Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tóm tắt lí thuyết cơ bản :
Xét hàm số bậc ba
3 3 2
3 3
′
= + + + ⇒ = + +
y ax bx cx d y ax bx c

 Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có
3 0
3
′ ′
= + ⇒ = ⇔ = −
c
y bx c y x
b

Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này hàm s
ố
có 1 c

c tr
ị
khi y′ không
đổ
i d
ấ
u, t
ứ
c là ph
ươ
ng trình y′ = 0 vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có
nghi
ệ
m kép, t
ứ
c là ∆ ≤ 0.
+ Hàm s
ố
có 2
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

ị
là ∆ > 0.
V
ậ
y, v
ớ
i hàm b
ậ
c ba thì hàm s
ố
ch
ỉ
có hai c
ự
c tr
ị
ho
ặ
c không có c
ự
c tr
ị
.
Ví dụ 1:
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố

ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

( )
3 2
1
( 1) 2 1 3 2
3
= − + + − + + −
y m x m x mx m
tùy theo giá tr
ị
c
ủ
a tham
s
ố
m.
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Ph
ươ
ng pháp chung :
+ Tìm
đ
i

nào
đ
ó mà
đề
bài yêu c
ầ
u.
+ K
ế
t h
ợ
p nghi
ệ
m, k
ế
t lu
ậ
n v
ề
giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
c
ầ
n tìm.
Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x
0

=

= ⇔

′′
<


y x
x x
y x

+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
(
)
( )
0
0
0
0

0
0
0
0
0
′

=

= ⇔

′′
≠


y x
x x
y x


Ph
ươ
ng pháp 2: (S
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề

+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay
cực tiểu tại điểm x
0
hay không.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
( 2) ( 1) 3
= + − + + + −
y x m x m x m

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Dạng 2. Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu.

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2
− =
x x k

 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
; x
2
sao cho
1 2

; x
2
sao cho
1 2
2.
− ≤
x x

Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2 2
2 9 12 1
= + + +
y x mx m x

Tìm m để hàm số có cực đại tại x
1,
cực tiểu tại x
2
sao cho
2
1 2
.
=
x x

Ví dụ 6: Cho hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3

=m
Ví dụ 7:
Cho hàm s
ố

3 2
( 2) ( 1) 2
3
= + − + − +
m
y x m x m x

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2

i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
; x
2
sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m
m
m x mx m

Đ
/s : m = –4.
Ví dụ 9:
Cho hàm s
ố

1 2
5
.
2
+ =
x x
Đ
/s :
14
.
2
<m
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP
Phương pháp chung :
+ Tìm iu kin tn ti cc i, cc tiu.
+ Gii iu kin v tính cht K nào ó mà  bài yêu cu.
+ Kt hp nghim, kt lun v giá tr ca tham s cn tìm.
Dạng 3. Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm

Phương pháp:
Khi xét n bit thc ∆ ca phương trình
' 0

2 9.
+ <
x x

c) hàm s có cc i, cc tiu ti các im có hoành  nh hơn 2.
d) hàm s có cc i, cc tiu ti x
1
; x
2
sao cho
2 2
1 2
4 13.
+ =x x

Ví dụ 2: Cho hàm s
2
3 2
1
(2 1) ( ) 1
3 2
= − + + + − +
x
y x m m m x m
Tìm m

a) hàm s có cc i, cc tiu.
b) hàm s có cc i ti x
1
, cc tiu ti x

3 3
= − +
y x mx m

Tìm m
 hàm s có cc i, cc tiu ti A, B sao cho din tích tam giác OAB bng 48, vi O là gc ta .
Ví dụ 5: Cho hàm s
3 2 3
2 3( 1) 6
= − + + +
y x m x mx m

Tìm m
 hàm s có cc i, cc tiu ti A, B sao cho tam giác ABC vuông ti C, vi C(4 ; 0).

Ví dụ 6: Cho hàm s
3
3 2
= − +
y x mx
Tìm m  hàm s có cc i, cc tiu ti A, B sao cho din tích tam giác ABC bng
3 2
, vi C(1 ; 1).
Tài liu bài ging:

02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM


3 2 3
2 3( 1) 6
= − + + +
y x m x mx m

Tìm m

hàm s

có c

c

i, c

c ti

u t

i A, B sao cho
2.
=AB


/s : m = 0 ; m = 2.
Ví dụ 9:
Cho hàm s



y x m x m m x m m

Ch
ng minh rng hàm s luôn có cc tr vi mi m, và khong cách gia các im cc tr không i.
/s :
2 5.
=AB
Ví dụ 11: Cho hàm s
3 2 2
1
( 1) 1
3
= − + − +
y x mx m x

Tìm m
 hàm s có cc i, cc tiu và y
C
+ y
CT
> 2.
/s :
1
1 0
>


− < <

m

3 2
3 1
= − +
y x x bằng hai cách.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số
3 2 2
3
= − +
y x x m
.
Dạng 5. Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị.

Phương pháp:
G
ọi hai điểm cực trị của hàm số là
1 1 2 2
( ; ), ( ; ).
A x y B x y
Ta có một số kết quả sau :
+ A, B nằm về hai phía của trục Oy khi
1 2
0.
<
x x
+ A, B nằm cùng phía với trục Oy khi
1 2
0.
>
x x
+ A, B nằm về hai phía của trục Ox khi

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy.
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox.
d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.
Ví dụ 4: Cho hàm số
3 2 3
3 2
= + +
y x mx m

Tài liệu bài giảng:

02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3

Thầy Đặng Việt Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tìm m  hàm s có cc i, cc tiu ti các im A, B sao cho A, B i xng nhau qua ường thẳng d : x –
2y + 9 = 0
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số
3 2
1
2 3 2
3
= − + + +

3 2
( 1) 2
= + + + −
y x m x x m

b)
3 2 2 3 2
3 3(1 )
= − + + − + −
y x mx m x m m
.
Bài 3: Cho hàm số
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
= − + + − − + −
y x m x m m x

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.
Bài 4: Cho hàm số
3 2 2
3
= − + +
y x x m x m

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và các
đ
i
ể
m này
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng
1
:
2
=
d y x

Đ
/s : m = 1
Bài 7:
Cho hàm s
ố


− − =
d x y
Đ/s : m = 0
Bài 8: Cho hàm số
3
3
= − +
y x mx m

Tìm m
để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy.
Bài 9: Cho hàm số
3 2
3 2
= − − +
y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng
: 1 0
− − =
d x y
Đ/s : m = 0
H
ướng dẫn :
+ Ph
ương trình đường thẳng qua CĐ, CT là
2
2 2
3 3
 
= − + +

 ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi
=


≠

a A
b B

 ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi
. 1
= −
a A

∆ t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : y = Ax + B m
ộ
t góc
φ
nào
đ
ó thì
2 2 2 2

:8 3 9 0.
+ + =
d x y
Ví dụ 2:
Cho hàm số
3 2
7 3
= + + +
y x mx x

Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua c
ự

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 5 0
+ − =

i qua c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 4 3 0.
+ − =
d x y
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P4

Thầy Đặng Việt Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ

để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o v
ớ
i

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng tròn
2 2
( ): ( ) ( 1) 5
− + − − =

ng th
ẳ
ng
đ
i qua c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
9
: 5.
2
= +
d y x VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng

y x mx x m
Tìm m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m này nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
/s :
min
2 13

đ
i
ể
m này c
ắ
t các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
o thành m
ộ
t
tam giác cân.
Đ
/s :
3
.
2
= −
m
Ví dụ 4:
Cho hàm s
ố

3 2
1 5

1 2
5 12
5 12
+ +
= +
+ +
x mx m
m
A
x mx m m

đạ
t
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Ví dụ 5:
Cho hàm s
ố

3 2
3 1,
y x x mx
= − + +
v
ớ

 
 
 

đế
n
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m
c
ự
c
đạ
i và c
ự
c ti
ể
u là l
ớ
n nh
ấ
t.
H

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ
t Hùng
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
+ Chia y cho
'
y
ta ưc
1 2 2
' 2 1 2 1
3 3 3 3 3 3
x m m m m
y y x y x
     
= − + − + + ⇒ = − + +
     
     
là ph
ươ
ng trình
ườ
ng
th
ẳ
ng qua các
đ
i
ể
m c

m
t
d I
t
m m m
   
− − + + − −
− −
   
   
∆ = = = =
+
     
− + − + − +
     
     

Đặ
t
2
2
3 1
4
3 25
3
1
1
2 16
4
u

 

Dâu bằng xảy ra khi
12 25 3 4 2 4
2 1.
25 12 4 3 3 3
m
a u t u m
= − ⇔ = − ⇔ = + = − ⇔ − = − ⇔ =

V
ậ
y m = 1 là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài này còn m
ộ
t cách gi
ả
i khác khá hay và
độ
c
đ
áo,
đ
ó là s
ử
d

ự
c
đạ
i t
ạ
i x
1
, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
2

đồ
ng th
ờ
i x
1
;x
2
là hai c
ạ
nh góc vuông c
ủ
a m
ộ
t tam giác có

Cho hàm s
ố

3 2
3 3( 6) 1
= − + + +
y x mx m x

Tìm m
để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Đ/s : m = 4
Bài 3: Cho hàm số
3 2
1
3 3
= + + +
m
y x mx x
Tìm m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0.
Đ/s :
1
2
 >


≠ ±


m

Bài 6: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
= − +
y x x x

G
ọ
i A, B là hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
. Tìm
đ
i
ể
m M trên Ox sao cho tam giác ABM có di
ệ
n tích b
ằ