SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói rằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN,
GTLN nói riêng là một trong nhưng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ
thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hướng ra
đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất
đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất
đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn
do một số sai lầm do thói quen. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên
cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các
em học sinh khá giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt
là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Kỹ thuật chọn điểm
rơi trong bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm và trao đổi với đồng
nghiệp.
Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp
các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra
một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền
tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Được sự động viên, giúp đỡ của các
thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong
tổ Toán – Tin học trường THPT hàm Rồng . Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề
“K thu t ch n i m r i ỹ ậ ọ đ ể ơ trong bất đẳng thức”.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1. Thuận lợi

- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập .
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự
học và yêu thích môn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề.
- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý kiến
cuả đồng nghiệp.

1
P
ab
a b
= +
+ +
Gii
Li gii 1. Ta cú:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 2
1 2 1 ( ) 1
P
ab
a b a ab b a b
= + = =
+ + + + + + +
Du = xy ra
2 2 2
1 2 ( ) 1 0
(voõ nghieọm)
1 1
a b ab a b
a b a b

+ + = + =

bit vn dng ,
gii c bi
hon chnh
S lng 60 20 9 1
T l ( %) 66,7 22,2 9,9 1.1
2
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Mặt khác
2
1
2 4
a b
ab
+
 
≤ =
 ÷
 
. Vậy
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
≥ + ≥
+ +
   
+

? ? Làm sao nhận biết được điều đó…?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề
này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các
bài toán cực trị.
2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng
rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ
hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
* Bất đẳng thức Cauchy
Cho
n
số thực không âm
1 2
, , , ( 2)
n
a a a n ≥
ta luôn có:
1 2
1 2

n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
L

+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L
+ Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a a a b b b
ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2
( )( ) ( )
n n n
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ +
Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng
thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất
đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này
luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất
Giáo viên: Lê Thị Thủy
3
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật
này như thế nào ta sẽ đi vào một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho a

12
1
….
30
1
S
3
3
1
4
4
1
5
5
1
6
6
1
7
7
1
8
8
1
9
9
1
10
10
1




a
a 1
,
α
sao cho tại “điểm rơi:a=3”thì
a
a 1
=
α
tức là ta có lược đồ
“điểm rơi” sau đây:
Sơ đồ:
a=3
⇒
9
3
3
1
3
11
3
=⇒=⇒






a
a 1
9
⋅
+
9
38⋅
=
3
10
Vậy với a=3 thì Min S=
3
10
Ví dụ 2: Cho a
≥
6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a
2
+
a
18
Sơ đồ điểm rơi :
a=6
⇒








a

⇒
6
1818
=
a
62=⇒
α
Giáo viên: Lê Thị Thủy
4
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Lời giải: S=a
2
+
a
18
=



+



a
a 18
62
2
+


−
62
1
1
a
2
=6.
6
aa
+
2
62
1
1 a








−
≥
6.
2
6.
62
1

ab
a b
= + +
+
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b
 
= + + + ≥ + + = + +
 ÷
+ + + +
 
.
Mặt khác
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
+ ≥ =
. Vậy
4 2 2P ≥ +

⇔ = ⇔ = =


+ =


. Thay
1
2
a b= =
vào ta được
7P
≥

7MinP
⇒ =
khi
1
2
a b= =
.
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
1 1 1
2 2ab ab ab
= +
là
do thói quen để làm xuất hiện
2 2 2
2 ( )a b ab a b+ + = +

a b= =
nên đã tách các số hạng và
7MinP
=
khi
1
2
a b= =
là đúng, nhưng
bước cuối học sinh làm sai.
Ví dụ như
2
(1 )x x x− + ≥
, dấu bằng xảy ra khi
1x
=
2
( 1) 1??Min x x
 
⇒ − + =
 
.
Lời giải đúng:
Do P là biểu thức đối xứng với
,a b
, ta dự đoán
MinP
đạt tại
1
2

a b a b
a b

+ =


⇔ = ⇔ = =


+ =


.
Ví dụ 4: Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2
1 1 1
S
a b a b ab
= + +
+

 
+
 
 ÷
 
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
( )
3
1
a b a b
MinS a b vn
a b

+ =

= ⇔ =


+ =

Lời giải đúng:
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
2

( )
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
a b
= + + + + ≥ ≥ ≥
+ + + + +
+ +
Dấu bằng xảy ra khi
1
2
a b= =
.
2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia
Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một
phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất
đẳng thức này.
* Bất đẳng thức Bunhia
Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a a a b b b
ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

nnnn
babababbbaaa +++≥+++++
Dạng 2:
( ) ( )
nnnn
babababbbaaa
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
+≥++⋅+++
Dạng 3:
( ) ( )
nnnn
babababbbaaa +++≥+++⋅+++
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
Dấu bằng: Dạng 1, dạng 2



≥++
>
6
0,,
cba
cba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S=
2
2
2
2
2
2
111
a
c
c
b
b
a +++++
Phân tích và tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:
( )
2211
2
2
2
1

≥+














+
+
=+
b
a
b
a
b
a
β
α
βα
βα
βα
22




+
+
=+
a
b
c
b
c
b
β
α
βα
βα
βα
22
22
2
2
2
22
2
2
1111
(2)
( )



βα
βα
βα
22
222
22
2
2
1111
(3)
⇒
0
22
111
)(
1
S
cba
cbaS =












c
c
b
b
a
β
α

⇒

a
c
βα
1
=
Kết hợp với biến đổi theo “kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau:
Lời giải đúng:






+≥+











+=+
c
b
c
b
c
b
1
4
17
1
)14(
1
17
11
22
2
2
2
2


















++++++++=






+++++≥
cba
cba
cba
cba
cba
111
444
)(
4
15
17






⋅⋅⋅⋅⋅+⋅≥
cba
cba
Với a=b=c=2 thì Min S=
2
173
a,b,c > 0
Giáo viên: Lê Thị Thủy
8
4
=
α
1
=
β
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 2: Cho Tìm Min của S=
ba
c
ac
b
cb
a
+
++








+
+
β
αβα
22
2
2
1
(1)
+
( )
ac
b
ac
b
+
+≥+



















+
+
β
αβα
22
2
2
1
(3)
___________________________________
⇒












+
+
+
+
+
+++
+
≥
1111
22
βα
βα
Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đoán S=S
o
tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó
các bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm
rơi sau đây:
*Sơ đồ điểm rơi:
b
a
βα
1
=
a=b=c=2 ⇒
⇒====⇔=
1














+
+
1
4)14(
1
22
2
2
+
ac
b
ac
b
+
+≥+



SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
ba
b
ba
c
+
+≥+
















+
+
1
4)14(
1
22
2


3
)(4
3
( ) ( ) ( )
[ ]
)(6
9
)(4
)111(
9
)(4
3
222
cba
cba
accbba
cba
++
+++=
+++++++
+++≥
)(62
9
)(62
9
8
)(
8
31

cbacba
cba
.
2
17.3
17.2
17.3
172
51
==≥⇒ S
Với a=b=c=2 thì min S=
2
173
Ví dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+
.102 ≥abc
Chứng minh rằng
S=
66
42
98
42
98
42
98
222
2
222
2
222
2

.4182
222
2
bca
c
cba
c
++≥++++ 9
4
42
98
.4182
222
2
_________________________________






++≥⇒
cba
S
111
4.24
+9(a+b+c)+ab+bc+ca
)(6222
4
2




++






+=
6624/727210.612)2(612 =≥⇒=+≥++++= Sabccba
* Bài tập tương tự (trích dẫn trong các đề thi đại học)
Giáo viên: Lê Thị Thủy
10
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài1: Cho
, , 0
1
x y z
xyz
>


=

, chứng minh rằng:
3 3 3 3
3 3
3 3

3
4
a b c+ + =
.
Chứng minh rằng:
3 3 3
3 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
(ĐTK 2005)
Bài 5: Cho
, , 0
1
a b c
a b c
>


+ + ≤

, tìm GTNN của các biểu thức sau:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
S
ab bc ca

bit
c
Nhn bit,
nhng khụng
bit vn dng
Nhn bit v
bit vn
dng ,cha gii
c hon
chnh
Nhn bit v
bit vn dng ,
gii c bi
hon chnh
S lng 0 3 50 37
T l ( %) 0.0 3.3 55.6 41.1
V. GII PHP MI
Dang toỏn Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bt ng thc núi chung rt a
dng v phong phỳ. Mi bi toỏn li cú rt nhiu cỏch gii khỏc nhau, vic la
chn s dng linh hot cỏc kin thc ó hc s lm cho hc sinh phỏt trin t
duy sỏng to. Chuyờn ny ch mang tớnh cht gi m cung cp cho hc sinh
cỏch nhỡn mi, phỏt huy s sỏng to. ờ at kờt qua cao hc sinh cn luyờn tõp
nhiờu, cú thờm nhiu thi gian su tm cỏc ti liu tham kho liờn quan.
VI. THC TIN GING DY
1. Quỏ trỡnh ỏp dng
Bng mt chỳt vn hiu bit v kinh nghim ging dy mt s nm, tụi ó
h thng c mt s kin thc liờn quan, su tm v tớch ly c mt s bi
tp phự hp theo mc t d n khú cho hc sinh tham kho t gii.
2. Hiu qu sau khi s dng
Sau khi hc sinh hc xong chuyờn ny hc sinh thy t tin hn, hng thỳ

VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008
2. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010.
3. Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002
4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục
5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo-NXB Giáo Dục năm 2009
Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm
2013
Người thực hiện
Giáo viên: Lê Thị Thủy
13
SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC
Lê Thị Thuỷ
Giáo viên: Lê Thị Thủy
14