1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHÙNG VĂN ĐOÀN RÈN LUYỆN TƢ DUY THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN
“PHƢƠNG TRÌNH HÀM” CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGHÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10
4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………
5
1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu………………………………………………
5
1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” cho học
sinh khá, giỏi Toán THPT…………………………………………………

5
1.2.1. Khái niệm tƣ duy…………………………………………………
5
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tƣ duy…………………………………
6
1.2.3. Tƣ duy Toán học…………………………………………………
6
1.2.4. Dạy học giải toán “Phƣơng trình hàm”……………………………….
10
1.2.5. Công tác bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề
“Phƣơng trình hàm”…………………………………………………………

11
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
“PHƢƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO
HỌC SINH KHÁ, GIỎI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG………… 13
2.1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số……………………………………
13
2.1.1. Hàm số……………………………………………………………

117
2.3.2. Tiếp cận giải bài toán “Phƣơng trình hàm” theo nhiều cách…………
134
2.3.3. Nhận dạng các hằng đẳng thức qua các “Phƣơng trình hàm”………
136
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM…………………………………
139
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm…………………………………….
139
3.1.1. Mục đích thực nghiệm………………………………………………
139
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm………………………………………………
139
3.2. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………
139
3.2.1. Đề kiểm tra lần 1……………………………………………………
140
3.2.2. Đề kiểm tra lần 2……………………………………………………
140
3.2.3. Bài tập làm ở nhà……………………………………………………
140
3.3. Kết quả các lần kiểm tra và một số nhận xét sau thực nghiệm…………
141
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………………………………………
144
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………
145


-
¤
: Tập hợp các số hữu tỉ âm

¡
: Tập hợp các số thực

*
¡
: Tập hợp các số thực khác
0+
¡
: Tập hợp các số thực không âm

+
¡
: Tập hợp các số thực dƣơng

-
¡
: Tập hợp các số thực âm
THPT: Trung học Phổ thông
THTT: Toán học Tuổi trẻ
TST: Đề thi chọn đội tuyển
đòi hỏi cao và khắt khe nhiều hơn trƣớc đây. Muốn phát triển năng lực tƣ duy của
học sinh, giáo viên không chỉ dạy theo chuẩn kiến thức mà còn phải mở rộng, nâng
cao cho học sinh tiếp cận với các vấn đề khoa học theo nhiều khía cạnh khác nhau,
đặt ra nhiều tình huống có vấn đề đòi hỏi học sinh phải tƣ duy để giải quyết. Khi
học sinh đã học đƣợc cách giải quyết các vấn đề khoa học thì giáo viên lại yêu cầu
giải quyết nhanh hơn, thậm chí giải quyết theo nhiều phƣơng án khác nhau. Làm

3
nhƣ vậy không chỉ đơn thuần để nâng cao hiệu quả dạy học, vƣợt qua các kì thi mà
còn để phát triển năng lực tƣ duy, từ đó học sinh có thể xử lý tốt những vấn đề phức
tạp, luôn luôn thay đổi mà cuộc sống hiện đại đặt ra sau này.
Trong chƣơng trình Toán học THPT hiện nay, hàm số là một khái niệm rất
cơ bản và quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế, dùng để mô tả các mối liên
hệ giữa các đối tƣợng, thuộc tính thay đổi với nhau. Trong nội dung hàm số ở
chƣơng trình Toán THPT có nhiều vấn đề thƣờng gặp khi dạy học và bồi dƣỡng học
sinh nhƣ xây dựng hay thiết lập các hàm số sơ cấp theo một quy tắc nào đó, bài toán
này còn đƣợc gọi là “Các bài toán về Phƣơng trình hàm” , nghiên cứu khảo sát tính
chất của một số hàm số thƣờng gặp, dựng đồ thị của chúng, xem xét việc ứng dụng
của hàm số để giải quyết một số dạng toán nhƣ giải phƣơng trình, bất phƣơng
trình… Trong những vấn đề đó của hàm số thì “ Phƣơng trình hàm” là vấn đề hấp
dẫn tuy nhiên lại rất khó cho cả ngƣời dạy lẫn ngƣời học, chính vì vậy chúng
thƣờng có mặt trong các kì thi học sinh giỏi Toán cấp Tỉnh, Thành phố, Quốc gia,
Khu vực và Quốc tế.
Hệ thống các bài tập về “ Phƣơng trình hàm” rất đa dạng và phong phú, cách
giải chúng cũng không đơn giản có thể bằng một phƣơng pháp hay phải kết hợp
nhiều phƣơng pháp mới giải đƣợc, vì vậy khi bồi dƣỡng cho học sinh khá, giỏi về
vấn đề này sẽ rèn luyện, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo cho ngƣời học và nâng
cao đƣợc chất lƣợng giáo dục.
Hiện nay, việc dạy học giải bài tập “ Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ duy,
phát triển trí tuệ cho học sinh còn ít, mới chỉ chú trọng trong công tác ôn luyện, bồi

duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ thế nào?
5. Giả thuyết khoa học
Qua việc dạy học giải một số dạng toán “Phƣơng trình hàm” có thể rèn
luyện đƣợc cho học sinh một số phẩm chất, năng lực tƣ duy Toán học, qua đó góp
phần nâng cao đƣợc chất lƣợng dạy và học Toán mang tính chiều sâu ở các trƣờng
THPT hiện nay.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận

5
Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy trong các tài liệu tâm lý học, giáo dục
học, lý luận dạy học môn Toán.
Nghiên cứu các tài liệu về giải tích, các tài liệu viết về hàm số và phƣơng
trình hàm.
Nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi Toán ở các địa phƣơng, cấp Quốc gia, vô
địch Toán các nƣớc trên thế giới, vô địch Toán các khu vực và vùng lãnh thổ, vô
địch Toán quốc tế.
Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” trên các diễn đàn toán học hiện nay.
6.2. Nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu một số dạng bài tập “Phƣơng trình hàm” qua một số giáo viên có
kinh nghiệm trong việc bồi dƣỡng học sinh chuyên Toán ở một số trƣờng THPT
chuyên.
Đánh giá sự rèn luyện, phát triển tƣ duy của học sinh thông qua thực nghiệm
sƣ phạm tại trƣờng THPT Ngô Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội.
7. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập “Phƣơng trình hàm” và một số phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm”
thƣờng dùng.
8. Một số nét mới của đề tài
Tuyển chọn đƣợc phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm” để có
thể dùng để dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT.

sâu, phải tƣ duy nhiều mới giải quyết đƣợc. Vì vậy qua việc dạy học chuyên đề
“Phƣơng trình hàm” sẽ giúp ích một phần nhỏ vào việc rèn luyện tƣ duy cho học
sinh để nâng cao chất lƣợng giáo dục, nên tác giả đã chọn đề tài này để nghiên cứu.
1.2. Tƣ duy và vai trò của dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” trong việc
rèn luyện tƣ duy cho học sinh khá, giỏi Toán THPT
1.2.1. Khái niệm tư duy
Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tƣợng trong hiện thực khách quan.
( Dựa theo [4] ).
Tƣ duy là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình
tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát

7
thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tƣ duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực
tiễn, từ nhận thức cảm tính và vƣợt xa giới hạn của nó.
( Dựa theo [17] ).
1.2.2. Một số đặc điểm cơ bản của tư duy
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tƣ duy có tính khái quát, tƣ
duy có tính gián tiếp;
Tƣ duy của con ngƣời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tƣ duy và ngôn
ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng cũng không đồng
nhất với nhau. Sự thống nhất giữ tƣ duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu đạt kết
quả của quá trình tƣ duy;
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ duy thƣờng bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, dù tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì nội dung của tƣ
duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tƣợng trực
quan,…). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có
trong trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy”.
( Dựa theo [3] ).
1.2.3. Tư duy Toán học

Phân tích và tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt thì Phân tích là phân chia thật
sự hay bằng tƣởng tƣợng một đối tƣợng nhận thức ra thành các yếu tố; trái với tổng
hợp. Tổng hợp là tổ hợp bằng tƣởng tƣợng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm
thành một chỉnh thể; trái với phân tích. Còn theo Triết học thì Phân tích là phƣơng
pháp phân chia cái toàn thể thành ra từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên
cứu và hiểu đƣợc các bộ phận, mặt, yếu tố đó. Tổng hợp là phƣơng pháp dựa vào sự
phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố lại để nhận thức đƣợc cái
toàn thể.
Trong hoạt động giải toán, trƣớc hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận
dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, sau đó phân tích cái đã
cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ, phân tích các mối liên hệ
giữa các yếu tố để tìm lời giải. Thông thƣờng khi tìm tòi lời giải, ta dùng phƣơng pháp

9
phân tích nhiều hơn, nhƣng khi trình bày lời giải, ta dùng phƣơng pháp tổng hợp cho
gọn. Các kiến thức trong sách giáo khoa thƣờng đƣợc trình bày theo phƣơng pháp tổng
hợp cho cô đọng, súc tích. Khi dạy học toán, giáo viên nên có những câu hỏi dẫn dắt
phân tích để rèn luyện kỹ năng phân tích cho học sinh. Rèn luyện năng lực phân tích
và tổng hợp cho học sinh có vai trò quan trọng. Khi có năng lực này, học sinh sẽ
nhìn nhận bài toán một cách có hệ thống, biết phán đoán, biết suy luận để tìm lời
giải cho bài toán cụ thể hay một hệ thống các bài toàn nào đó.
So sánh : Thao tác này nhằm phát hiện những đặc điểm chung và sự khác
nhau của một số đối tƣợng. So sánh thƣờng dẫn đến tƣơng tự, khái quát hóa.
Tương tự : Là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
của những đối tƣợng khác nhau ( Hai phép chứng minh là tƣơng tự nhau nếu đƣờng
lối và phƣơng pháp chứng minh giống nhau )
Khái quát hóa và đặc biệt hóa : Khái quát hóa là suy luận chuyển từ khảo sát
một tập hợp đối tƣợng (khái niệm, tính chất,…) này sang tập hợp khác rộng hơn
chúa tập hợp ban đầu làm tập con bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các
phần tử trong tập hợp xuất phát, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập hợp

động trên, trong việc tập luyện cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi
từ riêng đến chung (khái quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ chung đến riêng (đặc biệt
hóa) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt đƣợc và cái xuất phát.” là đúng
đắn.
Đặc biệt hóa là áp dụng một kết quả trong trƣờng hợp tổng quát vào một trƣờng
hợp đặc biệt. Tất nhiên là nếu kết quả đúng cho trƣờng hợp tổng quát thì nó cũng phải
đúng cho trƣờng hợp đặc biệt. Suy diễn đó không có gì khó khăn và chúng ta vẫn thƣờng
làm khi áp dụng định lý tổng quát vào các bài toán cụ thể mà ta đang giải.
Tuy nhiên, vai trò của đặc biệt hóa càng trở nên quan trọng trong trƣờng hợp ta
đang có dự đoán nào đó về một đối tƣợng đang xét và ta đang muốn chứng minh rằng dự
đoán đó đúng, nhƣng ta chƣa tìm cách chứng minh. Trong trƣờng hợp này ta nên sử
dụng “đặc biệt hóa”.
Ta hãy áp dụng dự đoán vào một trƣờng hợp đặc biệt, và nếu đối với trƣờng hợp
này dự đoán là đúng thì dự đoán của ta đáng tin hơn. Không những thế nếu ta có thể

11
chứng minh dự đoán trong trƣờng hợp đó thì có thể hy vọng các chứng minh đó có thể
mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát. Còn trái lại đối với trƣờng hợp đặc biệt đang xét
không đúng thì mọi chuyện sẽ kết thúc.
Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ những dấu hiệu không bản chất để tìm ra dấu
hiệu bản chất(Việc phân biệt bản chất hay không bản chất chỉ mang tính tƣơng đối).
( Dựa theo [7] ).
1.2.4. Dạy học giải toán “ Phương trình hàm”
1.2.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
Phát triển năng lực trí tuệ : Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của con ngƣời lao động mới.

1.2.4.3. Tiềm năng của chuyên đề “Phương trình hàm” trong việc rèn luyện tư duy
cho học sinh THPT
Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” có nhiều bài tập hay và đẹp cả về mặt thẩm
mĩ và Toán học, tuy rất khó đối với học sinh THPT nhƣng đối với học sinh khá và
giỏi Toán thì nếu đƣợc bồi dƣỡng chuyên đề này thì tƣ duy của học sinh sẽ đƣợc rèn
luyện và phát triển rất tốt vì các bài toán về phƣơng trình hàm thể hiện đƣợc nhiều
nét để học sinh có thể rèn luyện tƣơng đối đầy đủ các thao tác tƣ duy Toán học, nó
còn đòi hỏi học sinh phải tƣ duy rất cao. Vì vậy việc bồi dƣỡng chuyên đề này cho
học sinh khá, giỏi Toán là việc cần thiết và quan trọng trong quá trình giáo dục ở
các trƣờng THPT hiện nay.
1.2.5. Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT về chuyên đề “Phương
trình hàm”
1.2.5.1. Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT
Học sinh khá, giỏi Toán THPT là những học sinh có khả năng về Toán và đạt
thành tích cao trong học tập môn Toán. Những học sinh có khả năng về Toán là
những học sinh tiếp thu nhanh bài học, thành thạo biến đổi các biểu thức Toán học,

13
biết suy luận và lập luận trong chứng minh định lí hay bài toán, biết liên hệ các chủ
đề toán trong chƣơng trình Toán THPT.
1.2.5.2. Vai trò của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
Đảng ta quan niệm: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” và rất coi trọng
việc bồi dƣỡng nhân tài cho đất nƣớc. Bộ giáo dục và đào tạo có những chủ trƣơng
mới về công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi. Đó là tiếp tục chú trọng xây dựng hệ
thống các trƣờng chuyên một cách hoàn thiện hơn, khuyến khích và tôn vinh các
học sinh đạt thành tích cao. Chƣơng trình giáo dục phổ thông đƣợc phân thành các
ban giúp học sinh phát huy đƣợc năng khiếu của mình, nhà trƣờng có thể vận dụng
việc dạy phân hóa vào bồi dƣỡng học sinh giỏi. Tổ chức các lớp bồi dƣỡng học sinh
khá, giỏi học theo chƣơng trình nâng cao và yêu cầu khắt khe hơn so với học sinh
bình thƣờng.

Y
là hai tập hợp con của tập
¡
. Một hàm số
:f D Y®
là một
quy tắc sao cho mỗi phần tử
xDÎ
ứng với duy nhất phần tử
yYÎ
.

D
đƣợc gọi là tập xác định của hàm số
f
,
y
đƣợc gọi là giá trị của hàm số
tại đối số
xDÎ
và đƣợc kí hiệu là
()fx
.
Tập hợp
{ ( ) }f x x DÎ
đƣợc gọi là tập giá trị của hàm số
f
.
Điểm
0

đƣợc gọi là toàn ánh nếu
yY"Î
đều tồn tại
xDÎ
sao
cho
()f x y=
.
Hàm số
:f D Y®
đƣợc gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn
ánh.
2.1.1.3. Hàm hợp

15
Cho hai hàm số
:f D Y®
và
:gY® ¡
. Hàm hợp của hai hàm số
,fg
là
hàm số
:hD® ¡
đƣợc xác định bởi công thức
( ) ( ( ))h x g f x=
,
xD"Î
.
Hàm hợp lặp bậc

đƣợc gọi là hàm lặp tuần hoàn trên tập
D
nếu tồn tại số
*
k Î ¥
sao cho
1
( ) ( )
k
f x f x
+
=
,
xD"Î
. Số
*
k Î ¥
nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức
trên đƣợc gọi là chu kì của hàm lặp tuần hoàn
()fx
.
(Với
1
( ) ( ( )) ( ( ( ( ))))
kk
f x f f x f f f f x
+
= = =
( với
1k +

()fx
xác định trên đoạn
[ ; ]ab
đƣợc gọi là liên tục trên đoạn
[ ; ]ab

nếu nó liên tục trên khoảng
( ; )ab
và
lim ( ) ( )
xa
f x f a
+
®
=
và
lim ( ) ( )
xb
f x f b
-
®
=
.
Các hàm số sơ cấp trong chƣơng trình Toán THPT liên tục trên từng khoảng
xác định của nó.
2.1.1.5. Hàm số khả vi
Hàm số
()fx
xác định trên khoảng
( ; )ab

( ; )ab
nếu nó khả vi tại mọi
điểm
( ; )x a bÎ
.
Hàm số
' : ( ; )f a b ® ¡
đƣợc gọi là đạo hàm của hàm số
f
kí hiệu là
'( )fx
.
2.1.1.6. Hàm số cộng tính, nhân tính
Hàm số
:fD® ¡
đƣợc gọi là cộng tính trên
D
nếu
,x y D"Î
suy ra
x y D+Î
và
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
.
Chú ý 1: Nếu hàm số
:fD® ¡
thỏa mãn
,x y D x y D" Î Þ ± Î

và

()fx
xác định trên
D
đƣợc gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số
M
sao
cho
()f x M£
với mọi
xDÎ
.
Hàm số
()fx
xác định trên
D
đƣợc gọi là bị chặn dƣới nếu tồn tại số
m
sao
cho
()f x m³
với mọi
xDÎ
.
Hàm số
()fx
xác định trên
D
đƣợc gọi là bị chặn nếu nó đồng thời bị chặn
trên và bị chặn dƣới.
2.1.1.8. Hàm số đơn điệu


17
Hàm số
()fx
đƣợc gọi là tăng thực sự (đồng biến) trên khoảng
( ; )ab
nếu

12
, ( ; )x x a b"Î
mà
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x< Þ <
.
Hàm số
( )
fx
đƣợc gọi là giảm thực sự (nghịch biến) trên khoảng
( ; )ab
nếu

12
, ( ; )x x a b"Î
mà
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x< Þ >
.
Hàm số tăng hay giảm thực sự trên
( ; )ab
đƣợc gọi là hàm số đơn điệu thực

Nếu
()fx
là đơn ánh và liên tục trên khoảng
( ; )ab
thì nó đơn điệu thực sự trên
khoảng đó.
Nếu hàm số
:f ®¡¡
cộng tính và
( ) 0fx ³
với mọi
0x ³
thì nó là hàm tăng.
Nếu hàm số
:f ®¡¡
cộng tính và
( ) 0fx £
với mọi
0x ³
thì nó là hàm giảm.
2.1.1.9. Hàm số chẵn, lẻ, hàm số tuần hoàn
Hàm số
:fD® ¡
đƣợc gọi là hàm chẵn khi và chỉ khi

x D x D" Î Þ - Î
và
( ) ( )f x f x-=

Hàm số

18

( ) ( )
()
22
x y f x f y
f
++
=
,
,xy"Ρ
.
2.1.2.3. Hàm bậc hai
2
( 0)y ax a=¹
có đặc trưng hàm là:

( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )f x y f x y f x f y+ + - = +
,
,xy"Ρ
.
2.1.2.4. Hàm lũy thừa
()f x x
a
=
(với
a Î ¡
) có đặc trưng hàm là:

( ) ( ) ( )f xy f x f y=

,
*
,xy"Ρ
.
2.1.2.7. Hàm sin
( ) sinf x x=
có đặc trưng hàm là:

3
(3 ) 3 ( ) 4 ( )f x f x f x=-
,
x"Ρ
.
2.1.2.8. Hàm côsin
( ) cosf x x=
có đặc trưng hàm là:

2
(2 ) 2 ( ) 1f x f x=-
và
( ) ( ) 2 ( ) ( )f x y f x y f x f y+ + - =
,
x"Ρ
.
2.1.2.9. Hàm tang
( ) tanf x x=
có đặc trưng hàm là:

( ) ( )
()

2.1.2.11. Hàm số hằng
()f x C=
có đặc trưng hàm là:

( ) ( )f x f y=
,
,xy"Ρ
.
2.1.3. Khái niệm về “Phương trình hàm”
Cho
,DY
là hai tập con của tập các số thực
¡
. Bài toán xác định tất cả các
hàm số
:f D Y®
thỏa mãn một số điều kiện về (đẳng thức, tính chất của hàm số,

19
tính chất của tập hợp, …) nào đó là bài toán quan trọng và thƣờng gặp trong Giải
tích và đƣợc đặt tên cho lớp phƣơng trình đặc biệt đƣợc gọi là “Phƣơng trình hàm”.
Phƣơng trình hàm là phƣơng trình đặc biệt mà ẩn là một (hoặc vài) hàm số.
Giải phƣơng trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phƣơng trình
hàm đã cho và một số điều kiện cho trƣớc.
2.2. Phƣơng pháp giải một số dạng “Phƣơng trình hàm”
2.2.1. Phương pháp đưa về hệ phương trình
Phƣơng pháp đƣa về hệ phƣơng trình là một phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử
dụng cho việc giải các phƣơng trình hàm có dạng
( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( )a x f u x b x f v x c x+=
, trong đó

Từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình
24
24
( ) (1 ) 2
(1 ) (1 ) ( ) 2(1 ) (1 )
x f x f x x x
x f x f x x x
í
ï
+ - = -
ï
ï
ì
ï
- - + = - - -
ï
ï
î

2 2 2
( 1) ( ) ( 1)(1 )x x f x x x xÞ - - = - - -
,
x"Ρ
.
Nếu
2
15
10
2
x x x

+ = -
42
15
( ) 2
2
f a a a b
-
Þ = - -
.Thử lại thấy hàm
số trên thỏa mãn bài toán.Vậy hàm số cần tìm là
2
42
1
1 ( ; )
( ) ( )
1
2 ( )
x x a
a
f x b x a
a a a b x
a
í
ï
ï
- " ¹ -
ï
ï
ï
ï

x f f x
xx
a +=
+
,
,x a
+
" ΠΡ¡
. (3)
Lời giải. Thay
1
x
bởi
x
vào (3) ta đƣợc

2
1 1 1
( ) ( ) ( )
1
f x f
x x x
a +=
+
,
,x a
+
" ΠΡ¡
. (4)
Kết hợp (3) và (4) ta có hệ phƣơng trình

ï
-
ï
ï
+
Þ - =
ì
ï
+
ï
+=
ï
ï
+
ï
î
,
x
+
"Ρ
.
Vì
*
()fx Î ¡
,
x
+
"Ρ
nên ta phải có
2

a
a
a
a
í
í
ï
ï
>
-<
ï
ï
ï
ï
ïï
Û
ìì
-
ïï
> > " >
< " >
ïï
ïï
+
ï
î
ï
î
(vô lí).
Hoặc

ï
ïï
Û Û - < £
ìì
-
ïï
< " >
> " >
ïï
ïï
+
ï
î
ï
î
.

21
Nếu
( 1;0]a Ï-
thì không tồn tại hàm số
()fx
thỏa mãn bài toán đã cho.
Nếu
( 1;0]a Î-
thì
2
2
1 (1 )
()

xx
fx
x
a
a
-
=
+
-
,
x
+
"Ρ
.
Bài toán 3 (Putnam 1971). Tìm tất cả các hàm số
: \ {0;1}f ®¡¡
thỏa mãn

1
( ) ( ) 1
x
f x f x
x
-
+ = +
,
\ {0;1}x"Ρ
. (5)
Lời giải. Thay
x

f f x
xx
-
+ = -

,
\ {0;1}x"Ρ
. (7)
Kết hợp (5), (6), (7) ta có hệ phƣơng trình sau

1
( ) ( ) 1
1 1 1
( ) ( ) 1
1
11
( ) ( ) 1
11
x
f x f x
x
xx
ff
x x x
f f x
xx
í
ï
-
ï

21
f x x
xx
= + +
-
,
\ {0;1}x"Ρ
.
Thử lại ta thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán.

22
Vậy hàm số cần tìm là
1 1 1
( ) ( )
21
f x x
xx
= + +
-
,
\ {0;1}x"Ρ
.
Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm số
: \ {0;1}f ®¡¡
thỏa mãn

2
11
( ) ( 1) ( )
11

,
\ {0;1}x"Ρ
. (9)
Thay
1
x
-
bởi
x
vào (9) ta đƣợc

2
1 2 1
( ) ( ) ( )
1 1 1
x x x
f f x
x x x
-+
+ = -
+ + +
,
\ {0;1}x"Ρ
. (10)
Thay
x
bởi
1
1
x

2
1
()
( 1)
x
fx
xx
+
=
-
,
\ {0;1}x"Ρ
.
Thử lại ta thấy hàm số trên thỏa mãn bài toán.
Vậy hàm số cần tìm là
2
1
()
( 1)
x
fx
xx
+
=
-
,
\ {0;1}x"Ρ
.
Nhận xét 1: Trong các bài toán 1, 2 ta thấy các hàm số
1