Hình thành phơng pháp giải bài tập số nguyên tố cho học sinh lớp 6
Mục lục
Mục lục 1
Mở đầu 2
Vị trí số nguyên tố trong số học 2
Thực trạng học toán hiện nay của học sinh 2
Biện pháp đã thực hiện 3
Kết luận 10
Nguyn Th Ton THCS
1
Hình thành phơng pháp giải bài tập số nguyên tố cho học sinh lớp 6
Mở đầu
Vị trí số nguyên tố trong số học
Số học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông, nó đợc đa vào từ
những năm đầu của cấp THCS nhng hầu nh nó có mặt trong tất cả các kỳ thi học
sinh giỏi cấp cơ sở đến cấp quốc gia cũng nh các kỳ thi quốc tế. Nếu coi số học là
bà chúa của Toán học thì số nguyên tố là vấn đề trọng tâm của số học bởi mọi
số lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy
nhất. Bởi thể giải toán là vấn đề trọng tâm của ngời dạy cũng nh ngời học, nó là
hình thức tốt nhất để rèn luyện các kỹ năng, rèn luyện tính cần cù kiên trì nhẫn
nại và cũng rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Hơn nữa, giải toán cũng là thớc đo
năng lực của ngời học toán.
Thực trạng học toán hiện nay của học sinh
Hiện nay môn số học là môn mà đa số học sinh sợ nhất. Đối với những học sinh
lời học đã đành, còn đối với những học sinh chăm học mặc dầu thuộc lý
thuyết nhng vẫn không giải đợc. Với các bài tập số nguyên tố cũng không thoát
khỏi tình trạng này. Thông thờng học sinh chỉ hiểu và giải đợc những bài toán cụ
thể mà thầy đã giải chứ cha biết qua đó để học tập cách giải, cách suy nghĩ các
bài toán khác, ngay cả những bài toán tơng tự nhiều học sinh khi bắt gặp bài toán
là cứ nháp lia lịa chứ không định hớng đợc mình sẽ giải quyết nh thế nào?
Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này là:

Cho học sinh quan sát kỹ bảng số nguyên tố và thấy 2 là số nguyên tố bé
nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất. Và mọi số nguyên tố khác
đều là số lẻ.
Chứng minh rằng: 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Giả sử tồn tại số nguyên tố p 2 mà p chẵn nên p có dạng p = 2k (k N) ( P

2
và lớn hơn 2) p là hợp số. Vậy chỉ có duy nhất p = 2.
1.b) Học sinh quan sát bảng số nguyên tố thấy 2 và 3 là cặp số tự nhiên liên
tiếp duy nhất đều là số nguyên tố. Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên
tố duy nhất.
Chứng minh rằng:
+ 2 và 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất là nguyên tố.
+ Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất.
Chứng minh:
Thật vậy, xét cặp số tự nhiên liên tiếp a, a + 1 (a > 2) trong
2 số a
và a + 1 một số chia hết cho 2 nên là hợp số.
Xét bộ 3 số lẻ a, a + 2, a + 4 (a > 3) trong 3 số lẻ liên tiếp có
1 số là bội của 3, bội đó lớn hơn 3 nên là hợp số.
Kết luận 1:
+ 2, 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất là nguyên tố.
+ Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất.
Nhìn vào bảng số nguyên tố thấy từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố, từ 1 đến
100 có 25 số nguyên tố, từ 1 đến 1000 có 168 số nguyên tố. Vậy phải
chăng các số nguyên tố đợc sắp xếp một cách tha dần trên trục số.
Ví dụ 1. Hãy tìm 10 số tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên tố nhất (học sinh
nhìn vào bảng số nguyên tố sẽ thấy đó là các số tự nhiên từ 2 đến 11).
Gọi 10 số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, , a + 9 (a > 1).
Với a = 2 ta có các số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11 (có 5 số nguyên tố).

3 nên a + 7 là hợp số.
Vậy trong 5 số lẻ trên có nhiều nhất là 4 số nguyên tố. Vậy 10 số tự nhiên liên
tiếp chứa nhiều số nguyên tố nhất là 2, 3, 11.
Ví dụ 2. Bài 158 sách Bài tập toán 6-Tập 1.
Gọi a = 2.3.4.5 101, có phải 100 số tự nhiên liên tiếp sau đây đều là hợp số
không?
a + 2, a + 3, , a+ 101.
Giải: Ta thấy a > 2; a > 3, , a > 101
và: a + 2

2 nên a + 2 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 2).
a + 3

3 nên a + 3 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 3).
.
a + 101

101 nên a + 101 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 101).
Vậy a + 2, a + 3, , a + 101 trong đó a = 2.3.4.5 101 đều là hợp số.
Ví dụ 3. Có tồn tại 10000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không?
Giải: Gọi a = 2.3.4 10001, khi đó 10000 số tự nhiên liên tiếp là a + 2, a + 3,
, a + 10001.
Rõ ràng a > 2; a > 3, , a > 10001
và: a + 2

2 nên a + 2 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 2).
a + 3

3 nên a + 3 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 3).
.

c) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thấy:
5 = 6.1 1
7 = 6.1 + 1
11 = 6.2 1
13 = 6.2 + 1

Vậy phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k
1 (k N
*
).
Với những nhận xét nh trên học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình giải toán cũng
nh chứng minh.
Ví dụ 4. 1) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng
4k 1 (k N
*
).
2) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k 1 (k
N
*
).
3) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng
6k 1 (k N
*
).
Chứng minh:
Khi chia số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì đợc các số d lần lợt
là 0, 1, 2, 3.
Khi a = 4m thì a là hợp số.
Khi a = 4k + 1.
Khi a = 4p + 2 thì a

5
Hình thành phơng pháp giải bài tập số nguyên tố cho học sinh lớp 6
Mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới
dạng 6k 1 (k N
*
).
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phơng của nó chia cho
3 d 1.
Điều ngợc lại của các mệnh đề trên không đúng.
Nhờ những nhận xét trên mà ta có những kết luận về số nguyên tố điều này giúp
các em nắm đợc sâu hơn về bản chất số nguyên tố từ đó các em có thể hình thành
đợc phơng pháp giải bài toán về số nguyên tố.
Sau đây là một số bài toán đã đợc áp dụng từ cách làm trên.
Bài toán 1. Số 2003 có thể viết đợc dới dạng tổng 2 số nguyên tố không?
Giải: Rõ ràng là không bởi 2003 là số lẻ 2003 = một số chẵn + một số lẻ. Số
chẵn đó là 2 nên 2003 = 2 + 2001 mà 2001

3 nên là hợp số.
Bài toán 2. Tìm 2 số tự nhiên a, b sao cho a.b = a + b đều là số nguyên tố.
Giải: Để a.b là nguyên tố a = 1 (hoặc b = 1), số còn lại phải là số nguyên tố.
Với a = 1 thì b là nguyên tố
vì: a + b là nguyên tố mà a = 1 nên 1 + b là nguyên tố.
Nếu 1 + b chẵn 1 + b = 2 b = 1 (loại vì b là nguyên tố).
Nếu 1 + b lẻ b chẵn nên b = 2.
Vậy cặp số tự nhiên duy nhất đó là 1 và 2.
Bài toán 3. Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z sao cho: x
y
+ 1 = z cũng là số
nguyên tố.
Giải: Vì x, y là nguyên tố nên x 2, y 2 x

k
: 3 d 2 nên z = 2.(2
2
)
k
+ 1

3 vô lý vì
z là nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5.
Vậy chỉ có x = 2, y = 2 thoả mãn đề bài.
Thử lại: 2
2
+ 1 = 5.
Bài toán 4. Tìm số nguyên tố x, y sao cho x
2
2y
2
= 1.
Giải: Từ x
2
2y
2
= 1 x
2
= 1 + 2y
2
do 1 + 2y
2
lẻ nên x
2

6
Hình thành phơng pháp giải bài tập số nguyên tố cho học sinh lớp 6
Bài toán 5. Tìm số nguyên tố biết chúng bằng tổng 2 số nguyên tố và bằng hiệu
2 số nguyên tố.
Giải: Gọi số nguyên tố cần tìm là p. Ta có:
p = p
1
+ p
2
= p
3
p
4
(p
1
, p
2
, p
3
, p
4
là số nguyên tố).
Giả sử p
1
> p
2
do p
1
, p
2

Với p = 6k + 1 thì p + 2 = 6k + 3

3 nên là hợp số.
Với p = 6k 1 thì p 2 = 6k 3

3 nên là hợp số.
Thử lại: 5 = 3 + 2 = 7 2.
Nên chỉ duy nhất p = 5 thoả mãn.
Bài toán 6. Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là bình phơng của một số tự nhiên.
Giải: Đặt x
2
= 4p + 1 (x N).
Do 4p + 1 lẻ nên x
2
lẻ nên x có dạng x = 2k + 1 (k N). Khi đó:
(2k + 1)
2
= 4p + 1 hay 4k
2
+ 4k + 1 = 4p + 1 p = k
2
+ k = k(k + 1). Vì k, k + 1
là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chẵn. Vậy p phải là số nguyên tố chẵn nên
chỉ có duy nhất p = 2.
Thử lại: 4.2 + 1 = 9 = 3
2
.
Bài toán 7. Tìm số nguyên tố p sao cho: 3p
2
+ 1 và 24p


3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số.
+ Khi p = 3k 1 thì p + 10 = 3k + 9

3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số.
Vậy chỉ có duy nhất p = 3.
2) Tìm số nguyên tố p sao cho:
p + 2, p + 8, 4p
2
+ 1 đều là số nguyên tố.
p
2
+ 1 đều là số nguyên tố.
Nguyn Th Ton THCS
7
Hình thành phơng pháp giải bài tập số nguyên tố cho học sinh lớp 6
2p + 1, 4p + 1 đều là số nguyên tố.
2p 1, 4p 1 đều là số nguyên tố.
Giải: Các bài toán trên có cùng cách giải nh bài toán 8.1 và đều sử dụng kết luận
2).
Bài toán 9. (Sử dụng phép chi hết và phép chia có d).
Một số nguyên tố p khi chia cho 30 thì có số d là r. Tìm r với
r không phải là nguyên tố.
Giải: p có dạng p = 30k + r (k N
*
); 0 < r < 30 (r N).
= 2.3.5k + r
Do p là nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho 5.
Do r không phải là số nguyên tố nên ta loại các giá trị là bội của 2, của 3, của 5
và loại tiếp các số nguyên tố nhỏ hơn 30. Ta tìm đợc r = 1.

3 thì n = 2k

6
+ Nếu k = 3t + 1thì a + n = a + 6t + 2
a + 2n = a + 12t + 4
Với a : 3 d 1 thì a = 3q + 1, khi đó a + 6t + 2 = 3q + 6t + 3

3 và lớn hơn 3 nên là
hợp số.
Với a : 3 d 2 thì a + 2n = a + 12t + 4

3 và lớn hơn 3 nên là hợp số.
+ Nếu k = 3t + 2 thì 3 số đã cho là: a, a + 6t + 4, a + 12t + 8.
Với a : 3 d 1 thì a + 12t + 8

3 và lớn hơn 3 nên là hợp số.
Với a : 3 d 2 thì a + 6t + 4

3 và lớn hơn 3 nên là hợp số.
Vậy để 3 số a; a + n; a + 2n đồng thời là 3 số nguyên tố thì n

6.
Nguyn Th Ton THCS
8
Hình thành phơng pháp giải bài tập số nguyên tố cho học sinh lớp 6
Điều ngợc lại không đúng: Nếu a là số nguyên tố lớn hơn 3 và n

6 thì:
a, a + n, a + 2n không phải là số nguyên tố. Chẳng hạn với a = 13, n = 6 thì
13 + 2.6 = 25 là hợp số.

+ r
2


3 và lớn hơn 3 nên là hợp số.
Vậy chỉ có p = 2 hoặc p = 3.
+ Với p = 2 thì q và r là các số lẻ nên q
2
, r
2
cũng là số lẻ nên q
2
+ r
-2
là số chẵn (p
chẵn). Vậy p
2
+ q
2
+ r
2


2 và lớn hơn 2 nên là hợp số.
Vậy chỉ còn p = 3 q = 5, r = 7.
Thử lại: 3
2
+ 5
2
+ 7

xác mà còn đa ra đợc những lời giải độc đáo, thông minh, sáng tạo. đặc biệt có
nhiều em đã có phơng pháp học tập nghiên cứu rất khoa học và đã thể hiện những
t duy sáng tạo lời giải của những bài toán khó.
Trên đây là những suy nghĩ, những việc làm của tôi đã thực hiện trong quá trình
giảng dạy theo tinh thần SGK Toán 6 mới. Đây chỉ là những việc làm cần thiết,
những bớc đi chập chững trong nghề dạy học và tôi nhận thấy mình cần phải học
hỏi nhiều ở đồng nghiệp, phải bồi dỡng thờng xuyên, bồi dỡng chuyên môn
nghiệp vụ, tích luỹ kiến thức. Hy vọng đợc sự đóng góp, nâng đỡ, dìu dắt của
đồng nghiệp để tôi ngày càng hoàn thiện mình trong nghề dạy học.
Hơng Sơn, tháng 3năm 2003
Nguyn Th Ton THCS
10