Hình học 11 Ôn tập chương III

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC HÌNH 11
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :

( )
·
0
; 90a b a b
⊥ ⇔ =
.

/ /b c
a b
a c

⇒ ⊥

⊥

.

0a b a b⊥ ⇔ × =
uur uur
.Nếu
,a b
uur uur
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
vàa b

 Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất

'
a hch a
b b a
b a
α
α
=


⊂ ⇒ ⊥


⊥

;
( )
'
'
a hch a
b b a
b a
α
α
=


⊂ ⇒ ⊥


⊥


⊥ ⊂ ⇒ ⊥


∩ =

.

/ /a b a
α α
⊥ ⇒ ⊥
.

/ / a a
α β α
⊥ ⇒ ⊥
.

( ) { }
|AB M MA MB
α
⊥ = =
(
α
là mặt phẳng trung trực của AB).

( )
( )
ABC
MA MB MC MO

( ) ( )
( )
P R
Q R a R
P Q a
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III

• Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả
sau :

( ) ( ) ( ) ( )
·
(
)
0
, 90P Q P Q⊥ ⇔ =

( )
( )
( ) ( )
P a

• Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .
 Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)
• Tìm
1 2
,u u
uur uur
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
( ) ( )
1 2
àv∆ ∆

• Khi đó
( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
cos , cos ,
u u
u u
u u
×
∆ ∆ = =
×
uur uur
uur uur
uur uur
.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :

( )
( )
·
, , '
'
a
a a a
a hch a
α
α
α
⊥ 

⇒ =

=


o Để tìm
'a hch a
α
=
ta lấy tùy ý điểm
M a∈
, dựng
( )
MH
α
⊥
tại H , suy ra



⊥


 Cách 2 : Dùng nhận xét :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
( )
, ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
⊥ ∆ = ∩ 

∩ = ⇒ =


∩ =

.
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III


m P Q= ∩
.
 Dựng
( ) ( )
MH m P Q⊥ = ∩
,

( )
MH P⇒ ⊥
suy ra MH là đoạn cần tìm .
 Cách 2: Dựng
( ) ( )
/ /MH d
α
⊥
o Chú ý :
 Nếu
( ) ( )
( )
( )
( )
/ / , ,MA d M d A
α α α
⇒ =
.
 Nếu
( )
MA I
α
∩ =

( )
/ /a P( )
( )
( )
( )
, ,d a P d A P⇒ =
với
( )
A P∈
.
• Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
 Khi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0
P Q
d P Q
P Q
∩
⇒ =

≡


.

 Khi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ / ' , ' , ' ,d d M d N∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ = ∆
với
( ) ( )
, 'M N∈ ∆ ∈ ∆
.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III

• Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
( )
∆
và
( )
'∆
là đường thẳng
( )
a
cắt
( )
∆
ở
M

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
 Cách 1: Khi
a b⊥
• Dựng một
( ) ( )
,mp P b P a⊃ ⊥
tại H .
• Trong (P) dựng
HK b⊥
tại K .
• Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b .
 Cách 2:
• Dựng
( ) ( )
, / /P b P a⊃
.
• Dựng
( )
'
P
a hch a=
, bằng cách lấy
M a∈
dựng đoạn
( )
MN
α
⊥
, lúc đó a’ là

a) Chứng minh
( )
SA ABCD⊥
.
b) Chứng minh
( ) ( )
SAC ABCD⊥
.
c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp
.S ABCD
đều là các tam giác vuông .
d) Khi
6SA a=
. Tính góc giữa
SD
với mặt phẳng
( )
ABCD
và góc giữa hai mặt phẳng
( )
ABCD
và
( )
SCD
.
d) Tính các khoảng cách :
( )
( )
( )
( )

N
là trung điểm của
AD
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
tại
M
lấy điểm
S
sao
cho
2 6SM =
.
a) Chứng minh
( ) ( ) ( )
;AD SAB SBC SAB⊥ ⊥
;
b) Chứng minh
( ) ( )
SBN SMC⊥
;
c) Tính góc giữa đường thẳng
SN
và mặt phẳng
( )
SMC
:
d) Xác định vị trí điểm
P SM∈
sao cho

e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .
a. Khi SA =
3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
∆
SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) .
a) Chứng minh
∆
SCD cân .
b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) .
c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC .
Bài 6. Cho
∆
OAB cân tại O . OA = OB = a ,
·
0
120AOB =
. Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc
với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho
,AM x BN y= =
.
a) Tính các cạnh của
∆
OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để
∆
OMN vuông tại O .
b) Cho
∆
OMN vuông tại O và x + y =

S.ABCD
có
, 2AB a SA a= =
. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của
các cạnh
, ,SA SB CD
. Chứng minh rằng đường thẳng
MN
vuông góc với đường thẳng
SP
. Tính khoảng
cáh từ
P
đến
( )
SAB
(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) .
Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
, ' 2 ,AB a AA a= =

' 3A C a=
. Gọi

;
ABC
là tam giác vuông tại
C
và
·
0
60BAC =
. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên
mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Tính khoảng cách ttừ
'A
đến mặt phẳng
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ơn tập chương III

( )
ABC
và diện tích của tam giác ABC .
(KHỐI B NĂM 2009).
Bài 11. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vng tại
A

phẳng
( )
ABCD
và diện tích của hình thang
ABCD
. (KHỐI A NĂM 2009).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H tḥc đoạn AC,
4
AC
AH =
. Gọi CM là đường cao của tam
giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
( )
SBC
theo a.
(KHỐI D NĂM 2010) .
Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có
AB a=
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
'A BC
và
( )
ABC
bằng 60

điểm của các cạnh
AB
và
AD
;
H
là giao điểm của
CN
và
DM
. Biết
SH
vng góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
3SH a=
. Tính diện tích của
CDNM
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM
và
SC

theo
a
. (KHỐI A NĂM 2010) .
Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy

P
tại
A
lấy điểm
S
sao cho
( ) ( )
·
(
)
0
SAB , SBC 60=
.
Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
,SB SC
.Chứng minh tam giác
AHK
vng và tính diện
ABC
∆
và khoảng cách từ
S
đến
( )
P
. (KHỐI A NĂM 2007) .