Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Mục lục
Trang
Phần I : Mở đầu 2
Phần ii : nội dung
Chơng I: Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu 4
Chơng II: Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lợng dạy học
nội dung đang quan tâm.
Biện pháp 1 : Các dạng phơng trình cơ bản 5
Biện pháp 2: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
I. Phơng pháp 1 : Phơng pháp tổng quát: 14
II. Phơng pháp 2 : Sử dụng tính chẵn lẻ 15
III. Phơng pháp 3 : Phơng pháp phân tích 15
IV. Phơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức 17
V. Phơng pháp 5 : Phơng pháp loại trừ 20
VI. Phơng pháp 6 : áp dụng tính chia hết 21
VII. Phng Phỏp 7 : Phng Phỏp La Chn Modulo
( hay cũn gi l xột s d tng v ) 22
VIII. Phơng pháp 8 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố 24
IX. Phơng pháp 9 : Đa về dạng tổng 25
X .Phơng pháp 10: Lùi vô hạn( hay cũn gi l phng phỏp xung thang) 25
XI. Phơng pháp 11: Sử dụng tính chất nghiệm của phơng trình bậc 2 28
XII. Phng Phỏp 12: S Dng Mt Mnh C Bn Ca S Hc 29
Biện pháp 3 : Bài tập luyện tập rèn t duy sáng tạo 37
Phần III: Thực nghiệm s phạm 43
Phần IV : Kết luận 51
Phần V: Tài liệu tham khảo 52

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
1

2. Mục đích nghiên cứu :
- Đề tài nhằm rèn luyện cho học sinh t duy sáng tạo khi học và giải toán .
- Biết cách định hớng và giải bài tập ngắn gọn.
- Phát huy trí lực của học sinh tìm hiểu cách giải hay, phát triển bài toán mới.
- Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử.
- Qua đó nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở bậc THCS.

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
2
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Căn cứ vào vai trò và tầm quan trọng của đề tài, về tình hình học tập của học sinh tôi
thấy cần nghiên cứu ba nội dung lớn :
- Các dạng phơng trình cơ bản.
- Các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên.
- Luyện tập và rèn t duy sáng tạo cho học sinh khi giải bài tập về phơng trình nghiệm
nguyên
Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu.
Để đánh giá đợc khả năng của các em đối với dạng toán trên và có phơng án tối u
truyền đạt tới học sinh, tôi đã ra một đề toán cho 10 em học sinh trong đội tuyển của trờng nh
sau:
Bài 1: ( 6 đ )
a)Tìm x, y Z biết x y + 2xy = 6
b) Giải phơng trình nghiệm nguyên: 5x 7y = 3
Bài 2: (4 đ)
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
1 + x + x
2
+ x

phơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn.
- Nội dung kiến thức có liên quan đến đề tài : Ngoài phơng trình bậc nhất hai ẩn, các bài
toán tìm nghiệm nguyên thờng không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán với số liệu riêng
của nó đòi hỏi một cách giải phù hợp, điều đó có tác dụng rèn luyện t duy toán học mêm dẻo,
linh hoạt và sáng tạo. Trong chơng trình cơ bản của SGK Toán THCS có đa giải phơng trình
tìm nghiệm nguyên nhng dới dạng bài tập với số lợng không nhiều. Hơn nữa nhu cầu giải ph-
ơng trình rất phong phú. Trong các kỳ thi HSG và thi vào 10 các trờng chuyên, lớp chọn gần
đây có đề cập đến nhiều dạng toán này.
- Xác định mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kĩ năng của vùng kiến thức cần nghiên
cứu : Phơng trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phơng trình một ẩn,
nhiền ẩn, bậc nhất, bậc cao. Để giải phơng trình đó, ta thờng dựa vào cách giải một số phơng
trình cơ bản và một số phơng pháp sẽ đợc trình bày ở phần sau
- Điều tra thực trạng việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa ph-
ơng: Những năm học trớc đây khi cha thực hiện đề tài này,gặp dạng toán giải phơng trình
nghiệm nguyên mặc dù thuộc đối tợng học sinh khá, giỏi nhng một số em vẫn còn lúng túng
hoặc có em nắm đợc phơng pháp nhng không biết cách trình bày. Nhìn chung việc giải toán về
phơng trình nghiệm nguyên với các em cha thật đồng đều, qua khảo sát ban đầu chỉ có :
+ 30% số học sinh giải đợc bài tập dễ và trung bình.
+ 5% số học sinh giải đợc bài khó.
+ Số còn lại các em cha nắm đợc các phơng pháp giải hoặc giải đợc nhng cha diễn đạt
đợc lời giải.

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
4
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Chơng II: Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao chất lợng
dạy học nội dung đang quan tâm.
Phơng trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể là phơng trình một ẩn,

d
b
xx
0
0
Với t Z, d = (a,b)
2.Cách giải:
a.Tiến hành qua 5 bớc sau: (cách giải chung)
Bớc 1: Tìm d = (a,b)
Khi đó ax + by = c a
1
x + b
1
y = c
1
Với a = da
1
; b = db
1
; c = dc
1
; (a
1
; b
1
) = 1
Bớc 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a
1
và b
1

2
+r
3r
n-2
= r
n-1
+ r
n
Với r
n
= 1

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
5
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Bớc 3: Tính a
0
+
k
a
a
a
1

1
1

Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp đợc (x
0
, y
0
)
Bớc 5: x
0
= c
1
x
0
; y
0
= c
1
y
0
là nghiệm riêng của phơng trình
a
1
x + b
1
y = c
1
nghiệm tổng quát của phơng trình là: x = x
0
+ b
1
t
y = y

0
) = (9, 6)
nghiệm tổng quát của phơng trình là:

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
6
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
x = 9 7t hay x = 7t + 2
y = 6 5t y = 5t + 1 (t Z )
Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên
6x 14 y = 12
Hớng dẫn:
Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 pt có nghiệm ta tiến hành giải nh sau:
Bớc 1: 6x 14 y = 12 3x 7y = 6
Bớc 2: Viết thuật toán Ơclit cho 3 và 7
7 = 3.2 + 1
Bớc 3: Tính
n
m
= q
0
= 2 =
1
2
Bớc 4: Tìm nghiệm riêng của phơng trình
3x 7y = 1 là (x
0
, y
0

1 y

Do x, y nguyên
2
1 y

nguyên. Đặt
2
1 y

= t với (t Z )
y = 1 2t x = 3 2(1- 2t) + t = 5t + 1
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình là:
x = 5t + 1
y = -2t +1 (t Z )
Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên
6x 15 y = 25
Hớng dẫn:
Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25
Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.
5x + 7y = 112
Hớng dẫn:
Ta có 5x + 7y = 112
x =
5
7112 y
= 22 - y +
5
22 y


Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Nếu t = 2 x = 7; y = 11
II. Ph ơng trình nghiệm nguyên dạng
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a
n
x
n
= c (2)
Với a, c Z (i = 1,2 n); n 2
1.Định lý: Điều kiện cần và đủ để phơng trình (2) có nghiệm là (a
1
, a
2
, a
n
) \ c
2.Cách giải: Đa phơng trình về 1 trong 2 dạng sau:
a. Có một hệ số của một ẩn bằng 1
Giả sử a
1

3
- - a
n
x
n
, x
2
, ., x
n
) với x
2
, ., x
n
nguyên bất kỳ
b. Có hai hệ số là hai số nguyên tố cùng nhau
Giả sử ( a
1
, a
2
) = 1. Khi đó pt (2) a
1
x
1
+ a
2
x
2
= c - a
3
x

riêng của phơng trình
15 y + 4z = 3 6t
Do đó nghiệm tổng quát là: y = -3 + 6t + 4k (k Z)
z = 12 24t 15 k
lại có t = x + z x = t z x = -12 = 25t + 15 k
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình 6x + 15y + 10 z = 3 là:
x = -12 = 25t + 15 k
y = -3 + 6t + 4k với ( t, k Z)
z = 12 24t 15 k
III. Ph ơng trình nghiệm nguyên đ a về dạng
g (x
1
, x
2
, ., x
n
) . h (x
1
, x
2
, ., x
n
) = a (3) Với a Z
1.Cách giải:
Đặt g (x
1
, x
2
, ., x
n

, ., x
n
thử vào (3) ta đợc nghiệm của phơng trình.
2.Chú ý:
-Nếu a = 0 ta có g (x
1
, x
2
, ., x
n
) = 0
h(x
1
, x
2
, ., x
n
) = 0
-Nếu a = p

với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x
1
, x
2
, ., x
n
) = p

1
h(x

2x – 1 = 1
2y + 1 = -11 ⇒ (x; y) = ( 0; -6)
2x – 1 = -1
VÝ dô 6: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh
1 + x + x
2
+ x
3
= 2
y
Híng dÉn:
Ta cã 1 + x + x
2
+ x
3
= 2
y
⇔ (1 + x) (1 + x
2
) = 2
y
⇒ 1 + x = 2
m
vµ 1 + x
2
= 2
y – m
(m nguyªn d¬ng)
⇒ x = 2
m

m +1
= 2
NÕu m = 0 ⇒ x = 0 ; y = 0 (t/m)

Ngêi thùc hiÖn: T« ThÞ B×nh
11
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Nếu m > 0 2
y m 1
2
2m 1
+ 2
m
= 1 mà 2
2m 1
và 2
m
đều là số chẵn nên:
2
y m 1
lẻ 2
y m 1
= 1 y m 1 = 0 y = m + 1
2
m
- 2
2m 1
= 0 2
m

, x
2
, ., x
n
)]
2
= 0
1.Cách giải:Ta thấy vế trái của phơng trình là các số hạng không âm, tổng của chúng bằng 0
nên mỗi số hạng phải bằng 0
g
1
(x
1
, x
2
, ., x
n
) = 0
Do vậy có: g
2
(x
1
, x
2
, ., x
n
) = 0

g
n

+ x
2
4x + 4 = 0
(y x + 1)
2
+ (x 2 )
2
= 0
Vậy y x + 1 = 0 hay x = 2
x 2 = 0 y = 1
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là x = 2 ; y = 1
Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : (x 1) (y+1) = (x+ y)
2
Hớng dẫn:
Ta có (x-1) (y+1) = (x+ y)
2
(x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]
2

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
12
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
[(x-1) + (y+1)]
2
- (x-1) (y+1) = 0
(x-1)
2
+ (y+1)
2

xz
1
+
xyz
9
= 1
Hớng dẫn:
Giả sử 1 x y z x
2
xy xz yz xyz
1 =
xy
1
+
yz
1
+
xz
1
+
xyz
9

2
1
x
+
2
1
x

(y- 1) (z - 1) = 11
y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12
Nếu x = 2
y2
1
+
yz
1
+
z2
1
+
yz2
9
= 1
(2y - 1) (2z-1) = 23 y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
13
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Nếu x = 3 (3y 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm
Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị
Ví dụ 10: Tìm x, y, z nguyên của phơng trình
z
xy
+
x
yz
+

z
2 + yz
yz 1 y = 1 ; z = 1
Vậy nghiệm của pt (1,1,1)
Ví dụ 11: Chứng minh rằng phơng trình sau không có nghiệm tự nhiên
2
1
x
+
xy
1
+
2
1
y
= 1 (x,y 0)
Hớng dẫn:
Vì x, y có vai trò bình đẳng . Ta giả sử 1 x y
Ta có x
2
xy y
2
(giả sử phơng trình có nghiệm tự nhiên)
1 =
2
1
x
+
xy
1

Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
- Biểu thị ẩn này theo ẩn kia.
- Tìm mẫu là ớc của tử.
- Đa về công thức nghiệm tổng quát.
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 7x + 4y = 23
Giải :
Biểu thị y theo x ta đợc
4
723 x
y

=
Tách riêng giá trị nghuyên của y ở biểu thức này :
4
1
26

+=
x
xy
Để y nguyên thì
4
1

x
phải nguyên
Ta đặt
)(
4

2
= 1 y
2
= 2x
2
+1 y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)
2
= 2x
2
+ 1
x
2
= 2 k
2
+ 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = 3
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
(2x + 5y + 1)(
x
2
+ y + x
2
+ x) = 105
Hớng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1)(
x
2
+ y + x
2
+ x) = 105


( loại)
Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phơng trình
III. Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp phân tích
Thực chất là biến đổi phơng trình về dạng:
g
1
(x
1
, x
2
, ., x
n
) h

(x
1
, x
2
, ., x
n
) = a
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
x
4
+ 4x
3
+ 6x
2
+ 4x = y

y = 1 1 + y = 1- y
(x+1)
2
+ y = 1
(x+1)
2
y = -1 -1 + y = -1 - y
(x+1)
2
+ y = -1
y = 0 (x+1)
2
= 1 x+1 = 1 x = 0 hoặc x = -2
Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )
Ví d 2 : Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh :
y
3
- x
3
= 91 (1)
Li gii : (1) tng ng vi pt : (y - x)(x
2
+ xy + y
2
) = 91 (*)
Vỡ x
2
+ xy + y
2
> 0 vi mi x, y nờn t (*) => y - x > 0.

= 13 ; (IV)
n õy, bi toỏn coi nh c gii quyt.
Ví dụ 3 : Tìm x, y nguyên sao cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố.
Giải
Ta có ( x + y ) P = xy với xy Px Py = 0
x ( y P ) ( Py P
2
) = P
2
( y- P ) ( x- P ) = P
2
Mà P nguyên tố P
2
= 1.P
2
= P.P = (-1)(-P
2
) = ( -P ) (-P)
Các cặp số (x,y ) là:
(P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) và các hoán vị của chúng.
IV . Ph ơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức
Dng 1 : i vi cỏc phng trỡnh m cỏc bin cú vai trũ nh nhau thỡ ngi ta thng
dựng phng phỏp sp xp th t cỏc bin .
Vớ D 1 : Gii phng trỡnh nghim nguyờn dng sau :
Gii : Khụng mt tớnh tng quỏt cú th gi s
Nghim phng trỡnh l
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
x + y + z +t = xyzt
Hớng dẫn:
Ta giả sử 1 x y z t

Xột
Mc khỏc

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
18
§Ò tµi: “RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua mét sè d¹ng to¸n ph ¬ng tr×nh
nghiÖm nguyªn”
.
Vậy nghiệm phương trình là và các hoán vị.
Dạng 3 : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển.
Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :
Giải:
Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đc
Dấu xảy ra
Từ phương trình
( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đáp số : nghiệm phương trình là
Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất
dễ bị "lộ" nếu người ra đề không khéo léo. Tuy nhiên cũng có vài trường hợp dùng BDT khá
hay .
Ta đến với Ví Dụ sau.
Ví Dụ 6 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau với là các số đôi khác nhau.
Giải:
Áp dụng BDT quen thuộc sau :
Vì khác nhau
Lần lượt thử các giá trị của ta tìm đc
Đáp số : và các hoán vị .
Dạng 4 : Áp dụng tính đơn điệu của bài toán . Ta chỉ ra mét hoặc mét vài giá trị của biến
thoả phương trình rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất .
Ví Dụ 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau

20
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
1! + 2! + + x! =
y
2
Hớng dẫn:
Với x 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3
1! + 2! + + x! có tận cùng là 3, không là số chính ph ơng (loại)
Vậy x < 5 mà x nguyên dơng nên:
x =
{ }
4;3;2;1

Thử vào phơng trình ta đợc (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn
Ví dụ 2 : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình
y
2
+ y = x
4
+ x
3
+ x
2
+ x
Hớng dẫn:
Ta có : y
2
+ y = x

Nếu x> 0 hoặc x< - 1 thì (3x + 1) (x +1) > 0
Nếu x > 2 hoặc x < -1 thì x (x-2) > 0
Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x
2
+ x) <(2y+1)
2
< (2x
2
+ x + 1)
2
(loại)
-1 x 2 x = 0, 1, -1, 2
Xét x = 2 y
2
+ y =30 y = 5 hoặc y= -6
Xét x= 1 y
2
+ y = 4 (loại)
Xét x = 0 y
2
+ y = 0 y (y + 1) = 0 y = 0 hoặc y = -1
Xét x = -1 y
2
+ y = 0 y = 0 hoặc y= -1
Vậy nghệm nguyên của phơng trình là:
(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
21
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình

l s cha bit ; s c xỏc nh sau .
Xột phng trỡnh :
Chn
T ú ta cú phng trỡnh c s :
Dng 3:Phng phỏp tỏch cỏc giỏ tr nguyờn
Vớ d 4: Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau :
Gii :
VII. Phng Phỏp 7 : Phng Phỏp La Chn Modulo ( hay cũn gi l xột s d tng v )
Trc tiờn ta cú cỏc tớnh cht c bn sau :
Một s chớnh phng chia d ; chia d ; chia d
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
x
2
2y
2
= 5
Hớng dẫn:
Xét x

5 mà x
2
2y
2
= 5 2y
2


5 y
2


y
2
chia cho 5 có các số d 1 hoặc 4 2y
2
chia cho 5 d 2 hoặc 3
x
2
2 y
2
chia cho 5 d

1 hoặc

2(loại)
Vậy phơng trình x
2
2y
2
= 5 vô nghiệm

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
23
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Ví dụ 2: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn
x
2
+
3
y

phng ; ng phng
Ta n vi Vớ D sau :
Vớ d 4 : Gii phng trỡnh nghim nguyờn dng sau :
Gii:
D thy
Mt khỏc :
chn thỡ ; l thỡ
Cũn ( vụ lớ)
Do ú phng trỡnh trờn vụ nghim.
Chỳ ý : Nhiu bi toỏn nghim nguyờn trong thi vụ ch toỏn cỏc nc ụi khi phi xột n
modulo khỏc ln ; ta xột n vớ d sau :
Vớ D 5 : (Balkan1998) Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau :

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
24
Đề tài: Rèn luyện t duy sáng tạo qua một số dạng toán ph ơng trình
nghiệm nguyên
Gii:
( vụ lớ)
Do ú phng trỡnh ny vụ nghim.
Ch dũng ; tht ngn gn v p phi khụng no.
Núi chung xột modulo hiu qu cũn phi tựy thuc vo s nhy bộn ca ngi lm toỏn.
Núi thờm :
i vi cỏc phng trỡnh nghim nguyờn cú s tham gia ca cỏc s lp phng thỡ modulo
thng dựng l vỡ ( hóy t chng minh )
VI II . Ph ơng pháp 8 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố
Ví dụ 1 : Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn
x
y
+ 1 = z

4p + 1 = (2k + 1)
2
4p + 1 = 4k
2
+ 4k + 1 p =k(k+1)
k(k + 1) chẵn p chẵn, p nguyên tố p = 2
IX . Ph ơng pháp 9 : Đ a về dạng tổng
Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
x
2
+ y
2
x y = 8

Ngời thực hiện: Tô Thị Bình
25