' -^
'-
DAI HOC
QU6C GIA
HA
NCI
TRirclNG
DAI HOC KHOA HOC
Tl/NHlfeN
DINH
CONG
HI/6NG
.^
A/
MOT
SO
VAN
Dfi
DINH
TINH
CUA
PHlTONG TRINH SAI
PHAN VA
UNG
DUNG
Chuyen nganh: Toan Giai tich
Ma so: l.Ol.OI
LUAN AN TIEN SI TOAN HOC
TAP THE
HUONG
D.AN

tuyen
\6\
mot
chdm
10
LI Tinh
cha't cua
nghiem
phucmg trlnh sai phan phi
tuy^n
vcri
m6t
cham . . 11
Ll.l H6i
tu
v6
0 11
1.1.2
Gidfi n6i
ngat 13
1.1.3
Hoi tu tai trang thai
can
bang duang vai ta't ca cac cham 16
LL4 H6i
tu
tdi
trang thai can bang ducmg vai chain nho 21
1.1.5 Dao
d6ng

M6i
lien he
ve
tinh cha't cua nghiem phucmg trinh sai phan va
phucmg Irinh
vi phan phi tuyen c6 cham 43
Chirong 2 Ve mot lap phirong trinh sai phan phi tuyen voi nhieu cham 48
2.1 Mot s6 khiii nicm
'^^
2.2
Tinh h6i
tu,
giai noi, tuan hoan
-^9
2.2.1
Tinh h6i
tu
^^
2.2.2
Tinh
giai noi
^^
2.2.3
Tinh tu5n
hoan 54
2.2.4
Vi
du 60
2.3
Tinh

luSn
an 90
Tai
lieu
tham khao 91
MOT SO Ki HIEU DUNG TRONG LUAN AN
N
-
tap cac
s6
tu nhien.
Z - tap
cdc
s6 nguyen.
Ne =
{n
e
Z
:
n
^
£},
a d&y e e
Z.
No =
NU{0}.
R,
R+,
R'^
-

i
e
{n
:
n e Z
wh rii ^
TI
^
ns},
a day
ni,
n2 G
Z.
int/
-
phSn
trong cua doan 7.
C{J)
^
{/ : R
D
J
—^
J sao cho / lien tuc tren J}.
nLa
A,.
= A„ • • •
A,,
nLa An
=

N,
Y C
M6DAU
L^
thuy^t
dinh
tinh ciia
phirong
trinh
sai phan
1^
m6t hirdfng
nghien curu quan
trong trong giai
tich
toan hoc va
ung
dung. Nghi6n
cun
dinh
tinh
phirong
trinh
sai phan la
nghiSn cuii tinh ch^t
va dang
di6u cdc nghidm
ciia chung ma
khOng
nha't

cac
tinh
cha't cua
chiing.
Cac va'n de tieu
bi^u
ma ly thuyet dinh
tinh
phucmg
trinh sai phan quan tam la
tinh
gioi
n6i,
tinh
dao dong,
ti'nh tudn
hoan,
tinh hAu
tuan
hoan,
tinh
hut,
ti'nh
nhi phan,
tinh
On dinh nghiem, v.v
Ly thuye't dinh
tinh
phucmg trinh sai phan tim duoc nhieu ung dung trong cac
ITnh

[36],
[38],
[39],
[40], [41], [43], [44], [46], [47], [48], [51],
[52],
[55]) de cap den ly
thuye't dinh
tinh ciia
phirong trinh sai phan va ung dung.
Nhieu bai toan
dfm ve
nghien
ci'm
dinh
tinh
phucmg trinh sai phan. Dien
hinh
la bai toan nghien
cuii
su diet vong, truong ton, phat
trie'n
ben vung hay
tuAn
hoan cua cac
qiiAn
the sinh hoc
thOng
qua viec nghien cuu
tinh
chat cua nghiem

thuat toan
s6
quen
bi^t la luge
d6 lap Newton
d^
tim nghiem
ciia ham
thuc. Nhung
luge 66
lap Newton chi
h6i
tu dia phuong trong khi do chi nhung thuat toan
h6i
tu toan
cue thi mdi
c6
y
nghIa
trong
umg
dung. Han che' nay cung xay ra
dO'i vdi
thuat
toan
CO tinh chat tuin
hoan vi trong trudng hgp nay may ti'nh
khOng
th^
cho ke't

can
o day la day
{xn}n hOi
tu nhanh toi nghiem
ciia
phuong trinh f{x,x) = x. Tuy nhien trong thuc te
lai
c6
th^
xay ra trucmg
hgp day
{x„}„ tuan
hoan hoac
hOi
tu nhung
tO'c dO h6i
tu khOng cao.
Tren thuc te' nhieu quan
th^
sinh hoc duoc mo hinh hoa
boi
phucmg trinh sai
phan phi tuye'n c6 cham dang
x„+i = Ai„+
F(x„_m),
(0.1)
trong
66
m la
m6t

F(x„_,„)
la
.sO'
lugng thanh vien
trudng
thanh (phat sinh bai
x„_„.) bd
sung vao
quln
the a
th6i
diem n + 1. Hai m6 hinh tieu bieu c6 dang (0.1) la mo hinh quan the chim
cut o bang Wisconsin hgp chung
quO'c
Hoa Ky (xem
[7],
[41],
[44])
A.M-A.r„
+
-^f^^,
(/a->0)
va m6 hinh quan the ru6i xanh Nicholson (xem
il],
|45j)
J-„
+
i
=
Ax„

sO' trucmg hgp cu
thd
ciia ham /, phucmg trinh (0.2) da dugc
diing
d^
m6 hinh hoa
m6t
s6'
quan
th^
sinh hoc. Ching han, voi /(x) =
pxe~'^'^
hay /(x)
^
pe-*?^
thi (0.2) la m6 hinh
quan Xhi
ru6i xanh Nicholson (1957) do
Gurney va
mOt
s6' tac gia khac khao sat nam 1980. Hoac la voi /(x) =
-^^
hay
/(x)
=
0^^
thi
(0.2) la cac m6 hinh san xua't te bao mau do Mackey va Glass
khao sat nam 1977. Ti'nh cha't
ciia

can
bang duong duy nha't. Dac biet la ket qua
ve hieu
suA't
cua do
tre
doi voi
sir
hoi tu cua nghiem den trang
thai
can bang
duang va su
tOn
tai nghiem tuan hoan kh6ng tam thucmg (xem
[17],
ilS;).
Nliom
tac gia nay cung ap dung cac ket qua cua ho
dd
xac dinh
dieu
kien
diet
vong.
truong t6n, phat
tridn
ben vung hay tuan hoan cua mot
s6'
qudn
the sinh hoc dugc

tro quan
inMiLi irong
cac qua trinh sinh hgc. Nhom tac gia nay da su dung phucmg phap lap gun
ium
uj
Ai nghien cuu
sir h6i
tu cua nghiem den trang thai can bang duang duy
nh^t
cua phirong trinh (0.2). Ngoai ra, ho con dung nguyen ly re nhanh Hopf va dinh
1^
di^m
b^Tt
d6ng
Browder
d^
chung
minh t6n tai nghiem
tu^n
hoan kh6ng
t^m
thucmg cua phuong trlnh nay.
Tinh ch^t
cua nghiem phuong trinh sai phan phi
tuye'n
c6 cham (0.1) cung
da
dugc
nhieu nha khoa hoc quan tam nghien cuu (xem [1],
[12],

cAn
toan
cue
cua trang thai cAn bang
duong duy nha't
ciia
phuong trinh dang (0.1). Trong
[Ij,
lac gia da ap dung ket
qua nay
dd
xac dinh dieu kien phat
Irien
ben vung trong hai mo
hinh
quan the
sau
va
' -t
71
—
Til
-TTI+I
—
AT„
H"
1
+
a'j„_,,i
Tuy nhien, trong nhieu truong hgp

don dieu giam va g
Mx moi
ham lien tuc. khong
am,
don dieu tang. Nhom tac gia
tren
nhan dugc
moi
so dieu
kien
du de
moi
nghiem cua (0.1) hoi tu den trang thai can bang
JiMne
duy nhat va ho cung ap
dung cac ket qua
llm
dugc cho mot so
plurong irinh
nhu
•Tn+i
=
A.r„
-i-
^
•
_,
p
^n+1 — ^^n
+

/
e C{R)
va
m
la mot so nguyen duong c6
dinh. Phuong trlnh nay co the dugc vict lai
duoi
dang (0.1) voi
A = -^ e (0,1)
va F{x)
—
-^f{x),
Vx e
K.
A. F. Ivanov da nhan dugc mot so ket qua
\c tinh
cha't cua nghiem phuong trlnh nay nho
vice
nghien cuu
ifnh
chat cua anh xa /.
A. F Ivanov cung ap dung cac ket qua cua
minh
cho cac phien ban
rai
rac cua
m6
hlnh san xua't te bao mau Mackey - Glass va mo hlnh quan the ruoi xanh
Nicholson ma nhom tac gia Karakoslas G., Philos Ch.
G.,

m e
N.
Tuv
nhien,
iron rbirc le ibi he
so song sol
\-v bicn
thien theo thoi gian va su
phai triOn
cua quan
the
thuong phu
ihuoc
nhieu cham
bi chan, co trong s6'. Nhung quan the nhu
va>-
c6
the
^hhic
mo la boi
phujng
trlnh sai phAn sau
r
x„4i -
A,j-„
i
^(i.(n)r(i-,,_.,,).
f03)
t=i
R6

tu cua nghiem de'n trang thai
can
bang duong va su t6n tai nghiem
tudn
hoan kh6ng
tdm
thucmg, cho ta tha'y
viec nghien cuu
tinh chSft ciia
nghiem hai lop phuong trlnh sai phan phi tuyen co
cham (0.1), (0.3) va ung
diing
cua n6 trong
ITnh
vuc sinh hoc la
m6t
va'n de co
tfnh
cha't thoi su.
Ngoai ra, viec nghien cuu
tinh
cha't cua nghiem phuong trlnh sai phan huu ty
a + PXn + 7Xn_i
trong do n
6
N,
xo.xj
la 2 so thuc khOng
am
cho truoc va

chat hoi tu va tuan hoan cua nghiem
phuong
trinh
nay.
Luan an tap trung nghien
ciru mdt
s6' va'n de dinh ti'nh cua
phucmg
trinh sai
phan
va
ung dung.
NhiJng van
de dugc nghien curu trong luan an bao g6m:
I. Tfnh cha't
ciJa
nghiem
m6t
lop phuong trinh sai phan
phi
tuyen
v(ti m(M
cham (0.1) va
m6t \dp
phucmg trinh sai phan phi
tuyCn vai
nhieu cham
8
(0.3).
TCf

Trong ban luan an nay, chung
I6i
su dung
phucmg
phap tap
gi&i
han
UJ
d^
xdc
dinh su
h6i
tu cua moi nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen voi
mOt
cham (0.1) de'n trang thai can bang duong duy nha't ciia no. Phuong phap
cd
dien
la
phie'm ham Liapunov
khOng
hieu qua
dC'i
voi nhieu phuong trlnh dang (0.1).
Ngoai ra,
chiing tdi
dung dinh ly
didm
bat
d6ng khdng cue
bien cua Browder

nggt,
h&'\
tu toi trang thai
can
bang duong duy nha't
vcd
ta't ca cac cham hay voi cham nho; dac biet la dieu kien de t6n tai nghiem
tuln
hoan
khOng tfim
thucmg. Xac dinh dieu kien diet vong.
irucmg
ion,
phat
men
b6n
vung va
tudn
hoan cua cac
quiin
the sinh hoc dugc mo hlnh hoa boi phuong
irlnh
nay. Ngoai ra, Chuong 1 con chi ro
sir
tuong
thich ve iinh
cha't cua nghiem
phuong trinh
sai
phan phi tuyen co cham (0 1) va phucmg trlnh v:

tu^
hokn
xac dinh
di6u
kien diet vong, trucmg t6n hay
tufe
ho^
cho cac
qu^
thi sinh hoc dugc
m6 hinh hod
bcri
phuong
trinh
(0.3). Ngoai ra,
cdc
k^t
qua
v6 tinh
dao
d6ng
cua
nghiem phuong trinh (0.3) (trong trudng hgp
An
= 1, Vn €
No)
la mo
rOng v6
mat toan hoc cho
m6t

de'
moi nghiem
ciia
mot s6' lap phuong
trlnh sai phan huu ty dang (0.4)
hOi
tu toi trang thai can bang ducmg duy nha't
cCia
chiing.
N6i
dung
chinh ciia
luan an dugc
cOng
b6' trong cac
cOng
trlnh [1-4] cua tac
gia va da dugc bao cao o cac
hOi
nghi khoa hoc va xemina sau:
- Xemina "Giai
tich
- Dai
s6'"
ctia
Trucmg Dai hoc Khoa hoc Tu nhien, Dai
hgc QuO'c gia Ha
nOi.
- Xemina "Phuong phap giai phuong trinh vi phan" cua Khoa
Toan-Ca-Tin

nghi qu6'c te' lan
thii
II
ve
giai
tich
truu tugng va ung dung (04 - 09
thang 06 nam 2005 - Quy
Nhcm).
CHTJDNG
1
VE MOT
L6P
PHUONG
TRINH SAI PHAN PHI TUYEN
V6l
MOT
CHAM
Xet phuong trinh sai phan phi tuye'n voi
mOt
cham dang
X„+i
=
AXn
+
F(x„_„),
(1.1)
trong do
m
la

mOt
s6 tinh cha't
ciia
nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen
voi m6t
cham (1.1). Cu the la, ta se xac
dinh
mOt sO
dieu kien de moi nghiem
ciia
phucmg trinh tren la
hoi
tu
ve 0,
gidi
npi nggt
hay hoi tu toi trang thai
can
bang ducmg duy nhat. Dac biet la dieu
kien
de ton
lai nghiem tuan hoan khOng
tam
thucmg
ciia
(1.1). Muc thu
hai
danh de
trlnh bay ung dung cua viec nghien cuu dinh tinh phucmg trlnh sai phan co cham
(1.1)

no thoa man (1.1) vdi ta't ca n
e
NQ.
Neu cho
trudc m
+
1
s6 duong
a^,
(i =
-m,
0) thi (1.1) co nghiem duy nha't
{xn}n^N-m Ihoa
man
di6u
kien ban
dSu
Xn = cin vdi
n
—
—m,
0.
Dinh nghla 1.2.
MOt
nghiem
{xn]n
cua (1.1) dugc goi la
gi&i
noi ngat
neu

Djnh
ly
1.1.
Dieu kien can
vii dii dc
moi nghiem
{x,,},,
ciu
(/./)
hoi iii idi
0
khi
n lien ra
vo
cung la
F{u) <
(1
- A)u
vin moi
u
> 0.
Chifng
minh. Truoc het gia su rang
/-'(u)
< (1 -
A);/
vai moi u
>
0. Goi
{x,,}.,

< +00.
n-+oo
Lafy f
> 0 la
m6t
s6'
nho tuy
y.
Dat
TV = yV(e)
sao cho
F(x„__^)
<
^2
+
-^ vdi
moi
71
>
A^.
Vdi n > A'' ta co
<
XXn +£2+ ^•
La'y
gioi han tren hai ve ta nhan dugc
Vi
e la
s6 nho bao nhieu tuy y nen dieu nay cho ta
Mat
khac,

Vi
vay ^2
< (1 -
A)^i.
Tiif
(1.4) ta co
Tiic
la
£2
<
£2 (v6
1^).
vay
^3
=
0
do do
h
=
F{£3)
=
F(0) =
0 suy ra
£1 =
0.
Nhu vay,
lim
Xn
= 0.
n—¥oo

chung minh rang
Xn
> 1
vdi
moi n. Bang quy nap, gia su rang
x^
> 1 vdi
k
^^n.
The'
thi
Xn+l ^ '^^n I -^ \Xn-m)
>
A
+ (1-A) = l.
VI
vay
x„
> 1
vcfi
mgi n, do do
Xn
khong hoi tu toi 0. Dinh ly duoc chung
minh.
LJ
Nhan xet 1.1. De
iha'y
rang neu F(x)
=
c (hang

la gicn n6i
ngat.
14
Dinh
ly
1.2. Gia su
rang
F{x) =
H{x,x),
trong
do H :
[0,oo)
x
[0,oo) -^ [0,oo)
Id
ham
lien
tuc,
dong bien theo bien thii nhat nhUng nghich bien theo bien
thu
hai
va
H{x,y)
> 0 neu x,y > 0. Gia
thiet them rang
limsup
:^A^
<1-A, (1.5)
(x,y)-¥{co,oo) X
Uminf

-m, ta
dinh nghla
kn '= inax{p
:
—m ^
p
K
n,Xp
—
max
x^}.
Nhan
xet
rang
A;_^
^
fc.^+i
^ • • • ^
A:„
^
oo va do do
lim
x^-, =
oo.
n—>oo
Chgn
no
> 0 sao cho
kn^
> 0. Vdi n >

bi^n
x)
nen
ta cd
hm
sup
^
hm sup
—^-—^ ^
1
—
A.
(3:,v)->(oo.oo) X
n-^oo
Xfc^
Di6u
nay
mau thuSn
vdi (1.5). Do dd,
{xn}n
bi chan tren.
Tiep
theo, ta chung minh rang
Uminf„_,ooXn
> 0. Bang phuong phap chung
minh phan
chung,
gia su rang hm
inf^-^oo
2:n

no
> 0 sao cho
.s^
> 0. Vdi n >
no
ta cd
va do dd
Dieu nay dan den
^ AX,„
+//(x,„_i_m,C)
lim
//(x,^_i_m,C) = 0
hm
Xs^-\~r7,
=
0,
n—>oo
Mat khac,
X^,^
^ AX,„_1 -f //(x,^_i_,.i,X,,-l-m)
(l-A)x,,^
> //(x,^,x,,^_i_.,)
(VI
x.,„
^
x,„^i
„,
va
//(x,j/)
la

tSft
ca
cdc di^m
tu cua day cac vec to
{v^
=
(x„_^,
Xn-m+i,
* • • , Xn)}n la
tap gidi han 6
me
ga
ciia {xn}n
va ki hieu la
u{x),
Nhan
x^t
1.2. Tap gidi han
a;(x)
compact va
b^t
bie'n
ddi
vdi anh xa
xac dinh boi
Tv^
=
v^_^^,
Neu
mdt

(1.1) vdi mgi n sao cho
lim sup Xn =
PQ,
liminfxn = Qo
n-^oc
"^-^^
va
Ta cd
va he qua la.
Qo^Pn^
PO.
Qo ^
Qn
<
PO^
^n G
Z,
Po = AP_i +
F(P-m-i),
Qo
- AQ_i ^ F(Q n-l)
FjP.m ) ^ ^ F((?_._.)
1-A
'
""
1-A
Tit
cOng
thuc nay ta co
—^

X
=
X
€ (0, oo).
Tit
se xac dinh dieu kien de moi nghiem
ciia
(1.1)
hoi
tu
tai
trang
th^i
can bang duy nhat x voi tat ca cac cham.
17
Dinh ly 1.3. Gia
si(
F
Id
hdm
dcm
dieu tang vd
limsup
< 1
X—•oo
X
liminf^^""^
>1-
-A
-A.

va
{Qn}n€Z
cua (1.1) sao cho
.imsupXn
n—*oo
=
Po,
liminf Xn =
Qo
n—>oo
(1.9)
va
Qo ^ Pn ^ -^0
Qo
^
Qn
^
Po.
Vn
e
Z.
Hon nua,
va tuong tu
Dat
_ ^ F(P-^^i) ^ F(Po)
Xn ^ " ^
1 -A
1-A
F(Q_^-i) F(C?o)
1-A

=
Qo
=
^-
Theo
gia thiet thi
tru5ng
hgp thu hai xay ra. Dinh ly
dirge
chung minh.
•
Dinh ly 1.4. Gia
si(
F la ham
chm dieu
gidm.
Dat
F(x)
/(x) =
1_A
I
CAIHO.
".&
i,r.
'HI
( •• I
V
L(
/M:L
18

Qo
va
Vi vay,
va tuong tu
Qo
^ Pn ^
Fo,
Qo
^
Qn
<
Po.
Vn
G
Z.
P„,n^,^.,^0)^:5.
Qo
^
^^^f^
^
f{^)
=:
a,
Xet he cac phuong trlnh sai phan sau
fln+i =
fibn),
5„+i
=
/(a„)
vai n e N.

x.
VI
vay,
liin„_.>:
a,.
-
liiii„ :x.
b„ -
7 va do
do,
Fo =
Qo =
^- Dinh
ly dugc chung minh.
^
19
Ti6p
theo, ta gia
si
rang vdi
yo
> 0, ta cd
F{yo) =
raaxF(x)
x^O
va
F
la
ham don dieu tang trong
[0,yo]i

F{yo)
., , /I
Tj\
Po ^ —.
_
. ^
T^
^ ^^^^^'' ^ '
Dinh
!y
1.5, Gia
sH
rang /(yo)
^ yo va (J.8)
cung dugc gia thiet la
diuig.
did sir
{xn}n
i^
^g^
nghiem gi&i noi nggt cua
(LI).
The thi
{xn)n
hoi tu den x.
Ciiirng
minh.
Tir
(1.12) va (1.13) ta cd
Pn ^ Po ^ yo>

Hminf,
.„C(J-)
>
0.
Do
66, hai irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong
[O.Qo]
va
[/'o.oc)
c6 hai
20
dlim
K\K"
khac nhau sao cho
^{K')
=
^{K")
=
0, hoac
PQ
=
Qo =
x.
Do gia
thieft
cua ta trudng hop thur hai xay ra. Dinh
If
dugc chumg minh.
D
Xet trudng hgp /(yo) >

/(x)
= xvd linin-^oo
f'ix)
= x
v&i
mgi
x
G
int/.
The thi, mgi nghiem
{x^jneN-^^^i
G int/,
i
= -m,0 ciia
phuong trinh
Xn + l =
—rXn
+
—-/(Xn_m),
M
>
0
fl+
1 /i + 1
hdi
tu t&i X.
Dat
/
la doan [0,/(yo)]. Ro rang ham
/

tat cd x G
/.
The thi mgi nghiem
gi&i ndi nggt ciia
(LI)
hoi tu
t&i
x.
Chimg minh. Nhu da de
cap
0 tren vdi mdt nghiem
gidi noi
ngat
{x^Jn
ta phai
cd
Xn
G
/
vdi ta't ca n
trir
mot sd huu han
chi
sd n.
VI
vay khong
mat tinh
tong
quat ta gia su rang
x^

Ph6p
chumg
minh ciia bd
d6
1.2 cd thi tim
th^y
d [27], [51].
B6
di 1.1
va
1.2
cho ta dinh ly sau:
Dinh ly 1.7. Gia
sUt
hdm f co dgo hdm den cap 3 tren /,
|/'(x)|
^
1
vd
dgo hdm
Schwarzian
^'^^> - m 2 (/'(x))
ciia f dm trong I \ {x}. The thi mgi nghiem gi&i noi nggt cua
(LI)
hoi tu
t&i
x.
1.1.4 Hoi tu
tdri
trang thai can

n—>cc
n—•oo
Chiaig
minh. Ggi
{P„}n^z
va
{Q„}„gz la
cac nghiem co
nguOn
goc cua phuong
trinh (1.1)
vdri Po = limsup„_^^x„
va
QQ
=
liminf„^3c
^n-
Ta co
Qo =
AQ_i
+
F((?_i_„0 ^ AQo
+
F(C_i-m),
do do
Qo ^
/(Q-i-m).
Nhung
Qo ^
Q-i-m,

,
+
AF(Q ,
„.)
+ F(Q-: n)
TTl
j=0
22
Mat khac,
Po
= AP.i
+
F{P_,_m) ^
APo +
F(P-i-^),
nen Po
^ /(P-i-m)
< /(yo).
Nhimg Po ^
P-i-m.
do dd
P.^^m
^
/(P-i-m).
Mat
khac,
ta cd y > /(y) vdi mgi y G
(x,oo).
Vi vay,
P-i-m

^ L2(x -
x)
V(77'
W(?/
X G
[x,/(yo)].
(1-lG)
/LA/*
Jd
mgi nghiem gi&i noi ngiit {x„}n
ciia (LI)
hoi tu den x neu
A"*^^
> 1
Chimg minh. Ggi
{Pn}nGZ
va
{Qn}nez la
cac nghiem cd ngudn gdc cua phuong
trinh (1.1) vdi
Po = nmsupn_,oo^n
va
Qo - liminfn^oc
:Cn.
Tu menh de 1.1 ta cd
A"^+'X
< Qo
^
P-m-l
^X^