Mục lục
Mục lục 1
Bảng một số ký hiệu 4
Bảng một số thuật ngữ 5
Mở đầu 7
1 Một số kiến thức chuẩn bị 14
1.1 Nhóm đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Lược đồ nhóm affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Đối đồng điều Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Đối đồng điều phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng 29
1.5.1 Trường hợp giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2 Trường hợp không giao hoán. Tôpô đặc biệt . . . . . . . . 30
1.5.3 Trường hợp không giao hoán. Tôpô chính tắc . . . . . . . 30
2 Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con
Grosshans 32
2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được . . . . . . . . . 33
2.2 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con toàn cấu . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con Grosshans . . . . . . . . . . . 43
2.4 Kết luận của Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Về một dạng tương đối cho Định lý của Bogomolov trên trường hoàn
thiện và ứng dụng của nó 47
3.1 Một số khái niệm và kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Một số kết quả trong lý thuyết biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . 52
1
3.2.1 Định lý cơ bản của biểu diễn nhóm reductive trên trường
đóng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Một số ký hiệu và ∆-tác động . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Lý thuyết của Tits về biểu diễn của nhóm reductive trên một
trường bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4 Trạng thái của một biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 130
Tài liệu tham khảo 132
3
Bảng một số ký hiệu
N tập số tự nhiên
Z vành số nguyên
Q trường số hữu tỷ
R trường số thực
C trường số phức
F
q
trường hữu hạn gồm q phần tử
Q
p
trường các số p-adic
Z
p
vành các số nguyên p-adic
F
q
((T )) trường các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong F
q
¯
k bao đóng đại số của trường k
k
s
bao tách được của trường k
k
v
đầy đủ hóa của trường k tại định giá v

char. k đặc số của trường k
G
0
thành phần liên thông chứa đơn vị trong nhóm G
4
Bảng một số thuật ngữ
ánh xạ đối biên coboundary map
đối compắc cocompact
siêu cứng super-rigidity
đa thức cộng tính additive polynomial
đối đồng điều phẳng flat cohomology
hàm tử (hạn chế) của Weil Weil restriction
k-đẳng hướng k-isotropic
k-xoắn k-wound
k-phân rã k-split
k-không đẳng hướng k-anisotropic
thuần túy không tách purely inseparable
lược đồ nhóm group scheme
lược đồ nhóm vô cùng bé infinitesimal group scheme
nhóm reductive reductive group
nhóm lũy đơn unipotent group
nhóm con parabolic chuẩn standard parabolic subgroup
nhóm con parabolic parabolic subgroup
nhóm con tựa parabolic quasi-parabolic subgroup
nhóm con dưới parabolic sub-parabolic subgroup
ổn định stable
nửa ổn định semi-stable
không nửa ổn định unstable
thiếu ổn định instable
thực sự ổn định properly stable

với động cơ nghiên cứu các bài toán số học (cụ thể là xây dựng không gian moduli
của các đa tạp abel, như đã đề cập trong Chương 3 của [30], [31]), D. Mumford đã
xét nhiều vấn đề của lý thuyết này trên những lược đồ đủ tổng quát. Ngoài ra, A.
Borel [58], và J. Tits [30], đã đặt ra một số câu hỏi (hay giả thuyết) khi mở rộng
các kết quả đã biết của lý thuyết bất biến hình học trên trường đóng đại số cho cả
trường không đóng đại số (chẳng hạn mở rộng một định lý nổi tiếng của D. Hilbert
và D. Mumford). Những kết quả điển hình theo hướng này thuộc về D. Birkes [6],
G. Kempf [25], M. S. Raghunathan [35], đã cho câu trả lời (hoặc lời giải) của
một số câu hỏi (hoặc giả thuyết) được đề cập ở trên. Những nghiên cứu theo cách
như vậy nói chung được gọi là nghiên cứu về các tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số,
của đa tạp đại số, v.v ). Khó khăn gặp phải trong các bài toán nói trên tương tự như
đối với một bài toán số học, ví dụ việc tìm nghiệm của đa thức trong trường đóng
đại số (“bài toán hình học”) và trong trường không đóng đại số (“bài toán số học”).
Để hiểu rõ các tính chất của quỹ đạo, việc nghiên cứu các nhóm con dừng là rất
quan trọng. Có một số lớp nhóm con quan trọng trong việc nghiên cứu Lý thuyết
7
bất biến hình học, đó là lớp các nhóm con quan sát được, lớp các nhóm con toàn
cấu, và lớp các nhóm con Grosshans. Từ một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễn
nhóm đại số, A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. Mostow [3, p. 134] đã đưa ra
khái niệm các nhóm con quan sát được. Ta có thể hiểu một nhóm con đóng H của
G là quan sát được nếu H là nhóm con dừng của một vectơ v trong một G-môđun
hữu tỷ hữu hạn chiều V nào đó. Trong [3], các tác giả đã đưa ra một số điều kiện
cần và đủ để một nhóm là quan sát được. Sau đó, F. Grosshans đã tìm thêm được
một số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] và những tài liệu dẫn ở đó). Tuy
nhiên, hầu hết các kết quả ở đây đều mới chỉ được chứng minh cho trường hợp k là
một trường đóng đại số.
Một lớp các nhóm con khác cũng khá quan trọng là lớp các nhóm con toàn cấu
do A. Borel và F. Bien đưa ra (trước đó S. Bergman đã làm một công việc tương
tự đối với các Đại số Lie). Ta định nghĩa một nhóm con đóng H của G là toàn cấu
nếu đại số các hàm chính quy k[G/H] của không gian thuần nhất G/H chính bằng

kỹ thuật, các kết quả của F. Bogomolov và A. Sukhanov trong Chương 3 chỉ được
mở rộng lên cho truờng hợp k là trường hoàn thiện.
Như đã nói ở trên, có rất nhiều kết quả của Lý thuyết bất biến (hình học) đề cập
đến việc nghiên cứu tính chất đóng của quỹ đạo dưới tác động của nhóm G thu được
trong trường hợp hình học, tức là, trong trường hợp trường k là đóng đại số. Bên
cạnh đó, vì một số đòi hỏi nội tại của Lý thuyết số mà các trường địa phương, toàn
cục được quan tâm đặc biệt. Chẳng hạn ta cho G là một nhóm đại số tuyến tính tác
động lên k-đa tạp V và x ∈ V(k). Khi đó, một bước chính trong việc chứng minh
một kết quả tương tự của Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trong trường
hợp trường hàm toàn cục, xem [51], là chứng minh tính chất đóng (địa phương) của
một số quỹ đạo tương đối G(k) · x. Vì thế, chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa
các tính chất đóng Zariski của các quỹ đạo dưới tác động bởi một nhóm đại số và
tính chất đóng Hausdorff của các quỹ đạo tương đối. Cụ thể hơn, giả sử k là một
trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng thực bằng 1, ví dụ
là các trường địa phương như trường p-adic hoặc trường số thực R. Ta trang bị cho
X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic trên k. Cho x ∈ X(k), chúng
tôi muốn nghiên cứu mối liên hệ giữa tính chất đóng Zariski của quỹ đạo hình học
G · x trong X và tính chất đóng Hausdorff của quỹ đạo (tương đối) G(k) · x trong
X(k). Kết quả đầu tiên theo hướng này thuộc về A. Borel và Harish-Chandra [10],
tiếp đến là D. Birkes [6] (xem thêm [55]) trong trường hợp trường số thực, và sau
đó là R. Bremigan [11]. Thực tế, ở các bài báo đó đã chỉ ra nếu G là một R-nhóm
reductive, thì G · x là đóng Zariski nếu và chỉ nếu G(R) · x là đóng theo tôpô thực
([6], [55]). Điều này cũng được mở rộng cho trường p-adic bởi R. Bremigan [11].
Mục đích của chúng tôi trong chương kết quả thứ ba (Chương 4) là mở rộng và
nghiên cứu sâu hơn bài toán được đề cập ở trên.
Bản luận án gồm 4 chương.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản, cần thiết cho luận
án. Cụ thể là, trong Mục 1.1, 1.2, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về nhóm đại
số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động của nhóm đại số lên
đa tạp) và lược đồ nhóm affine. Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tôi trình bày một số kiến


).
(f’) Tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một véctơ v ∈ V(k) sao cho
H = G
v
và
G/H
k
 G · v = {ρ(g)(v) |g ∈ G}.
(g’) Trường các thương của vành các G
0
∩ H-bất biến trong k[G
0
] bằng trường
các phân thức G
0
∩ H-bất biến của k(G
0
).
Hơn nữa, nếu H(k) trù mật Zariski trong H thì các khẳng định trên tương đương
với tính chất quan sát được tương đối (xem Định nghĩa 2.1.6) của H trên k.
Kết quả chính thứ hai thu được cho các nhóm con toàn cấu, và được phát biểu là
như sau.
Định lý (xem Định lý 2.2.4). Cho k là một trường bất kỳ và H là một k-nhóm con
đóng của một k-nhóm G. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(a’) H là k-toàn cấu, tức là (k[G]
H
)

= G.

là k-đại số hữu hạn
sinh.
(c’) H là một nhóm con Grosshans tương đối trên k (tức là, k[G]
H(k )
là một k-đại
số hữu hạn sinh).
Khi đó cùng với các điều kiện của Định lý 2.3.2 ta có
(a) ⇔ (a

) ⇔ (b) ⇔ (b

) ⇒ (c

).
Nếu hơn nữa, H(k) là trù mật Zariski trong H thì tất cả các khẳng định trên là
tương đương.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu việc mở rộng các Định lý Bogomolov và
Định lý Sukhanov cho trường không đóng đại số. Kết quả chính của chương này là
hai định lý sau.
Định lý (xem Định lý 3.1.5). Cho k là một trường hoàn thiện, G là một nhóm
reductive liên thông và V là một k −G-môđun hữu hạn chiều. Giả sử v ∈ V(k) \{0}.
Khi đó, nếu v là một vectơ thiếu ổn định đối với tác động của G lên V (tức là
0 ∈
G · v) thì G
v
chứa trong một nhóm con k-tựa parabolic thực sự Q của G.
11
Định lý (xem Định lý 3.1.7). Cho k là một trường hoàn thiện, G là một nhóm đại
số tuyến tính xác định trên k và H là một k-nhóm con đóng của G. Ta xét những
khẳng định sau.

12
Định lý (xem Định lý 4.3.1.3). Cho k là một trường đầy đủ đối với một định giá
không tầm thường có hạng thực bằng 1, và G là một k-nhóm đại số tuyến tính tác
động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V. Giả sử v thuộc V(k). Ta có các khẳng định
sau:
1) Nếu quỹ đạo tương đối G(k ) · v là đóng trong tôpô Hausdorff của V(k) và
hoặc G là lũy linh, hoặc G là reductive với tác động của G là tách mạnh tại
v (theo nghĩa của Ramanan và Ramanathan), thì quỹ đạo G · v là đóng theo
tôpô Zariski trong V.
2) Đảo lại, với những quy ước trên, G(k) · v là đóng Hausdorff trong V(k) nếu
G · v đóng và một trong các điều kiện sau là đúng:
a) G
v
là giao hoán và trơn hoặc G là giao hoán.
b) G
v
là một k-nhóm trơn và là mở rộng của một k-nhóm lũy đơn trơn bởi
một k-nhóm chéo hóa được.
c) Trường k là compắc địa phương, và G
v
là một k-nhóm con reductive liên
thông và trơn trong G.
d) Tác động của G tại v là khá tách.
Ngoài ra, chúng tôi cũng có các ví dụ, phản ví dụ bổ sung cho những định lý nói
trên. (Xem các Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, và 4.4.2.)
13
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho
toàn bộ luận án. Chúng tôi chỉ xét những nhóm đại số affine (tuyến tính) và lược đồ

1
, . . . , T
n
], nghĩa là I(V) =
¯
k ·(I(V) ∩k[T
1
, . . . , T
n
]). Ta đặt
k[V] = k[T
1
, . . . , T
n
]/(I(V) ∩ k [T
1
, . . . , T
n
]) và gọi là vành các hàm chính quy xác
định trên k của V.
(b) Một cấu xạ giữa hai k-đa tạp affine ϕ : X → Y được gọi là xác định trên k,
hay k-cấu xạ, nếu đồng cấu đối cấu xạ ϕ
∗
:
¯
k[Y] →
¯
k[X] gửi k[Y] vào k[X].
Định nghĩa 1.1.2 ([9, Chap. I, Sec. 1.1, p. 46]). (a) Cho G là một nhóm, ta nói G
là một k-nhóm đại số tuyến tính (hay G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên

n
(
¯
k), cùng với phép nhân ma trận là
một k-nhóm đại số tuyến tính. Ta gọi nhóm này là nhóm tuyến tính tổng quát, và ký
hiệu là GL
n
.
4) Tập các ma trận tam giác trên trong GL
n
(
¯
k) cùng với phép nhân ma trận cũng
lập thành một k-nhóm đại số tuyến tính.
5) Tập các ma trận tam giác trên trong GL
n
(
¯
k) với các phần tử trên đường chéo
chính bằng 1 cùng với phép nhân ma trận là một k-nhóm đại số tuyến tính và được
ký hiệu là U
n
.
Định lý sau đây nói rằng mọi k-nhóm đại số tuyến tính đều nhúng đóng được
vào một nhóm tuyến tính tổng quát nào đó.
Định lý 1.1.4 ([9, Chap. I, Sec. 1.7, Prop 1.10, p. 54]). Cho G là một k-nhóm đại số
tuyến tính. Khi đó, G là k-đẳng cấu với một k-nhóm con đóng của một nhóm tuyến
tính tổng quát GL
n
nào đó.

n
.
15
Định nghĩa 1.1.7 ([9, Chap. I, Sec. 4.8, p. 87]). Ta gọi một k-nhóm đại số tuyến
tính G là lũy đơn nếu G = G
u
, với G
u
= {g ∈ G |g = g
u
}.
Định nghĩa 1.1.8 ([9, Chap. IV, Sec. 11.21, pp. 157-158]). Cho G là một k-nhóm
đại số tuyến tính. Khi đó:
(a) Ta định nghĩa căn giải được của G, ký hiệu là R(G), là nhóm con chuẩn tắc,
giải được, liên thông cực đại của G.
(b) Ta định nghĩa căn lũy đơn của G, ký hiệu là R
u
(G), là nhóm con chuẩn tắc,
lũy đơn, liên thông, cực đại trong G.
Định nghĩa 1.1.9 ([9, Chap. IV, Sec. 11.21, pp. 157-158]). Cho G là một k-nhóm
đại số tuyến tính.
(a) Ta định nghĩa G là một nhóm nửa đơn nếu R(G) = {e}.
(b) Ta định nghĩa G là một nhóm reductive nếu R
u
(G) = {e}.
Từ nhận xét R
u
(G) = R(G)
u
, ta rút ra mọi nhóm nửa đơn đều là nhóm reductive.

(c) Nhóm con các ma trận tam giác trên của GL
n
(
¯
k) là một nhóm con Borel ([9]).
(d) Nhóm G = S O
3
(C) = {A ∈ GL
3
(C) |A
t
A = E
3
, det(A) = 1} là một nhóm hầu
đơn xác định trên R. Khi đó,
T =













1 0 0
















1
d
√
2
id
√
2
b
√
2
a+c+e
2
i(−a+c+e)
2
ib

.
(Nhóm này rõ ràng không xác định trên R vì phương trình định nghĩa của nó có đơn
vị ảo i.)
Ta chuyển sang một khái niệm quan trọng đối với luận văn, đó là tác động của
nhóm đại số lên một đa tạp.
Định nghĩa 1.1.12 ([9, Chap. I, Sec. 1.7, pp. 51-53]). (a) Cho G là một nhóm đại số
tuyến tính, V là một đa tạp đại số (không nhất thiết affine). Giả sử tồn tại một cấu
xạ α : G ×V → V, (g, x) → g · x = α(g, x), thỏa mãn e ·x = x và g ·(h · x) = (gh) ·x,
với mọi g, h ∈ G, và x ∈ V. Khi đó ta nói nhóm đại số G tác động cấu xạ lên đa tạp
V thông qua cấu xạ α (hoặc nói gọn lại, V là một G-đa tạp). Nếu G và V đều xác
định trên k và α là một k-cấu xạ thì ta nói G tác động k-cấu xạ lên đa tạp V.
(b) Giả sử x ∈ V là một điểm tùy ý, nhóm con đóng H của G cho bởi H = {g ∈
G |g · x = x} được gọi là nhóm con dừng của x và được ký hiệu là G
x
.
(c) Tập hợp G · x := {g · x |g ∈ G} được gọi là quỹ đạo của x dưới tác động của
nhóm G.
Tác động của nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số có những tính chất quan
trọng sau:
Định lý 1.1.13 ([9, Chap. I, Sec. 1.8, p. 53]). Giả sử G là một nhóm đại số tuyến
tính tác động cấu xạ lên một đa tạp V khác rỗng. Khi đó mỗi quỹ đạo đều là một
đa tạp trơn và mở trong bao đóng của nó. Biên của quỹ đạo này là hợp của những
quỹ đạo có chiều nhỏ hơn. Nói riêng ra, những quỹ đạo có chiều nhỏ nhất luôn là
đóng. Do đó, quỹ đạo đóng là luôn tồn tại.
Định nghĩa 1.1.14 ([24, Chap. II, Sec. 8.2, pp. 59-60]). Cho X, Y là hai G-đa tạp.
Khi đó ta nói một cấu xạ f : X → Y là G-đẳng biến nếu f (g · x) = g · f (x), với mọi
g ∈ G và x ∈ X.
Một trường hợp quan trọng của tác động nhóm lên đa tạp được diễn đạt dưới
dạng biểu diễn hữu tỷ của nhóm trong một không gian véctơ.
17

của π




U
.
Định nghĩa 1.1.18 ([9, Chap. 6, Sec. 6.3, p. 95]). Giả sử G là một k-nhóm tác động
k-cấu xạ lên k-đa tạp V. Ta định nghĩa một thương hình học tốt của V bởi G trên
k là một cặp (W, π), trong đó W là một k-đa tạp, π : V → W là một k-cấu xạ thỏa
mãn:
(1) Mỗi thớ của π là một quỹ đạo,
(2) π là một cấu xạ thương trên k.
Khi đó cấu xạ thương π thỏa mãn tính chất phổ dụng sau.
Định lý 1.1.19 ([9, Chap. 6, Sec. 6.3, p. 95]). Giả sử α : V → Z là một cấu xạ tùy
ý hằng trên các quỹ đạo của G. Khi đó tồn tại duy nhất một cấu xạ β : W → Z sao
cho α = β ◦ π. Hơn nữa, nếu α là một k-cấu xạ giữa các k-đa tạp thì β cũng là một
k-cấu xạ.
Nhận xét. 1) Tính chất phổ dụng nói trên cũng được dùng để định nghĩa thương
phạm trù. Cụ thể, ta nói cặp (π, W) là một thương phạm trù (trên k) của V bởi tác
18
động của nhóm G nếu W là một k-đa tạp, π : V → W là một cấu xạ hằng trên các
quỹ đạo của G và thỏa mãn tính chất phổ dụng:
Nếu σ : V → Z là một k-cấu xạ hằng trên các quỹ đạo của G thì tồn tại duy nhất
một k-cấu xạ τ : W → Z sao cho σ = τ ◦ π.
2) Thương phạm trù nếu tồn tại thì duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Ta ký hiệu thương phạm trù là V ∥ G và thương hình học tốt là V/G.
Ví dụ 1.1.20. 1) ([9, Chap. II, Prop. 6.15, p. 102])
Cho G là một k-nhóm hữu hạn tác động k-cấu xạ lên một k-đa tạp affine V. Khi
đó thương hình học tốt V/G là tồn tại.

¯
k) → A
n
: X → (c
1
(X), . . . , c
n
(X))
là một thương phạm trù của đa tạp M
n
(
¯
k) bởi tác động liên hợp của GL
n
. Hơn nữa,
thương này không là thương hình học vì mỗi thớ nói chung không chỉ gồm đúng
một quỹ đạo. (Hai ma trận có cùng đa thức đặc trưng thì nhìn chung không đồng
dạng với nhau.)
3) ([39, Example 4.10, pp. 231-233], [34, Example 3, p. 149, Sec. 4.3, p. 187])
Cho k là một trường đóng đại số, đặc số 0, ta xét tác động của G
a
lên A
4
= M
2
(k)
như sau:
λ ·






a b
c d






=






a + λc b + λd
c d






.
Khi đó không tồn tại thương phạm trù của A
4
cho G

là
¯
k-đẳng cấu với G
a
.
Định nghĩa 1.1.23 ([9, Chap. V, Sec. 15.1, p. 203]). Ta nói một k-nhóm lũy đơn G
là phân rã trên k, hay k-phân rã, nếu G có một dãy hợp thành các k-nhóm con đóng,
chuẩn tắc G = G
0
> G
1
> ··· > G
m
= {1}, sao cho mỗi nhóm thương G
i
/G
i+1
là
k-đẳng cấu với G
a
.
Vậy từ Mệnh đề 1.1.22, ta suy ra mọi nhóm lũy đơn đều phân rã trên
¯
k. Tiếp đến,
chúng tôi nhắc lại một số điểm đáng chú ý trong lý thuyết của J. Tits về nhóm lũy
đơn trên trường có đặc số khác 0.
Định nghĩa 1.1.24 ([68, Sec. 3.1]). Cho G là một nhóm lũy đơn xác định trên một
trường k có đặc số p > 0. Ta nói G là k-xoắn (k-wound) nếu không tồn tại một k-cấu
xạ khác hằng số từ G
a

Nếu G là một lược đồ nhóm affine thì tương ứng với nó, A có cấu trúc của
một đại số Hopf, tức là, một k-đại số giao hoán A cùng với các đồng cấu k-đại số
∆ : A → A ⊗ A,  : A → k, S : A → A, sao cho các biểu đồ sau là giao hoán:
A ⊗ A ⊗ A
id⊗∆
←−−−− A ⊗ A






∆⊗id






∆
A ⊗ A
∆
←−−−− A
,
k ⊗ A
⊗id
←−−−− A ⊗ A





∆
k

←−−−− A
.
Định nghĩa 1.2.3 ([52, Chap. II, Sec. 2.1, p. 13]). Một đồng cấu giữa các k-lược đồ
nhóm affine là một phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử G → H sao cho với mọi
k-đại số R, ánh xạ G(R) → H(R) là một đồng cấu nhóm.
Ta nhận thấy tương ứng G với k[G] cho một tương đương phạm trù giữa phạm
trù các k-lược đồ nhóm affine và phạm trù các k-đại số Hopf giao hoán.
Ví dụ 1.2.4 ([52, Chap. I, Sec. 1.1, pp. 3-4]). 1) Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành
nhóm R với phép cộng của đại số là một lược đồ k-nhóm affine. Ta gọi lược đồ này
là lược đồ nhóm cộng tính, và ký hiệu là G
a
.
2) Hàm tử biến các k-đại số R thành nhóm các ma trận vuông cấp n với các định
thức khả nghịch là một lược đồ k -nhóm affine. Ta gọi lược đồ này là lược đồ nhóm
tuyến tính tổng quát, ký hiệu lại là GL
n
. Khi n = 1 thì ta nói GL
1
là lược đồ nhóm
nhân tính, và được ký hiệu là G
m
.
3) Cho k là trường với đặc số p > 0. Hàm tử biến mỗi k-đại số R thành nhóm
{x ∈ R | x
p
= 0} với phép cộng là một lược đồ k-nhóm đại số affine, ký hiệu là α

b) Ta gọi lược đồ k-nhóm affine G là hữu hạn nếu k-đại số tọa độ k[G] là một
k-không gian vectơ hữu hạn chiều. Ta nói G là một lược đồ nhóm étale nếu G là hữu
hạn và k[G] là một k-đại số tách được, tức là, k[G] là tích các mở rộng trường tách
được của k. Ta gọi G là một lược đồ nhóm vô cùng bé nếu G là hữu hạn và vành tọa
độ của nó là một vành địa phương.
c) Cho A là một k-đại số. Khi đó, tồn tại một đại số con tách được cực đại của A,
ký hiệu là π
0
(A). Nếu A là một đại số Hopf tương ứng với một lược đồ nhóm G thì
π
0
(A) cũng là một k-đại số Hopf và ký hiệu π
0
(G) là lược đồ nhóm được biểu diễn
bởi π
0
(A).
Định nghĩa 1.2.8 ([52, Chap. 6, Sec. 6.6, pp. 50-51]). Ta nói lược đồ nhóm G là
liên thông nếu một trong những điều kiện tương đương sau được thỏa mãn:
1) π
0
(G) là tầm thường;
2) Spec k[G] là liên thông;
3) Spec k[G] là bất khả quy;
4) k[G]/Nilrad(k[G]) là một miền nguyên, trong đó, Nilrad(k[G]) là căn lũy
linh của k[G].
Ví dụ 1.2.9 ([52, Chap. 6, Sec. 6.4, p. 49]). Cho k là trường đặc số p > 0. Khi đó,
µ
n
với (n, p) = 1 là một lược đồ k-nhóm étale. Nhóm α

, tồn tại phần tử g ∈ GL
n
(k) sao cho liên hợp
gGg
−1
của G bởi phần tử này là một nhóm con đóng của U
n
.
2) G đẳng cấu với một lược đồ nhóm con đóng của U
n
.
3) G có một dãy hợp thành G = G
0
> G
1
> ··· > G
m−1
> G
m
= {1}, sao cho mỗi
nhóm thương G
i
/G
i+1
là đẳng cấu (trên
¯
k) với một nhóm con đóng của G
a
.
Kết quả sau đây của M. Raynaud [63, SGA 3, Expose XVII] nói về cấu trúc của

G
m−1
> G
m
= {1}, với nhóm thương đẳng cấu với (α
p
)
r
, G
s
a
hoặc là k-dạng
của (F
p
)
t
(theo đúng thứ tự này).
1.3 Đối đồng điều Galois
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về đối đồng điều Galois
(không giao hoán), theo [40].
Cho G là một nhóm hầu hữu hạn, tức là, G là giới hạn xạ ảnh của các nhóm hữu
hạn với tôpô rời rạc. Chẳng hạn, nhóm Galois Gal(K/k) là một nhóm hầu hữu hạn,
nếu mở rộng K/k là Galois.
23
Định nghĩa 1.3.1 ([40, Chap. I, Sec. 5.1, pp. 45-46]). Ta nói tập E là một G-tập
nếu E là một không gian tôpô rời rạc cùng với một tác động liên tục của nhóm hầu
hữu hạn G.
Điều này tương đương với E = ∪E
U
, trong đó U chạy trên các tập mở của G, E

(G, E) cũng là một nhóm con của E. Với mỗi A là
một G-nhóm, ta định nghĩa một 1-đối xích với giá trị trong A là một ánh xạ liên
tục a : G → A, s → a
s
, sao cho a
st
= a
s
s
a
t
. Ký hiệu Z
1
(G, A) là tập các 1-đối
xích. Ta nói hai đối xích a, a

là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại b ∈ A sao cho
a

s
= b
−1
a
s
s
b, với mọi s ∈ G. Đây là một quan hệ tương đương trên Z
1
(G, A).
Định nghĩa 1.3.3 ([40, Chap. I, Sec. 5.1, pp. 45-46]). Tập thương của Z
1

Gal(L/k) lên nhóm các điểm L-hữu tỷ G(L). Ta định nghĩa đối đồng điều Galois
bậc q ứng với mở rộng L/k là H
q
(Gal(L/k), G(L)).
24
Nhận xét. Trong trường hợp, G(L) không giao hoán, ta chỉ xét q = 0, 1. Ta ký kiệu
H
q
(k, G) := H
q
(Gal(k
s
/k), G(k
s
)). Khi đó, ta có
H
q
(k, G) = lim
−−→
H
q
(K/k, G(K)),
trong đó, giới hạn được lấy trên tất cả các mở rộng Galois hữu hạn K/k, K ⊆ k
s
.
Định nghĩa 1.3.5 ([40, Chap. I, Sec. 5.3, p. 47]). Cho A là một G-nhóm, a ∈
Z
1
(G, A). Khi đó, ta nói một G-tập, ký hiệu là
a

(G, A/B).
Khi đó, ta có dãy khớp các G-nhóm
1 → B → A → A/B → 1,
1 →
a
B →
a
A →
b
(A/B) → 1.
Cho u : A → B là một G-đồng cấu (tức là, một G-cấu xạ đồng thời là đồng cấu
nhóm) giữa các G-nhóm. Khi đó, u cảm sinh ánh xạ
v : H
1
(G, A) → H
1
(G, B).
Cho α = [a] ∈ H
1
(G, A), và a ∈ Z
1
(G, A). Ký hiệu A

=
a
A, B

=
b
B. Khi đó, u cảm






τ
a






τ
b
H
1
(G, A

)
v

−−−−→ H
1
(G, B

).
Cho A là một G-nhóm con của G-nhóm B, đặt C = B/A. Khi đó, C là một G-tập
và nếu A chuẩn tắc trong B thì C là một G-nhóm. Giả sử γ là một phần tử của
H