2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
Trang
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2
3. Giả thuyết khoa học
2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
2
5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
3
6. Cấu trúc luận văn
3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
4
1.1. Một số khái niệm
4
1.1.1.Khái quát hoá
4
1.1.2. Đặc biệt hoá
9
1.2.3. Tƣơng tự
12
1.2. Cơ sở toán học của chủ đề vectơ và toạ độ trong Hình học nâng
cao lớp 10



34
2.1. Vị trí và chức năng của bài tập Toán học
34
2.2. Vai trò của việc giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10.
35
2.3. Dạy học phƣơng pháp giải bài tập Toán.
35
2.4. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự để tìm lời giải của
bài tập Toán .

36
2.5. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự vào nghiên cứu lời
giải của bài tập Toán.

41
2.6. Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự để sáng tạo bài
toán.

43
2.7. Bồi dƣỡng năng lực giải bài tập Toán trong Hình học nâng cao lớp 10.
46
2.7.1. Suy luận trong chứng minh Toán học
46
2.7.2. Một số phƣơng pháp giải bài tập toán trong Hình học nâng cao lớp 10
48
2.8. Xây dựng hệ thống bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chƣơng
I; II) theo phƣơng pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự.

53

lớp 10 trƣờng THPT Nguyễn Khuyến T.P Nam Định.

80
3.2. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sƣ phạm.
83
3.2.1. Mục đích thực nghiệm.
83
3.2.2. Tổ chức thực nghiệm.
84
3.2.3. Đánh giá sƣ phạm.
85
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
89
3.3.1. Đánh giá định tính
89
3.3.2. Đánh giá định lƣợng
90
KẾT LUẬN
92
TÀI LIỆU THAM KHẢO
93
PHỤ LỤC…………………………………………………………………
97
Một số giáo án đƣợc dạy trong đợt thử nghiệm theo các biện pháp sƣ
phạm đã đề xuất trong luận văn……………………………………………

97
1. Giáo án 1: Ôn tập vectơ và các phép toán về vectơ…………………….
97
2. Giáo án 2: Các hệ thức lƣợng trong tam giác và giải tam giác………

đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm quan trọng của Toán
học hiện đại.
Trong chƣơng trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh đƣợc
học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phƣơng tiện trung 2
gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa
những đối tƣợng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số.
Giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ cho phép học sinh tiếp cận những
kiến thức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả
một cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác
dụng tích cực trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo, trừu tƣợng, năng lực phân
tích, tổng hợp, đặc biệt là khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự.
Với các lý do nêu trên, tôi chọn tên đề tài là: Bồi dưỡng năng lực khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự cho học sinh thông qua giải bài tập Hình
học nâng cao lớp 10 (Thể hiện qua chương I và chương II).
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự trong dạy
học toán và dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10.
- Nghiên cứu việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự thông
qua các bài toán vectơ, hệ thức lƣợng trong tam giác, bài toán trong giải
tích dùng phƣơng pháp vectơ và tọa độ để giải.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và
tƣơng tự cho học sinh.
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính khả thi
để áp dụng vào giảng dạy.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu học sinh đƣợc rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự
trong dạy học thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10 thì sẽ có khả

cho học sinh thông qua giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chƣơng I
và chƣơng II).
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm. 4
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Khái quát hoá
Theo G. Polya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tƣợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu”
 
13,tr.21
.
Trong “Phƣơng pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ
Dƣơng Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng
sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số
trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”
 
9,tr.31
.
Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam
giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý. Chúng ta cũng
khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lƣợng giác của
góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm lƣợng giác của một góc tùy ý.
Có thể nhận thấy rằng trong hai ví dụ trên, sự khái quát hóa đã đƣợc thể
hiện theo hai hƣớng có tính chất khác nhau. Ở ví dụ đầu, trong việc chuyển từ
tam giác sang đa giác n cạnh chúng ta đã thay hằng bởi biến; ở ví dụ sau, khi

theo sơ đồ sau: Nhƣ vậy có hai con đƣờng khái quát hóa: con đƣờng thứ nhất trên cơ sở
so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ, con đƣờng thứ hai không dựa trên sự so
sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng
giống nhau.
Ví dụ 1. Xuất phát từ bài toán: "Cho hai điểm A, B. Tìm điểm M sao cho
MA MB

 
+ = 0
". HS dễ dàng tìm đƣợc M là trung điểm của AB (còn gọi là trọng
Khái quát hóa từ
cái riêng lẻ đến cái
tổng quát
Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái tổng
quát hơn
Khái quát hóa tới cái
tổng quát đã biết
Khái quát hóa tới cái
tổng quát chƣa biết
Khái quát hóa
Sơ đồ 1.1: Những dạng khái quát hoá thƣờng gặp trong môn toán 6
tâm 2 điểm A, B), đến đây GV có thể gợi động cơ để xây dựng bài toán cho
trọng tâm của hệ những điểm trong mặt phẳng ( Điểm G gọi là trọng tâm hệ n

Vậy G là trọng tâm 3 điểm khi và chỉ khi M là trọng tâm 2 điểm B, C và
1
2
= (2)

 
GM GA
.
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Hãy tìm điểm G sao cho
+ + + = 0
    
GA GB GC GD
.
Từ kết quả (1) và (2) HS sẽ dự đoán: G là trọng tâm hệ 4
điểm khi và chỉ khi G
1
là trọng tâm 3 điểm A, B, C và

1
1
=-
3
 
GG GD
.
GV tiếp tục gợi động cơ cho HS đề xuất bài toán tổng quát với hệ n điểm.
HS dự đoán bài toán tổng quát: cho n điểm A
1
, A
2

C
B
G

Hình 1.2 7
Việc dự đoán G là trọng tâm của hệ n điểm nếu thoả mãn: G
1
là trọng tâm
hệ n - 1 điểm: A
1
, A
2
, , A
n-1
; và
1
1
1
=-

 
n
GG GA
n
là hoàn toàn hợp lý vì các
biểu thức
1

.
 Nếu điểm G là trọng tâm của tam giác ABC, thì với mọi điểm O bất kỳ
ta có
 
1
= + +
3
   
OG OA OB OC
.
 Từ các trƣờng hợp riêng lẻ trên, ta tìm đƣợc công thức chung là bài
toán tổng quát sau: Điểm G là trọng tâm của hệ n điểm A
1
, A
2
, , A
n

thì với mọi điểm O ta có:
1
1
=


 
n
i
i
OG OA
n

sao cho
0
  
  
. Khi đó ta
cũng có điểm I duy nhất thỏa mãn
IA IB IC


  
+ + = 0
. Ta gọi điểm I gọi là
tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C với bộ số (
,,
  
).
Khái quát lên cho hệ n điểm: cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
và n số
12
, , ,
n
  

sao cho
12

B
C
O O
B
A
C
O
C
. . .
A
B
A
B
C
O O
B
A
C
O
C- Tâm O nằm trên một cạnh của góc. (Hình 1.3)
- Tâm O nằm trong góc. (Hình 1.4)
- Tâm O nằm ngoài góc. (Hình 1.5)
Trong từng trƣờng hợp ta chứng minh đƣợc rằng: Góc nội tiếp trong một
đường tròn có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn bởi một cung. Từ đó ta
Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.5
riêng lẻ đã biết
Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ chƣa biết
Sơ đồ 1.2: Những dạng đặc biệt hóa thƣờng gặp trong môn toán 10
Đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,
chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố
định đặc biệt hóa thƣờng đƣợc sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự
đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán.
Chúng ta sử dụng đặc biệt hóa trong dự đoán, suy luận có lý nhƣ thế nào?.
Để giải bài toán, trƣớc hết ta giải chúng cho một trƣờng hợp đặc biệt, rồi thử
dùng trƣờng hợp đặc biệt này xem có giải đƣợc trong trƣờng hợp đặc biệt
khác hay trong bài toán tổng quát không. Ví dụ trƣớc khi học sinh đƣợc học
khảo sát hàm số y = ax
2
+ bx + c (a  0), họ đã đƣợc nghiên cứu về hàm số y
= ax
2
(a  0). Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, ta tìm cách đƣa về
trƣờng hợp đặc biệt Y = aX
2
(bằng phép đổi trục tọa độ).
Ví dụ 2. Đối với tam giác vuông ABC với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác; R là độ dài bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác, ta luôn có hệ thức:

= = = 2
sin sin sin
a b c

c
R
C

.
A
B
C
A
’
O
Hình 1.6 11
Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc :
2
sin sin
ab
= R
AB


Do đó, trong mọi tam giác bất kỳ ta có:
= = 2
sin sin sin
a b c
R
A B C


). Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn:
2 2 2
12
MT MT k
.
Ta hãy xét một trƣờng hợp đặc biệt hơn của Bài toán: Khi (O
1
) và (O
2
) suy
biến thành các điểm O
1
, O
2
. Quỹ tích những điểm có tổng bình phƣơng
khoảng cách đến hai điểm O
1
, O
2
bằng một số không đổi là đƣờng tròn tâm I,
với I là trung điểm O
1
O
2
.
Từ đó, ta dự đoán rằng, quỹ tích phải tìm cũng là đƣờng tròn tâm I. Dự đoán
đó gợi cho ta hƣớng biến đổi:

2 2 2
1 1 1

2
= k
2
+
2 2 2
1 2 1 2
R R OO
. 12
Việc xét trƣờng hợp đặc biệt: (O
1
), (O
2
) là các đƣờng tròn - điểm không
những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích, tìm đƣợc lời giải bài toán, mà
còn trả lời đƣợc câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phƣơng là đặc
biệt hóa của quỹ tích này.
1.1.3. Tương tự
Theo G. Polya: “Hai hệ là tƣơng tự nếu chúng phù hợp với nhau trong mối
quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tƣơng ứng”
 
13,tr.23

Kết luận dựa theo sự tƣơng tự có thể mô tả nhƣ sau:
A có tính chất a, b, c
B có tính chất a, b

Thế thì B có thể có tính chất c

và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài
toán tƣơng tự dễ hơn đó làm mô hình.
Ví dụ 4. Sau khi giải bài toán cơ bản: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lƣợt
là trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ thì
3GG' AA' BB' CC'  
   
.
Giáo viên có thể đặt câu hỏi “nếu G trùng với G’ thì sao?” qua đó hƣớng
cho học sinh tìm tòi lời giải và có nhận xét khá quan trọng là nếu hai tam giác
có cùng trọng tâm thì “
OCCBBAA  '''
” (1). Nhƣ vậy, từ đó để chứng
minh hai tam giác có cùng trọng tâm ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) là
đƣợc. Khi đó có thể hƣớng dẫn cho học sinh giải các bài toán tƣơng tự khác.
Bài 1. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lƣợt là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có
cùng trọng tâm.
Bài 2. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng
minh rằng hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm.
Bài 3. Cho tam giác ABC và tam giác
''' CBA
có cùng trọng tâm G. Gọi G
1
, G
2
,
G
3
lần lƣợt là trọng tâm của tam giác BCA’, CAB’, ABC’. Chứng minh rằng





  
 

- Phép toán ngoài, kí hiệu: . : K x V

V
(

,x
)


.x

Tập hợp V với hai phép toán đó gọi là không gian vectơ trên trường K hoặc
không gian vectơ nếu 8 tiên đề sau thỏa mãn


,,


V,

x, y

K.
1) (


;
6) x.(

+

) = x.

+ x.

; 15
7) x.(y.

) = (x.y).

;
8) 1.

=

, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trƣờng K.
Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vô hƣớng.
- Phần tử
0
nói trong tiên đề 3 gọi là vectơ - không .
- Phần tử
'

3) Từ đó có định nghĩa


=
)(


gọi là hiệu của

và

.
4) Qui tắc chuyển vế:


suy ra


.
5) Luật giản ƣớc


suy ra


. 16
Đối với phép nhân vô hƣớng ta còn có tính chất sau:


.
11) x(

xx) 
.
1.2.1.2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
a) Định nghĩa
- Nếu




n
i
ii
x
1

thì

đƣợc gọi là biểu thị tuyến tính theo hệ (
i

), i =
n,1
.
- Hệ vectơ (
i


i
), i = 1, 2, , n, không đồng thời bằng không sao cho


n
i
ii
x
1

=
0
.
 Nếu hệ (
i

), i =
n,1
, độc lập tuyến tính thì hệ (
1

,
2

,
n

,

) phụ

( , , , )
n

  
   
của K – không gian vectơ n chiều V thì mọi
vectơ

 V viết đƣợc một cách duy nhất dƣới dạng

=


n
i
ii
x
1

, x
i
 K.

)x()x, ,x,x(
in

21
gọi là toạ độ của

đối với (hay “trong”, “theo”)

),
 b

có toạ độ (bx
i
).
c) Công thức đổi toạ độ 18
Giả sử có cơ sở
)', ,','('
n

21

của V,
j
'

=


n
i
iij
c
1

(1), j =

 
n
i
ij
n
j
ij
)'xc(
1 1

.
Do tính duy nhất của khai triển

theo cơ sở

suy ra
x
i
=


n
j
jij
'x c
1
, i =
n,1
(2).
Công thức (2) gọi là công thức đổi toạ độ ứng với công thức đổi cơ sở (1)

;
11) (k.

).



k. (

.

);
12)

.



0,

.

= 0



=
0
.
Nếu tích vô hƣớng

ii) Với bất kì ba phần tử M, N, P ta đều có:

(M, N) +

(N, P) =

(M, P)
Mỗi phần tử của E gọi là một điểm.
Sau đó, ngƣời ta định nghĩa các khái niệm nhƣ đƣờng thẳng, mặt phẳng, …
dựa trên khái niệm không gian vectơ con, định nghĩa độ dài đoạn thẳng hay
số đo góc dựa trên khái niệm tích vô hƣớng, …
1.2.1.7. Vectơ trong sách giáo khoa Hình học nâng cao lớp 10
Khái niệm vectơ ở hình học 10 đƣợc xây dựng cách khác, không giống
nhƣ định nghĩa không gian vectơ ở trên. SGK định nghĩa vectơ là một đoạn
thẳng định hƣớng, trang bị khái niệm hai vectơ bằng nhau để biến các vectơ
“buộc” trong định nghĩa thành các vectơ “tự do”, cuối cùng trang bị phép toán
cộng hai vectơ, phép toán nhân vectơ với một số. Khi đó, tập hợp các vectơ tự
do này thoả mãn 8 tiên đề của không gian vectơ.
Định nghĩa.
Vectơ là một đoạn thẳng có hƣớng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn
thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ
a
và
b
. Lấy một điểm A nào đó rồi xác
định các điểm B và C sao cho
,
   
AB a BC b

aHình 1.7 20
Tích của một vectơ với một số: Tích của vectơ
a
với một số thực k là một
vectơ, kí hiệu là k
a
, đƣợc xác định nhƣ sau
a) Nếu k

0, thì vectơ k
a
cùng hƣớng với vectơ
a
, nếu k < 0 thì vectơ k
a

ngƣợc hƣớng với vectơ
a
.
b) Độ dài vectơ k
a
bằng
a.k
.

)

90
0
.
Nhờ đó kiểm nghiệm đƣợc (sách giáo khoa có nêu) các vectơ còn thoả
mãn thêm 4 tiên đề của không gian vectơ Ơclit (2 chiều) (xem [16]).
Nhƣ vậy, Hình học nâng cao lớp 10 đã xây dựng cho học sinh một không
gian vectơ “cụ thể” hơn không gian vectơ trong lí thuyết ban đầu, gần gũi với
vốn hiểu biết của học sinh, giúp các em dễ dàng tiếp thu mà vẫn đảm bảo độ
chính xác cần thiết.
1.2.2. Tọa độ
Sách giáo khoa hình học THPT khi nghiên cứu các vấn đề liên quan đến toạ
độ chủ yếu chỉ trình bày một hệ toạ độ là hệ toạ độ Đềcác vuông góc - đặc 21
biệt là hệ toạ độ Đềcác trực chuẩn. Tuy nhiên cơ sở khoa học của những vấn
đề đó là hệ toạ độ afin, các kiến thức về không gian afin. ( Dựa vào
 
19
)
1.2.2.1. Không gian afin
a) Định nghĩa không gian afin
Cho một tập A không rỗng (phần tử của A gọi là điểm), một K - không
gian vectơ V và một ánh xạ : A x A  V
(A,B) 
AB
sao cho
 Giữ cố định A thì ánh xạ B A 



n
i
ii
exOM
1
, ta nói M có tọa độ afin (x
1,
x
2,
, x
n
) trong
hệ tọa độ đó.
1.2.2.2. Phẳng trong không gian afin
a) Định nghĩa.
Cho (A, V, ) là một K – không gian afin, P là một điểm thuộc A, W là một
không gian vectơ con của V. Tập hợp

= {
M
A |
PM
W} gọi là phẳng
đi qua P với (không gian vectơ) chỉ phƣơng W.
Ta gọi số chiều của phẳng

là số dim


; b
n
) và có không gian vectơ
chỉ phƣơng W. Trong W ta chọn một cơ sở (
12
; ; ;
m
u u u
  
). Nếu
i
n
i
ijj
eau



1
,
i
n
i
i
ebOP



1
thì M(x

jij
bta 

1
(*), i = 1, 2, , n, trong đó hạng(a
ịj
) = m đều đƣợc
xác định bởi hệ (n - m) phƣơng trình tuyến tính đối với x
1
, x
2
, x
n
dạng
0
1




hxg
i
n
i
i
(**),

= m + 1, , n,
trong đó ma trận (
i

x
i

=
i
m
j
jij
bta 

1