Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
1
phòng giáo dục và đào tạo thị xã bỉm sơn
Trờng THCS lê quý đôn

sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài:
HNG DN HC SINH V NG PH
TRONG GII TON HèNH HC THCS
********
Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thế Vận
Tổ chuyên môn: Toán lý
Năm học : 2007 - 2008
*********
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
I. Những vấn đề chung
1. Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm.
1.1- Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đờng phụ là các bài toán
khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ
yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ
năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra đợc một đờng phụ
liên kết tờng minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả
thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác t
duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách
khác giải một bài toán phải kẻ thêm đờng phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đ-
ờng phụ để giải một bài toán hình về mặt phơng pháp là một biểu hiện ở mức
độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định
nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. ở đó khoảng cách từ lạ
đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán

phần gợi về phơng pháp gii các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ
phức tạp của việc kẻ thêm đờng phụ.
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
3
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
II. NI DUNG
A. Các b ớc tiến hành.
1. Điều tra:
Trớc khi đa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và
có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đờng phụ đối với học sinh nh
sau:
- Đối tợng điều tra: Học sinh lớp 8A trờng THCS Lờ Quý ụn, năm học
2007-2008.
- Thời gian điều tra: Bắt đầu t ngày 02/10/2007.
- Tổng số học sinh đợc điều tra: 40 em.
- Thống kê điều tra nh sau:
01. Số học sinh nắm đợc sơ lợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong
giải Toán THCS có: 20 em chiếm 50 %
02. Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng sử dụng
trong giải toán THCS có: 15 em chiếm 37,5%.
03. - Số học sinh dựng đợc các đờng kẻ phụ hợp lý và giải đợc một số
bài toán trong chơng trình toán lớp 7, 8 gồm có: 10 em chiếm 25%.
04. Số học sinh lúng túng, cha giải quyết đợc các bài toán hình học có vẽ
thêm đờng phụ trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm 50 %
05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải đợc các bài
toán tơng đối khó : 0 em chiếm 0%
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
4
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
2. Quá trình thực hiện:

Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Từ một điểm cho trớc dựng đờng song song với một đờng thẳng đã xác
định.
Từ một điểm cho trớc dựng đờng vuông góc với một đờng thẳng xác
định.
Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc.
Dựng đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc hợp thành với đờng thẳng
khác một góc bằng góc cho trớc.
Từ một điểm cho trớc dựng tiếp tuyến với đờng tròn cho trớc.
Hai đờng tròn giao nhau thì dựng đợc dây cung chung.
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ đợc tiếp tuyến chung hoặc
đờng nối tâm.
Vẽ tia đối của một tia
Dựng các đờng đặc biệt trong tam giác ( Trung tuyến , trung bình, phân
giác , đờng cao )
c) Đờng phụ là đờng tròn:
Vẽ thêm các đờng tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
Vẽ đờng tròn tiếp xúc với một đờng tròn hoặc đờng thẳng đã có
Vẽ đờng tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đờng phụ, giáo viên cần phân
dạng đợc các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đờng phụ.
2.2 Các cơ sở để xác định đờng phụ :
Ta có thể đa dựa trên các cơ sở sau để xác định đờng phụ sẽ vễ là đờng
gì ? và vẽ từ đâu ?
01- Kẻ thêm đờng phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc
tính chất các hình để giải quyết bài toán.
02- Kẻ thêm đờng phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định
lý để giải quyết bài toán.
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
6

M
D
B
E
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh EBC =
MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trờng hợp c.g.c
Việc hớng dẫn học sinh kẻ đờng phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có
thể đa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh
của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đờng phụ nào và chứng
minh điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta
phải chứng minh điều gì?
02. Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan
hệ để giải quyết bài toán:
Đối với trờng hợp này (dạng này) thờng là các bài toán chứng minh các
đờng thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến của một
tam giác, tam giác cân vì có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến
Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh
CD và N là một điểm trên đờng chéo AC sao cho
ã
0
BNM 90=
. Gọi F là điểm đối
xứng của A qua N, chứng minh:FB AC
Ta phân tích nội dung kẻ đờng phụ và gợi ý chứng minh.
Phân tích:
Ta thấy

điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng
minh bài toán này bằng cách nào?
Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hớng dẫn các
em có thể tự đặt ra các câu hỏi nh vậy .
Liệu BF có là đờng cao của BNC đợc không?
Để chứng minh BF là đờng cao của tam giác BNC ta phải chứng minh
BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của
BNC.
Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE BC tại E.
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh đợc
CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI là một
đờng cao của BNC.
Vậy I là trực tâm của BNC (Vì I NE CK). Do đó suy ra điều phải
chứng minh là:
BF AC
Tóm lại việc kể thêm NE BC tại E là nhằm tạo ra điểm I NE BF
để chứng minh I là trực tâm của BNC.
Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi
mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng
những câu hỏi nh:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đ-
ờng gì của BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của BCN thì ta phải có
điểm nào?
- Ta phải kẻ thêm đờng phụ nào để có một điểm là giao của BF với một
đờng cao của BNC?
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
9
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008

C'
P
Q
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét
MKMH
MK
MH
CA
BA
BA
CB
CB
CA
MQ
MP
MK
MQ
MP
MH
CA
BA
MQ
MP
BA
BC
MK
MQ
CB

2
+ AC.AB
Hớng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến
công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công
thức này , ở đây GV cần hớng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago
vì không tạo ra đợc các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay
đợc
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa về dạng tỷ số để gắn
vào tam giác đồng dạng
( )
2 2 2
.BC AC AC AB BC AC AC AB= + = +
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
11
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đa về bài toán quen thuộc của việc chứng
minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn
thẳng bằng AB+AC
-Từ đó học sinh đa ra hai cách vẽ đờng phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn
bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB
? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng đợc giả
thiết
à à
2A B=
?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải

BC
.)()(.
22
+=+=+===>=
Nh vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ
thêm đờng phụ không chỉ đơn thuần là đa ra một số bài giải mẫu cho học sinh
mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đờng phụ, sau đó phân
dạng bài toán rồi mới đa vào gợi mở để cho học sinh tìm đợc lời giải cho từng
bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ
đờng phụ trong giải các bài toán hình học.
2.4 Một số bài tập đã hớng dẫn học sinh giải
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đờng tròn ngại tiếp cac tam
giác ABC và ABD lần lợt là 3 và 4
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đờng cao BH
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
12
B
C
D
A
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Chứng minh rằng :
2
2
AB AC
CH BC

=
ữ


BC;AC và AB. Kẻ các đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh
các đờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7: Cho đờng tròn (O) và một điểm A bên trong đờng tròn đó kẻ cát tuyến
BAC bất kỳ.
Gọi (P) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B
(Q) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E

A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy
sao cho
OP + OQ = 2007 . Vẽ đờng tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đờng tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đờng tròn (P) và (Q) chứng minh đờng thẳng
MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
B. Kết quả của đề tài :
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
13
Trờng THCS Lê Quý Đôn Bỉm Sơn SKKN Toán năm 2007-2008
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phơng pháp dạy vừa trình bày ở
trên (Từ 02/10/2007 đến nay) đối với 40 em học sinh lớp 8A trờng THCS Lê
Quý Đôn Bỉm Sơn đã thu đợc kết quả nh sau:
01. Số học sinh nắm đợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong giải
toán THCS có: 40 em chiếm 100%.
02. Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng đợc sử dụng
trong giải toán THCS có: 36 em chiếm 90%.
03. Số học sinh vẽ (dựng) đợc các đờng phụ hợp lý và giải đợc một số bài
toán hình trong chơng trình Toán lớp 7 và 8 có: 28 em chiếm 70%.

Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội
dung phong phú hơn. Mong đợc sự góp ý chân thành của bạn đọc./.
Ngời thực hiện Nguyễn Thế Vận
15
Trêng THCS Lª Quý §«n – BØm S¬n SKKN To¸n n¨m 2007-2008
Ngêi thùc hiÖn NguyÔn ThÕ VËn
16