. Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị

C
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
m
để hàm số
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
Giải. Ta có
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
.
y

có cực đại, cực tiểu thì trước hết
2 0m + ≠

⇔
2m ≠ −
. (1)
Khi đó
'y
là tam thức bậc hai có
( )
2
' 3 2 3m m∆ = − + −
.

3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x= − − − +
có hai điểm cực trị
1
x
,
2
x
sao cho
( )
1 2 1 2
2 1x x x x+ + =
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Giải. Ta có
( ) ( )
2 2 2 2
' 2 2 2 3 1 2 3 1y x mx m x mx m= − − − = − − +
,

( )
2 2
3 1t x x mx m= − − +
là tam thức bậc hai có
2

. (1)
1
x
,
2
x
là các nghiệm của
( )
t x
nên theo định lý Vi-ét, ta có
1 2
2
1 2
3 1
x x m
x x m
+ =


= − +

.
Do đó
( )
1 2 1 2
2 1x x x x+ + =

⇔

2

3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −
có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Giải. Ta có
( ) ( )
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 12y x x m x x m= − + + − −−= − +
,
( )
2 2
2 1mt x x x −− +=
là tam thức bậc hai có
2
' m∆ =
. Do đó:
y
có cực đại cực tiểu
⇔

'y
có
hai nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có hai nghiệm phân biệt

( )
2
2
2 3
1 4 1OA m m= − + +
;
( )
3
1 ; 2 2OB m m+ − +
uuur

⇒

( )
( )
2
2
2 3
1 4 1OB m m= + + −
.
A
và
B
cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi
OA OB=
⇔

2 2
OA OB=
⇔

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
1
2
m = ±
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
3 3y x mx m= − +
có hai điểm cực trị
A
và
B
sao
cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
48
.
Giải. Ta có
( )
2
' 3 6 3 2y x mx x x m= − = −
,
' 0y =

⇔

0


⇒

3
3OA m=
. (2)
• Ta thấy
A Oy∈

⇒

OA Oy≡

⇒

( ) ( )
, , 2d B OA d B Oy m= =
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
( )
4
1
; 3
2
OAB
S OA d B OA m= × × =
.
Do đó:
48
OAB

nên
( )
t x
có hai nghiệm phân biệt, suy ra
'y
có hai nghiệm
phân biệt. Do đó
( )
C
có hai điểm cực trị. Ta thấy các nghiệm của
'y
là
1 2
1 3 1 3x x= − < = +
.
'y
đổi dấu từ dương sang âm khi
x
đi qua
1
x
nên
1
x
là điểm cực đại,
'y
đổi dấu từ âm sang
dương khi
x
đi qua


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
⇒
tọa độ điểm cực đại của
( )
C
là
( )
1 3;6 3−
.
Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của
( )
C
là
( )
1 3; 6 3+ −
.
Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của
( )
C
cùng thỏa mãn phương trình
6 6y x= − +
nên phương
trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
6 6y x= − +
.
Nhận xét. Trong ví dụ trên thay vì chia
y

' 1 0∆ = >
nên
( )
t x
có hai nghiệm phân biệt và đổi
dấu tiên tiếp khi
x
đi qua hai nghiệm này. Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu.
Thực hiện phép chia
y
cho
( )
t x
ta có
( ) ( )
2
2y m x t x x m m= − + − +
. Giả sử
0
x
là điểm cực trị
nào đó của hàm số, ta có
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0 0 0
2 2y x m x t x x m m x m m= − + − + = − +
(do
( )
0
0t x =

luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi
1
x
,
2
x
là hoành độ
các điểm cực trị của
( )
m
C
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( )
2 2
1 2 1 2
1 1S x x x x= + − + +
.
2) Tìm
m
để các điểm cực đại, cực tiểu của
( )
m
C
cách đều trục tung.
Bài 3. Cho
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −

( )

.
Bài 5. Tìm
m
để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi
qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
1)
( )
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m= − + − −
;
2)
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m= − − + − + − −
.
Bài 6. Tìm
m
để đồ thị hàm số
1)
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng đi qua
các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
4 1y x= − −
;
2)
( ) ( )

( )
3 2
1 1
1
3 2
y x m x mx= − + +
có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
72 12 35 0x y− − =
.
D. Đáp số
Bài 1.
1
1
4
m< <
. Bài 2. 1
19
min
4
A =
, đạt được
⇔

3
2
m = −
; 2
0m
=
. Bài 3. 1

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
3 5
2
m
−
<

∨

3 5
2
m
+
>
, phương trình đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2 3 2
2 2 2 8 8 2
2
3 3 3 3 3 3
y m m x m m m
 
= − + − + − + −
 ÷
 
.

( )
4 2
f x ax bx c= + +
(
0a ≠
). Ta có
( )
( )
3 2
' 4 2 4
2
t x
b
f x ax bx ax x
a
 
= + = +
 ÷
 
14 2 43
.
Trường hợp 1:
0ab
≥
. Khi đó
( )
t x
vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất
0x
=


( )
'f x
có ba nghiệm
và
( )
'f x
đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua ba nghiệm này
⇒

f
ba cực trị.
2. Một số kết quả cụ thể:
•
f
có một cực trị
⇔

0ab ≥
;
•
f
có ba cực trị
⇔

0ab <
;
•

f
có hai cực tiểu và một cực đại
⇔

0
0
a
b
>


<

;
•
f
có một cực tiểu và hai cực đại
⇔

0
0
a
b
<


>

.
B. Một số ví dụ

Hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
'y
có
3
nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có
2
nghiệm phân biệt khác
0

⇔

2
9
0
2
m
m
−
<
⇔


⇔

1m = −
. Khi đó
2
3
2
y x= +

⇒
hàm số chỉ có cực tiểu (
0x =
) mà
không có cực đại
⇒

1m = −
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
•
1 0m + ≠

⇔

1m ≠ −
. Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc
4
có
( ) ( )
( )

 + >


≤

+


⇔

1 0m− < <
.
Kết hợp những giá trị
m
tìm được, ta có
1 0m− ≤ <
.
Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số
( )
4 2
2 1y x m x m= − + +
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm
cực trị
A
,
B
,
C

nghiệm phân biệt
⇔

( )
t x
có
2
nghiệm phân biệt khác
0
⇔

1 0m
+ >

⇔

1m
> −
.
( )
*
Khi đó, ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
' 0y =

⇔

0

− + − − −



+ − − −

,
(vai trò của
B
,
C
trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử
( )
2
1; 1B m m m+ − − −
,
( )
2
1; 1C m m m− + − − −
).
Ta có
( )
0;OA m
uuur

⇒

OA m=
;
( )

).
Vậy
2 8m = ±
.
Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
( )
4 2 2
2 1y x m x m= − + +
có ba điểm cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Giải. Ta có
( ) ( )
( )
3 2
' 4 4 1 4 1
t x
y x m x x x m
 
= − + = − +
 
1 44 2 4 43
.
Đồ thị hàm số có
3
điểm cực trị khi và chỉ khi
'y
có
3



= − +


= +

.
Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
( )
2
0;A m
,
( )
1; 2 1B m m− + − −
,
( )
1; 2 1C m m+ − −
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ta thấy
A Oy∈
,
B
và
C
đối xứng nhau qua
Oy

vuông khi và chỉ khi
0AB AC =
uuuruuur

⇔

( ) ( )
4
1 1 0m m+ − + =

⇔

( ) ( )
3
1 1 1 0m m
 
+ + − =
 

⇔

1 0
1 1
m
m
+ =


+ =


(
m
là tham số). Tìm
m
để
1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông.
2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng
2012
đơn vị
diện tích.
Bài 3. [DHA04] Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +
. Tìm
m
để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và cực tiểu của
( )
C
lập thành một tam giác vuông cân.
Bài 4. Cho hàm số
( )
4 2
3 1 2 1y x m x m= − − + +
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có các điểm cực đại,
cực tiểu
A

. Bài 3.
1m
= ±
. Bài 4.
3m
=
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15