SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÍNH
TÍCH PHÂN"
2
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Học sinh trên địa bàn xã Võ Lao đa phần là con em nông thôn, cha mẹ không có điều
kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ
bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thơì gian để học, dẫn
đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều,
nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 6 năm gắn bó
với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy trong
quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp
thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước
vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân
hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài
toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các
phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết
sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định
nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần
mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của
hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi
biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá
trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực
3
tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh lớp 12 trường
THPT số 2 Văn Bàn.
Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh tôi
chọn đề tài “Tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1 trường THPT số 2

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời
giải đúng của bài toán.
PHẦN II: NỘI DUNG
5
“TỔNG HỢP MỘT SỐ SAI LẦM, NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 12A1 TRƯỜNG
THPT SỐ 2 VĂN BÀN TRÁNH SAI SÓT KHI TÍNH TÍCH PHÂN”
I. Những quan niệm chung
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng
rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức
của học sinh.
II. Biện pháp, giải pháp thay thế .
Bài tập minh hoạ:
Bài 1: Tính tích phân: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
* Sai lầm thường gặp: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x

+x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =
2
)1(
1
+x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên tục trên
[ ]
2;2−
do đó tích phân trên không tồn tại.
6
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên
[ ]

4
cos
1
π
4/
dx
x
xex
x
∫
−
+−
1
1
3
23
.
Bài 2 :Tính tích phân: I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2
x
thì dx =
2
1

=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t
+ c
⇒
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
2
tan 1
2
x
−
+
π
0
=
2

+
π
0
sin1 x
dx
=
0
2
0 0
2 4
tan
2 4
1 cos cos
2 2 4
x
d
dx x
x
x
π π
π
π
π
π π
 
−
 ÷
 
 
= = −

dx
2/
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Bài 3: Tính I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx =
( ) ( ) ( )
( )
4
2
9

* Lời giải đúng:
I =
∫
+−
4
0
2
96xx
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫∫∫
−−+−−−=−−=−
3
0
4
3
4
0
4
0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx
= -
( ) ( )
5
2
1
2
9

a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a
∫
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính chất tích phân
tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự:
1/ I =
∫
−
π
0
2sin1 x
dx;
2/ I =
∫
+−
3
0
23

∫
dx
Bài 4: Tính I =
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
( )
( )
( )
0
0
1
2
1
1
arctan 1 arctan1 arctan 0
4
1 1
d x
x
x
π
−

π
+
= = =
+
∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh:
10
Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh
có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các
sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái
niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp
này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
∫
+
b
a
dx
x
2
1
1
ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t =
tanx hoặc t = cotx ;

∫
−
b
a
dx
x

−
3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài 5:
Tính :I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
11
∫ ∫
=
−
dt
t
t
dx

x
=⇒
−
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
∫ ∫
−=−



2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x
= sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x
2
thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến
cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo
phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
12
1/ Tính I =
dx
x
x

∫ ∫
− −
−






+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2

I =
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=(ln
2+t
-ln
2−t
)

* Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa x = 0 nên không thể
chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
13
xét hàm số F(x) =
12

++
+−
x
x
xx
xx
Do đó I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−

quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết khoa học.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT số 2 Văn Bàn.
+ Lớp 12A4 ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến.
Thực nghiệm được tiến hành trong bài phụ đạo, ôn tập về tích phân. Sau khi dạy thực
nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra khảo sát 45 phút
Tính các tích phân sau
1/
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
. 2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1( −
∫
−
.
3/
dx

rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh. Có
thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng thời
cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học sinh.
Cả bốn ý trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng
suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về tích phân.
PHẦN III : KẾT LUAN.
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng.
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề
liên quan đến tính tích phân
16
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên
quan đến Tích phân.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện
pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên
cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán Tích phân
nói riêng Toán học nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được
giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề nghĩ đến.
Trong toán học, còn nhiều dạng toán mà học sinh rất hay mắc sai lầm trong khi giải quyết
nó. Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày các vấn đề này trong những năm học tiếp
theo.
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo
nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa
về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm