www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz
trong không gian z

k
i
O

j
y
x

 O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
 Các trục tọa độ:
 Ox : trục hoành.
 Oy : trục tung.
 Oz : trục cao.
 Các mặt phẳng toạ độ:
 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một
vuông góc với nhau.

 
,
j
k
 
,
k
i
 
.

. 0
i j 
 
,
. 0
j k 
 
,
. 0
k i 
 
.

,
i j k
 

 
  


Oz

M(0;0;z)
 M

(Oxy)

M(x;y;0)
 M

(Oyz)

M(0;y;z)
 M

(Oxz)

M(x;0;z)
 Tọa độ của điểm:
. (; ; )
   
   
OM xi y j zk M x y z

 Tọa độ của vectở:
1 2 3 1 2 3
. . . (; ; )
    
    

 
a b x x y y z z

3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.





1 1 1 1 1 1
. . ; ; ; ; 

k a k x y z kx ky kz

4. Độ dài vectơ. Bằng
     
2 2 2
hoaønh tung cao
 

2 2 2
1 1 1
  

a x y z
.
5. Vectơ không có tọa độ là:
2



a b x x y y z z

. 0
  
   
a b a b

8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.

 
.
os a,
.

 
 
 
a b
c b
a b
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .
.
x x y y z z
x y z x y z
 

   

     
2 2 2
      

B A B A B A
AB AB x x y y z z
.
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
2
y y
y
2
z z
z
2







, z
B
), C( x
C
, y
C
, z
C
).
Khi đó toạ độ trọng tâm G của

ABC là:
 
3
; ;
3
3
 




 

 


 




1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
 
 

 
 
 
 
y z z x x y
a b
y z z x x y

 Hai vectơ

a
,

b
cùng phương
, 0
 
 
 
  
a b
.
 Hai vectơ

 
 
  
a b
.
6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
 Cách 1:


a
và

b
cùng phương
.
 
 
a k b
.


a
và

b
cùng phương
1 1 1
2 2 2
  
x y z



a
và

b
cùng phương
a,b 0
 
 
 
  
.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
BABa điểm A, B, C thẳng hàng

hai vectơ
 
,AB AC
cùng phương
, 0
 
 

Bước 3: Kết luận hai vectơ
 
, AB AC
cùng
phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ Phương pháp
C
B
A

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng
hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;




AB
AC
.
Bước 2: Tính
 
, ; ; 0
 
Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng
phẳng


, ,
  
AB AC AD
đồng phẳng

, . 0
 

 
  
AB AC AD
.

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng
phẳng ta thực hiện các bước sau:


  
AB AC AD
.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
  
AB AC AD
không đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Chú ý:
 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng
minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ Phương pháp
D
C
B
A

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng


, ,
  
AB AC AD
đồng phẳng

, . 0

, ; ;
, . 0
 

 
 

 
 
AB AC
  
AB AC AD
.
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
5

phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Bước 3: Vậy ba vectơ
, ,
  
AB AC AD
đồng
phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0

0
) trên trục Oz là: M(0;0;z
0
)
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
;z
0
) trên (Oxy) là: M(x
0
;y
0
;0)
 Hình chiếu vuông góc của điểm
M(x
0
;y
0
D
B

C Bước 1: Tính


 
 
; ;
; ;
; ;






AB
AC
AD
.
Bước 2: Tính
 
, ; ;
, .

S = AB , AC
2
 

A
B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bước 1: Tính


 
; ;
; ;




AB
AC
.
Bước 2: Tính
 
, ; ;
 

 
 


     
2 2 2
2
x a y b z c R

Mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0
  

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
6

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R
Có tâm I(a;b;c) với
he ä soá x
a
-2
he ä soá y
b
-2
he ä soá z
c
-2












     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp:
 Pt mặt cầu (S):






     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=
n
2





     
2 2 2
2
x a y b z c R
(*).
 Gọi I trung điểm AB


I ; ;


 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
 Bán kính R=
IA IA


.
 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*).
Chú ý:
 Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.
vwww.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
7

Ta cú th tớnh R theo 2 cỏch sau: R=
IB IB


Ax By Cz D
R d I,(P)
A B C

Th tõm I v bỏn kớnh R vo pt (*). Dng 2: Lp phng trỡnh mt cu dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

.
Loi 1: Lp phng trỡnh mt cu qua bn im A, B, C, D.
Phng phỏp.
Pt mt cu (S) cú dng:
2 2 2
x y z 2ax-2by-2cz+d=0

(*)
Vỡ A, B, C, D thuc (S):
theỏ toùa ủoọ ủieồm A vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm B vaứo pt (*).
theỏ toùa ủoọ ủieồm C vaứo pt (*)
theỏ toùa ủoọ ủieồm D vaứo pt (*)









0 0 0
M x ;y ;z
v cú
vect phỏp tuyn


n A;B;C


.
Phng phỏp:

M

n


P)
www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp online
8

 Mặt phẳng (P) qua điểm


0 0 0
M x ;y ;z
.
 Mặt phẳng (P) có VTPT


0 0 0
M x ;y ;z
.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là




a= , b

 

 Mặt phẳng (P) có VTPT
n
a,b
 

 
  
.
 Ptmp(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0


Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,
C.
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) đi qua A.
 Mặt phẳng (P) có VTPT:
n AB,AC
 

 
  
.
 Pt(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm
A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.


a


b


,
n
a b
 

 
  

P)
Q)
M


Q
n


M



d
a


9

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
là:
Q
AB . n
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
Q
n
AB,n
 

 
  
.
 Ptmp(P):






0 0 0
A x x B y y C z z 0
     

Dạng 6:

A x x B y y C z z 0
     

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp:
 Chọn điểm M thuộc đt d.
 Mặt phẳng (P) qua điểm A.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
d
AM . a
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
d
n
AM,a
 

 
  
.
 Ptmp(P):





0 0 0
A x x B y y C z z 0
     
. Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp:
 Mặt phẳng (P) qua điểm M.
 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:
Q R
n ,n
 
 
.
 Nên mp(P) có VTPT:
Q R
n
n ,n
 

 
  
.
 Ptmp(P):












0 0 0
A x x B y y C z z 0
     Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến


n m;n;p


và tiếp xúc mặt cầu (S).
Phương pháp:
 Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
 Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Vì mp(P) có VTPT


n m;n;p


mx ny pz 0
    
D

( , )
d I d
 RVấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 0 0
2 2 2
A
( ,( ))
x By Cz D
d M P
A B C
  

 

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm A.
 Đường thẳng d có VTCP:

 Pt tham số:
0
0
0
 


 


 

x x
at
y y bt
z z ct
.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
r = d(I,(P))

I
P)
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
11

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp:
 Đường thẳng d đi qua điểm M.
 Đường thẳng d có VTCP:
d P



 

x x
at
y y bt
z z ct
và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp:
 Gọi H là giao điểm của d và (P).
 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
 


 


 






Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M
và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
vuông góc với mp(P).
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của
đoạn thẳng MM”.


M

H
)
P

d


M


H

)
P

d



    
 
 
 
 




M
M
H
H M
M
M
M
H H M
M
H M
M
M
M
H
x x
x
x x x
y y
y y y y

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d.
 Tìm giao điểm H của d và (P).
 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm
của đoạn thẳng MM’.
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2





 




    
 
 


Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:


M



H

P)
(d)


M


M


H
P)
(d)
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
13

Bước 1:
 Xác định điểm M thuộc d và VTCP


 
  
thì
a,a'
 
không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 

 
  
thì d và d’ cắt nhau.
o Nếu
a,a' .MM' 0
 

 
  
thì d và d’ chéo nhau.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.
Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:

d cắt mp(P) tại một điểm.
o Pt (*) vô nghiệm

d song song với (P).
o Pt(*) có vô số nghiệm t

d nằm trong (P).

Chú ý:

0t 1 voâ nghieäm.
0t =-2 voâ nghieäm.


0t 0 voâ soá nghieäm


VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại
A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
AB AC AB AC AB.AC 0
     
   

Phương pháp:

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
14



2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’
VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ:
d d' d d'
d d' a a a .a 0
    
   

Phương pháp:
 Đường thẳng d có VTCP:
a

=
 Đường thẳng d’ có VTCP:
a'

=
 Tính
a.a H.H T.T C.C 0
   
 

 Suy ra:
a a

 
.
 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.


  
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2:
Bước 1: Lập tỉ số: Tức là


 
1 2 3
1 2 3
a a ;a ;a
a' a' ;a' ;a'




cùng phương
3
1 2
1 2 3
a
a
a' a' a'
a
  
.
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
15


6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
d:
0
0
0
 


 


 

x x
at
y y bt
z z ct
và d’:
0
0
0
'
' '
' ' '
' ' '
 


 


y bt y b t
z ct z c t
(*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
 Giải hệ pt
0 0
0 0
' ' ' (1)
' '
' ' ' (2) ' '
  
 



 
    


x at x a t
at a t m
y bt y b t bt b t n
. Tìm t và t’.
 Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ
(*) vô nghiệm.
 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I. 7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.
Cách 1:

của d.
www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online
16

Ch ra mt im M thuc d v mt vect ch phng
a'

ca d.
Chng minh:
a,a' .MM' 0




.
VN 15: KHONG CCH GIA HAI MT PHNG SONG SONG.
Cỏch tớnh:
tớnh khong cỏch gia hai mp song song (P) v (Q) ta lm nh sau:
Chn im M thuc (P).


0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d P , Q d M, Q
A B C


.
ng thng l tp hp vụ s im.
Nu chn im M thuc d thỡ im M cú ta l:


0 0 0
M x at;y bt;z ct

.
VN 18: GểC.
1/ Gúc gia hai ng thng l gúc gia hai vect ch phng. a.a'
cos = cos a,a'
a . a'

Chỳ ý:
0 0
0 90

.
2/ Gúc gia hai mt phng l gúc gia hai vect phỏp tuyn. n.n'
cos = cos n,n'




d d I, P

.
o TH1:
d r (P) (S)= .

(hay (P) v (S) khụng cú im chung).
o TH2:
d r (P) tieỏp xuực cụựi maởt cau (S).www.Vuihoc24h.vn - Kờnh hc tp online
17

o TH3:
d r
(P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).
 

0 0 0
HD
P d
Điểm đi qua M(x ;y ;z )
VTPT n a







 

Cần nhớ: MP vng góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vng góc với đt d:
x 1 2t
y 3t
z 2
 


 





 Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
- Gọi H là tâm của (C).

n 0


đgl vectơ pháp tuyến của
mp(P) nếu giá của
n

vng góc với (P), viết tắt là
n (P)


.
- Nếu hai vectơ
a, b
 
khơng cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P)
thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là:
P
n
a,b
 

 
  
.
- Phương trình tổng qt của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2
A B C 0
  






www.Vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p online