1
Một số dạng bài tập
hình học xạ ảnh và các phơng
pháp giải trong P
2
2
Mục lục
Trang
Mục lục 1
Lời nói đầu 3
Chơng 1: Những kiến thức cơ sở của không gian p
n
5
1.1. Không gian xạ ảnh 5
1.2. ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh 11
1.3. Siêu mặt bậc hai trong P
n
13
Kết luận 75
Tài liệu tham khảo 76
3
Lời nói đầu
Hình học xạ ảnh là một học phần quan trọng của bộ môn hình học cao
cấp trong trờng đại học. Việc vận dụng kiến thức lý thuyết vào giải các bài
toán xạ ảnh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của sinh viên khi nghiên
cứu hình học xạ ảnh.
Để giải toán ngoài việc nắm vững kiến thức ngời làm toán cần có khả
năng phân tích, tổng hợp các dữ kiện của bài toán và vận dụng các kiến thức
liên quan. Một bài toán xạ ảnh có thể có nhiều hớng giải quyết khác nhau
(nhiều con đờng để đi đến kết quả) nhng để chọn đợc một phơng pháp
giải đúng, ngắn gọn phải nhờ khả năng t duy sáng tạo linh hoạt của ngời
làm toán.
Với mong muốn đợc nâng cao kiến thức của bản thân và giúp cho các
bạn sinh viên năm thứ 3 học tập tốt hơn, có tầm nhìn sâu rộng hơn về bộ môn
hình học xạ ảnh, tôi đã lựa chọn đề tài Một số dạng bài tập hình học xạ ảnh
và các phơng pháp giải trong P
2
.
Luận văn gồm 3 chơng:
Chơng 1. Những kiến thức cơ sở của không gian P
n
.
Chơng này đa ra những kiến thức cơ bản của không gian P
n
phục vụ
2
.
Luận văn tốt nghiệp của em đợc hoàn thành ngoài sự cố gắng của bản
thân còn đợc sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, thạc sĩ Nguyễn Đức Ninh
ngời đã hớng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn vừa qua.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Hình
học và các thầy cô giáo trong Ban chủ nhiệm khoa Toán đã giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên trong tập thể lớp Toán A K38 và
ngời thân đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm
nghiên cứu.
Cuối cùng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết,
sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để luận văn đợc hoàn chỉnh. Em xin chân thành
cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2007
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Hòa
5
Chơng 1.
Những kiến thức cơ sở của không gian p
n
1.1. Không gian xạ ảnh
1.1.1. Định nghĩa không gian xạ ảnh
n
(C).
+ Mỗi phần tử của P
n
đợc gọi là một điểm của không gian xạ ảnh P
n
+ Gọi
u
là vectơ khác
0
của V
n+1
và <
u
> là không gian vectơ con một chiều
sinh bởi
u
thì p(<
u
>)= U là một điểm nào đó của P
n
. Khi đó ta nói rằng
u
0). Khi đó tập hợp P([W]) đợc gọi là cái phẳng m
chiều (hoặc là m - phẳng) của P
n
.
1.1.3. Định nghĩa hệ điểm độc lập
Hệ r điểm(r
1) của không gian xạ ảnh P
n
gọi là hệ điểm độc lập nếu r
vectơ đại diện cho chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V
n+1
. Hệ điểm
không độc lập gọi là hệ điểm phụ thuộc.
6
1.1.4. Mục tiêu xạ ảnh
Cho không gian xạ ảnh P
n
liên kết với K -không gian vectơ V
n+1
. Một
tập hợp có thứ tự gồm (n+2) điểm của P
n
{S
0
, S
1
S
n
ta lấy
x
đại diện cho X. Khi đó tọa độ (x
0
, x
1
, , x
n
) của vectơ
x
đối với cơ sở
{
i
e
} cũng đợc gọi là toạ độ của điểm X đới với mục tiêu {S
i
; E} và viết
X= (x
0
: x
1
: : x
n
)
1.1.6. Đổi mục tiêu xạ ảnh
Trong P
, x
1
,. ., x
n
) và (x
0
, x
1
, , x
n
) chính là toạ
độ của vectơ đại diện
x
của điểm X đối với cơ sở {
i
e
} và {
i
e
}. Khi đó:
kx
i
=
0
n
j=
, E}.
7
1.1.7. Phơng trình của m- phẳng
1.1.7.1. Phơng trình tham số của m- phẳng
Trong (P
n
, p, V
n+1
) cho mục tiêu xạ ảnh {S
i
; E} có đại diện là cơ sở
{
i
e
}. Gọi U là m- phẳng liên kết với không gian vectơ con (m+1) chiều
U
.
Ta tìm điều kiện cần và đủ để điểm X= (x
0
: x
1
: : x
n
) thuộc U.
Trên U lấy m+1 điểm độc lập A
0
x
là vectơ đại diện của điểm X.
a
là vectơ đại diện của A
i
Hệ (1)
x
i
=
0
=
m
j
t
j
. a
ji
i=
0,
n
(*)
Trong đó: A
i
có toạ độ A
i
j=
b
ij
. x
j
= 0 i=
1,
n m
(2)
Trong đó ma trận (b
ij
) với i =
1,
n m
; j =
0,
n
có hạng bằng n - m.
Hệ (2) đợc gọi là phơng trình tổng quát của m- phẳng U.
8
1.1.8. Toạ độ của siêu phẳng
Trong P
n
với mục tiêu đã chọn cho siêu phẳng U có phơng trình tổng
quát: u
1.1.9. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng
Trong không gian xạ ảnh P
n
liên kết với V
n+1
cho bốn điểm A, B, C, D
thẳng hàng. Trong đó ba điểm A, B, C đôi một không trùng nhau. Ta gọi
a
,
b
,
c
,
d
là các vectơ lần lợt đại diện cho các điểm A, B, C, D thì các vectơ
đó thuộc một không gian hai chiều. Trong đó
a
và
b
độc lập tuyến tính. Ta
có các số k
1
, l
1
2
0) thì nó đợc gọi là tỉ số kép của bốn điểm
thẳng hàng A, B, C, D. Kí hiệu [A, B, C, D].
Nếu l
2
= 0 thì
2
2
k
l
không có nghĩa. Khi đó tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D
bằng
.
Nh vậy: [A, B, C, D]=
2 1
2 1
:
k k
l l
nếu
2
2
)
C(c
0
: c
1
: : c
n
)
D(d
0
: d
1
: : d
n
)
Vì hai điểm A, B không trùng nhau nên ta sẽ chọn hai chỉ số i, j sao cho:
0
i i
j j
a b
a b
Khi đó: [A, B, C, D]=
:
i i
i i
j j j j
i i i i1.1.12. Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng
1.1.12.1. Định nghĩa chùm siêu phẳng
Trong không gian xạ ảnh P
n
, tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua (n-2)- phẳng
đợc gọi là chùm siêu phẳng với giá là (n-2)- phẳng.
1.1.12.2. Tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng thuộc chùm
Định lý: Cho bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm, trong đó U, V, W,
Z đôi một phân biệt. Nếu d là đờng thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lợt tại
các điểm A, B, C, D thì tỉ số kép của bốn điểm đó không phụ thuộc vào vị trí
của đờng thẳng d.
Tỉ số kép nói trên đợc gọi là tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng.
Kí hiệu [U, V, W, Z].
1.1.13. Chùm bốn siêu phẳng điều hoà
Bốn siêu phẳng U, V, W, Z thuộc một chùm đợc gọi là chùm bốn siêu
phẳng điều hoà nếu [U, V, W, Z]= -1.
1.1.14. Hình 4 cạnh toàn phần
Trong mặt phẳng xạ ảnh P
2
hình gồm bốn đờng thẳng trong đó không
có ba đờng thẳng nào đồng quy đợc gọi là hình 4 cạnh toàn phần.
E
b
c
V sao cho vectơ
x
V là đại diện của điểm X
P thì
(
x
)
V là đại
diện của điểm f(X)
P. Nói cách khác, nếu p(<
x
>) = X thì p(
(
x
)) = f(x).
Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính
là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f.
1.2.2. Đẳng cấu xạ ảnh, hình học xạ ảnh
+ ánh xạ xạ ảnh f: P
chung. Khi đó cặp (U, V) sẽ gọi là một r- cặp: cặp (V, U) sẽ gọi là (n-r-1)-cặp.
Cho r- cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f: P
n
P
n
sao cho mọi
điểm nằm trên U hoặc V đều bất động. Khi đó f đợc gọi là phép thấu xạ r-
cặp với cơ sở là r- cặp (U, V).
Tính chất của phép thấu xạ
Nếu điểm M không bất động thì đờng thẳng nối M và ảnh M của nó
luôn luôn cắt U, V. Giả sử hai giao điểm đó là A, B thì: [M, M, A, B] không
phụ thuộc vào M. Tỉ số kép đợc gọi là tỉ số thấu xạ của phép thấu xạ f.
1.2.3.2. Phép thấu xạ đơn
Một phép biến đổi xạ ảnh f: P
n
P
n
gọi là phép thấu xạ đơn nếu có
một siêu phẳng V mà mọi điểm của nó đều là điểm bất động.
Siêu phẳng V đó gọi siêu phẳng cơ sở của thấu xạ đơn f.
1.2.3.3. Các phép thấu xạ trong P
2
Trong P
2
, ta có các phép thấu xạ khác phép đồng nhất sau đây.
+ Phép 0- thấu xạ có cơ sở là 0- cặp (O, V) trong đó O là một điểm, còn V là
1.3. Siêu mặt bậc hai trong P
n
1.3.1. Định nghĩa và kí hiệu
Phơng trình bậc hai thuần nhất của n+1 biến x
0
, x
1
, , x
n
trên trờng K
là phơng trình có dạng:
, 0
=
n
i j
a
ij
. x
i
. x
j
= 0 (1)
Trong đó: a
ij
K: a
ij
Trong không gian xạ ảnh P
n
với mục tiêu {S
i
; E}. Tập hợp (S) gồm
những điểm X có tọa độ (x
0
: x
1
: : x
n
) thoả mãn phơng trình (1) đợc gọi là
một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình (1).
Phơng trình (1) đợc gọi là phơng trình của siêu mặt bậc hai (S) đối
với mục tiêu đã cho.
Ma trận A đợc gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai đối với mục tiêu đã cho.
Hình 1.3
o
m
m'
n
n'14
Siêu mặt bậc hai (S) đợc gọi là suy biến hay không suy biến nếu det A = 0
hoặc det A
0
Tập hợp tất cả những điểm liên hợp với Y đối với (S) hoặc là một siêu phẳng
trong P
n
hoặc là toàn bộ P
n
.
1.3.3. Siêu phẳng đối cực, điểm kì dị
Nếu tập hợp các điểm liên hợp với điểm Y đối với siêu mặt bậc hai (S)
là một siêu phẳng thì siêu phẳng đó đợc gọi là siêu phẳng đối cực của điểm
Yđối với (S) kí hiệu là: Y
*
. Ngựơc lại điểm Y gọi là điểm đối cực của siêu
phẳng Y
*
đối với (S).
Điểm Y đợc gọi là điểm kì dị của siêu mặt bậc hai (S) nếu Y liên hợp
với mọi điểm của P
n
đối với (S).
1.3.4. Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai
Nếu điểm Y nằm trên siêu mặt bậc hai (S) nhng không phải là điểm kì
dị của (S) thì siêu phẳng đối cực Y
*
của Y đối với (S) đợc gọi là siêu phẳng
tiếp xúc của (S) tại Y hay còn gọi là siêu tiếp diện của (S) tại Y. Điểm Y gọi là
tiếp điểm.
1.3.5. Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến
Trớc hết ta cần chú ý rằng: Nếu siêu mặt bậc hai (S) không suy biến
thì mỗi siêu phẳng bất kì đều có một điểm đối cực duy nhất.
s biến mỗi điểm M
s thành điểm
M= s
PM gọi là phép chiếu xuyên tâm từ s
s. Điểm P đợc gọi là tâm
của phép f.
Dễ thấy phép chiếu xuyên tâm f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm
s
s= Q => f(Q)= Q; Q là điểm tự ứng phép chiếu xuyên tâm f.
Hình 1.4
m
p
q
m'
s'
s
Phép chiếu xuyên trục cũng là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đờng
thẳng. Nếu f: {S}
{S} là phép chiếu xuyên trục thì đờng thẳng q= SS
biến thành chính nó; q là đờng thẳng tự ứng.
Định nghĩa 3: Trong P
2
cho một điểm O. Ký hiệu B là tập hợp tất cả các
đờng thẳng của P
2
đi qua O (Gọi B là bó đờng thẳng tâm O hoặc chùm
đờng thẳng tâm O).
Giả sử
là một đờng thẳng không đi qua O.Ta có thể lập hai ánh xạ sau đây.
g: B
m
B
m
h:
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
.
17
Các điểm A
i
đợc gọi là các đỉnh của hình 6 cạnh đó.
Các đờng thẳng A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, A
4
4
và A
6
A
1
gọi là các cặp cạnh đối diện.
1.4. Các định lý cơ bản
1.4.1. Định lý Đờ Giác thứ nhất
Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A, B, C. Trong đó
không có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó hai mệnh đề sau đây tơng đơng:
a. Ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng quy.
b. Giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và AB; BC và BC; CA và
CA là ba điểm thẳng hàng.
1.4.2. Tính chất của tỉ số kép
Nếu bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng và phân biệt thì
a. [B, A, C, D] = [A, B, D, C] =
1
[ , , , ]
A B C D
b. [B, A, D, C] = [A, B, C, D]
c. [C, D, A, B] = [A, B, C, D]
d. [A, C, B, D] = [D, B, C, A] = 1- [A, B, C, D]
e. Nếu A, B, C, D, E là 5 điểm thẳng hàng phân biệt thì
[A, B, C, D]. [A, B, D, E] = [A, B, C, E]
1.4.3. Định lý về hình 4 đỉnh toàn phần
Trong một hình 4 đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm trên đờng chéo chia
điều hoà cặp giao điểm của đờng chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứ ba.
1.4.4. Định lý về hình 4 cạnh toàn phần
{S} giữa hai chùm {S} và {S} là phép chiếu
xuyên trục khi và chỉ khi đờng thẳng SS tự ứng.
1.4.9. Định lý Steiner
Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P
2
(R)
a. Cho hai điểm cố định S
1
và S
2
nằm trên một đờng ovan và một điểm M
thay đổi trên ovan đó. Khi đó ánh xạ f: {S
1
}
{S
2
} biến đờng thẳng S
1
M thành
đờng thẳng S
2
M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Khi M
trùng với S
1
, ta xem S
1
M là tiếp tuyến của ovan tại S
1
2
là hai tiếp tuyến phân biệt của một đờng ovan và m là một tiếp
tuyến thay đổi của ovan đó. Khi đó ánh xạ f: s
1
s
2
biến điểm s
1
m thành
điểm s
2
m là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên tâm (khi m
trùng s
1
thì ta xem s
1
m là điểm tiếp xúc của s
1
và ovan. Đối với s
2
cũng thế)
b. Ngợc lại nếu f: s
1
s
nhng không đi qua B, C; đờng thẳng b đi qua B nhng không đi qua A, C.
Khi đó có một đờng ovan duy nhất đi qua C và tiếp với đờng thẳng a và b
lần lợt tại điểm A và B.
Đối ngẫu của định lý trên:
Định lý 2: Cho năm đờng thẳng a, b, c, d, e. Trong đó không có ba đờng
nào đồng quy. Khi đó có một đờng ovan duy nhất tiếp với chúng.
Hệ quả 3: Cho bốn đờng thẳng a, b, c, d. Trong đó không có ba đờng nào
đồng quy và một điểm A nằm trên a nhng không nằm trên các đờng còn lại.
Khi đó có một đờng ovan duy nhất tiếp với các đờng thẳng b, c, d và tiếp
với đờng thẳng a tại điểm A.
20
Hệ quả 4: Cho ba đờng thẳng a, b, c không đồng quy và một điểm A nằm
trên a nhng không nằm trên b, c. Một điểm B nằm trên b nhng không nằm
trên a, c. Khi đó có một đờng ovan duy nhất tiếp với đờng thẳng a tại điểm
A, tiếp với đờng thẳng b tại B và tiếp với đờng thẳng c.
1.4.12. Định lý Pascal
Cho một hình 6 đỉnh có 6 đỉnh nằm trên một đờng ovan (còn gọi là
hình 6 đỉnh nội tiếp đờng ovan đó) thì giao điểm của các cặp cạnh đối diện
nằm trên một đờng thẳng.
1.4.13. Định lý Briăngsông
Nếu cho một hình 6 cạnh phân biệt cung tiếp với một đờng ovan (còn
gọi là hình lục giác ngoại tiếp ovan đó) thì các đờng thẳng nối các đỉnh đối
diện đồng quy.
1.4.14. Định lý về phép biến đổi xạ ảnh của một đờng ovan
Cho f: (S)
(S) là phép biến đổi xạ ảnh khác phép đồng nhất của
đờng ovan (S). Khi đó với bất kì hai điểm M, N phân biệt của (S) và ảnh của
chúng M= f(M); N= f(N) thì giao điểm của MN và MN luôn nằm trên một
) thì giao điểm
các đờng thẳng tơng ứng nằm trên một đờng thẳng cố định (gọi là đờng
thẳng Frêgiê của F).
Định lý đảo: Cho một đờng thẳng cố định d không thuộc (S
*
) với mỗi đờng
thẳng a tiếp với (S) cho tơng ứng đờng thẳng F(a) tiếp với (S) sao cho đờng
thẳng a và F(a) cắt nhau trên d thì ta đợc ánh xạ F: (S
*
)
(S
*
) là phép xạ ảnh
đối hợp.
1.4.18. Định lý về phép ánh xạ xạ ảnh của đờng thẳng
Cho s là đờng thẳng trong P
n
. Phép biến đổi xạ ảnh khác đồng nhất
f: s
s là phép đối hợp của s khi và chỉ khi có hai điểm phân biệt M và M
sao cho: M=f(M); M= f(M).
1.4.19. Định lý về điểm bất động của phép đối hợp
Cho phép đối hợp f: s
s của đờng thẳng s khác với phép đồng nhất.
Nếu f có điểm bất động P thì nó còn có một và chỉ một điểm bất động nữa
Q
+ Tính tọa độ của các đối tợng trong bài toán
+ áp dụng các định lý, mệnh đề và kết quả đã biết để giải bài toán
trong hệ tọa độ đó.
+ Trả lời yêu cầu bài toán dới dạng ngôn ngữ hình học.
Chúng ta sử dụng một số mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: Trong P
2
cho hai điểm A, B phân biệt có tọa độ: A(a
0
:a
1
:a
2
)
B(b
0
:b
1
:b
2
). Khi đó đờng thẳng AB= (u
0
:u
1
:u
2
)
Trong đó: u
o
=
0
:b
1
:b
2
);
C(c
0
:c
1
:c
2
). Khi đó điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là:
0 1 2
0 1 2
0 1 2
a a a
b b b
c c c
= 0
Mệnh đề 3: Trong P
2
cho ba đờng thẳng u, v, w có tọa độ u(u
0
: u
1
: u
2
)
không đi qua các điểm đó. Khi đó ta luôn chọn đợc điểm E để đờng thẳng d
đối với mục tiêu {A
0
, A
1,
A
2
, E} có phơng trình: x
0
+x
1
+x
2
=0
Mệnh đề 5: Trong P
2
phơng trình đờng thẳng đi qua A(a
0
: a
1
: a
2
)
B(b
0
: b
1
: b
2
) là:
=
E
1
nhng
không trùng với A, B, C
24
E
2
nhng không trùng với A,
B, C
và E không thuộc , , E
1
E
2
(Hình 2.1).
Khi đó: với mục tiêu đã chọn ta có:
A= (a: 1: 0); B= (b: 1: 0); C=(c: 1: 0)
A= (a: 0: 1); B= (b: 0: 1);
C= (c: 0: 1)
Phơng trình đờng thẳng AB:
01'
10
210
b
+bx
1
+ax
2
= 0
R = AB
AB
R = (aa- bb: a-b: a-b)
Tơng tự: P = BC
BC = (bb-cc: b-c: b-c)
Q = CA
CA = (cc-aa: c-a: c-a)
Ta có:
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
bb cc b c b c
cc aa c a c a
aa bb a b a c
= 0
Vậy P, Q, R thẳng hàng.
Bài 2.1.1.2. Trong P
2
1
. Chứng minh rằng: các
đờng thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy.
e
0
e
2
a'
b'
c'
'
c
b
e
1
a
r
q
p
Hình 2.1
1
= (-ac: -a: -1); C
2
=AA
1
BB
1
= (b: a:1)
AA
2
=(0: -c: b); BB
2
=(-1: 0: ac); CC
2
=(-a: b: 0)
Vì A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng nên:
0 1
0 1
1 0
a
b
c
=0
2
c
2
b
2
= 0 (2)
Từ (1) và (2): Các đờng thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy.
Bài 2.1.1.3. Trong P
2
cho mục tiêu xạ ảnh (S
o
, S
1
, S
2
; E). Đặt E
0
=S
0
E
S
1
S
1
E
2
, E
2
E
0
, E
0
E
1
và các điểm
M
0
= S
O
M
O
S
1
S
2
; M
1
= S
1
M
1
2
, đồng quy thì
các đờng thẳng S
0
M
0
, S
1
M
1
, S
2
M
2
đồng quy.
b. Nếu các điểm M
0
, M
1
,M
2
thẳng hàng thì các điểm M
0
, M
1
,M
2
cũng thẳng hàng.
Bài giải
Theo công thức tính toạ độ của các đờng thẳng và các điểm ta đợc :
M E E
nên toạ độ của
M
0
thoả mãn phơng trình của
1 2
E E
là : -x
0
+x
1
+x
2
=0. Do đó toạ độ của M
0
có
dạng: M
o
(a
0
+ b
0
: a
0
: b
0
);
Copyright: Tài liệu đại học ©