I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng
dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm
vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài
tập và thực tiễn. Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, trong trường phổ thông,
dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là
hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giảI toán đặc biệt là giải toán
hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận
dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng
cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Hiện nay còn một bộ phận giáo viên chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc
dạy học giải toán nên chưa cho học sinh làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh,
chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán, giáo viên ít
quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận, thông
thường giáo viên thường giải đến đâu, vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó,
không những vậy mà giáo viên coi việc giải xong một bài toán là kết thúc hoạt động
dạy học, giáo viên chưa thấy được trong quá trình giải toán giúp cho học sinh có được
phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ sung
nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được.
Với các nội dung nêu trên, trong quá trình công tác, bản thân tôi không ngừng
học tập, nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi mới phương pháp vào thực tế giảng dạy
của mình. Qua quá trình công tác, được sự giúp đở của đồng nghiệp, của tổ chuyên
môn và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường, tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận
dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất hiệu quả.
Xuất phát từ những lý do trên, nên tôi chọn đề tài: “ Những phương pháp giúp
giáo viên hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đạt hiệu quả”. Với mong
muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới phương
pháp dạy học.
2. Mục đích nghiên cứu

nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất
lượng giáo dục.
+ Thực nghiệm giáo dục trong khi giảng bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết
trả bài kiểm tra. . . tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo
luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở
để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu
cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào
đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận
của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên
cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp
theo.
5. Giả thuyết khoa học
Với nội dung của đề tài này, đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ. Nếu đề tài được
nghiên cứu thành công và được vận dụng một cách hợp lí trong giảng dạy, tôi nghĩ
các bạn đồng nghiệp sẽ giúp học sinh của mình giải toán tốt hơn, và nếu như đề tài
không thành công thì nó cũng là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học
sinh trong thời gian tới.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
1.1. Các văn bản chỉ đạo:
Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy, sáng tạo của người học,…”. Với mục tiêu
giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể
chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và
sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư
cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào
cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Quyết định số
16/2006/QĐ-BGD Đt ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã

trình suy nghĩ để xác định rằng: phán đoán nào đó là đúng, bằng cách dựa vào
những phán đoán khác đã được thừa nhận là đúng” – Hoàng Chúng (Mấy vấn đề
logic trong giảng dạy Toán học. NXB Giáo dục, 1962); hoặc “Chứng minh là thao
tác logic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán
chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phán đoán ấy” – Vương Tất Đạt (Logic
học. Sách bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997 – 2000).
Ta cần lưu ý rằng: Trong toán học, vấn đề kiểm tra, thực nghiệm và vấn đề
chứng minh tuy rằng có một sự liên hệ nào đó nhưng lại là hai vấn đề khác nhau hoàn
toàn. Bởi vậy, khi chứng minh định lí hay chứng minh một bài toán thì phải dùng suy
luận, không dùng thực nghiệm vì thực nghiệm chỉ giúp phát hiện cách chứng minh.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thực tiễn vấn đề nghiên cứu
Hiện nay năng lực học toán của học sinh còn yếu, khi giải toán học sinh còn
bộc lộ rất nhiều thiếu sót, đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào giải
bài tập. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao, các em luôn có cảm giác học hình học khó
hơn học đại số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên
cứu kĩ nội dung bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán.
Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện…
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các bạn đồng
nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán chứng minh thì
học sinh thường rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lí, các tính chất, các
công thức toán học vào giải các bài tập,

bản thân đã đúc rút được nhiều kinh nghiệm
từ đồng nghiệp, từ thực tế trên lớp về việc dạy học các bài toán chứng minh, ghi chép
lại những điều cần thiết để làm sao tiết dạy sau thực hiện tốt hơn, hiệu quả hơn tiết
dạy trước.
Để thực hiện đề tài này, xuyên suốt trong những năm học qua, tôi đã tích cực
tham khảo và nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm,
nghiên cứu các bài toán chứng minh có trong chương trình Toán THCS nói chung và

chứng minh phải là các phép suy luận hợp logic.
• Yêu cầu 3: Không được đánh tráo luận đề. Không được thay thế mệnh
đề cần chứng minh bằng những mệnh đề không tương đương với nó.
Sau đây là một số ví dụ về những sai lầm do vi phạm những yêu cầu cần thiết
khi thực hiện một chứng minh
 Ví dụ 1: (Sai lầm do vi phạm yêu cầu 1)
Bài tập 16/trang 12 – SGK lớp 9, tập 1: Chứng minh “Con muỗi nặng bằng con
voi” sau đây:
Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:
2 2 2 2
m V V m
+ = +
Cộng cả hai vế với
−
2mV, ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
m 2mV V V 2mV m
2 2
hay:

m V

V m
− + = − +
− = −
Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:
h
a
c

Chứng minh định lí 4/trang 67 – SGK lớp 9, tập 1: “Trong một tam giác vuông,
nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo
của bình phương hai cạnh góc vuông”.
Một cách chứng minh sai:
Ta có:
Do (2) đúng nên (1) đúng. Vậy định lí đã được chứng minh.
Sai lầm trong chứng minh này là sai lầm về luận chứng, suy luận không hợp
logic, vi phạm quy tắc Modusponens:
A B,A
B
⇒
(A kéo theo B, A đúng thì B đúng),
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
(1)
h b c
1 b c
h b c
b c h b c
a h b c
ah bc ( )

2

= +

tương đương, do không đặt điều kiện của phương trình. Tức là người giải đã tùy tiện
chứng minh phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương
với nhau, dẫn đến phương trình đã cho dư nghiệm. Để khắc phục sai sót này, giáo
viên tập cho học sinh có thói quen thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình, nhờ
đó học sinh sẽ phát hiện ra mình đã quên đặt điều kiện của bài.
3.2.Phân tích một chứng minh
Để thực hiện tốt một chứng minh thì việc đi phân tích chứng minh
đó
đóng một vai trò khá quan trọng. Ta có thể hiểu rằng: phân tích một chứng
minh là chỉ ra được trong phép chứng minh này, chúng ta sẽ sử dụng
những
mệnh đề nào, những phép suy luận nào? Thường ta phân tích một
2
2
2
2 2
2
2
x 3x 6 1
(1)
x 9 x 3
x 3x 6 x 3
(1)
x 9 x 9
x 3x 6 x 3
x 4x 3 0 (2

)

− +

( có A ắt có A
1
, có A
1
ắt có A
2
, … , có A
n-1
ắt có A
n
, có A
n
ắt có B tức là
có được điều cần phải chứng minh )
* Phương pháp 2
Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán (cách phân tích này rất hay
và quan trọng, giúp cho học sinh hiểu được mối quan hệ lôgic giữa điều cần
phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy luận, óc
sáng tạo và chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh. Tuy nhiên
không phải chứng minh nào cũng dùng phương pháp này được).
Sơ đồ bên là sơ đồ của môt phân tích đi lên
( Muốn chứng minh được B thì cần phải chứng minh được B
1
,
muốn chứng minh được B
1
thì cần phải chứng minh được B
2
, …
muốn chứng minh được B


B
n

GT A
M
O
B
M
C
A
 Ví dụ 1 :
Khi giải bài tập 22/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2:
“Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (M khác A và B). Vẽ tiếp tuyến
của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta ln có:
MA
2
= MB.MC”.
 Phân tích theo phương pháp 1: (Khai thác giả thiết bài tốn)
Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đề, chú ý kết luận của bài: MA
2
= MB.MC; rồi có
thể lập luận rằng: đây là dạng chứng minh hệ thức tích, nên ta thường dùng phương
pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng (đặc biệt là trường hợp góc-góc), hoặc là
dùng các hệ thức lượng trong tam giác vng để giải. Từ đó giáo viên cho học
sinh vẽ hình, định hướng cách giải theo lập luận trên.

∆ ∆
↓
↓

A
Qua một số phân tích trên, rõ ràng cách phân tích dựa vào hệ thức: “Trong một
tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu
của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền” là cách làm phù hợp nhất đối với bài tốn
đã cho.
 Phân tích theo phương pháp 2: (Phân tích đi lên)
Cách 1:
Cách 3:

µ
µ
µ
µ
·
·
·
·
2
1
2
Cm : MA MB.MC

MA MB
Cm:
MC MA

Cm : MAB MCA Cm : C A (Do )

Mà: MA AB MB (Theo )
Cm: AB MB MB.MC

Ta có: AB MB.BC (Theo )
Cm: MB.BC MB MB.MC ↓
− =
↓
− =
↓
=
2
2
2

Cm: MB.BC MB.MC MB

Cm: MB.(BC MC) MB

Cm: MB.MB MB
Điều này luôn đúng.
∆
↓
↓
→ = +

MA MB.MC(đpcm)

Cách 2: Ví dụ2 :
Phân tích đi lên đối với bài toán: “Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó B
nằm giữa A và C . Vẽ tam giác đều DAB và tam giác đều EBC sao cho D và E ở về
cùng một phía đối với đường thẳng AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DC và
AE.
Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác đều”. (Trích đề thi học sinh
giỏi toán lớp 9 toàn quốc, năm 1982)
·
·
·
·
2
0 0
0 0
Cm: MA MB.MC

Cm: AM BC (M BC); ABC vuông

Cm: AMB 90 ; BAC=90
(AMB=90 do ; BAC=90 do )

=

↓

=


=


↓
∆ = ∆
=
0
Cm : BMN đều

Cm : BM=BN và NBM 60

1. Cm : BMC BNE
Co ù được: BC=BE (gt)

E C
Cm :
MC NE

Cm : ABE DBC
AB BD
Co ù được:
·
·
·


M
E
B
S
O
D
C
A
Bài tập 39/trang 83 – SGK lớp 9, tập 2: “Cho AB và CD là hai đường kính
vng góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M
cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES = EM”
Giải:
b. Chứng minh gián tiếp
 Phương pháp loại dần
(Phương pháp này sử dụng khơng nhiều trong chương trình Tốn THCS)
 Ví dụ : Trong các số sau, số nào khai phương được? (chỉ có một lựa chọn
đúng):
−
A. 64; B. 4000; C. 6241 ; D. 41;
Giải:
Khơng chọn A vì
−
64 là số âm nên khơng thể khai phương được.
Khơng chọn B vì 4000 có số chữ số 0 tận cùng lẻ nên khơng thể khai phương
được.
Khơng chọn D vì 41 là số ngun tố nên khơng thể khai phương được.
Vậy chọn C chắc chắn đúng.
 Phương pháp chứng minh phản chứng
Phương pháp này thường được sử dụng đối với các chứng minh có chứa các từ:
“Tồn tại”, “Với mọi”, hoặc sử dụng để chứng minh các định lí đảo, định lí về sự tồn

Một mệnh đề Toán học hoặc là đúng, hoặc là sai mà không thể đồng thời vừa
đúng vừa sai. Muốn chứng minh một mệnh đề đúng ta có thể chứng minh nó không
sai. Nói cách khác, giả sử mệnh đề đó sai thì sẽ dẫn đến một điều vô lí. Phương pháp
chứng minh như vậy được gọi là chứng minh bằng phản chứng (còn được gọi là
reductio ad absurdum, tiếng Latinh có nghĩa là: “Thu giảm đến sự vô lí”).
*Các bước chứng minh bằng phản chứng
Một phép chứng minh bằng phản chứng gồm 3 bước:
• Bước giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai.
• Bước truy nguyên: Xuất phát từ việc giả sử mệnh đề sai ta dẫn
đến một điều vô lí (hoặc trái với giả thiết, hoặc là mâu thuẫn với một định lí, tiên đề,
một kết luận đã được chứng minh là đúng, hoặc dẫn đến hai mâu thuẫn khác nhau)
• Bước kết luận: Điều vô lí nêu trong bước truy nguyên chứng tỏ
rằng mệnh đề đã cho không sai, tức là công nhận mệnh đề đã cho đúng.
 Ví dụ1 : Chứng minh
2
là một số vô tỉ.
Giải:
Giả sử
2
là số hữu tỉ, ta sẽ biểu diễn được:
Bình phương 2 vế của (1) ta được: 2b
2
= a
2
(2)
Suy ra: a
2
là số chẵn, mà a là số nguyên nên a là số chia hết cho 2 (bất kì số
nguyên nào có bình phương là số chẵn thì số đó luôn chia hết cho 2)
Ta viết được a = 2c (c

b
tối giản.
Vậy
2
là một số vô tỉ.
 Ví dụ 2: Bài tập 20/trang 76 – SGK lớp 9, tập 2.
“Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC
và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng”.
Giải:
Giả sử ba điểm C, B, D không thẳng hàng.
Suy ra BC và BD là hai đường thẳng phân biệt.
Mà
·
·
ABC vaø ABD
là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên:
Như vậy, qua điểm B ta có hai đường thẳng phân biệt BC và BD cùng vuông gócvới
AB.
Điều này trái với tiên đề Ơclit. Do đó BC và BD phải trùng nhau, hay ba điểm C, B,
D thẳng hàng.
·
·
= = ⇒ ⊥ ⊥
0
ABC ABD 90 BC AB, BD AB.
O
B
x
A
C

= <
1
(Do BAC sñBC, BC AB)
2
Điều này trái với giả thiết.
(góc đã cho có số đobằng
»
1
sñAB
2
).
Vậy cạnh Ax không thể là cát tuyến, mà phải là tia tiếp tuyến.
4. Kết quả đề tài:
Với những nội dung giới thiệu ở trên, tôi đã áp dụng để giảng dạy trong năm
học
2010- 2011 đạt kết quả như sau:
Nội
dung
KQKSHKI KQKSGIỮA HKII
G K TB Y TB G K TB Y TB
9A.1(33)

S
L
5 6 12 10 23 7 8 13 5 28 Tăng
15,1%
T
L
15 18,2 36,4 30,3 69,7 21,2 24,2 39,4 15% 84,8
9A.2(39) S

phân tích đi lên và phương pháp chứng minh phản chứng (cho nhiều ví dụ minh họa
hơn những nội dung khác). Bởi vì đây là những phương pháp hay, giúp cho học sinh
phát triển óc phán đoán, phát triển tư duy logic và suy luận cao, giải quyết được
những bài toán khó, hóc búa. Chính vì thế, giáo viên bộ môn toán chúng ta cần quan
tâm và đầu tư nhiều hơn nữa đến các phương pháp này, nhằm trau dồi và rèn luyện
việc thực hiện các bài toán chứng minh ngày càng một tốt hơn, hiệu quả hơn.
2. Hướng phổ biến áp dụng của đề tài
Với những kinh nghiệm đã nêu trong khuôn khổ đề tài này, những năm
học qua bản thân đã thực hiện các bài toán chứng minh trên lớp một cách suôn sẻ và
có hiệu quả cao, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn (chất lượng trung
bình môn hàng năm của bản thân luôn đạt trên 80% trung bình trở lên) . Mong rằng
Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích để đồng nghiệp tham khảo trong
giảng dạy bộ môn.
3. Hướng nghiên cứu tiếp đề tài
Với nội dung đề tài trên khi áp dụng vào giảng dạy, tôi thấy chất lượng
học tập của học sinh ngày được nâng cao ,vì thế tôi tiếp tục vận dụng đề tài này trong
nhũng năm học tiếp theo,với kết quả trên đề tài có ứng dụng thiết thực trong việc vận
dụng đổi mới phương pháp hiện nay. Từ đó các em phát triển được các phẩm chất trí
tuệ cần thiết của người học toán.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Bộ GD- ĐT .Sách Giáo Khoa Toán 9, Tập1,2- NXB Giáo Dục – Xuất bản năm
2005.
[2]. Bộ GD- ĐT .Sách bài tập Toán 9, Tập1,2- NXB Giáo Dục – Xuất bản năm 2005
[3]. Bộ GD- ĐT .Sách Giáo viên Toán 9, Tập1,2- NXB Giáo Dục – Xuất bản năm
2005
[4]. Bộ GD- ĐT Sách Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9- NXB Giáo Dục
– Xuất bản năm 2007
[5]. Bộ GD- ĐT Sách Toán nâng cao Đại Số 9,HH 9-NXB Giáo Dục – Xuất bản năm
1999 [6]. Bộ GD- ĐT Sách Bổ trợ và nâng cao Toán 9, Tập 1, 2. NXB Giáo Dục –

3 Nội dung: ………………………………………………… 5- 13
III Kết luận ………………………………………… 14
Tài liệu tham khảo 15
Mục lục 16
Nhận xét đánh giá của hội đồng khoa học của trường,
của phòng GD- ĐT DMC
17
BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
-Tên đề tài: “ Những phương pháp giúp giáo viên hướng dẫn học sinh lớp 9 giải
toán chứng minh đạt hiệu quả”.
- Người thực hiện: Đoàn Văn Luận
- Đơn vị công tác: Trường Trung học cơ sở Bàu Năng- Dương Minh Châu.
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Hiện nay năng lực học toán của học sinh còn yếu, khi giải toán học sinh còn
bộc lộ rất nhiều thiếu sót, đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào giải
bài tập. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao, các em luôn có cảm giác học hình học khó
hơn học đại số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên
cứu kĩ nội dung bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán.
Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện…
Xuất phát từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài: “ Những phương pháp giúp giáo
viên hướng dẫn học sinh lớp 9 giải toán chứng minh đạt hiệu quả”.Với mong muốn
góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới phương pháp
dạy học.
2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Đối tượng nghiên cứu: Tìm hiểu phương pháp giảng dạy của giáo viên tổ toán và
kỹ năng giải bài tập của học sinh lớp 9A(1,2,3) Trường Trung học cơ sở Bàu Năng.
- Phương pháp nghiên cứu: Dựa trên cơ sở các tài liệu về lí luận dạy học, đổi mới
phương pháp và kinh nghiệm thực tế của bản thân, của đồng nghiệp để nghiên cứu đề
tài này.
3. ĐỀ TÀI ĐƯA RA GIẢI PHÁP MỚI:

………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………
Nhận xét đánh giá của hội đồng khoa học Phòng GD&ĐT
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………