SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN
₪₪
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
GV.PHẠM ĐỨC MINH
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN
Năm học : 2013- 2014
LỜI MỞ ĐẦU
1) Mục đích : Cung cấp thêm một công cụ khá mạnh để giải bài toán hình
học phẳng
2) Các ví dụ minh họa.
3) Phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện.
Hy vọng với một số ví dụ và một lượng bài tập vừa đủ sẽ có tác dụng tốt
cho các em học sinh. Việc tìm tòi các dạng toán có thể dùng phép nghịch đảo là
một công việc đòi hỏi sự say mê chịu khó và một tinh thần ham học.
Trong khi trình bày đề tài, chắc chắn không thể không thiếu xót,rất mong
sự đóng góp của các Thầy Cô để bài viết được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn
GV. PHẠM ĐỨC MINH
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1) Các định nghĩa :
a) Góc giữa đường thẳng và đường tròn : góc giữa đường thẳng d và đường tròn
(O) là góc giữa d và tiếp tuyến
∆
của (O) tại giao điểm M của (O) và d.
Khi d và (O) không có điểm chung hoặc d là tiếp tuyến của (O) thì góc giữa d và
(O) bằng 0
b) Góc giữa hai đường tròn :
Cho hai đường tròn (O) và (O’).Góc giữa hai đường tròn (O) và (O’) là góc giữa

α
d
d’
α
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
II ) PHÉP NGHỊCH ĐẢO :
1) Định nghĩa :Cho điểm O cố định và số thực
k 0≠
.
Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu : f =
k
O
N
k
O
N : M M' OM.OM' k
⇔ =
a
2) Tính chất :
*
k k
o o
N (M) M' N (M') M
= ⇔ =
. Ta ghi :
k
o
N : M M'
↔
*

k
o
N : M M' OM.OM' k OM' k M' O; k
⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
a
* Phép nghịch đảo
k
o
N
biến đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo
thành chính nó.
Chứng minh : Xét đường tròn nghịch đảo (O;
k
) và đường tròn (O’) trực giao
với (O). M là điểm tùy ý trên (O’) và
k
o
N :M M' OM.OM' k
⇔ =
a
Giả sử OM cắt (O’) tại M’’. Ta có:P
O/ (O’)
=
( )
2
OM.OM'' k k OM.OM'
= = =
M' M''⇒ ≡
(đpcm)
*

⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = =
:
* Nếu O, A, B thằng hàng : do
OA.OA' OB.OB' (OB BA)(OB' B'A') OB.OB'
= ⇔ + + =
( )
OB.B'A' OB'.BA BA.B'A' 0 B'A'. OB BA OB'.AB
⇔ + + = ⇔ + =
OB'.AB OB.OB' k
A'B' AB .AB
OA OA.OB OA.OB
⇔ = − = − = −
k
A'B' AB
OA.OB
⇒ =
Chú ý :Khẳng định
k
O
N : AB A'B'a
là sai.
3)Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo :
a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo là
chính nó.
(d) qua O
k
o
N :d d
⇒
a

0
MAA' MM'A' 90 M'
⇒ = = ⇒
thuộc đường
tròn đường kính OA’.
( k > 0) (k < 0)
Cách xác định tâm của đường tròn (C) :
GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 3
O
A
A’
B
B’
O
O
M M’
d
A
BA’
B’
O
A
A’
M
M’
O’
O
1
O
A’

⊥
Chứng minh : Gọi A là điểm đối xứng với O qua tâm O
1
và B là ảnh của A qua
k
O
N
M là điểm tùy ý trên (C) và N =
k
O
N
(M).Ta có :
OM.ON k OA.OB
= = ⇒
bốn
điểm A,B,M,Nđồng viên
·
·
0
AMN ABN 90
⇒ = = ⇒
N thuộcđường thẳng d qua B
và vuông góc với OA.
b) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn không đi qua cực nghịch đảo là
đường tròn không đi qua cực nghịch đảo.
(C)(I;R) không qua O
k
o
N : (C) (C')(I';R ')
⇒

p p
= ⇒ = =
suy ra M’ là ảnh của M qua
k
O
N
.
Vậy ảnh (C’) của (C) qua
k
O
N
là ảnh của (C) qua
k
p
O
V
với p =
/( )O C
℘
là đường tròn
5)Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa đường thẳng và đường tròn; góc giữa
hai đường tròn.
GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 4
OM' k
OM.OM' k
p
ON
⇒ = ⇒ =
O
A

N :K H;M ;N N
⇒ ↔ ↔ ↔
mà K, M,N thuộc đường tròn đường kính OA
⇒
(KMN) qua cực A
k
A
N :(KMN)
⇒ ↔
đường thẳng HMN
Vậy : H,M,N thẳng hàng.
2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Gọi B’,C’lần lượt là hình chiếu
của B và C lên AC, AB. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại A song song với
B’C’ và AO vuông góc với B’C’.
Giải :
Hiển nhiên bốn điểm B,C, B’,C’ đồng viên nên
AB.AC' AB'.AC k
= =
k
A
N :B' C;C' B
⇒ ↔ ↔
k
A
N
⇒
biến đường tròn (ABC)
≡
(O) thành đường thẳng
B’C’.Theo tính chất B’C’ vuông góc với OA

Tam giác vuông ABM, ABN có BP, BQlà đường cao : AB
2
=
AP.AM AQ.AN k
= =
k
A
N : P M;Q N⇒ ↔ ↔
, suy ra đường thẳng PQ không qua cực A biến thành
đường tròn (AMN) mà PQ qua I cố định nên (AMN) qua I’ =
k
A
N (I)
cố định.
* Do (AMN) qua A và I’ cố định nên tâm của (AMN) nằm trên đường trung trực
của AI’ cố định.
4) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường cao BD, CE.P là giao
điểm của DE và AM.Biết
3
2
=
BC
AM
. Chứng minh P là trung điểm AM.
Giải :Gọi N là giao điểm của AM và đường tròn (ABC).
* B,E,D,C đồng viên nên
k
A
AE.AB AD.AC k N : B E;C D
= = ⇒ ↔ ↔

AP(AM MN) AM
4 2
⇒ + = − =
BC 3 1
AP AM
4 2
⇒ = = ⇒
P là trung điểm của AM.
GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 6
A B
N
Q
P
M
I
A
B C
E
M
D
N
P
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O
1
).Đường tròn (O) qua A, C cắt AB,
AC lần lượt tại K, N. Giả sử (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B, M.
Chứng minh :
·
0

(O
1
) nên BO
1
⊥
NK
có OO
2
⊥
KN nên BO
1
//OO
2
(1)
k
B
2 2
(BNK) AC
N :
BO BO
↔


↔

mà BO
2
⊥
(O
2

BM nênOM
⊥
BM hay
·
0
OMB 90
=
6)Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (AC) và (BD)
cắt nhau tại X,Y.Đường thẳng XY cắt BC tại Z.P là điểm trên đường thẳng XY
khác với Z. CP cắt (AC) tại C và M. BP cắt (BD) tại B và N.Chứng minh : AM,
DN, XY đồng qui.
Giải : Gọi O
1
và O
2
lần lượt là tâm của (AC) và (BD).
Ta có XY là trục đẳng phương của (O
1
) và (O
2
)
⇒
2
1
/( ) /( )P o P O
℘ =℘
PX.PY PM.PC PN.PB k
⇒ = = =
k
P

D' N (D)=
. Để chứng minh AM,ND, XY đồng qui ta
chứng minh XY là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD’B).
* Ta có : A,A’,C,M đồng viên nên
·
·
0
PA'C 90 PZC Z (PA'C)
= = ⇒ ∈
GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 7
A
M
K
N
B
C
O
O
2
O
1
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
D,D’,B,N đồng viên nên
·
·
0
PD'B 90 PZB Z (PD'B)
= = ⇒ ∈
⇒
PZ là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B)

2
) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh :
1 1 2
+ =
DA DE MN
9) Cho bốn đường tròn phân biệt (C
i
) i=1,2,3,4. Hai đường tròn (C
1
),(C
3
) tiếp xúc
ngoài nhau tại P và hai đường tròn (C
2
),(C
4
) tiếp xúc ngoài nhau cũng tại P. Gọi
A,B,C,D là giao điểm thứ hai của (C
1
),(C
2
); (C
2
),(C
3
); (C
3
),(C
4
);(C

O
2
O
1