ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
ĐẶNG VĂN THOẠI
MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍC H
C HUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN -CƠ- TIN HỌC
ĐẶNG VĂN THOẠI
MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍC H
C HUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60460106
Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG
Hà Nội - 2013
LỜI CÁM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
PHẦN MỞ ĐẦU

Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hình
phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một
số mô hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH − M, TGARCH). Sau
đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của
cổ phiếu IBM. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 6
chương có nội dung tương ứng như sau:
• Chương 1: Những khái niệm ban đầu
• Chương 2: Mô hình ARCH
• Chương 3: Mô hình GARCH
• Chương 4: Mô hình GARCH − M
• Chương 5: Mô hình TGARCH
• Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc
định giá quyền chọn
Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giả lần lượt trình bày về vấn đề: cấu
trúc , tính chất, ước lượng, kiểm định của các mô hình và cuối cùng
là áp dụng vào ví dụ thực tế. Trong chương 6, tác giả đã áp dụng
các kiểu mô hình được trình bày trong các chương trước vào định giá
quyền chọn của cổ phiếu IBM và so sánh chúng với giá quyền chọn
bằng mô hình Black-Scholes. Các ví dụ được trình bày trong luận văn
đều sử dụng phần mềm R để phân tích. Đây là phần mềm hoàn toàn
miễn phí nhưng các kết quả thu được lại rất tốt cho việc phân tích và
dự báo. Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ điều hành, sử dụng
ngôn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử dụng rất phổ biến trên
thế giới.
Mục lục
Lời cám ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Phần mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Những khái niệm ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7. Ưu điểm và nhược điểm của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 4. Mô hình GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Chương 5. Mô hình TGARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3. Moment không có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.4. Dáng điệu của đuôi mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. Ước lượng và kiểm định mô hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5. Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . 62
vi
Chương 6. Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định
giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1. Hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2. Dữ liệu và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3. Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Danh sách hình vẽ

3.8 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 52
4.3 Đồ thị QQ-std của phần dư trung bình . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước . . . . . . . . . . 54
5.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 60
5.3 Đồ thị QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 63
5.7 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Danh sách bảng
6.1 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.4 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các
kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.6 Dự báo giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes . . . 72
1
Chương 1

Định nghĩa 1.3. Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X
(
t
)
kí hiệu là
m(t) và được tính theo công thức m(t) = EX
(
t
)
.
Hàm hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên kí hiệu là r(s , t) và được
tính theo công thức
r
(
s; t
)
= Cov
[
X
(
s
)
; X
(
t
)]
= E
[(
X
(

n
∈ R thì
n
∑
i=1
n
∑
j=1
b
i
b
j
r

t
i
; t
j

≥ 0
1.1.3. Quá trình dừng
Định nghĩa 1.4. Giả sử X(t) là quá trình cấp 2. X(t) được gọi là quá trình
dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số và hàm hiệp phương sai r(s; t) chỉ
phụ thuộc vào s −t hay r(s; s + h) không phụ thuộc và s với mỗi h ∈ R
Nói cách khác quá trình X(t), t ∈ R là quá trình dừng nếu nó có
cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai với quá trình Y(t) =
X(t + h), ∀h ∈ R
Định nghĩa 1.5. Quá trình X(t), t ∈ R được gọi là quá trình dừng mạnh
(hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ R, và với mọi t
1

t
)
được gọi là chuỗi thời gian rời rạc. Nếu T là liên tục thì
X
(
t
)
được gọi là chuỗi thời gian liên tục.
Định nghĩa 1.7. Chuỗi thời gian X(t) được gọi là dừng nếu X(t) là quá
trình dừng.
Ví dụ về chuỗi thời gian
4
Hình 1.1: Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013)
(Số liệu được lấy từ http://ichart.finance.yahoo.com)
1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng
Định nghĩa 1.8. Cho {X(t)} là chuỗi thời gian dừng. Hàm tự hiệp phương
sai (ACVF) với độ trễ h của {X(t)} là
r(h) = Cov(X(t); X(t + h))
Hàm tự tương quan (ACF) của {X(t)} với độ trễ h là
ρ
(
h
)
=
r
(
h
)
r
(


nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
EZ
t
Z
s
= 0, ∀t = s
EZ
t
= 0; EZ
2
t
= σ
2
; ∀t ∈ T
Định nghĩa 1.10. Quá trình ngẫu nhiên {X
t
; t ∈ T} được gọi là quá trình
tự hồi quy cấp p, kí hiệu X
t
∼ AR
(
p
)
nếu {X
t
; t ∈ Z} thỏa mãn
X
t
= a

a
i
L
i
= 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị.
Định nghĩa 1.11. Quá trình ngẫu nhiên {X
t
, t ∈ T} được gọi là quá trình
trung bình trượt cấp q, kí hiệu X
t
∼ MA
(
q
)
nếu thỏa mãn
X
t
= Z
t
+ b
1
Z
t−1
+ b
2
Z
t−2
+ + b
q
Z

} thỏa mãn
X
t
−φ
1
X
t−1
−φ
2
X
t−2
− −φ
p
X
t−p
= φ
0
+ Z
t
+ θ
1
Z
t−1
+ θ
2
Z
t−2
+ + θ
q
Z

như dãy lợi nhuận của một tài sản (cổ phiếu). Đã có nhiều ví dụ thể
hiện rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian
tài chính.
Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian
tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan
trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi
thời gian sau Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên
đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất định nhằm
tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian. Với những vận dụng
sáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người nghiên cứu đi
sau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đối
với chuỗi thời gian tài chính. Đó là mô hình cộng tích, Cointegration
(Granger,1981) và mô hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quy
ARCH. Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle,
nó có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng
những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu. Mô hình ARCH và một
số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình bày trong các chương
tiếp theo của luận văn.
1.3. Lợi suất cổ phiếu
Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổ
phiếu được coi như một là chuỗi thời gian . Tuy vậy, việc nắm bắt được
các đặc trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn. Trong
7
mục này tác giả sẽ trình bày một số tính chất đặc trưng của lợi suất và
cố gắng minh họa điều đó bằng những ví dụ.
• Chuỗi lợi suất có phần đuôi nặng hơn chuỗi có phân phối chuẩn.
So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ phân phối
chuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể thấy rằng
chuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng có phần
đế rộng hơn so với mật độ phân bố chuẩn.

sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH).
2.1. Cấu trúc của mô hình
Cho {X
t
} là chuỗi thời gian
Định nghĩa 2.1. Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi
quy bậc p, kí hiệu ARCH(p) là mô hình có dạng
X
t
= g(F
t−1
; b) + a
t
, a
t
= ε
t
.σ
t
σ
2
t
= Var
(
a
t
|F
t−1
)
= h(a

a
t
được gọi là cú sốc hay phần dư của X
t
tại thời điểm t
Định nghĩa 2.2. Mô hình ARCH được gọi mô hình tuyến tính bậc p, kí
hiệu ARCH(p) nếu
σ
2
t
= α
0
+
p
∑
i=1
α
i
a
2
t−i
; α
0
> 0; α
i
≥ 0, ∀i ≥ 1 (2.1.1)
Định nghĩa 2.3. Mô hình ARCH được gọi là mô hình tuyến tính bậc vô
cùng, kí hiệu ARCH(∞) nếu
σ
2

0; σ
2
t

tức là phân bố của a
t
với điều kiện F
t−1
là phân bố chuẩn có trung bình 0 và phương sai σ
2
t
. Đặt η
t
= a
2
t
− σ
2
t
.
Ta có Eη
t
= 0 và η
t
là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107). Khi
đó phương trình (2.1.1) có dạng
a
2
t
= α

= 0 nằm ngoài
đường tròn đơn vị. Khi đó, phương sai (không điều kiện) của dãy phần dư a
t
là
Var
(
a
t
)
= E

a
2
t

=
α
0
1 −
p
∑
i=1
α
i
Chứng minh 2.1.
.
Đặt W

t
=

α
2
α
p
0
1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0







là ma trận cấp (p + 1).(p + 1)
Khi đó E
(
w
t
|
F
t−1
)
= b + Aw
t−1
Thực hiện một cách liên tiếp ta có:
E
(

t−3
|
F
t−k
))
=
=

I + A + A
2
+ + A
k−1

b + A
k
w
t−k
.
Biểu thức này độc lập với t nên với mọi giá trị của t ta đều có cùng một
phương sai. Giới hạn của biểu thức E
(
w
t
|
F
t−k
)
khi k tiến ra vô cùng
tồn tại khi và chỉ khi các giá trị riêng của A nằm phía trong đường tròn
đơn vị hay các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ngoài vòng

i=1
α
i
2.2.2. Moment không có điều kiện
Moment của ARCH(p) có thể tìm được bằng cách sử dụng luật kì
vọng có điều kiện. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, khi đó
E
(
X
)
= E
(
E
(
X
|
Y
))
Với giả thiết a
t


F
t−1
∼ N

0; σ
2
t


α
0
1 −
p
∑
i=1
α
i
. Những moment bậc cao của a
t
có
thể không tồn tại, và nếu có tồn tại thì công thức của chúng là tương
đối phức tạp ngay cả với những quá trình có bậc thấp. Engle (1982)
[15] đã chứng minh rằng với mô hình ARCH(1) moment cấp 2m tồn
tại nếu và chỉ nếu α
m
1
m
∏
j=1
(
2j −1
)
< 1 (2.2.2).
Engle cũng đã đưa ra công thức tính moment cấp 4 của a
t
là
E

a


a
4
t
|
F
t−1

= E

ε
4
t
σ
4
t
|
F
t−1

= σ
4
t
E

ε
4
t
|
F

1
a
2
t−1
+ α
2
1
a
4
t−1

(ε
t
là độc lập cùng phân phối)
Vì vậy,
13
E(a
4
t
) = E(E

a
4
t
|
F
t−1

) = 3E


t−1

+ α
2
1
E

a
4
t−1

= 3

α
2
0
+ 2α
0
α
1
E

a
2
t

+ α
2
1
E

a
4
t

=
3α
2
0
(
1 + α
1
)
(
1 − α
1
)

1 −3α
2
1

với điều kiện 0 ≤ α
2
1
<
1
3
vì E

a

2
0
(
1 + α
1
)
(
1 − α
1
)

1 −3α
2
1

.
(
1 − α
1
)
2
α
2
0
= 3
1 − α
2
1
1 −3α
2

=
1
√
2πσ
t
e

−a
2
t
2σ
2
t

Đặt α =

α
1
; α
2
; ; α
p


,T là độ dài của chuỗi và
σ
2
t
= α
0

∏
t=p+1
1
√
2πσ
t
e
−a
2
t
2σ
2
t
14
Lấy logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí (có điều kiện) của quá trình
ARCH(p) ta thu được
l = −
T
∑
t=p+1

1
2
ln
(
2π
)
+
1
2

t
∂σ
2
t
∂α
∂σ
2
t
∂g

. Ở đây α
là vectơ tham số của phương saiđiều kiện, g = g
(
F
t−1
, b
)
là hàm trung
bình. Theo định nghĩa của Engle (1982)[15], quá trình ARCH(p) là đối
xứng, tức là mô hình ước lượng phương sai có điều kiện của những
cú sốc dương (tích cực) và âm (tiêu cực) là như nhau. Với mọi quá
trình ARCH(p) chính quy và đối xứng t hì các khối ngoài đường chéo
bằng 0 (Engle,1982). Điều này có nghĩa là những ước lượng và kiểm
định của α và g
(
F
t−1
, b
)
có thể được tiến hành một cách riêng biệt.

tựa hợp lí cực đại (QMLE) . Đối với phân phối có điều kiện đối xứng,
QMLE là gần chính xác như MLE, nhưng với phân phối không đối
15
xứng thì sự khác biệt là tương đối lớn.
2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH
Bollerslev (1994) [12] nhấn mạnhrằngkiểmđịnhhiệu ứng ARCH(p)
được xây dựng như một kiểm định đuôi vì các tham số của quá trình
ARCH(p) phải lớn hơn 0 . Một cách t hường được sử dụng để kiểm
định hiệu ứng ARCH(p) làphương pháp kiểm định nhân tử Lagrange
( LM ).
H
0
: α
1
= α
2
= = α
p
= 0
H
1
: α
2
1
+ α
2
2
+ + α
2
p

=

1, a
2
t−1
, , a
2
t−p

, z

=

z

1
, , z

T

và f
0
là véc tơ cột của

a
2
t
α
0
−1