CHuyªn ®Ò
VËn dông tÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh ®Ó tÝnh nhanh, tÝnh
thuËn tiÖn
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Phép cộng:
1.1. Tính chất giao hoán: Tổng không thay đổi khi ta đổi chỗ các số hạng.
2.1. Tính chất kết hợp: Tổng
không thay đổi, khi ta thay hai hay nhiều số hạng của tổng bằng tổng của chúng.

3.1. Tổng không thay đổi, khi ta thêm số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt đi số hạng kia bấy
nhiêu đơn vị.

2. Phép trừ:
1.2. Hiệu hai số không thay đổi, nếu ta cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở hai số cùng một số như
nhau.

2.2. Trong phép trừ thì:
Số bị trừ = số trừ + hiệu số.
Số trừ = số bị trừ - hiệu số.
Hiệu số = số bị trừ - số trừ.

3. Phép nhân
1.3. Tổng các số hạng bằng nhau, có thể chuyển thành phép nhân, trong đó một thừa số là một số
hạng còn thừa số thứ hai bằng số lượng số hạng của tổng.

2.3. Tính chất giao hoán: Tích không thay đổi, khi ta đổi cổ các thừa số.

3.3. Tính chất kết
hợp: Tích của
chúng không đổi, khi ta thay hai hay nhiều thừa số bằng tích riêng của chúng.
Tổng quát:

d)
×
(b
×
c)
Tổng quát: a + a + a + + a + a = a
×
n ( Có n số hạng là a)
Tổng quát: a
×
b
×
c
×
d = a
×
c
×
b
×
d = b
×
d
×
a
×
c =
Tổng quát: a
×
0,25 = a : 4

4. Phép chia:
1.4. Trong phép chia thì:
* Số bị chia = số chia
×
số thương.
* Số chia = số bị chia : số thương.
* Số thương = số bị chia : số chia.
2.4. Trong phép chia, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm)cả số bị chia và số chia đi
cùng một số lần thi thương không thay đổi.
3.4. Muốn chia một số cho
0,5, ta có thể nhân số đó với 2.

4.4. Muốn chia một số cho 0,25, ta có thể nhân số đó với 4.

2
Tổng quát: a
×
0,125 = a : 8
Tổng quát: a
×
0,05 = a : 20
Tổng quát: a
×
0,025 = a : 40
Tổng quát: a
×
0,02 = a : 50
Tổng quát: a
×
0,0125 = a : 80

Tổng quát: a : 0,5 = a
×
2.
Tổng quát: a : 0,25 = a
×
4
5.4. Muốn chia một số cho 0,2, ta có thể nhân số đó với 5.

6.4. Muốn chia một số cho 0,125, ta có thể nhân số đó với 8

7.4. Muốn chia một số cho 0,5, ta có thể nhân số đó với 2.

8.4. Muốn chia một số cho 0,025, ta có thể nhân số đó với 40.

9.4. Muốn chia một số cho 0,2, ta có thể nhân số đó với 50.10.4. Muốn chia một số cho 0,0125, ta có thể nhân số đó với 80.

11.4. Muốn chia một số cho 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ;… ta có thể nhân số đó với 10 ; 100 ; 1000.12.4.Thương sẽ bằng 0 khi số bị chia bằng 0.
Tổng quát: a : b = 0, khi a = 0.
Ngoài ra ta có thể hướng dẫn học sinh cách biến đổi từ só thập phân thành phân số hoặc
thành tỷ lệ phần trăm khi chúng có dạng thích hợp.
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI
TẬP ỨNG DỤNG CƠ BẢN :
Từ những kiến thức cơ bản này, học sinh có thể vận dụng một cách sáng tạo để giải quyết một
cách nhanh nhất khi tính kết quả của một biểu thức từ đơn giản đến phức tạp. Sau đây là một số

Bài 2. Tính bằng cách nhanh nhất biểu thức sau:
0,125 + 21,075 + 88,36 + 9,875 + 78,925 + 11,6 =
3
Tổng quát: a : 0,2 = a
×
5
Tổng quát: a : 0,125 = a
×
8
Tổng quát: a : 0,5 = a
×
2
Tổng quát: a : 0,025 = a
×
40
Tổng quát: a : 0,2 = a
×
50
Tổng quát: a : 0,125 = a
×
80.
Tổng quát: a : 0,1 = a
×
10.
a : 0,01 = a
×
100
a : 0,001 = a
×
1000

chúng mà tổng chung vẫn không đổi, ta cũng có thể thay một số hạng của tổng chung bằng nhiều
số hạng nhỏ hơn khác mà tổng của các số hạng nhỏ này đúng bằng số hạng kia của tổng lớn.Từ đó
ta có thể phân tích ra như sau:

4
1
2
1
4
1
−=
;
8
1
4
1
8
1
−=
;
16
1
8
1
16
1
−=

32
1

1
8
1
4
1
+++++
=







−+






−+






−+


16
1
16
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1

=
128
1
64
1
64
1
32
1
32
1
16
1
16
1

36
×
5 +72
×
2 – 216 + 144 Ta nhận thấy:
72 = 36
×
2 ; 216 = 36
×
6 ; 144 = 36
×
4 từ đó ta có:
36
×
5 +72
×
2 – 216 + 144 =
= 36
×
5+ (36
×
2) + (36
×
6) + (36
×
4)
= 36
×
(5 + 2 + 6 + 4)
= 36

×
13 = 351
Bài 3 Tìm nhanh kết quả biêu thức sau:

199419951993
119941995
+×
−×
=
199419951993
1)11993(1995
+×
−+×
=
199419951993
1199519931995
+×
−+×
=
199419931995
199419931995
+×
+×
= 1.
Bài 4: Hãy tìm cách tính nhanh nhất biểu thức sau:
4

373737
474747
+

0,25 + 792,81
×
0,75)
×
(11
×
9 – 900
×
0,1 - 9)
Đặt biểu thức là S
Gọi thừa số thứ nhất: (792,81
×
0,25 + 792,81
×
0,75) = A.
Lúc này ta biểu thức có dạng:
S = A
×
(11
×
9 - 900
×
0,1 - 9)
S = A
×
(11
×
9 - 900
×
0,1 - 9)

1:
2
1
−
Đặt A = 1997
×
1998
×
1999
×
1996
×
1998. Lúc này biểu thức có dạng:
A
×
(1 +
)
3
1
1
2
1
1:
2
1
−

= A
×
(

2
2
1
1 −×+
)
= A
×
(
3
4
3
1
1
−+
)
= A
×
(
3
4
3
1
3
3
−+
)
= A
×
(
3

Từ cách giải trên nếu ta dừng lại đây thì chưa đủ, thực tế có nhiều bài toán dẫy số có rất nhiều
số, nên học sinh sể rất mất công để tìm ra có bao nhiêu số trong dãy số đó, để tìm ra bao nhiêu
cặp . Lại nữa, muốn tìm xem một số nào đó trong dãy số là số thứ mấy của dãy số? Rồi số thứ n
nào đó của dãy là số mấy?
Ví dụ: Cho dãy số 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 2002 ; 2004. Hãy:
a, Tìm tổng của dãy số?
b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?
c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?
Để giúp học sinh giải bài toán này và các bài toán tương tự ta hãy cùng nhau xây dựng một
công thức tổng quát mà trong phạm vi học sinh tiểu học có thể chấp nhận và áp dụng được.
Gọi dãy số cho trước là a
1
,a
2
,a
3
, a
n
trong đó a
1
,a
2
,a
3
là các số thứ 1,2,3 của dãy số, a
n
là số cuối
cùng của dãy số. ta hãy tìm công thức tổng quát, từ ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Hãy tìm tổng của dãy số đó?
+ Để tìm tổng của dãy số trước hết ta phải tìm xem dãy số gồm có bao nhiêu số.Ví dụ: Cho dãy

Đó là:

(1)
+ Tổng của dãy số là :

(2)

Trong đó S là tổng số cần tìm, a
n
là số cuối dãy, a
1
là số đầu dãy, n là số số của dãy.
Lưu ý: Đối với số có số số là lẻ hay chẵn đều cũng áp dung công thức này. vì: Nếu n là lẻ thì:
n - 1

a
n
+ a
1
s = (a
n
+ a
1
)
×
+

2 2

= (a

b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?
6
a
n
- a
1
n =
a
2
- a
1

s = (a
n
+ a
1
)
×
2
n
c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?
Ta có thể làm như sau:
* Trước hết ta tìm xem đãy số đã cho có bao nhiêu số (tức là tìm n):

n 1
2 1
a a 2004 - 2 2002
n = 1 = = + 1= 1001 + 1 = 1002
a a 4 - 2 2
−

4 - 2

⇒
a
n
= 100. Tức số thứ 50 của dãy số là số 100.
c, Số 1802 là số thứ mấy của dãy số ?
a
n
- a
1
1802 - 2 1800
n = + 1
⇒
n = + 1
⇒
n = + 1
a
2
- a
1
4 - 2 2
n = 900 + 2 = 902 . Vậy số 1802 có số thứ tự 902 trong dãy số.
III MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 237 + 357 + 763 b) 2345 + 4257 - 345 c) 5238 - 476 + 3476 d) 1987 - 538 - 462
e) 4276 + 2357 + 5724 + 7643 g) 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653
h) 2376 + 3425 - 376 - 425 i) 3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347
k) 4638 - 2437 + 5362 - 7563 l) 3576 - 4037 - 5963 + 6424
Bµi 1: TÝnh nhanh:

××
−×
7
c)
199419961000
99619951996
×+
−×
d)

Bµi 8*: Cho A = 2009 x 425 B = 575 x 2009 Kh«ng tÝnh A vµ B, em h·y tÝnh nhanh kÕt
qu¶ cña A - B ?

8