MỤC LỤC
TRANG
I. Lý do chọn đề tài: 2
II. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1/ Lý luận 3
2/ Cơ sở thực thực tiễn 3
III. Tổ chức thực hiện các giải pháp
1/ Mô tả cách thức tổ chức 5
2/ Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải 7
3/ Phân tích, so sánh kết quả 16
IV. Hiệu quả đề tài 17
V. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng 18
VI. Tài liệu tham khảo 19

Trường THPT Xuân Mỹ 1 GV: Nguyễn Thị Thu Liền
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG
CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học
kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học
khác có hiệu quả .Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các
môn học khác. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông,
nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp
học sinh giải quyết bài toán. Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn
khác mà học thuộc bài một cách cứng nhắc. Không chịu suy nghĩ để các kiến thức
tiếp thu được trở thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được
trong bất cứ trường hợp nào. Là một giáo viên THPT trong tình hình hiện nay tôi
thấy mình phải tìm tòi,nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng
như kỹ năng giảng dạy được tốt hơn. Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và
phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra.
Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 11 nhiều năm. Vì đa số học sinh

2/ Cơ sở thực tiễn:
a/ Thuận lợi:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy đa số học sinh muốn nắm vững kiến thức
toán học; muốn tìm cho mình một cách học toán sao cho phù hợp với khả năng.
Các em còn muốn kiến thức mà mình có được phải nhớ lâu và dễ vận dụng vào
giải toán.… Bên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lãnh nhau giữa các đồng nghiệp để
trau dồi, nâng cao chuyên môn. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ
cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản để
giải toán. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic,
chính xác từng lời giải . Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng
nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như tìm lời giải một
lớp các bài toán về đại số tổ hợp.
b/ Khó khăn:
Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết. Do đó học
sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển mà chỉ xét tuyển nên có nhiều học sinh còn
yếu về học lực. Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên
vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và
bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở.
Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số
học sinh vẫn chưa ý thức được việc học. Phần lớn học sinh lười học, không làm bài
tập về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi. Đa số học sinh không
có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó
khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông
dân có hoàn cảnh khó khăn,sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp gia
đình. Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
3
Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 11 đa số các em gặp
khó khăn khi giải toán đại số tổ hợp. Cũng như không tìm ra cách giải 1 bài toán
cho chính xác. Do đó tôi đã đưa ra lời giải một số bài toán giúp các em làm quen.

chúng để vận dụng vào giải toán đại số tổ hợp.
1/ Mô tả cách thức tổ chức:
Vấn đề khó khăn ở đây là học sinh phải hiểu và phân biệt được khi nào thì
dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi nào cần kết hợp
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ( bài toán kết hợp). Từ đó vận dụng vào giải bài tập linh
hoạt hơn và chính xác hơn.
Các lớp 11A4 và 11A5 năm học 2013 – 2014 mà tôi dạy đa số là học sinh yếu
kém. Hơn nữa phần lớn các em không chịu khó tự học và tìm tòi, học hỏi từ bạn
bè, thầy cô hay các tài liệu có liên quan. Do đó tôi đã vận dụng sáng kiến kinh
nghiệm của mình vào tiết dạy bài “ Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp “ giúp học sinh
hiểu và vận dụng kiến thức vào giải bài tập được dễ dàng hơn.
Trước tiên ta cần cho học sinh đọc các định nghĩa và cần nhớ các công thức về
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
a. HOÁN VỊ:
• Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n
≥
1) mỗi kết quả
của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một
hoán vị của n phần tử đó.
• Công thức:
n
P
= n! (n
≥
1)
• Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 4 chiếc ghế theo hàng
ngang.
Từ ví dụ này ta thấy có 4 phần tử và lấy ra 4 phần tử rồi sắp xếp thứ tự 4
phần tử đó. Do đó ta dùng hoán vị để tìm số cách sắp xếp chỗ ngồi.

Cho 4 chữ số nhưng chọn ra 3 chữ số đôi một khác nhau để tạo thành số
tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Mỗi cách thay đổi thứ tự của 3 chữ số lấy
ra chính là 1 số cần tìm. Do đó ta dùng chỉnh hợp chập 3 của 4 như cách giải sau.
Lời giải: Ta lấy từ 4 chữ số 2,3,5,7 ra 3 chữ số và sắp xếp theo
thứ tự. Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là:
4!
3
4!
4
(4 3)!
A = =
−
= 24 ( số)
c. TỔ HỢP:
• Định nghĩa: Giả sử tập hợp A có n phần tử (n
≥
1) mỗi tập con
gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử đã cho.
• Công thức:
!
!( )!
n
k
C
n
k n k
=
−
(1

phần tử khác
nhau?
Tất cả (n phần tử)
1n ≥
Chỉ k phần tử
trong n phần tử
( 1
≤
k
≤
n )
Chỉ k phần tử
trong n phần tử
( 1
≤
k
≤
n )

Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
6
Với câu hỏi 1 ta nhận biết được tổ hợp, còn câu hỏi 2 ta nhận biết được hoán
vị và chỉnh hợp. Lưu ý cho các em là khi k = n thì chỉnh hợp cũng là hoán vị và
ngược lại. Các em học sinh khi chưa đặt câu hỏi để phân biệt rõ ràng thì hay nhầm
lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp và giải một bài toán rất khó khăn, mơ hồ giữa các
phép toán này. Sau khi vận dụng sáng kiến này thì đa số các em hiểu rõ hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp hơn; giải quyết bài toán dễ dàng hơn nhiều.

2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sắp xếp các số (không có chữ số 0)

5 3 !
A = =
−
(số)
Tập hợp gồm 3 phần tử lấy từ tập A thì không sắp xếp thứ tự 3 phần tử này.
Khi đó ta dùng tổ hợp để tính số tập hợp.
c/ Mỗi tập hợp gồm 3 phần tử hình thành từ tập A ứng với chỉ một tổ hợp chập
3 của 5 phần tử của tập A.
Vậy số tập hợp gồm 3 phần tử lấy từ tập A là:

( )
5!
3
10
5
3! 5 3 !
C = =
−
(tập hợp)
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
7
Ví dụ 2: Từ các phần tử của tập hợp B =
{ }
3,5,7,9
. Hỏi
a/ Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
b/ Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?
c/ Có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử?
Giải:
Bài toán này giải tương tự như ví dụ 1 cho các em tự làm nhằm rèn luyện kỹ

4
2! 4 2 !
C = =
−
(tập hợp)
Tuy nhiên các em học sinh có thể giải bằng phương pháp dùng qui tắc nhân
hoặc cách giải khác vẫn được. Ở đây tôi muốn các em phải phân biệt rõ ràng giữa
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và biết vận dụng vào giải toán.

Dạng 2: Sắp xếp các số (có chữ số 0)

Ví dụ3 : Từ các phần tử của tập hợp A =
{ }
0,1,2,3,4,5,6
. Hỏi Lập được bao nhiêu
số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau.

Phương pháp:
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
8
+ Ta tính số các số có chữ số đầu tiên là 0 ( những số này thực chất coi như
không tồn tại). (1)
+ Ta tính số các số ( kể cả chữ số 0 đứng đầu) (2)
+ Số các số tự nhiên cần tìm là lấy (2) trừ (1)

Giải:
+ Các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà chữ số đầu là 0 có dạng:
0abcde

+ Có 1 cách chọn chữ số 0 đứng đầu.

Dạng 3: Sắp xếp các số (có điều kiện kèm theo)

Ví dụ4: Từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi
a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.
b/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau có chữ số
hàng đơn vị là 5.
Để giải bài tập này chúng ta phải ưu tiên cách chọn chữ số có điều kiện trước.
Sau đó mới tìm cách chọn cho các chữ số còn lại.
Giải: Gọi số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng:
abc
a/ Vì số tự nhiên chẵn nên chữ số tận cùng phải chia hết cho 2
+ Số chẵn thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 4. Vậy c có 2 cách chọn
+ Sau khi chọn 1 số làm c thì
ab
còn 4 chữ số để mà chọn (trừ số đã chọn
làm c). Vậy số cách chọn
ab
trong 4 số đó sẽ là chỉnh hợp chập 2 của 4:
2
4
A
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 2.
2
4
A
= 24 (số)
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
9
b/ Vì chữ số hàng đơn vị là 5, khi đó hai chữ số còn lại thì chọn trong các số
còn lại ta có:

còn 9 chữ số để mà chọn. Vậy số cách chọn số

abcd
trong 9 chữ số đó là chỉnh hợp chập 4 của 9 là:
4
9
A
Vậy có: 1.
4
9
A
=
4
9
A
số có 5 chữ số ( có chữ số tận cùng là 0)
+ Nếu c
{ }
2,4,6,8∈
thì c có 4 cách chọn. Còn
abcd
được chọn trong 9 số
còn lại (trừ số đã chọn làm c) kể cả trường hợp số 0 đứng đầu. Vậy có 4 .
4
9
A
+ Nếu c
{ }
2,4,6,8∈
và a = 0 thì c có 4 cách chọn và a có 1 cách chọn;

+ 4.
4
9
A
– 4.
3
8
A
= 13776 (số)
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
10
b/ Số tự nhiên có 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau có dạng là:
abcd
được chọn
trong 5 chữ số chẵn là 0,2,4,6,8 và a khác 0. Khi chọn 4 chữ số trong 5 chữ số
0,2,4,6,8 thì số
abcd
xảy ra các trường hợp a = 0 hoặc a
≠
0 . Vì số có 4 chữ số
nên ta loại trừ trường hợp a = 0 ta làm như sau:
+ Số các số tự nhiên dạng
abcd
( kể cả trường hợp xảy ra a = 0 ) là chỉnh
hợp chập 4 của 5 là:
4
5
A

+ Số các số tự nhiên dạng

0 5bcd
=
4
9
A
-
3
8
A

Vậy Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 là:

4
9
A
+
4
9
A
-
3
8
A
= 5712 (sô)
Dạng 4: Bốc đồ vật
Phương pháp: Khi giải dạng bài toán này phải đặt câu hỏi
- Có bao nhiêu quả ( viên bi) để chọn?
- Chọn bao nhiêu quả ( viên bi)?
Ví dụ 6: Một cái hộp đựng 7 viên bi trắng và 3 viên bi đỏ. Ta lấy ra 4 viên bi
trong hộp đó. Hỏi:

7
C
= 63 (cách)
c/ Lấy nhiều nhất 2 viên bi đỏ có nghĩa là khi lấy 4 viên bi trong đó chỉ có 2 viên
bi đỏ hoặc 1 viên bi đỏ hoặc không có viên bi đỏ nào. Do đó xảy ra 3 trường hợp.
TH1: Lấy 4 viên bi trong đó có 2 viên bi đỏ và 2 viên bi trắng.
Vậy số cách chọn là:
2
3
C
.
2
7
C
= 63 ( cách )
TH2: Lấy 4 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng.
Vậy Số cách chọn là:
1
3
C
.
3
7
C
= 105 ( cách )
TH3: Lấy 4 viên bi trong đó có 0 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng.
Vậy Số cách chọn là:
4
7
C

a/ Sắp xếp 4 học sinh vào một bàn học là chỉnh hợp chập 4 của 36.
Vậy có:
4
36
A
= 1413720 ( cách )
b/ Chọn ra 2 nam và 2 nữ để sắp xếp vào một bàn học thì trước tiên phải chọn 2
nam trong 20 nam (không sắp xếp thứ tự 2 học sinh này) và 2 nữ trong 16 nữ
(không sắp xếp thứ tự 2 học sinh này); sau đó mới sắp xếp thứ tự trong 4 học sinh
cả nam và nữ vừa chọn. Nên ta có cách giải sau:
+ Chọn 2 nam trong 20 nam ta có:
2
20
C
= 190 ( cách )
+ Chọn 2 nữ trong 16 nữ ta có:
2
16
C
= 120 ( cách )
+ Sắp xếp 4 học sinh vừa chọn ra ở trên ta có: 4! = 24 ( cách )
Vậy số cách chọn 2 nam và 2 nữ sắp xếp vào một bàn ngang là:

2
20
C
.
2
16
C

+ Số cách chọn 4 học sinh nam trong 20 học sinh nam là chỉnh hợp chập 4 của
20 là:
4
20
A
Vậy ta có số cách chọn ít nhất 1 nữ vào bàn học gồm 4 học sinh là:

4
36
A
-
4
20
A
= 1297440 ( cách )
Dạng 6: Sắp xếp vị trí theo vòng tròn
Phương pháp: Theo tính chất của vòng tròn nên ta lấy cố định 1 người đầu tiên
và sắp xếp những người còn lại vào vị trí giống như với sắp xếp cho hàng.
Ví dụ 9:
Có 6 học sinh; hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí theo một vòng tròn?
Giải:
Theo tính chất của vòng tròn không có vị trí đầu tiên nên
Chọn 1 học sinh sắp xếp vào 1 vị trí cố định đầu tiên. Như vậy còn 5 học sinh để
sắp xếp vào 5 vị trí còn lại theo một vòng tròn.
Vậy số cách sắp xếp vào một vòng tròn cho 6 học sinh là: P
5
= 5! = 120 ( cách )
Ví dụ 10:
Có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí cho 10 người ngồi vào 1 bàn tiệc có 10 ghế
( bàn tròn)?

b) Tham dự kỳ thi đó có 2800 thí sinh. Chứng tỏ rằng chắc chắn có ít nhất 3 thí
sinh gặp cùng một đề thi (gồm 4 câu).
Bài 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên
khác 0) sao cho:
a) Số tự nhiên đó là số chẵn.
b) Số tự nhiên đó chia hết cho 5.
c) Trong đó phải có 0 và 1.
d) Có 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
Bài 7: Cô chủ nhiệm một lớp học 24 nữ và 16 nam muốn chia lớp thành 4 tổ A, B,
C, D mỗi tổ 10 em. Có bao nhiêu cách chia sao cho:
a) Mỗi tổ đều có 4 nam và 6 nữ.
b) Ba ban An, Bình, Chi phải chung tổ.
Bài 8: Có bao nhiêu cách phân phối 5 quả cầu vào 3 hộp A, B, C nếu 5 quả cầu:
a) Giống hệt nhau.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
15
b) Khác màu nhau.
3/ Phân tích, so sánh, đánh giá kết quả:
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này đa số các em học sinh không
hiểu rõ về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và khả năng áp dụng vào giải bài tập dạng
này còn yếu. Qua các tiết bài tập giải trên lớp, giải bài tập về nhà đa số học sinh
khả năng áp dụng rất yếu; bài kiểm tra 15 phút, 45 phút thì đa số các em đạt điểm
rất thấp. So với trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này vào bài dạy thì tôi
thấy đa số học sinh tiếp thu bài tốt hơn và áp dụng vào giải được rất nhiều bài tập
về đại số tổ hợp. Điểm các bài kiểm tra đa số học sinh đạt kết quả cao hơn. Đặc
biệt là các em rất tự tin trong quá trình giải bài tập chương II: Tổ hợp – xác suất.

Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
16
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Kết quả đạt được trong năm học vừa qua có trải nghiệm qua sáng kiến kinh
nghiệm này.
Năm học Lớp
Sỉ số
học
Xếp loại trung bình trở lên (
≥
5.0đ )
Số lượng
Tỉ lệ
2013- 2014
11A4 37 25 67,56%
11A5 40 28 70,00%
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
17
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Học toán đã khó,xong truyền đạt kiến thức cho học sinh lại càng khó hơn. Là
một giáo viên dạy vùng sâu vùng xa như tôi thì những sáng kiến như thế này rất
quan trọng. Làm cho học sinh yếu kém cũng có khả năng tiếp thu được kiến thức
và tái hiện lại được kiến thức cũ.
Hiểu và vận dụng các khái niệm hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp vào giải toán là
rất cần thiết. Nếu sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng rộng rải thì tôi hy
vọng rằng những học sinh nào có ý chí vươn lên, ham tìm tòi học hỏi sẽ đạt được
kết quả khả quan .
Trên đây tôi đã trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm trong học toán để đạt kết
quả cao. Kinh nghiệm suy nghĩ khi học toán và làm toán cũng như việc thường
xuyên ôn luyện và củng cố lại kiến thức.Vấn đề này hết sức phong phú, bao gồm
nhiều mặt và có lẻ nói không bao giờ hết. Mong các bạn suy nghĩ về cách học của
mình, đúc rút kinh nghiệm , tìm ra phương pháp học tập tốt nhất để đạt nhiều kết
quả cao. Tuy nhiên sáng kiến của tôi còn hạn chế và không thể không có sai xót

Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
19
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
20