1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ trước đến nay kết quả học tập đạt được không chỉ phụ thuộc vào
những nỗ lực của bản thân mỗi chúng ta mà còn phụ thuộc vào phương pháp
truyền đạt của mỗi giáo viên. Xã hội ngày càng phát triển, tri thức ngày một
tăng lên v
ì t
hế để đạt được hiệu quả cao trong học tập và l
ĩnh h
ội tốt tri thức
của nhân loại thì không chỉ đ
òi h
ỏi ý thức tự học của mỗi cá nhân phát triển
cao hơn mà mỗi giáo viên cần phải đổi mới phương pháp dạy học phù hợp.
Với phân phối chương tr
ình
ở nhà trường phổ thông thì không thể thâu
tóm hết kho tàng nội dung kiến thức phong phú của nhân loại, không thể l
ĩnh
hội hết mọi kiến thức mà mình mong muốn. Vì thế chúng ta phải đặt ra
phương pháp dạy học phù hợp, phát huy được ý thức của người học. Do vậy
đ
òi h
ỏi người giáo viên phải biết cách tự tìm tòi, nghiên cứu các phương pháp
dạy học phù hợp, đó là kim chỉ nam, là nền tảng quan trọng xây dựng nên bề
dày tri thức cho học sinh, giúp các em dễ dàng tiếp thu tri thức của nhân loại.
Ở trường THPT các bài toán hình học không gian từ xưa tới nay là phần
khó đối với học sinh bởi hình học không gian có tính chất trừu tượng cao.
Đứng trước một bài toán hình học không gian ta có thể đưa ra được nhiều
cách giải khác nhau trong đó có thể sử dụng phương pháp tọa độ. Sử dụng

ình môn
toán trường THPT. Thông qua đó đưa ra phương pháp giải phù hợp từ đó giúp
học sinh hình thành
đ
ịnh hướng, k
ĩ năng gi
ải toán. Từ đó góp phần nâng cao
chất lượng học của học sinh nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục Toán học
nói chung.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là : “Các bài toán hình học không gian giải bằng
phương pháp tọa độ ”
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đưa ra các phương pháp, thủ thuật và phân dạng bài tập phù hợp sẽ
giải quyết được một số khó khăn mà học sinh thường mắc phải và giúp các
em đạt kết quả cao trong học tập.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết
Phân tích lí thuyết là thao tác phân tài liệu lí thuyết thành các đơn vị kiến
thức, cho phép ta tìm những dấu hiệu đặc thù, bản chất, cấu trúc bên trong của
lí thuyết. Từ đó nắm vững bản chất của từng đơn vị kiến thức và toàn bộ vấn
3
đề ta nghiên cứu. Con đường phân tích – tổng hợp cho phép ta nhận thức
được nội dung, xu hướng phát triển khách quan của lí thuyết và từ đây tiến
hành suy diễn hình thành khái niệm, tạo ra hệ thống các phạm trù, lí thuyết
khoa học mới.
5.2. Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục
Sự nghiệp giáo dục của chúng ta phát triển hết sức mạnh mẽ và đem lại
những thành tựu to lớn. Các nhà giáo dục trong công tác của mình đã tích lũy
được nhiều kinh nghiệm… Những kinh nghiệm này cần phải được nghiên

cung cấp và trang bị kiến thức hình thành thế giới quan và nhân sinh quan.
* Hoạt động học tập diễn ra trong điều kiện có kế hoạch vì nó phụ thuộc
vào nội dung, chương tr
ình,
mục tiêu, phương thức và thời gian học tập.
Ở tuổi thanh niên mới lớn những đặc điểm chung của con người về mặt
trí tuệ thông thường đã được hình thành và chúng vẫn còn tiếp tục hoàn thiện.
Hoạt động tư duy của học sinh THPT phát triển mạnh, khả năng tư duy trừu
tượng, tư duy lí luận độc lập, sáng tạo cao. Năng lực phân tích tổng hợp phát
triển, học sinh thích khái quát, tìm hiểu quy luật, các vấn đề triết lý…
1.1.2. Tác động của phương pháp dạy học đối với sự phát triển trí tuệ
1.1.2.1. Khái niệm phương pháp dạy học
Phương pháp thường được hiểu là con đường, là cách thức để đạt được
những mục tiêu nhất định. Phương pháp dạy học liên hệ với quá trình dạy
học, trong đó việc dạy điều khiển việc học.
1.1.2.2. Mối quan hệ giữa dạy học và sự phát triển trí tuệ
Trong điều kiện hiện nay, sự tiến bộ của k
ĩ thu
ật và nhịp độ phát triển
của khoa học đề ra những yêu cầu ngày càng cao đối với trình
đ
ộ văn hóa
chung của thế hệ trẻ. Nếu như thời văn minh nông nghiệp, mục đích của học
để biết thì ngày nay, thời văn minh tin học, người ta học để sống.
5
Dạy học và phát triển trí tuệ có quan hệ chặt chẽ với nhau. Trong quá
trình dạy học có sự biến đổi thường xuyên vốn kinh nghiệm của học sinh,
biến đổi cả về số lượng và chất lượng của hệ thống tri thức. Cùng với sự biến
đổi đó, quá trình dạy học và những năng lực trí tuệ của học sinh c
ũng đư

trong mỗi người.
Hoạt động học tập là hoạt động chuyển hướng vào sự tái tạo lại tri thức
ở người học, sự tái tạo ở đây hiểu theo ngh
ĩa là phát hi
ện lại. Để tái tạo lại,
người học không có cách gì khác
đó là ph
ải huy động nội lực của bản thân.
6
1.3. Cơ sở thực tiễn
Hiện nay học sinh THPT càng ngày càng trưởng thành, kinh nghiệm
sống ngày càng phong phú, các em càng ý thức được rằng mình
đang đ
ứng
trước ngưỡng cửa cuộc đời. Đại đa số học sinh đ
ã hình thành nh
ững hứng thú
học tập gắn liền với khuynh hướng nghề nghiệp, các em có thái độ học tập
được thúc đẩy bởi động cơ học tập, đó có thể là động cơ xuất phát từ gia
đ
ình, b
ạn bè …
Bên cạnh đó, thái độ học tập ở một số bộ phận học sinh còn mang các
nhược điểm như: Chưa xác định đúng định hướng nên các em chỉ tập trung
học một số môn, một số phần mà các em cho là quan trọng.
Hiện nay đại đa số các em đều tập trung vào việc học môn đại số và
dường như không quan tâm đến việc học môn hình học, nhất là hình trừu
tượng đòi hỏi người học có sự tư duy và logic cao.
1.4. Tiểu kết chương 1
Ở chương 1, chúng ta có thể đánh giá và nh

2.2. Dạy học phân loại chủ đề “ Phương pháp tọa độ ”
2.2.1. Một số khái niệm
* Định ngh
ĩa h
ệ tọa độ
Trong không gian cho ba trục x
’
Ox, y
’
Oy, z
’
Oz vuông góc với nhau từng
đôi một. Gọi
, ,i j k
  
lần lượt là các vector đơn vị trên các trục x
’
Ox, y
’
Oy, z
’
Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz
trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz.
* Định ngh
ĩa t
ọa độ của một điểm
Trong không gian Oxyz , cho một điểm M tùy ý. Vì ba vector
, ,i j k
  

) đó
là tọa độ của vector
A

đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và
a

(a
1
; a
2
; a
3
).
8
2.2.2. Các định tính cần nhớ
* Định lí 1.(kiểm soát sự cùng phương) Cho
u

cùng phương với
v

khi đó
- Nếu
0v ≠
 
thì
k ∈R
,
u kv=

-
w( . ) 0u v =
  
* Định lí về quan hệ vuông góc: Cho
u

có phương vuông góc với phương
v

khi đó:
. 0u v =
 
2.2.3. Các định lượng cần nắm vững.
+) Các công thức về góc
Nếu
0, à 0u v v≠ ≠
   
* Góc giữa hai vectơ
os( , ) =

 
 
uv
c u v
u v
.
* Góc giữa hai đường thẳng
1 2
1 2
1 2

=

 
.
9
+) Các công thức về khoảng cách
* Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
( , )
∆ ∆
∆
∧
∆ =
 

M M u
d M
u
.
* Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
( , )
∧
=
 

M M n
d M
n
 



∧
=
 
ABCD
BD AC
S
(với
,AC BD
là hai đường chéo)
* Thể tích tứ diện:
( ) ( )
6 6
∧ ∧
= =
     
ABCD
AC AC AD AC AB CD
V
* Thể tích hình chóp tứ diện:
.
( )
6
∧
=
  
S ABCD
SA AC BD
V
(với
,AC BD

10
+) Các công thức liên quan đến điểm.
* Tọa độ vectơ theo tọa độ điểm mút
( )
; ;
A B A B A B
AB x x y y z z− − −

.
* Tọa độ các loại trọng tâm
- Trung điểm của đoạn thẳng AB là:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
 
 
- Trọng tâm
∆
ABC là:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 

 
.
2.3. Phương pháp giải chung
2.3.1 Phương pháp giải toán
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta
cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan
dựa vào hệ trục tọa độ đ
ã ch
ọn và độ dài cạnh của hình. Bài toán
đơn gi
ản hay
không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuông góc và đơn vị
trên các trục Dưới đây là nguyên tắc căn bản để lập hệ tọa độ giải toán.
2.3.2. Nguyên tắc lập hệ tọa độ
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặt
đáy điều này có ngh
ĩa là xác đ
ịnh hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông
góc với nhau. Nơi giao nhau và vuông góc đó chính là gốc tọa độ cần chọn và
đồng thời hai trục kia chính là hai trục hoành và trục tung.
11
- Từ gốc (đ
ã xác đ
ịnh) ta dựng trục vuông góc vói mặt đáy để hoàn thành
việc thiết lập hệ trục, trục vuông góc với đáy chính là trục cao.
- Nhìn vào hình vẽ khai tọa độ các điểm liên can đến yêu cầu bài toán, để
ý rằng với một số điểm không sẵn khai tọa độ ta cần kiểm soát các quan hệ
cùng phương, đồng phẳng…để khai bằng được tọa độ các điểm liên can tới
yêu cầu bài toán.
- Xử lý các yêu cầu của bài toán.

Bài toán 1: (Khối D – 2002) Cho hình chóp ABCD có AB, AC, AD
đôi
một vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tính khoảng cách từ điểm a
tới mặt phẳng (BCD).
*) Giáo viên hướng dẫn.
Giáo viên vẽ hình.
Giáo viên gợi ý: để giải bài toán theo phương pháp tọa độ trước tiên ta
cần chọn hệ trục tọa độ.
Giáo viên: Hãy chọn hệ trục tọa độ cho thích hợp, và tìm tọa độ các điểm
cần thiết :
Trả lời: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
, , ,A O D Ox C Oy B Ozº Î Î Î
.
Khi đó A(0;0;0), B(0;0;3), C(0;4;0), D(4;0;0).
Giáo viên: Nêu công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Trả lời:
( , )
M M n
d M
n
 


∧
=
 

(1)
Giáo viên: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) (là mặt phẳng
( )a

đo
ạn chắn của mặt phẳng (BCD) là:
1 3 3 4 12 0
4 4 3
x y z
x y z+ + = Û + + - =
Khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (BCD) là:
2 2 2
3.0 3.0 4.0 12
12 6 34
( ,( ))
17
34
3 3 4
d A BCD
+ + -
= = =
+ +
(đvđd).
Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c
đôi m
ột
vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến
các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC
nhỏ nhất.
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên: Hãy chọn hệ trục tọa độ cho
bài toán và suy ra các tọa độ cần thiết
Trả lời:
, , ,O OA x OB y OC zÎ Î Î

Giáo viên: Áp dụng tính thể tích hình chóp OABC?
Trả lời:
.
( ) ( )
1
6 6 6
O ABC ABCD
AC AC AD AC AB CD
V V abc
Ù Ù
= = = =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
(2).
Giáo viên: Từ
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
Þ = + + ³
3
6
1 3
abc
Û ³
1
27
6
abcÞ ³
.
Giáo viên: Kết hợp với (2) ta được gì?

í
ï
ï
=
ï
ï
î
*) Lời giải đầy đủ:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0),
C(0; 0; c).
[ ]
,( ) 3 3
M
d M OAB z= Þ =
. Tương tự
[ ] [ ]
,( ) 2 2, ,( ) 1 1
M M
d M OCA y d M OBC x= Þ = = Þ =
Þ
M(1; 2; 3).
Pt (ABC):
1
x y z
a b c
+ + =
,
1 2 3
( ) 1M ABC
a b c

0
. Tính thể tích hình chóp và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp.
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên nhận xét: Theo giả thiết ta có
dữ kiện SA vuông góc với mặt (ABC) nhưng
ta không chọn A làm gốc tọa độ vì khi
đó vi
ệc
suy ra các tọa độ sẽ rất khó khăn. Ta để ý thấy
có tam giác ABC vuông tại B với AB = a, BC
= b ta có thể chọn đỉnh vuông B của tam giác
ABC làm gốc tọa độ, khi đó ta có hai trục Ox
và Oy chứa 2 cạnh xuất phát từ B. Trục còn lại được dựng vuông góc với mặt
(ABC) qua B.
Giáo viên: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, chỉ ra tọa độ các điểm
Trả lời: B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;b;0).
Giáo viên: Giả sử SA = h,
Trả lời: Nếu SA= h thì S(a;b;h)
( , , )SC a b h⇒ = − −

.
Giáo viên: Viết phương tr
ình m
ặt phẳng (ABC)
Trả lời: Mặt phẳng (ABC) có phương tr
ình: z = 0 v
ới
( , , )n a b h=


Ta có:
2 2 2 2
ISIA IB IC= = =
(1). Thay tọa độ vào (1) tìm tọa độ
0 0 0
( , , )I x y z
Trả lời: (1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) ( )x y z x a y z x y b z⇒ + + = − + + = + − +
2 2 2 2 2
0 0 0
( )x y z a b= + + − +
2 2
0 0 0
3( )
; ;
2 2 2
a b
a b
x y z
+
⇒ = = =
Giáo viên: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tính R?
Trả lời:
2 2 2 2 2
0 0 0
R IB x y z a b= = + + = +
Giáo viên: Gọi V là thể tích hình chóp, Tính V ?
Trả lời:

0
2 2 2
.
3
sin60
2
n SC
h
n SC
a b h
= ⇔ =
+ +
 
 
2 2
3( )h a b⇒ = +
Giả sử
0 0 0
( , , )I x y z
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có:
2 2 2 2
ISIA IB IC= = =
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 2
0 0 0
( ) ( )x y z x a y z x y b z

ABCD
vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]?
Bài tập 2: ( ĐHSP I Khối A- 2000) Trong không gian cho các điểm A,
B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một
sao cho OA = a, OB = a
2
, OC = c( a, c > 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O
của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. (P) là mặt phẳng
đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với
AM
19
a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài đoạn OE.
b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối
chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).
Bài tập 3: Cho hình chóp tam giác
đ
ều SABC có độ dài cạnh đáy là a,
đường cao SH = h. Mặt phẳng
( )a
đi qua AB và vuông góc với SC.
a) Tìm điều kiện của h theo a để
( )a
cắt SC tại K.
b) Tính diện tích
D
ABK
2.4.1.3 Dạng bài toán định tính
* Phương pháp giải chung

2 2 2 2 2 2
; ;0 , ;0; , , ; ;
1 1
, ( ) (1)
2 2
BCD
BC c b BD c a BC BD ab ac bc
S BC BD a b a c b c
đvdt
 
= − = − =
 
 
= = + +
 
   
 
Giáo viên:
2 ( )S abc a b c≥ + +
hãy biến đổi tương đương theo (1).
Trả lời:
2 2 2 2 2 2
( )a b a c b c abc a b c+ + ≥ + +
2 2 2 2 2 2
( )a b a c b c abc a b c⇔ + + ≥ + +
Giáo viên: Theo bất đẳng thức Cauchy ta
được:
Trả lời:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2

1 1
, ( )
2 2
BCD
BC c b BD c a BC BD ab ac bc
S BC BD a b a c b c
đvdt
 
= − = − =
 
 
= = + +
 
   
 
21
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
( )
a b a c b c abc a b c
a b a c b c abc a b c
⇔ + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
Theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
a b +b c 2ab c
b c +c a 2bc ( )

ình m
ặt phẳng (ABC) và tìm vector chỉ
phương của nó
Trả lời : Phương tr
ình m
ặt phẳng (ABC) là
1 ( ) 0
x y z
ABC bcx acy abz abc
a b c
+ + = ⇔ + + − =
Có vector pháp tuyến
( , , )n bc ac ab

Giáo viên : Tính sin các góc
, ,
  
Học sinh : Ta lần lượt có
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
. .
sin ,sin
. .
.
sin
.
nOA nOB
bc ac
n OA n OB

     
+ + = − − −
= − − − =
+ + + + + +
Bài toán 3: Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SO
Chứng minh rằng
SA BC^
. Tính thể tích và diện tích toàn phần của
hình chóp SABC.
Gọi I là trung điểm của SO. Chứng minh rằng IA, IB, IC đôi một vuông
góc với nhau.
*) Giáo viên hướng dẫn:
Giáo viên: Gọi M là trung điểm BC.
Gọi SO là đường cao của tứ diện đều nên
SH là trục đường tròn (ABC). Tính AH?
Trả lời: Gọi M là trung điểm
BC
3
,
2
a
AM BC AMÞ ^ =
Þ
O là tâm đường tròn (ABC)
2 3
3 3
a
AH AMÞ = =
.
Giáo viên: Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc. Tìm

ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Giáo viên: Chứng minh
SA BC^
Trả lời:
3 6
. 0( ) .0 .0 0
3 3
a a
SA BC a= - + + =
uur uuur
SA BCÞ ^
uur uuur
. Vậy
SA BC^
Giáo viên: Tính thể tích và diện tích toàn phân của hình chóp SABC?
Trả lời: Thể tích hình chóp:
2 3
1 1 6 3 3
. . .
3 3 3 4 12
ABC
a a a
V SO S= = =
(đvtt).
Diện tích toàn phân:
2
2

0; ; , ; ; , ; ;
3 6 2 3 6 2 3 6
a a a a a a a a
IA IB IC
æ ö æ ö æ ö
- -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= = - =
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
uur uur uur
3 6 6
. 0. . 0
2 6 6 6
a a a a
IA IB IA IBÞ = + - = Þ ^
uur uur uur uur
Tương tự ta có
;IB IC IC IA^ ^
. Vậy IA, IB,IC đôi một vuông góc
Vậy IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau.
24
*) Lời giải đầy đủ:
Gọi M là trung điểm BC

Ta có:
3 6
. 0( ) .0 .0 0
3 3
a a
SA BC a SA BC= - + + = Þ ^
uur uuur uur uuur
.
Vậy
SA BC^
Thể tích hình chóp:
2 3
1 1 6 3 3
. . .
3 3 3 4 12
ABC
a a a
V SO S= = =
(đvtt).
Diện tích toàn phân:
2
2
3
4 4 3
4
tp ABC
a
S S a= = =
(đvdt).
I là trung điểm SO suy ra tọa độ

÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
uur uur uur
3 6 6
. 0. . 0
2 6 6 6
a a a a
IA IB IA IBÞ = + - = Þ ^
uur uur uur uur
3 3 6 6
. . . . 0
2 2 6 6 6 6
a a a a a a
IB IC IB IC
- -
= - + - = Þ ^
uur uur uur uur
6 3 6 6
. .0 . . 0
2 6 6 6 6
a a a a a
IC IA IC IA= - + - = Þ ^
uur uur uur uur
Vậy IA, IB, IC đôi một vuông góc với nhau.
25
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông, ngoài
ra OC = OA + OB. Chứng minh rằng tổng các góc phẳng ở đỉnh C = 90
0

và mặt
phẳng
( )a
cắt Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B,
C. Tìm tọa độ A, B, C.
Trả lời: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).