Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ BỈM SƠN
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS
********
Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thế Vận
Tổ chuyên môn: Toán lý
Năm học : 2007 - 2008
*********
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
1. Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm.
1.1- Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài
toán khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này
không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh
cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra
được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các
điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải
thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc
biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một
sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương
pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình
học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về
quen. Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn.

cụ thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là
góp phần gợi về phương pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào
mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đường phụ.
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
3
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
II. NỘI DUNG
A. Các bước tiến hành.
1. Điều tra:
Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu
và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh
như sau:
- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 8A trường THCS Lê Quý Đôn, năm
học 2007-2008.
- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 02/10/2007.
- Tổng số học sinh được điều tra: 40 em.
- Thống kê điều tra như sau:
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
4
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng
trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm 50 %
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng
trong giải toán THCS có: 15 em chiếm 37,5%.
03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một
số bài toán trong chương trình toán lớp 7, 8 gồm có: 10 em chiếm 25%.
04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có
vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm 50 %
05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được
các bài toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%

b) Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:
Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã
xác định.
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
6
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng
xác định.
Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường
thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.
Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.
Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung
hoặc đường nối tâm.
Vẽ tia đối của một tia
Dựng các đường đặc biệt trong tam giác ( Trung tuyến , trung bình,
phân giác , đường cao )
c) Đường phụ là đường tròn:
Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có
Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần
phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ :
Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là
đường gì ? và vẽ từ đâu ?
01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc

D
B
E
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một
trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán
chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau .
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh
CE=CM hoặc CE=DM. Chọn CE = CM.
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh
được ∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE=CM là điều phải chứng minh.
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆
MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c
Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta
có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh
của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và
chứng minh điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta
phải chứng minh điều gì?
02. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối
quan hệ để giải quyết bài toán:
Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh
các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của
một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến
Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh
CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho
·
0

các em có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy .
Liệu BF có là đường cao của ∆ BNC được không?
Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh
BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của
∆BNC.
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
10
C
M
DA
B
E
I
K
F
N
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E.
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được
CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một
đường cao của ∆ BNC.
Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK). Do đó suy ra điều phải
chứng minh là:
BF ⊥ AC
Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF
để chứng minh I là trực tâm của ∆ BNC.
Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi
gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử
dụng những câu hỏi như:

Ta có: Theo định lý Talét
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
12
K
H
M
A
B
C
A'
B'
C'
P
Q
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
MKMH
MK
MH
CA
BA
BA
CB
CB
CA
MQ
MP
MK
MQ
MP
MH

Ví dụ 4: Cho
∆
ABC có
µ µ
2A B=
Chứng minh rằng:
BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan
đến công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công
thức này , ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý
Pitago vì không tạo ra được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba
cạnh ngay được
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn
vào tam giác đồng dạng
( )
2 2 2
.BC AC AC AB BC AC AC AB= + ⇐ = +
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
13
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc
chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một
đoạn thẳng bằng AB+AC

chung nên
∆
ABC đồng dạng với
∆
BDV (g.g)
ABACACABACACADACACCDACBC
BC
AC
CD
BC
.)()(.
22
+=+=+===>=⇒
Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có
kẻ thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học
sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó
phân dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải
cho từng bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh
kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học.
2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
14
B
C
D
A
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac
tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH

+ =
−
với p là nửa chu vi của tam giác ABC
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và
N
sao cho OM +ON = 2a không đổi .
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn
nằm trên một đoạn thẳng cố định
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất
Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của
BC;AC và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh
các đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát
tuyến BAC bất kỳ.
Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B
(Q) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E
≠
A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy
sao cho
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
15
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
OP + OQ = 2007 . Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .

học sinh.
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
17
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ
ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp
học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới
phân dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng
đã chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết
trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi
rộng và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các
dạng bài toán đã nêu do gới hạn của đề tài .
Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội
dung phong phú hơn. Mong được sự góp ý chân thành của bạn đọc./.
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
18
Trường THCS Lê Quý Đôn – Bỉm Sơn
Người thực hiện Nguyễn Thế Vận
19