2/5/2015 BÀI TOÁN LIÊN
QUAN ĐẾN TÍCH
CHẤT HÌNH HỌC
Chuỗi tài liệu độc
Nhà sách Lovebook
VEDU CORP
Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Lovebook.vn | 1
Chuyên đề: Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Bạn hiểu không? Nếu không hãy chạy đi tìm cuốn tự điển xem áp chót là gì. Làm ngay đi. Chương này vẫn sẽ
chờ bạn tại đây ngay khi bạn trở lại. Tôi hứa đấy!
Hoan hô những bạn đã biết áp chót là gì
Hoan hô cả những bạn chạy đi tìm từ điển.
Với những bạn hơi bị lười, thôi để tôi nói ngay: Áp chót là chương trước chương cuối của cuốn sách.
Đó, vậy thôi. Đây là chương áp chót trong cuốn sách “Chinh phục hình học giải tích trong mặt phẳng”. Thật
không thể tin nổi, mới ngày nào chúng ta cùng nhau khám phá phương trình đường thẳng, vậy mà bây giờ
chúng ta đã gần tới đích rồi. Còn thử thách cuối cùng đang đợi bạn chinh phục trước khi tôi dám khẳng định
100% bạn có thể làm được câu Oxy trong đề thi đại học.
Tôi phải nói trước, chương này không hề dễ. Có những bài được lấy từ tạp chí Toán tuổi trẻ, đề thi của các
trường chuyên.
Đúng như tên gọi “liên quan đến tính chất hình học”, mỗi bài toán trong chương này sẽ gồm 2 phần rõ ràng:
phần hình phẳng và phần giải tích. Ở phần hình học phẳng, các tính chất liên quan đến hình tròn sẽ được khai
thác triệt để, từ tâm nội tiếp, ngoại tiếp đến góc chắn cung, tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp.
Còn bây giờ chúng ta lên đường.
Lovebook.vn Your dreams – Our mission
Lovebook.vn | 2
PHẦN 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
c a b 2ab.cosC
+) Định lý hàm số sin:
)
a b c
2R
ACsin sinB sin
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
)
ABC
1 1 1
S bc A ac B ab C
2 2 2
.sin .sin .sin
II. Định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng:
1. Định lý Ta-lét trong tam giác:
Nếu một đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó định ra trên hai đoạn thẳng còn lại những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
AB AC AB AC B B C C
BC B C
AB AC BB CC AB AC
' ' ' ' ' '
/ / ' ' ; ;
''
+) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g.
+) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc
vuông…
Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì:
+) Tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng
dạng.
+) Tỉ số hai diện tich bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
III. Các tính chất của đường tròn:
1. Góc ở tâm:
+) Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn (góc
AOB
)
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Định lý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì số đo cung
AB
bằng số đo cung
AC
cộng số đo cung
CB
2. Góc nội tiếp chắn cung:
+) Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
*Tính chất:
+) Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Lovebook.vn Your dreams – Our mission
BAD DAC BD DC
+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng
903. Cung và dây căng cung:
Xét 2 cung nhỏ trong một đường tròn:
Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Lovebook.vn | 5
+) Hai cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau và ngược lại hai dây bằng nhau được căng bởi 2 cung bằng nhau:
AB CD AB CD
+) Cung lớn hơn căng dây cung lớn hơn và ngược lại:
AB CD AB CD
Liên hệ đường kính và dây căng cung:
+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một cung thì đi qua trung điểm dây căng cung đó.
+) Trong một đường tròn, đường kín vuông góc với dây không đi qua tâm thì chia cung căng dây đó thành hai
cung bằng nhau.
Định lý dây song song:
+) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
AB CD AC BD//
4. Tiếp tuyến – Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây căng cung:
a) Tiếp tuyến:
Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:
-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.
-Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.
-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nội tiếp.
(Trong đó )
-Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó )
-Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …
Lợi ích: Chứng minh được các góc nội tiếp chắn cung bằng nhau
M AB CD; N AD BC
P AC BD
Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Lovebook.vn | 7
PHẦN 2. BÀI TẬP NHỎ
Đây là những bài toán hình học phẳng cơ bản nhằm mục đích giúp các bạn nhớ lại những kiến thức cũ đã học từ
cấp 2 để có thể tiếp cân được một cách dễ dàng nhất với các bài toán giải tích phẳng sử dụng tính chất hình học.
Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC.
CMR: 1. Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và nêu cách dựng O.
2. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC
Lời giải:
1. Gọi các đường cao của tam giác ABC là AN, BM, CN. Ta có:
ANH HMA 90 90 180
tứ giác ANHM nội tiếp
BAC NHM 180
Mặt khác có
NHM CHB
(đối đỉnh) và
OI 1
AH 2
(tính chất đường trung bình)
OI GI 1 1
GI AG
AH AG 2 2
hay
1
GI AI
3
G là trọng tâm tam giác ABC
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA và PB (A ; B là hai tiếp
điểm). Từ A kẻ tia song song với PB cắt (O) tại C
CA
. Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD
cắt PB tại E.
1. CMR:
EAB EBD
2. CMR AE là trung tuyến của tam giác PAB
Lời giải:
1. Xét hai tam giác
EAB
và
EBD
PEAchung
EP ED
ΔEAP ΔEPD g.g = EP = EA.ED
EA EP
EAP = EPD
(2)
Từ (1) và (2) ta có EB = EP nên AE là trung tuyến của tam giác PAB
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2. CMR 4 điểm A, E, D, B nằm trên cùng một đường tròn
3. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEDH ta có:
CEH =90°
CEH CDH
CDH =90°
Mà
11
BA
(cùng phụ với góc ACB)
1 3 1 2 3 2
E E E E E E BEA OED
Mặt khác
BEA 90 OED 90 DE OE
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm 2 đường chéo, E là điểm đối
xứng của D qua C. Biết điểm
13
M
22
;
nằm trên đường thẳng BC, điểm
33
I
;
phương trình đường tròn
2
2
31
O OM x 1 y
24
;:
Tọa độ điểm N là nghiệm hệ phương trình:
2
2
31
x =1;y =1
x -1 + y- =
24
x =1;y = 2
x =1
Lời giải:
Vì
AN MF AM AMFN/ / ; / /NF
là hình bình hành
Xét
AMB
và
AND
có
O
BM ND
ADN ABM 90 AND AMB
MAB DAN
AD AB
AN AM
(c g c)
ACM 135
nội tiếp
O
ACF AMF 90 AC CF
Vậy
AC CF
.
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có 2 đường chéo cắt nhau ở I. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đường
thẳng AH và BK cắt nhau ở E. Chứng minh
HK IE
.
Lời giải:
Ta có ABCD là hình chữ nhật có I là giao 2 đường chéo
IAB
cân tại I
BH AK
BK AH
BI AI
A
D
N
F
M
B
C
BC
.Nhắc lại kiến thức và
khái niệm liên quan đến cung trong đường tròn:
+) Tính chất liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn: nếu hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung tương ứng
bị chắn bởi hai góc đó cũng bằng nhau
+) Tính chất liên hệ giữa cung và dây căng cung: nếu hai cung bằng nhau thì hai dây căng cung tương ứng của
hai cung đó cũng bằng nhau. Dây căng cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung
Quay lại bài, AD là phân giác trong góc
BAC
nên
BAD DAC BD CD BD CD
(tính chất 2 góc chắn cung
bằng nhau thì hai cung tương ứng bằng nhau dẫn đến 2 dây căng cung bằng nhau)
ID BC
do I và D cùng
nằm trên trung trực của BC. Từ đó viết được pt ID. Gọi pt BC vuông góc ID thông qua ẩn m và dựa vào dữ kiện
khoảng cách để tìm ra m và có pt BC.
Bài giải:
IA =
5
2
(C):
1
x=
2
-1
y=
2
D
1 -1
;
22
AD là phân giác trong góc
BAC
BAD=DAC
BD=DC
ΔABC ΔIBC
d A; BC =2d I; BC
MàID BC (BC):-6x –8y+m=0
S =2S
2 2 2 2
3
-6.2- 8. +m
-6.4- 8.3+m
2
=2 m -48 =2 m-24
6 +8 6 +8
m=0Lovebook.vn Your dreams – Our mission
Lovebook.vn | 12
Vậy phương trình
BC :3x+4y =0
Bình luận: Bài toán trở nên “đẹp” hơn rất nhiều nhờ hình vẽ. Đây là một tính chất rất hay nhằm tạo ra mối
liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp với phân giác trong – hai yếu tố tưởng chừng như chẳng có gì liên quan
lại có thể đến với nhau. Đây mới là bài đầu tiên, càng về sau càng có nhiều “mối quan hệ ngầm” vô cùng thú vị
và có những sợi dây liên kết các yếu tố gần như không tưởng.
Bài 2 (Ams lần 1 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có đỉnh
5
AK =
2
K:
2
2
5 25
x - + y -3 =
24
Pt
AI :
x -1 y -5
=
2-1 2-5
3x+y -8=0
51
;
22
AD là phân giác
ABC
BAD= DAC
BC=CD
(góc chắn cung)
D là điểm chính giữa cung
BC
BD
= CD
Xét IBD:
22
5 1 5
x - + y - =
2 2 2
Khi đó tọa độ B và C là nghiệm hệ phương trình:
Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Lovebook.vn | 13
22
2
2
5 1 5
x - + y - =
, chân đường
cao kẻ từ A là điểm
K -1;1
. Tìm tọa độ A, B, C.
Định hướng: Từ kinh nghiệm của bài trước, khi gặp bài toán ít dữ liệu và liên qua đến tâm các đường tròn
chắc chắn sẽ phải kẻ thêm đường phụ. Điểm khác biệt của bài toán này nằm ở trực tâm H thay vì tâm đường
tròn nội tiếp. Đề bài không cho bất cứ thông tin nào liên quan đến đường phân giác trong, nhưng cứ vẽ vào vì
ta vừa có 2 tính chất đặc biệt liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và phân giác. Kẻ phân giác trong AD, ID
cắt BC tại M thì M là trung điểm BC. Nếu chỉ dừng ở đây thì vẫn chưa làm được mà ta cần kẻ tiếp hình. Nào nhìn
cho kỹ kẻo kẻ nhầm đường một phát là toi đấy. Mấu chốt sẽ liên quan đến điểm M mà ta vừa tạo ra. Chỉ có 2
điểm chưa nối vào M đó là A và H. Trời ơi đến đây mà bạn nào nối AM thì buồn lắm đấy ==”. Nối HM và tiện
tay dắt dê nối luôn AI rồi cho AI và HM cắt nhau thử xem. “2 đứa nó” cắt nhau tại một điểm nằm trên đường
tròn đấy, thú vị không? Đặt tên cho cháu nó là E, cháu nó là thiên tài đấy tin không? Này nhé AIE là đường kính
nên
ACE ABE 90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) dẫn đến
EC AC
và
EB AB
. Mặt khác do H là trực
tâm nên
BH AC
và
CH AB
từ đó ta sẽ có tứ giác BHCE là hình bình hành tâm M. Với tọa độ các đỉnh cho cùng
với tính chất vuông góc ta viết được phương trình HK, BC, ID và từ đó có tọa độ M, E, A.
Bài giải:
+ Kẻ đường tròn ngoại tiếp ABC
+ Kẻ phân giác trong góc
HK
:
x =-1
phương trình
BC :
HK
K -1;1qua
là
BC :
y =1
phương trình
ID :
A -1;-5
IA =
25
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC:
22
x -3 + y+3 =20Lovebook.vn Your dreams – Our mission
Lovebook.vn | 14
Gọi
B
B(x ;1)
và
C
C(x ;1)
ta có hệ:
2
2
hoặc
A -1;-5 , B 1;1 , C 5;1
Xét cách giải khác như sau:
Phương trình
IH :
x -3 y +3
=
-1-3 3+3
3x+2y -3=0
Phương trình
HK
:
x =-1
A -1;a
phương trình
BC :
/ /(HK)
IM :
quaI 3;-3
là
IM :
x =3
M 3;1
Gọi G là trọng tâm ABC. Theo tính chất của đường thẳng Ơ-le
I, G, H thẳng hàng
G IH
. Do G là
trọng tâm ABC
2
AG= AM
3
5 a 2
3. +2. + -3=0
3 3 3
a =-5
A -1;-5
Tiếp theo các bạn làm tương tự như cách 1.
Bình luận : Cách làm này các bạn chỉ nên đọc để tham khảo bởi vì đường thẳng Ơ-le không có trong sách giáo
khoa. Nhưng nhìn chung thì ngắn gọn hơn cách 1 phải không nào !
Một cách giải khác nữa:
Kéo dài AK cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại M.
Ta có:
MBC=MAC
(góc nội tiếp chắn
MC
)
HBC=MAC
(góc có cạnh tương ứng
)
Đó là kinh nghiệm của một người đã được huy chương vàng toán quốc tế !
Bài 4: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm
H 2 1;
và tâm đường tròn ngoại
tiếp
I 1 0;
. Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – 2y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B,
C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm
E 6 1;
và hoành độ điểm B nhỏ hơn 4.
Định hướng: Tiếp tục với sê – ri “các loại tâm”, bài toán này đề cập đến tâm ngoại tiếp và trực tâm. Nhưng bài
này có một sự ảo không hề nhẹ với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Quả thật nếu cho dữ kiện như vậy thì
mỗi việc vẽ hình thôi đã là vô cùng khó khăn rồi. Có một điều các bạn cần phải rèn luyện được, đó là “cảm nhận
hình học”. Hay nói theo cách khác đó là “nghĩ theo cách của người ra đề”. Không bao giờ người ra đề lại đi cho
một bài quá khó đến mức không ai giải được ở chuyên đề Oxy này mặc dù đây là câu điểm 8. Và thông thường
thì gợi ý cách làm đã nằm sẵn trong các dữ kiện đề bài rồi. Dữ kiện “đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua
điểm
E 6 1;
” có thể hướng đến hai luồng suy nghĩ:
- Đã có tọa độ H, ta tìm thêm một điểm nữa thuộc đường tròn sẽ viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác HBC. Tìm thêm phương trình BC và giải hệ ta được tọa độ B và C.
- Đề bài cho một dữ kiện rất mù mờ đó là “Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – 2y –
1 = 0”. Phải chăng muốn hướng ta đến việc gọi trung điểm của BC ra ?
Hướng đi thứ nhất ngay lập tức đâm vào ngõ cụt bởi không có cơ sở nào để tìm ra thêm một điểm, mặt khác
nếu có viết được thì cũng không có phương trình BC để giải hệ tìm tọa độ B và C. Theo phương án 2, ta sẽ tham
số hóa tọa độ trung điểm BC là
24t 24 t 1 M 3 1;
Do M là trung điểm của BC nên BC nhận
IM 2 1;
làm vtpt suy ra
phương trình BC:
2 x 3 y 1 0 2x y 7 0 B 7 2k 4k; ,k
Với t = 1 ta có tọa độ điểm
J 5 2;
, kết hợp với B và E đều nằm trên đường tròn tâm J nên
22
2 2 2
k = 2
JB =JE k -5 + 5-2k =10 k -6k +8= 0
k = 4
So sánh với điều kiện k < 4 ta được k = 2
B 2;3
BAC 90
Theo
Pitago ta có
2 2 2
AC = AB + BC
và đồng thời
ABC
1
S = .AB.BC
2
= 5 ta sẽ có 2 phương trình 2 ẩn đối với độ dài của
AB và BC. Sau khi có được độ dài AB, thông qua hệ thức lượng
2 2 2
1 1 1
h a b
trong tam giác vuông AMC và
Pitago trong tam giác vuông AMI ta tìm được độ dài MI và tọa độ điểm M.
Bài giải:
C:
I 2;1
2 2 2
ABC
11
S = .AB.BC= .a. 20-a =5 100=a . 20-a
22
42
a -20a +100=0
2
2
a -10 =0
2
a =10
Xét AMC (
MAC
= 90
০
):
2 2 2
1 1 1
M t;-t –2
22
2 2 2
MI = t –2 + -t –3 =25t –4t+4+t +6t +9=25
2
2t +2t –12=0
t =2
t =-3
Vậy
M(2;-4)
M(-3;1)
Bình luận : Tự dưng trong phần chuyên đề hình học lại tòi ra một bài giải dùng toàn đại số. Thế nhưng thực
00
A x y';
là điểm đối xứng với A
qua BJ ta sẽ có trung điểm AA’ là
00
x 2 y 6
BJ
22
;
ta được phương trình thứ nhất. Mặt
khác
BJ BJ
BJ AA' u AA u AA 0' . '
ta được phương trình thứ hai. Giải hệ ta tìm được A’ từ đó có pt BC.
Bài giải :
Do J là tâm đường tròn nội tiếp
ABC
nên BJ là phân giác trong góc B. Ta có tính chất phân giác trong và ngoài
của cùng một góc trong tam giác vuông góc
BJ d x y 7 0:
Gọi
2
2
a =6
1 125
A 2;a x
A 2;6
A 2;
2 2 a 1
a=
2
-4
-4
4
:
00
00
x 2 y 6
BJ x y 1 0 x y 1 0
22
;:
Mặt khác
BJ BJ 0 0
BJ AA' u AA u AA 0 x 2 y 6 0' . '
Giải hệ phương trình và ta được
0
0
x =7
A' 7;1
y =1
phương trình
CC
CC
C 0;
1 125
x + + y -1 =
24
C -3;-4 ( B)
x-
5
2y -5=0
Tương tự với
A 2;-4
ta có
C 3 6;
Bình luận: Bài toán này thực tế chỉ là thay “1+2=3” thành “2+1=3” mà thôi. Các bạn thấy cốt lõi vẫn là kỹ
thuật bắt đối xứng qua phân giác trong. Hãy khai thác triệt để các vấn đề liên quan vì không ngẫu nhiên mà
người ra đề cho một đường “trên trời”. Người ta đã chọn tức là chắc chắn có liên quan, các bạn cứ yên tâm.
Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang vuông ABCD (góc vuông tại A và D). Biết BC = CD = 2AB. Điểm
N(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình
x - 2y =0
. Tìm tọa độ đỉnh A.
Lovebook.vn Your dreams – Our mission
Lovebook.vn | 18
Định hướng: Bài toán có rất nhiều dữ kiện hình học, đặc biệt nằm ở chỗ BC = CD = 2AB nên trước hết ta phải
BCD đều
DN BC
NDC
= 30
০
NDA
= 60
০
11
DM= DC= DB DBM=
22
30
০
DBN
= 60
০
ANB
= 30
Ta có:
AN AD
2
2
AN AD
y - 2(1- y 2)
n .n
cos60°= =
n . n
y + 1- y 2 . 1+2
2
3
. 3y -2 2y +1 = 3y - 2
2
2
2
3
. 3y -2 2y +1 = 3y - 2
4
2
27y -18 2y+5=0
.Tìm tọa độ H.
Định hướng : Nhìn đề bài thật ngắn gọn xúc tích phải không ? Nhưng đừng vội mừng, tất cả những gì đẹp đẽ
chỉ cốt che giấu bản chất nguy hiểm bên trong mà thôi. Để giải bài toán này ta phải lật lại từ lớp 9 với những
kiến thức về tứ giác nội tiếp. Trước hết là những dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp:
+) Tổng 2 góc đối của một tứ giác bằng
180
. Trường hợp dễ nhận ra nhất đó là có 2 góc vuông đối diện nhau
Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Lovebook.vn | 19
+) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn xuống cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau.
Vậy thì ở đây tứ giác AMHC sẽ là tứ giác nội tiếp. Suy ngược lại dấu hiệu nhận biết ta sẽ có góc
AHC
AMC
45
vì là góc nội tiếp cùng chắn cung
AC
nên tam giác MAC vuông cân tại A. Ta viết được phương trình AB
và có tọa độ điểm A và tọa độ điểm M là trung điểm AB. Tham số hóa C trên (AC) rồi giải phương trình độ dài
AM = AC ta có điểm C. Viết phương trình BC và phương trình MH rồi giải hệ ta tìm được điểm H.
Bài giải :
Xét tứ giác AMHC có
MHC MAC 90 AHMC
là tứ giác nội
tiếp
AHC AMC 45
(cùng chắn cung
AC
3
x=
x+y -3=0
33
2
A;
x -y =0 3
22
y=
2
M là trung điểm AB
93
M
44
;
C AC x y 0 C: c;c
39
4
AM= AC AM = AC c - =
3
2 16
33
c=
C;
4
44
Với
9 9 3 9
C ; BC
4 4 4 4
;
phương trình
Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình :
9
x=
x -3y =0
4
3x+y -9=0 -
9 -1
H;
44
1
y=
4
Tương tự với
. Một suy nghĩ rất tự nhiên đó là tạo ra một tam giác
vuông cân bằng cách hạ vuông góc từ C xuống AD tại I. Tiếp tục phát triển lên bằng cách lấy E đối xứng C qua I
ta được
CAE
vuông cân tại A và
CDE
cân tại D
11
DE DC DE DC
22
1
DE DB
2
. Nếu ta gọi K là trung
điểm DE thì hiển nhiên
BKD
đều
EBD
vuông tại B
tứ giác AEBC là tứ giác nội tiếp
ABC AEC ABH 45
rồi từ công thức cos ta tìm được A
Bài giải:
Lấy E đối xứng với C qua AD.
Vì
Ta có:
AH
22
a+4 -2 2-2a
1
cos BA;u =cos45° = a =±2
2
5 a+4 + 2-2a
Vì A có hoành độ âm nên
A -2;4
là điểm cần tìm
Xét cách giải khác như sau:
Phương trình
(AH)
:
quaB -4;-2
tan75°
33
+3
tan75°
Gọi
t =2 A 2;-4
5t
A t;-2t (AH):2x+y =0 AH=d A;BC = =2 5
t =-2 A -2;4
5
Vì A có hoành độ âm nên
A -2;4
là điểm cần tìm Bài toán liên quan đến tính chất hình học
Lovebook.vn | 21
Bình luận : Cách thứ nhất đậm chất hình học còn cách thứ 2 nặng tính đại số. Cách 1 phải suy nghĩ nhiều bù
lại biết mà lấy đối xứng như vậy cơ chứ ?’’ Thực sự thì khi lần đầu làm bài này anh chị đã phải nháp nát bét cả
giấy tẩy đi tẩy lại mãi mới tìm ra con đường lấy đối xứng này đấy chứ =.= Cái khó của bài này là chỉ có một
con đường duy nhất để làm. Từ BCEF là hình bình hành ta được BHEF là hình thang vuông dẫn đến AM là
đường trung bình của BHEF và từ đó có AM
BH
ta có pt AM. Đến đây nút thắt đầu tiên đã được tháo gỡ.
Bỏ lại những điều hụt hẫng để đến với điều hẫng hụt hơn, đó là nút thắt thứ 2 còn bị giấu kỹ hơn. Có một dữ
kiện ẩn trong đề bài mà không mấy ai để ý, đó là cos góc ECD hoàn toàn tính được. Ngạc nhiên chưa,
2 2 2
2
CD CD a 2
cosECD
EC
5
CD ED a
a
4
với a là độ dài cạnh hình vuông. Làm thế nào để chuyển từ góc
C
về góc
A
? Nhìn kỹ nhé,
ECD BAM
vì là 2 góc có cạnh tương ứng song song. Ta sẽ có
BH
M là trung điểm BH
B 1 2;Phương trình
(BH)
AM :
3 -6
quaM ;
55
là
AM 2x y 0( ) :
Lovebook.vn Your dreams – Our mission
Lovebook.vn | 22
2
cosBAM
5
AM
AM
AB u
2
5
AB u
.
.
Giả sử
A a 2a;
AB 1 a 2 2a;
thế vào ta được:
E AD CE
tọa độ E là nghiệm hệ phương trình:
2x+y - 4=0
y =2
E(1;2)
D(3;2)
phương trình
(AB)
:
quaB -1;-2
BC
là
(BC): y=-2
Quay trở lại, đề bài đã cho M và N là chân đường vuông góc hạ từ B và C nên có ngay tứ giác BCMN là tứ giác
nội tiếp và ta có
CNM CBM
là hai góc nội tiếp cùng chắn cung
CM
. Nếu ta gọi tiếp tuyến tại là AT thì sẽ có
TAB ACB
vì là góc chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây căng cung cùng chắn một cung. Từ đó ta sẽ
chứng minh được
MN AT MN OA//
. Sau khi có phương trình OA, A là giao của OA với đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC nên ta tìm được A.
AM 1 2 AN 2 2; , ;
lần lượt là vecto chỉ phương của AC và AB vì thế ta
có phương trình AB và AC rồi tiếp tục giải hệ ta có tọa độ B và C.
Bài giải:
(C) có tâm
O 0 0;
. Ta có
CMB CNB 90
nên tứ giác CMNB là
tứ giác nội tiếp
CNM CBM
Gọi AT là tiếp tuyến của (C), khi đó
TAB ACB
22
x =0
x0
y5
x +y =25
mà theo giả thiết
A
y <0
nên
A 0 5;
AM 1 2 AN 2 2; , ;
lần lượt là vecto chỉ phương của AC và AB
Phương trình AC là
2 x 0 1 y 5 0 2x y 5 0
Phương trình AB là
x 0 y 5 0 x y 5 0
Tọa độ C là nghiệm của hệ :
22
x -y -5=0
x =0;y =-5
B 0;-5
x =5;y =0
B(5;0)
x +y =25
Do đó
B(5;0)
và
C(-4;3)
Dễ thấy
AB AC 0 BA BC 0 CA CB 0. , . , .
nên
ABC
nhọn. Vậy
A 0 5 B(5;0) C(-4;3); , ,Bài 12 (Bắc Ninh 2014) : Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB. Gọi M và N lần
lượt là trung điểm AD và BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm MK. Tìm tọa độ các
đỉnh A, B, C, D biết
K 5 1;
CAD DKM
(góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà
DKM KDM 90 KDM DAC 90 AC DK
Ta có pt
AC :2x+ y-3= 0
DK:
quaK 5;-1
là
DK x -2y -7=0:
Gọi
AC DK I
. Tọa độ I là nghiệm hệ phương trình :
D
D
13
3 x -5 =5. -5
5
KI KH 3
ΔHIK ΔCID = = 3KD=5KI D 1;-3
DI DC 2
-11
3 y -5 =5. +1
5
Gọi vtpt của AD là
22
n a b a b 0;,
3x 4y 9 0 A
55
(AD): ;
loại
Vậy
A 1;1 ,B 3;1 ,C 3;-3
Bài 13 : Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. BM là đường trung tuyến.
Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại
E 2 1;
. Biết trọng tâm của tam giác ABC là
G 2 2;
. Xác định
toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm A có hoành độ dương.
Định hướng : Đề bài đã cho tam giác ABC vuông cân tại A, lại có G là trọng tâm
Kéo dài AG sẽ vuông góc
với BC tại trung điểm N. Mặt khác
BH AE
(BH chính là đường thẳng qua A vuông góc với BM đó)
G là trực
tâm tam giác ABE
GE AB GE AC//
mà
ANC
vuông cân tại N
rồi lại viết phương trình
quaA 3;3
AC :
MN
rồi giải hẳn 2 hệ
phương trình thì quá tội. Nhớ lại định lý Ta-let học từ lớp 8, ở đây ta có GE//AC nên
NG GE 1
NA AC 3
mà tọa độ G
và E đã cho sẵn nên ta tính được độ dài AC. Có độ dài AC và tọa độ điểm A ta viết được phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC do tam giác ABC vuông cân. Đến đây ta chỉ việc giải một hệ phương trình mà có
được cả tọa độ B và C.
Bài giải :
Gọi N là trung điểm BC
AN BC
BM AE H BH AE
Mà
BH AN G G
Copyright: Tài liệu đại học ©