PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học là phần khó của chương trình toán, nhất là phần hình hoc
không gian, đa số học sinh rất sợ khi học về hình học không gian.
Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình
học không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả
phương pháp hình học thuần tuý và cả phương pháp tọa độ. Việc giải toán
Hình học không gian bằng phương pháp hình học thuần túy gặp rất nhiều khó
khăn cho học sinh vừa học xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quen
kiến thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình trong không gian.
Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học
sinh cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này không được đề
cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình
học không gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng kiến
kinh nghiệm của mình, tôi xin trình bày một số kỹ năng giải giải hình học
không gian bằng phương pháp tọa độ.
2. Phạm vi nghiên cứu
Sau khi học sinh học hết chương trình lớp 12 chuẩn bị thi đại học.
3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan hình học không
gian bằng phương pháp tọa độ
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
Chương 1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
Chương 2 Cở sở thực tiễn
Chương 3 Một số kỹ năng giải giải hình học không gian bằng phương
pháp tọa độ.

1
PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận

dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa
trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học.
Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần
với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ.
Các dạng toán thường gặp :
• Độ dài đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
II. Cở sở thực tiễn
a. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương
trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai
3
đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng
cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian
làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh
dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị
cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình
học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian.
b. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc
chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết

C
° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc
A(0; 0; 0),
a a 3 a a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h
2 2 2 2 2 3
       
−
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.
°
a 3 a a 3 a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
     
= = − = − −
 ÷  ÷  ÷
     
uuur uur uuur
°
2
1
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6
 
= − − = − − = −
 ÷

n
r
.
° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SC
uuur uuur
nên có pháp vectơ
2
n
r
.
°
1 2
(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0⊥ ⇔ =
r r
2 2 2
2 2
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0
a 6
18h 3a h .
6
⇔ − + − = ⇔ − − =
⇔ = ⇔ =
 Vậy:
a 6
h .
6
=
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
= a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm

A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0
5 5
 
 ÷
 
° Tọa độ trung điểm M của SC là
a 5
M 0; ; a
2
 
 ÷
 
° Ta có:
a 5 3a
MA 0; ; a MA
2 2
 
= ⇒ =
 ÷
 
uuuur
2a 3a 3a
MB ; ; a MB .
2
5 2 5
 
= − ⇒ =
 ÷
 
uuur

H
B
A
K
x
a
5
Bài toán 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông có
AB=AC=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
2
2a
SA =
.
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung
điểm của cạnh BC.
 Lời giải:
Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O
)0;0;0(A≡
, B(a;0;0), C(0;a;0),
)
2
2
;0;0(
a
S

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là

a
aa
SCSB =








=
nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến
)21;1(=n
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) ta có:
0
60
2
1
211
1
.
.
cos =⇒=
++
==
ϕϕ

488
,
4
2
.,
2
2
;0;0,
2
;
4
2
;
4
2
,,
2
2
;;0,0;
2
;
2
2444
3
222
aaaa
SCAI
a
ASSCAI
a






−=






=
Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AI và SC là:

[ ]
2
2
.
4
2
,
.,
),(
2
3
a
a
a
SCAI

a
AK ===
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
)0;0;0(HO ≡

Ta có:
)0;
2
;
6
3
(),0;
2
;
6
3
(),0;0;
3
3
(
aa
C
aa
B
a
A −−−





6
3
(),;0;0(
haa
N
haa
M
a
KhS
Suy ra :
8
z
x
y
A
C B
S
K
H
N M








−−=







==
24
35
;0;
4
,
2
1
aah
ANAMn
.








−−−=






3
;0;,
2
2
a
ahSCSBn
.
Theo giả thiết:
0
48
5
4
0.)()(
422
21
=+−⇔=⇒⊥
aha
nnSBCAMN
6
15a
h =⇒
.
Vậy
[ ] [ ]
16
10
,
2
1
24

Trích đề thi Đại học khối B – năm 2006 )
 Lời giải:
Theo giả thiết ta có AS, AB, AD đôi một
vuông góc, nên ta chọn hệ tọa độ Oxyz
sao cho
)0;0;0(AO ≡
, Khi đó ta có:
9
z
S
x
B
C
y
D
N
MA
I
M là trung điểm của AD
)0;
2
2
;0(
a
M⇒
N là trung điểm của SC
)
2
;
2

aaACASnaaACaAS −==⇒==
[ ]








==⇒−=−=
2
2
;;
2
2
,);
2
2
;0(),;0;(
2
2
2
2
a
a
a
SMSBna
a
SMaaSB









−=⇒








=








= 0;
6
;
6

1
.,
6
1
32
a
a
a
ABAIANV
AINB
=−==
Bài toán 6:
10
);0;0(),0;2;(),0;2;0(),0;0;( aSaaCaDaB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC và CD. Chứng minh rằng AM
vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP.
( Trích đề thi Đại học khối A – năm 2007 )
 Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AD, vì tam giác SAD đều nên SH
⊥
AD. Mặt
khác (SAD)
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD). Suy ra HS, HA và HN đôi một
vuông góc. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
)0;0;0(HO ≡

a
C
a
a
B
a
S
a
D
a
A
−
−
−
* Chứng minh AM
⊥
BP:
Ta có
)
4
3
;
2
;
4
(
aaa
AM −=
)0:
2

;
4
(),
4
3
;
2
;
4
3
(
22
aa
MNMC
aaa
MN
aaa
MC −=⇒−−=−−=
)
4
3
;0;
4
3
(
aa
MP −−=

Suy ra thể tích khối chóp CMNP:
11

. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm
của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính
(theo
a
) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề thi tuyển
sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD
⇒
)(ABCDSO ⊥
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O
; S
( )
h;0;0
;
A
2
;0;0
2
a
 
−
 ÷
 ÷
 



− 0;
2
2
;0
a

Toạ độ trung điểm P của SA P
2
; 0 ;
4 2
a h
 
−
 ÷
 ÷
 
; E
2 2
; ;
2 2
a a
h
 
− −
 ÷
 ÷
 
M

uuuur uuur

Vì :
BDMNBDMN ⊥⇒= 0.

12
S
C
B
A
D
P
N
M
E
O
x
y
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có :
2
, 0; ;0
2
ah
MN AC
 

⇒
MN và AC chéo nhau
( )
4
2
2
4
],[
].,[
,
22
2
a
ha
ha
ACMN
AMACMN
ACMNd ===
III/ Các bài toán về lăng trụ
Bài toán 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với
AB = AC = a, góc
·
o
BAC 120=
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm
CC'. Chứng minh tam giác AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa
hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Gọi H là trung điểm BC ⇒
AH BC
⊥

13
60
o
B
/
A
/
C
/
z
a
B
C
A
H
I
y
z
°
/
a 3 a a 3 a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2 2 2
   
= = −
 ÷  ÷
   
uuur uur
° Ta có:
2 2 2

[AB ; AI] ; ; (1; 3 3; 2 3) .n
4 4 4 4 4
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uur
r

với
2
n (1; 3 3; 2 3)= −
r
.
° Gọi
α
là góc giữa (ABC) và (AB
/
I), ta có:
0 0 2 3
2 3 30
cos .
10
0 0 1. 1 27 12 40
+ −
α = = =
+ + + +
Bài tóan 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1 . Gọi
I, J, K lần lượt là trung điển của các đoạn thẳng AA’, CD v A’D’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BIJK.

);
2
;(
;
4
;
2
,)0;;
2
(),
2
;0;(
abc
abc
abcabc
VBKBJBIV
c
b
aBK
ab
acbc
BJBIb
a
BJ
c
aBI
=−−=⇔=⇒
−=



''
)''(
DABK
CABK
DABK
CABK
DCAmpBK
(1)
Với
);;0('),0;;(''),;
2
;( cbDAbaCAc
b
aBK −==−=
Thế vo hệ (1) ta được
6
2
2
2
2
2
1
2
0
2
0
2
===⇔



IAJACI
h
++
=
++
==
áp dụng BĐT Cơ si với a.b.c = 1 ta có:
3
max
144.3
1
=h
đạt được khi
3
12
1
322
===
bca
Bài toán 10:
15
x
B
B’
A’
z
C’
D’
D
y

4
(
)0;
4
3
;
4
((),;
2
3
;0(),0;
2
3
;0(),0;0;0('
aa
FAED
aa
EA
a
FAa
aa
ED
aa
Ea
a
D
a
FA
−=⇒
==−=⇒

với đối tượng học sinh chuẩn bị thi vào các trường Đại học- Cao đẳng, đặc
biệt là các kỳ thi gần đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện kỳ thi “Ba
chung” . Nên bản thân tôi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này.
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần
Đức Huyên -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000.
 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân
- NXB Giáo dục, 2000.
 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo và Nguyễn Mộng Hy
(chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục, 2000.
 Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ - Nguyễn
Mộng Hy - NXB Giáo dục, 1998.
 Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học
quốc gia Hà Nội, 2001.
 Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu
bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu
hành nội bộ, 2000.
 Báo Toán học và Tuổi trẻ, số tháng 11/1995 và số tháng 2/1999.
17
18