GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ
Bài ❶: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
(1)
1 (2)
x y y x
x xy y
ì
ï
- = -
ï
í
ï
+ + =
ï
î


Lời giải:
Ta có :
3 3
(1) ( ) ( )x x y y f x f yÛ + = + Û =
với +
3
( )f t t t= +

2

ï
í
ï
+ =
ï
î


Lời giải:
Ta có :
3 3
3 3 ( ) ( )x x y y f x f yÛ - - - Û =
với
3
( ) 3f t t t= -

Từ phương trình
2 4
(2) : 1 | |,| | 1 1x y x y t+ = Þ £ Þ £

Khi đó
2
'( ) 3 3 0 1f t t t- £ " £=

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
Hm s
( )f t

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Bi : Gii h phng trỡnh
3 3 2
5 3
2 3 4 (1)
1 0 (2)
x x y y y
x y
ỡ
ù
+ - = + +
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ


3 3
3 3 0
0
2 4
x
x
x x x
x x
ộ
=
ờ
ộ
=
ờ
ờ

ổ ử
ờ
ờ
ữ
ỗ
+ - + =
ữ
+ - + =
ỗ
ờ
ờ
ữ
ở
ỗ

ï
- = +
ï
ï
î


Lời giải:
Điều kiện:
3 2
2
3 0
0
8 0
2
2 0
y y
y
y y
x
x
ì
ï
+ ³
ï
ì
ï
³
ï
ï

'( ) 3 3 0 1f t t t= - ³ " ³
.Hàm số
( )f t
đồng biến trên
( )
1;+¥

Nên
2
1 3 2 1 3(1) x y x x yÛ - = + Û - + = +

Kết hợp với
(2)
ta có hệ phương trình :
2
2 2
2 2
2
2 1 3
2 1 3 2 2 (1 )
9( 2) 8 9 18 8 (2 )
3 2 8
x x y
x x y x x y
x y y x y y
x y y
ì
ì ì
ï
- + = +


( )( )
4 3 2 3 2
4 8 17 6 0 3 5 2 0x x x x x x x xÛ - + - + = Û - - + - =

3 2
3
3
5 2 0
x
x
xx x
Û Û =
- + -
é
ê
ê
ê
ë
=
=
. Do
3 2
5 2 0 2x xx x- + - > " ³

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 3
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Với

ì
ï
- £ £
ï
í
ï
£ £
ï
î

Khi đó:
( ) ( )
3 2
3 3 2 3 2
3 2 3(1) 1 31 3x x x yx y y yÛ - - = - Û = -+ - +

( ) ( )
1 yf x fÛ + =
với
( )
3
3f t t t= -
.
( )
2
3 0 [ 1 ]3 1' ;f t tt - £ " Î -=
. Hàm số nghịch biến trên
( )
1;1-


1 2
VT
VP
x
x
=
=
ì
ï
+ ³
ï
ï
í
ï
- £
ï
ï
î
.
Với
1.0x y= Þ =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;1 .x y =

Bài ❻: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 2 0 (2)

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Khi đó:
3 3 2
12 61 6 1( ) x x y yÛ - = - +( ) ( )
( ) ( )
3
3
12 2 12 2
2
x x y y
f x f y
Û - = - - -
Û = -

Với
( )
3
12t tf t= -
.Với điều kiện
2;2 ; 0;4 2;2tx y
é ù é ù é ù
Î - Î Þ Î -
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û

( )
2 2 2
2 2
4 2 2
4 2 2 2
4 2 4 5 4 6 0
4 6 3 4
16 48 36 36 9
16 57 0 16 57 0
0
x x x
x x
x x x
x x x x
x
Û + - - - + =
Û + = -
Û + + = -
Û + = Û + =
Û =

Với
0 2x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;2x y =
.
Bài ❼: Giải hệ phương trình
( )
2 2

với
( )
2
3f t t t t= + +

( )
2
2
2
3 1 0'
3
t
t t t
t
f = + + + > " Î
+
¡
.Hàm số đồng biến trên
¡

Nên
2(1) 2x y y xÛ + = - Û = - -
thay vào
(2)
ta được phương trình :
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 5
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
( )

ì
ï
ï
+ ³
³ -
ï
ï
Û Û
í í
ï ï
+ + = + +
ï ï
+ + =
î
ï
î
ì
ï
ï
³ -
ï
Û Û = - +
í
ï
ï
+ + =
ï
î
Với
22 2x yÞ= + =

ï
£ £
ï
ï
ï
- + ³
í
ï
ï
- + + ³
ï
ï
î

Khi đó
( ) ( )
50 5 3 10 5 45 3 9 0(1) x x y yÛ - + - + - - - =( ) ( )
3 3
5 10 3 10 5 9 3 9
10 9
x x y y
f x f y
Û - + - = - + -
Û - = -

Với
( )

x x x x
x x x x
Û + + = - + +
Û + - - + - - =

Bài ❾: Giải hệ phương trình
3
2
2 2 1 3 1 (1)
1 2 2 1 (2)
y x x x y
y x xy x
ì
ï
+ - = - -
ï
ï
í
ï
+ = + +
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
11 x- £ £

Khi đó
3

( )
0;+¥
. Nên
(1) 1y xÛ = -
thay vào
(2)
ta được:
2 2
1 1 2 2 2 1x x x x x- + = + + -

Đặt
( )
cos , 0;tx t p= Î
. Ta được phương trình
2 2
1 cos 1 2cos 2 cos 1 cost t t t- + = + -2 2
2 sin 2cos 1 2cos sin
2
2 sin cos2 sin2
2
sin sin 2
2 4
t
t t t
t
t t
t

t k t k
k m
t
t m t m
p p
p p
p p
p p p
ộ ộ
ờ ờ
+ = + = - +
ờ ờ
ẻ
ờ ờ
ờ ờ
+ = - + = +
ờ ờ
ở ở
Â

Do
( )
3 3
cos
10 10
0; t xt
p p
pẻ ị = ị =

Vi

1 4 2 2 (2)
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
-
ù
ù
- + + =
ù
ớ
+ - +
ù
ù
ù
- + + =
ù
ợ

Li gii: iu kin
0 1
0 1
x
y
ỡ
ù
Ê Ê
ù

t
t tf t
t
= +
+ -

( )
( )
( )
2
1
1 1
2
'
2 1
1 0 0
1 1
t
t t
t t
t t
t
f
+ - +
-
= + > "
+ -

Hm s ng bin trờn
( )

1
2
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
- + - =
- - + - - =
- -
+ =
- + - +
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- + =
ữ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ộ ự
ỗ
+ > " ẻ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ở ỷ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
- + - +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vi

ỡ
ù
- - - - =
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ


Li gii: iu kin
2
1
2
x
y
ỡ
ù
Ê
ù
ù
ớ
ù

ù
ù
ợ

0 ;+ Ơ

Nờn
21) 2( 2 1 3x y x y - = - = -
thay vo
(2)
ta c phng trỡnh:
3
25 2 2 5y y- + + =
t
3
3
5 2
5
4;
2
2
u y
u v
v y
ỡ
ổ ử
ù
= -
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ

u
v
u
u v
v
u
u v
u u u
u
ỡ
ù
-
ù
ỡ
=
ù
-
ù
ỡ
ù
ù
+ =
ù
=
ù
ù
ù

ớ ớ ớ
ổ ử

4
3 65
1
4
u
u
u
v
u
u u u
u
v
ỡ
ù
-
ù
=
ù
ù
ù
ù
ù
ỡ
ù
-
ù
ù
ù
=
ù

ù
ù
ù
ù
ợ

Vi nhng giỏ tr ca
u
u tha món iu kin nờn
3
3 3
5
; 3 2 3 5 2
2
u
x y uy u
-
= = + =- - -=
vi
3 5
1
6
4
3 65
4
u
u
u
- +
- -

+ + + + =
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ
Li gii: Ta cú
( ) ( )
2 2
4( 2 11) x x y y + + = + -
do
2
1 0y yy + ạ "- ẻ Ă( )
( ) ( )
2
2
4 2 2 4
2
x x y y
f x f y
+ + = - + - +

6 3
27 42 x xx = + +

( ) ( )
( )
( )
2 3
3
3
3 3
3
3
3
3 4 2
1 1 4 2 4 2
(*1 4 )2
x x x
x x x x x x
f x f x x
= + +
+ + + = + + + + +
+ = + +

Vi
( )
3
f t t t= +
ng bin trờn
Ă
. Nờn

yx
+ - -
ị ==
; vi
1 1
12
3 13 1
6
yx
- -
ị ==

Vy h cú 2 nghim
( )
1 13 1 13 1 13 13 1
; ;
6 12 6 1
; ;
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ổ ử

ù
+ + + + =
ù
ù
ớ
ù
- + = + +
ù
ù
ợ


Li gii: iu kin
6 1 02x xy + -

Khi ú
( )
2
2
(1) 1 1x x y y + + = - + - +( ) ( )
f x f y = -
vi
( )
2
1t t tf = + +

Hm s

=
ù
ù
ợ
phng trỡnh tr thnh
2 2
6v vu u= -


0v = ị
Phng trỡnh vụ nghim

0v ạ
, chia 2 v phng trỡnh cho
2
v
ta c:
2
6
u u
v v
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= -
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ờ
= -
ờ
ở

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 12
( )
2
2 2 2
1 | |
1 0
1 1 1
'
t t t t t
t t
t t t
f
+ + +
= + = > " ẻ
+ + +
Ă
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Với
2
2
0 1
3 2 6 1 3
7 6 1 0 1

x x
v
y
ì
ï
-
ï
ï
=
ì
ï
£
ï
ï
ï
= - Þ + + = - Û Û
í í
ï ï
- - =
-
ï ï
î
ï =
ï
ï
î
(thỏa)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
( ) ( )
3 11 11 3

ï
í
ï
- + + - + =
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
1
2
x ³

Khi đó
( )
3
8 4 1 21 1 4( ) x x y yÛ - + - = +( )
( )
( )
3
3
4 2 1 2 1 4
2 1
x x y y
f x f y
Û - + - = +

í
+
ï
=
ï
ï
î
thế vào
(2)
ta được :

2
2 2
3 2
0
1 1
4 8 2 2 3 0
2 2
y
y y
y y y
³
æ ö
+ +
÷
ç
÷
- + + - + =
ì
ï

1
2
y
y y
x
y y y y y
y y y
x
y
y
y
ỡ
ù
ù
ù
ù
ù
ỡ
ộỡ
ù
ù

=
ù
ù
ù
ù ù
ờ
ị
ớ ớ ớ


Vy h cú 2 nghim
( ) ( )
1
; 1;1 ; ;0
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Bi : Gii h phng trỡnh
( ) ( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ỡ
ù
+ + - - =

ợ

Khi ú
( )
( )
3
3
8 2( 5) 5 21 2x x y y + = - + -( )
( )
2 5 2f x f y = -
vi
( )
3
f t t t= +

( )
2
' 3 1 0t tf t= + > " ẻ Ă
. Hm s ng bin trờn trờn
Ă

Nờn
2
2
0
0
2 5 2

(2)
ta c:
2
2
2
0
5 4
4 2 3 4 7
2
(*)
x
x
x x
ỡ
ù

ù
ù
ù
ổ ử
ớ
-
ữ
ỗ
ù
ữ
+ + - =
ỗ
ù
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
liờn tc trờn
3
0;
4
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ

( ) ( )
2 2
5 4 4 3
8 8 2 4 4 3 0 0;
2 4
'
3 4 3 4
x x x x x x x
x x
g
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - - - = - - < " ẻ
ỗ ỗ
ữ ữ

Vy h cú nghim duy nht
( )
1
; ;2 .
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Bi : Gii h phng trỡnh
3 3 2
2 2
3 6 3 4 0 (1)
2 4 3 3 2 3 2 0 (2)
x y x x y
x y y x
ỡ
ù
- + + - + =
ù
ù

3
3
1 3 1 3
1
x x y y
f x f y
+ + + = +
+ =

Vi
( )
3
3f t t t= +
.
( )
2
' 3 3 0t tf t= + > " ẻ Ă
. Hm s ng bin trờn
Ă

Nờn
(1) 1x y + =
thay vo
(2)
ta c:
( ) ( )
2
2
2 4 3 3 2 1 1 3 2 0x x x x- - + + - + - + =


ï ï
- + = - - =
ï ï
î î
ì
ï
ï
£
ï
ï
Û Û = Þ =
í
ï
ï
- =
ï
ï
î

Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;1x y =
.
Bài ⓱: Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0 (1)
1 2 2 1 (2)
x y x y y
y x y xy x x xy y y

2 2
1 1(2) y y y x y x y x yÛ + - - = - + - - - -( ) ( )
f y f x yÛ = -
. Với
( )
2 2
,1 0t t tf tt= + - - ³

( )
2
1 1
2 2 0
1 2
'
2
t
t t t t
t
f
t t
= - - £ - - <
+
. Hàm số đồng biến trên
(0; )+¥

Nên
2(1) y x y x yÛ = - Û =

9
2 6 ln (1)
9
3 1 0 (2)
y y
x y x xy y
x x
x y xy
ì
æ ö
ï
+ +
÷
ï
ç
÷
ç
ï
- + + - =
÷
ç
ï
÷
ç
÷
í
ç
+ +
è ø
ï

chỉ có nghiệm trong
(0; 2)
và dùng lượng giác để tìm
nghiệm phương trình bằng các đặt
2
2 cos , 0;
2
t tx
p
æ ö
÷
ç
÷
= Î
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Bài ⓳: Giải hệ phương trình
( )
4
4
2 2
1 1 2 (1)
2 1 6 1 0 (2)
x x y y
x x y y y

4
4
1 2 1 2
1
x x y y
f x f y
Û - + + - = + + +
Û - =

Với
( )
4
2t tf t= + +
.
( )
3
4
2
' 1
2
t
tf
t
= +
+

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 17
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014


ta được phương trình :
( ) ( )( )
2
4 4 2
1 2 1 1 6 1 0y y y y y+ + + - + - + =
( )
( )
8 4 5 4 2
8 5 2
7 4
3 1 2 1 6 1 0
2 4 0
2 4 0
y y y y y y y
y y y y
y y y y
Û + + + - + - + - + =
Û + + - =
Û + + - =
( )( )
6 5 4 3 2
1 3 3 3 4 0
0
1
y y y y y y y y
y
y
Û - + + + + + + =
é

x x x y y y
x y x y
ì
ï
- - + = + -
ï
ï
í
ï
+ - + =
ï
ï
î

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2012)

Lời giải: Ta có
3 2 3 2
3 3 1 12 12 3 3 1 1(1) 2 12x x x x y y y yÛ + - - + = + + + - -+( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 12 1 1 12 1x x y yÛ - - - = + - +

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 18
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
T phng trỡnh

x
x x
y y
y
ỡ
ù
ỡ ỡ
ù ù
ù
- Ê
ù ù
ù
- Ê Ê - Ê - Ê
ù ù
ù
ù ù
ù
ị
ớ ớ ớ
ù ù ù
ù ù ù
- Ê Ê - Ê + Ê
+ Ê
ù ù ù
ù ù ù
ợ ợ
ù
ợ

Xột hm s

ờ ỳ
-
ờ ỳ
ở ỷ

Nờn
(1) 1 1 2x y y x - = + = -
thay vo
(2)
ta c phng trỡnh:
( )
2
2
1
2 2
2
x xx x+ - - + - =

2
3
3
2
2 4 0
1
2
2
x
x x
x
ộ

ữ ữ
= - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
2) Hm c trng c xỏc nh sau khi thc hin cỏc phộp bin i gia cỏc phng
trỡnh
Bi : Gii h phng trỡnh
2
2
3 2 3 (1)
3 2 3 (2)
x x y
y y x
ỡ
ù
+ + = +
ù
ù
ớ
ù
+ + = +
ù
ù
ợ


3 2 3 5 3 (1)
3 2 3 5 3 (2)
x x y
y y x
ì
ï
+ + + = + +
ï
ï
í
ï
+ + + = + +
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Tương tự với bài ❶, 2 phương trình của hệ có sự đối xứng nên:
2 2
3 3(1) (2 3 3 3 3) x x y yÞ + + + = + + +-

Hàm đặc trưng:
( )
2
3 3 3f t t t= + + +
đơn điệu
3t" ³ -

Nghiệm: …

Nếu ta dựa vào 2 căn thức này làm “điểm” tựa cho việc tìm hàm đặc trưng thì việc tìm
hàm đặc trưng khá dễ dàng bằng việc đưa phương trình
(2)
về sự độc lập:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 20
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
2 2
2 2 2x yx y- = - - +

Rồi lấy từng vế
(1) (2)-
ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1x x x y y y+ + + - + = + + + - +
Ta thấy rõ ngay hàm đặc trưng:
( )
4 2
t t tf t= + -

Bài ❹: Giải hệ phương trình
( )
2
2
2
3
1 1 (1)
2

cũng bậc nhất ở phương
trình
(1)
. Liệu rằng phương pháp thế có phát huy tác dụng trong việc tìm hàm đặc
trưng?

Lời giải: Điều kiện
x 2 02 4y + ³-

Khi đó
2 2
2 2 4( 2 11) 1x y y y yÛ = + - + +
thế vào
(2)
ta được phương trình:

2 2 2
2 5 1 2 2 1 2 1x x y yx y- + = + ++ + +

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2

. Nên
1 2( 2) 13 x y x yÛ - = Û - =
thay vào
(1)
ta được:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 21
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014

( )
2
2
5
1 1 2
2
y y y y+ + + = +

( )
2
2 2
2
2 2 2 4 2
3
1
2
3 3
9 3
2 2
9 9

xy Þ = -= -
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có 2 nghiệm
( )
5 3 1 3
; ; ; ;
2 4 2 4
x y
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= - -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Bài ❺: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 5 3 4 (1)
3 3 1 0 (2)
x x x y y
x y x y
ì
ï
+ - + = + +

( )
2
2
2x 11x xx + + -=-
và
2 2
3 3 yy y y- =+
thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện
Cộng từng vế phương trình
(1)
với phương trình
(2)
ta được phương trình :
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 4 4x x y y- + - + = + +

Hàm đặc trưng:
( )
2 2
4t tf t= + +

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 22
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Nghiệm
( )
3 1

î


Phân tích và hướng giải:
Nhìn thoáng qua phương trình
(1)
của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc. Nhưng chỉ có
điều biểu thức
3xy
làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thức
đó.
Mặt khác, ở phương trình
(2)
cũng xuất hiện biểu thức
xy
nên chúng ta muốn tiêu biến
3xy
ở phương trình trên thì ta lấy phương trình
(1)
-
3(2)
khi đó ta được:
3 2 3
3 5 3 2y y xy x- + - = +

Nhìn vào biểu thức trên việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, chúng ta lấy biểu thức
đơn giản để chọn hàm đặc trưng
3
2xx +
khi đó

2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ì
ï
+ = +
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo. Mặc dù hàm đặc trưng
không có sự độc lập của
x
và
y
nhưng số mũ ở phương trình
(1)
cho chúng ta suy
nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp).
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 23

5
f t t t= +

Nghim
( ) ( ) ( )
; 1;1 ; 1; 1x y = -
.
Bi : Gii h phng trỡnh
( ) ( )
2 3 6 4
2
2 2 (1)
2 1 1 (2)
x y y x x
x y x
ỡ
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
+ + = +
ù
ù
ợ


Phõn tớch v hng gii:
Tng t nh Bi , ta chia 2 v phng trỡnh

( )
( )
3
3
2 3 8 (1)
2 6 (2)
x y
x y
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ


Phõn tớch v hng gii:
em li s cụ lp hai n bng cỏch a h v dng
3
3
8
2 3 (1 )
6
2 (2 )
y

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+

Hm c trng:
( )
3
3f t t t= +

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 24
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Nghiệm
( ) ( )
1
; 1;2 ; 4;
2
x y
æ ö
÷
ç
÷
= - -
ç
÷

y
nên ta thử phân tích
(1)
thành tích:
( )( )
1 2(1) 4 0x y x yÛ + + - + =

Khi đó công việc còn lại khá nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé!
Bài ⓫: Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6 (1)
2 2 4 1 1 (2)
x y x x
x y y x x
ì
ï
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + = + +
ï
ï
î



Hàm đặc trưng:
( )
2
1t t tf t= + +


Lời giải: Điều kiện
0x ³

Nhận thấy
0x =
không là nghiệm của hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình
(2)
cho
2
x
được:
( )
2
2
1 1 1
2 1 12 2 (3)y
x x
y
x
y
æ ö
÷
ç
÷