1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI ĐỨC QUANG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Nhuỵ
HÀ NỘI – 2010

2
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trƣờng Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.

MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
4. Giả thuyết khoa học 3
5. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIẾN 5
1.1. Xung quanh khái niệm về năng lực giải toán 5
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực 5
1.1.2. Năng lực 5
1.1.3. Năng lực toán học 6
1.1.4. Năng lực giải toán 7
1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập 8
1.2.1. Ý nghĩa, vai trò của hệ thống bài tập 8
1.2.2. Chức năng của hệ thống bài tập 9
1.3. Nội dung của chƣơng trình phƣơng trình mũ và phƣơng trình
lôgarit trong môn Toán ở trƣờng Trung học Phổ thông 10
1.3.1. Nội dung cụ thể của phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit
trong chƣơng trình giải tích THPT 10
1.3.2. Mục đích yêu cầu của dạy học chủ đề phƣơng trình mũ
và phƣơng trình lôgarit ở trƣờng THPT 11
1.3.3. Những chú ý khi giảng dạy chủ đề phƣơng trình mũ
và phƣơng trình lôgarit ở trƣờng THPT 11

5
1.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải các bài toán
xung quanh chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit 12

2.6.3. Vai trò của ngƣời học 93
Chƣơng 3. TỔNG KẾT KINH NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ THỰC
NGHIỆM SƢ PHẠM 98
3.1. Tổng kết kinh nghiệm 98
3.1.1. Quá trình tích luỹ để xây dựng hệ thống bài tập 98
3.1.2. Quá trình chấn chỉnh và hoàn thiện hệ thống bài tập 101
3.1.3. Hiệu quả thực tế của việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh
thông qua các hệ thống bài tập giải phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit 103
3.2. Thực nghiệm sƣ phạm 105
3.2.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm 105
3.2.2. Nội dung thực nghiệm 105
3.2.3. Tổ chức thực nghiệm 105
3.2.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 105
3.2.5. Kết quả kiểm tra 106
KẾT LUẬN 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Kiến thức về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit là một trong những
nhóm kiến thức cơ bản nhất đƣợc trình bày ở trong chƣơng trình toán THPT. Hệ
thống bài tập về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit không những phong
phú và đa dạng mà còn rất quan trọng đối với học sinh, điều đó đã và đang đƣợc
thể hiện qua các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng…
Khi dạy học toán nói chung và dạy học chủ đề phƣơng trình mũ, phƣơng
trình lôgarit nói riêng cho học sinh THPT thì việc bồi dƣỡng các năng lực tƣ duy
cho học sinh là một trong các nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy học, đồng thời
là một yêu cầu thƣờng xuyên và cần thiết nhằm thực hiện mục đích giáo dục toán
học. Trong đó việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh là một nhiệm vụ rất

- Phân tích, xem xét một số sai lầm khi giải phƣơng trình mũ và phƣơng
trình lôgarit của học sinh.
- Phân tích vai trò của việc tăng cƣờng rèn luyện năng lực giải toán cho
học sinh khi dạy phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit.
- Xây dựng hệ thống bài tập theo các phƣơng pháp giải khác nhau nhằm
rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
- Đƣa ra những kết luận sƣ phạm để rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh thông qua hệ thống bài tập nói trên.
- Tổng kết kinh nghiệm qua quá trình làm công tác giảng dạy bộ môn toán
ở trƣờng THPT Xuân Trƣờng B.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận:

3
Nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo trình phƣơng pháp giảng dạy toán,
tạp chí nghiên cứu giáo dục, các sách tham khảo và luận án có liên quan đến chủ
đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit.
- Nghiên cứu thực tiễn:
Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn toán, qua kinh
nghiệm luyện thi học sinh giỏi, dạy ôn thi đại học và bồi dƣỡng học sinh yếu
kém từ năm 2004 đến nay.
Tổng kết kinh nghiệm qua thao diễn giảng dạy, qua việc dự giờ, thăm lớp
đồng thời trao đổi với giáo viên và học sinh để tìm ra những khó khăn, vƣớng
mắc của họ khi dạy học chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit trong
nhà trƣờng phổ thông hiện nay.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit ở lớp 12,
nếu thực hiện đƣợc việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh sẽ giúp học
sinh khắc sâu hơn những kiến thức đã học đƣợc, có kinh nghiệm và nhạy bén
hơn trong việc giải bài tập về phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit, phát huy


Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5

1.1. Xung quanh khái niệm về năng lực giải toán
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Cuộc tranh luận gay gắt và kéo dài từ cuối thế kỷ 19 đến nay về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng vẫn chƣa kết thúc. Hiện nay đã có xu hƣớng thống
nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lý luận cũng nhƣ về thực tiễn:
Thứ nhất: Năng lực con ngƣời có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Muốn một
ngƣời của thế hệ sau đƣợc phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã đƣợc các
thế hệ trƣớc cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trƣờng văn hóa
xã hội. Con ngƣời khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát
triển các năng lực tƣơng ứng, nhƣng nếu không có môi trƣờng xã hội thì cũng
không phát triển đƣợc…
Thứ hai: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt
động. Sống trong môi trƣờng xã hội tự nhiên do các thế hệ trƣớc tạo ra và chịu
sự tác động của nó, trẻ em và ngƣời lớn ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng
hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trƣớc để lại, mà còn chiếm lĩnh
chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt đƣợc các kết quả "vật
chất" mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tƣợng có
bản chất phức tạp. Xã hội, các tố chất và hoạt động của con ngƣời tƣơng tác qua

các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng đƣợc các yêu cầu của hoạt động học toán
và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học
tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nhƣ nhau.

7
Cũng theo V.A.Krutetxki thì cấu trúc năng lực toán học của học sinh có
thể tóm tắt thành 9 yếu tố chủ yếu là:
1. Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc
hình thức của bài toán.
2. Năng lực tƣ duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lƣợng và không
gian, hệ thống ký hiệu số và dấu, năng lực tƣ duy bằng các ký hiệu toán học.
3. Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tƣợng quan hệ
toán học và các phép toán.
4. Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tƣơng ứng, năng lực tƣ duy bằng các cấu trúc đƣợc rút gọn.
5. Tính linh hoạt của các quá trình tƣ duy trong hoạt động toán học.
6. Khuynh hƣớng vƣơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lý của lời giải.
7. Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phƣơng hƣớng của quá trình
tƣ duy, năng lực chuyển từ tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo -
trong suy luận toán học.
8. Trí nhớ toán học, tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc
điểm về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, về các phƣơng pháp giải toán và
các nguyên tắc, đƣờng lối giải toán.
9. Khuynh hƣớng toán học của trí tuệ.
1.1.4. Năng lực giải toán
Năng lực giải toán là đặc điểm tâm lý cá nhân của con ngƣời đáp ứng
đƣợc yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt
hoạt động giải toán đó.
Thông thƣờng một ngƣời đƣợc coi là có năng lực giải toán nếu ngƣời đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt đƣợc kết quả

9
Thứ tư: Việc giải toán có tác dụng rất lớn trong việc gây hứng thú học tập
cho học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con ngƣời học sinh về rất
nhiều mặt.
Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó
mà thƣờng bao hàm những ý nghĩa đã nêu.
1.2.2. Chức năng của hệ thống bài tập
Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu
những vấn đề lý thuyết. Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở
thƣờng xuyên hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý
thuyết. Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp
thể hiện qua việc giúp học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lý, ngắn gọn,
tiết kiệm thời gian và phƣơng pháp tƣ duy; Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng
đồ thị, bảng biến thiên và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học.
Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới, rèn luyện cho
học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bƣớc nâng
cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo.
Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc
lập suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tƣ duy nhƣ phân tích, tổng hợp, suy diễn,
quy nạp, tƣơng tự…Thông thạo một số phƣơng pháp suy luận toán học, biết phát
hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.
Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm
tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra,
đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả
dạy học của giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy học: Về tri

10
thức, kỹ năng, năng lực giải toán…và về hiệu quả dạy học của giáo viên.

không phải là nghiệm.
- SGK cũng không xét phƣơng trình lôgarit mà ẩn có mặt đồng thời ở cả
cơ số lẫn trong biểu thức lấy lôgarit. Trong một số ví dụ và bài tập, các tác giả có
đƣa vào một số bài toán về phƣơng trình, trong đó có chứa ẩn nằm trong cơ số
của lôgarit, chẳng hạn nhƣ
log 2
x
. Tuy nhiên đó chỉ là cách viết khác đi của
2
log , (0 1)xx
nên không gây ra điều gì qua phức tạp cho học sinh.
- SGK chỉ yêu cầu học sinh nắm đƣợc các phƣơng pháp và giải đƣợc các
phƣơng trình có các dạng nêu trong bài học. Không xét các phƣơng trình đòi hỏi

11
biến đổi các biểu thức lũy thừa và lôgarit qúa phức tạp.
1.3.2. Mục đích yêu cầu của dạy học chủ đề phương trình mũ và phương trình
lôgarit ở trường THPT
Về kiến thức: Học sinh cần
- Nắm vững cách giải các phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit cơ bản.
- Hiểu rõ đƣợc các phƣơng pháp thƣờng dùng để giải phƣơng trình mũ và
phƣơng trình lôgarit.
Về kỹ năng: Giúp học sinh
- Vận dụng thành thạo các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ và phƣơng
trình lôgarit vào bài tập.
- Biết sử dụng các phép biến đổi đơn giản về lũy thừa và lôgarit vào việc
giải phƣơng trình.
1.3.3. Những chú ý khi giảng dạy chủ đề phương trình mũ và phương trình
lôgarit ở trường THPT
Đây là lần đầu tiên học sinh đƣợc làm quen với phƣơng trình mũ và

trƣng cho lối hiểu hình thức này là trong khi thu nhận và ghi nhớ một sự kiện
toán học, học sinh thƣờng phạm sai lầm là để biểu hiện quen thuộc bên ngoài của
sự kiện (lời văn, ký hiệu hay hình ảnh) lấn át hẳn nội dung, bản chất của sự kiện
đó. [21].
Những sai lầm làm hạn chế năng lực học toán của học sinh. Qua việc phân
tích những sai lầm, ngƣời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đƣợc các sai
lầm, thấy đƣợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh đƣợc
những sai lầm, nắm nội dung kiến thức một cách chắc chắn hơn.
Trong phạm vi luận văn chúng tôi chỉ phân tích những sai lầm có tính chất

13
điển hình, nhiều học sinh thƣờng mắc.
Nhƣ đã nói ở trên thì học sinh thƣờng mắc các sai lầm do không chú đến
điều kiện xác định của phƣơng trình và do biến đổi sai các biểu thức mũ và
lôgarit. Sau đây là một vài ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình
2
lg( 6 7) lg( 3)x x x   

Một số học sinh giải như sau:
2 2 2
lg( 6 7) lg( 3) 6 7 3 7 10 0x x x x x x x x            
nên phƣơng
trình có hai nghiệm là
2, 5xx
.
Nhƣ vậy, học sinh đã mắc phải sai lầm là quên tìm ĐKXĐ của phƣơng
trình. Ta có thể thấy ngay là
lg( 3)x 
không xác định tại

  



       

  


   



  




hoÆc

Vậy nghiệm của phƣơng trình là
5x 
.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
23
33
log 20log 3 0xx  

Một số học sinh giải như sau:
ĐKXĐ:


14
Sai lầm của học sinh trong lời giải trên là biến đổi lôgarit
2 3 2
33
log 3log .xx

Thực ra, ta phải có
 
 
2
2
2 3 3 2
3 3 3 3
log log 3log 9logx x x x  

Lời giải đúng như sau:
2 3 2
3 3 3 3
log 20log 3 0 9log 10log 3 0x x x x      

Trong phƣơng trình cuối, đặt
3
logyx
ta có phƣơng trình
2
9 10 3 0yy  

tt
ta có
2
4
20
5
t
tt
t


  



. Do
0t 
nên chọn
4t 
. Khi đó
2x 
là nghiệm của phƣơng trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải phƣơng trình
2
22
log 2log (3 4)xx

Một số học sinh giải như sau:
2
2 2 2 2
15
Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm
1.x 

Ví dụ 5: Giải phƣơng trình
2
log
4 6 0
x
x  

Sai lầm của học sinh là hiểu
22
log log
22
4 (2 )
xx
x
nên dẫn đến
2
3
60
2
x
xx
x



log log ( 1) log ( 7)
7
x
xx
x

   

và
2
66
log ( 1) 2log ( 1)xx  

Cả 2 bƣớc biến đổi trên đều làm co hẹp miền xác định của phƣơng trình, dẫn đến
hiện tƣợng làm mất nghiệm. Cần chú cho học sinh rằng:
log log log
c c c
a
ab
b





là một trong những phép biến đổi làm cho miền xác định mở rộng ra nên cần phải
cẩn thận khi sử dụng nó.
Lời giải đúng như sau:
ĐKXĐ:
1

là nghiệm của phƣơng trình.
Ví dụ 7: Tìm nghiệm của phƣơng trình
2
2
3
3 .4 144
x
x


thuộc miền xác định của

16
hàm số
2
lg( 10 )y x x
.
Ta có
22
22
22
33
3 .4 144 3 .4 3 .4
xx
xx

  
(1)
Lấy lôgarit thập phân hai vế của phƣơng trình ta đƣợc:


4lg2
x
   


Rõ ràng dựa vào biểu thức nghiệm này mà kiểm tra xem nghiệm nào thuộc
miền xác định của hàm số
2
lg( 10 )y x x
tức là thỏa
0; 10xx  
là một
công việc cực kỳ phức tạp. Nhiều học sinh đành bỏ dở giữa chừng, không giải
quyết đến kết quả cuối cùng đƣợc.
Ví dụ 8: Giải phƣơng trình
2
22
log ( 1)log 6 2x x x x   

ĐKXĐ:
0x 

Đặt
2
logtx
, khi đó phƣơng trình đƣợc viết lại dƣới dạng
2
( 1) 6 2t x t x    
2
2

nên phƣơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mà
2x 
là một nghiệm
của phƣơng trình (**) nên
2x 
là nghiệm duy nhất.
Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm là
1
4
x 
và
2x 
.
Trong bài này học sinh thƣờng mắc sai lầm là: Lúng túng không biết cách
đặt ẩn phụ
2
logtx
để đƣa về phƣơng trình bậc hai ẩn số t, có thể học sinh nhận
xét
2
22
log ( 1)logy x x x  
là hàm số đồng biến,
62yx
là hàm số nghịch
biến. Điều này chƣa chính xác và dễ làm mất nghiệm
1
4
x 
.

k n x n n


   =
thỏa mãn điều kiện.
Khi
11
2 1: 2 ,
12
k n x n n


    =
không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phƣơng trình chỉ có nghiệm
5
2,
12
x= víi nn



.
Sai lầm ở bài này là khi sử dụng tính chất của lôgarit rút từ phƣơng trình
đã cho về phƣơng trình lƣợng giác thì vô tình chúng ta đã làm mở rộng tập xác
định. Do đó, phải hƣớng dẫn học sinh đặt điều kiện xong không nên giải điều
kiện, làm mất thời gian, mà nên giải phƣơng trình xong rồi so sánh với điều kiện.
Học sinh không nắm vững tính chất của lôgarit nên cảm giác bài toán khó, dẫn

18

1
3 3 5
xx  



, suy ra
3y 
.
Từ (**) ta có
2
3 0 3 0y y y     
, do vậy
3y 
.
Vậy các cặp số thực
, xy
thỏa mãn bài toán là:
13
,
33

xx
yy
  


   

.

Với
0b 
, ta có
log
x
a
a b x b  

Với
0b 
, phƣơng trình vô nghiệm.
2.1.2. Phương trình lôgarit cơ bản
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
log 0, 1
a
x b a a   ( )

Phương pháp giải:
Theo định nghĩa lôgarit ta có:
log
b
a
x b x a  
. Nhƣ vậy, phƣơng trình
log 0 1
a
x b a a   ( , )
luôn có nghiệm duy nhất
b
xa

.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
2
56
51
xx
